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\chapter{Rotationssymetrie im Potential in $d=2$}
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\label{labelRotSym2D}
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\section{Lösung der stationären Schrödingergleichung durch ``Separation der Variablen''}
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\label{rotSymSGL}
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Mit den Polarkoordinaten
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\begin{equation}
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x = \rho \cos\varphi; ~ y = \rho \sin\varphi
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\end{equation}
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ist der kinetische Anteil des Hamiltonoperators
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\begin{equation}
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\frac{\hat{p}_x^2 + \hat{p}_y^2}{2\mu} \cequiv -\frac{\hbar^2}{2\mu} \left( \diffPs{x}^2 + \diffPs{y}^2 \right) = -\frac{\hbar^2}{2\mu} \left( \diffPs{\rho}^2 + \frac{1}{\rho}\diffPs{\rho} + \frac{1}{\rho^2}\diffPs{\varphi}^2 \right)
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\end{equation}
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und damit die stationäre Schrödingergleichung
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\begin{equation}
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\left(-\frac{\hbar^2}{2\mu} \left( \diffPs{\rho}^2 + \frac{1}{\rho}\diffPs{\rho} +(-) \frac{1}{\rho^2}\diffPs{\varphi}^2 \right) + V(\rho) \right) \Phi(\rho,\varphi) = E \Phi(\rho,\varphi)
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\end{equation}
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Separationsansatz:
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\begin{equation}
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\Phi(\rho,\varphi) = \chi(\varphi) \cdot R(\varphi);~ v(\rho) \equiv \frac{2\mu}{\hbar^2} V(\rho);~ \varepsilon = \frac{2\mu}{\hbar^2} E
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\end{equation}
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Daraus Ergibt sich:
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\begin{align}
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\left( -\diffPs{\rho}^2 - \frac{1}{\rho}\diffPs{\rho} + V(\rho) \right) \chi(\varphi) R(\rho) - \frac{1}{\rho^2}\diffPs{\varphi} \chi(\varphi) R(\rho) &= \varepsilon ~\chi(\varphi) R(\rho) &\left| \frac{\rho^2}{\chi R} \right.\\
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\frac{\rho^2 \left( -\diffPs{\rho}^2 -\frac{1}{\rho}\diffPs{\rho} + v(\rho) \right) R(\rho)}{R(\rho)} - \frac{\diffPs{\varphi}^2 \chi(\varphi)}{\chi(\varphi)} &= \varepsilon \rho^2
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\end{align}
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Daraus folgt:
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\begin{equation}
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\frac{\diffPs{\varphi}^2 \chi(\varphi)}{\chi(\varphi)} = \const = -m^2
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\end{equation}
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(Anmerkung: $m$ meint nicht die Masse!)\\
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und daher auch:
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\begin{equation}
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\chi(\varphi) = c \cdot e^{\pm i m \varphi}
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\end{equation}
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Die Stetigkeit der Wellenfunktion fordert:
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\begin{equation}
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\chi(0) = \chi(2\pi) \Rightarrow m \in \setZ
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\end{equation}
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Orthonormierte Basis:
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\begin{align}
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\chi_m(\varphi) &\equiv \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{i m \varphi}\\
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\intgr{0}{2\pi}{\chi_{m'}^*(\varphi) \chi_m(\varphi)}{\varphi} = \krondelta{m,m'}
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\end{align}
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Vollständigkeit: Jede periodische Funktion $f(\varphi)$ kann so entwickelt werden:
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\begin{equation}
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f(\varphi) = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} c_m e^{i m \varphi}
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\end{equation}
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mit
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\begin{align}
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c_m &\equiv \intgr{0}{2\pi}{\frac{e^{i m \varphi}}{\sqrt{2\pi}}}{\varphi}\\
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\sum_m \chi_m^*(\varphi') \chi_m(\varphi) = \delta(\varphi' - \varphi)
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\end{align}
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Randgleichung:
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\begin{equation}
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\left( -\left( \diffPs{y}^2 + \frac{1}{\rho} \diffPs{\rho} +(-) \frac{m^2}{\rho^2} \right) + v(\rho) \right) R_m(\rho) = \varepsilon_m R_m(\rho)
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\end{equation}
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Für gegebenes Potential $v(\rho)$ hat diese Gleichung für festes $m$ eine normierbare Lösung $R_{n,m}(\rho)$ mit Energieeigenwert $\varepsilon_{n,m}$ wobei $n$ ``radiale Quantenzahl'' (und $m$ ``azimuthale Quantenzahl'') heißt.
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Wobei gilt:
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\begin{equation}
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\intgr{0}{\infty}{\rho R_{n',m'}^*(\rho)R_{n,m}(\rho)}{\rho} = \krondelta{n',n} \krondelta{m',m}
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\end{equation}
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Die beliebige Wellenfunktion $\Phi(\rho, \varphi)$ kann entwickelt werden:
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\begin{equation}
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\Phi(\rho,\varphi) = \sum_{n,m} c_{n,m} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{i m \varphi} R_{n,m}(\rho)
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\end{equation}
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Spektrum:
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%\begin{figure}[H] \centering
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%\includegraphics{pdf/III/02-02-00.pdf}
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%\end{figure}
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\paragraph{Fazit} Systematische zweifache Entartung wegen der Rotationsinvarianz!
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\paragraph{Nebenbemerkung} Abstarkte Notation:
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\begin{equation}
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\braket{\rho, \varphi}{\Phi_{n,m}} = \Phi_{n,m}(\rho, \varphi) \equiv \braket{\rho,\varphi}{n,m}
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\end{equation}
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\section{Formale Behandlung der Rotationsinvarianz}
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Drehoperator:
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\begin{equation}
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D(\phi) \ket{\psi} = \ket{\tilde{\psi}} \text{ mit } D(\phi) \approx \one - \frac{i}{\hbar} \phi J_3
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\end{equation}
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Angewandt auf den Zustand $\ket{x,y}$:
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\begin{align}
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D(\phi) \ket{\psi} &= \ket{x\cos\phi - y\sin\phi, x\sin\phi + y\cos\phi}\\
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&\approx \ket{x - \phi y, \phi x + y} \text{ für kleine Winkel}\\[15pt]
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\ket{x - \phi y, \phi x + y} \stackrel{!}{=} \left( \one - \frac{i}{\hbar} \phi J_3 \right) \ket{x,y} &\left| \bra{x',y'} \right.\\
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\braket{x',y'}{x,y} - \frac{i}{\hbar} \phi \dirac{x',y'}{J_3}{x,y} &= \braket{x',y'}{x - \phi y, y + \phi x}\\
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\delta(x'-x) \delta(y'-y) - \frac{i}{\hbar} \phi \dirac{x',y'}{J_3}{x,y} &= \delta(x' - (x - \phi y)) \delta(y' - (y - \phi x))\\
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&= \left( \delta(x'-x) + \phi y \delta'(x-x') \right) \left( \delta(y'-y) + \phi x \delta'(y-y') \right)
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\end{align}
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Mit
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\begin{equation}
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\hat{p}_x \cequiv -i\hbar \diffP{x} ~\rightarrow~ \diffP{x} = \frac{i}{\hbar} \hat{p}_x \text{ bzw. } \diffP{y} = \frac{i}{\hbar} \hat{p}_y
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\end{equation}
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ergibt sich:
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\begin{align}
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-\frac{i}{\hbar} \phi \dirac{x',y'}{J_3}{x,y} &= -\phi \hat{x} \left( \frac{i}{\hbar} \hat{p}_x \right) + \phi \hat{y} \left( \frac{i}{\hbar} \right) &\left| \delta(x-x') \delta(y-y') \right.\\
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J_3 &= \hat{x}\hat{p}_x - \hat{y}\hat{p}_y
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\end{align}
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$J_3$ entspricht der $z$-Komponente des Drehimpulses.\\
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In Polarkoordinaten gilt:
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\begin{align}
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\hat{x}\hat{p}_x - \hat{y}\hat{p}_y &= (-i\hbar) \diffP{\phi}\\
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J_3 &\cequiv (-i\hbar) \diffPs{\phi}
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\end{align}
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Für ein rotatotionssymmetrisches Potential $V(\rho)$ gilt also:
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\begin{equation}
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[V(\rho), J_3] = 0 \text{ und } \left[ \frac{p_x^2}{2m} + \frac{p_y^2}{2n}, J_3 \right] = 0 ~\rightarrow~ [H, J_3] = 0
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\end{equation}
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$\Rightarrow$ Es existieren gemeinsame Eigenfunktionen!\\
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Eigenfunktionen von $J_3$:
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\begin{align}
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J_3 \ket{m} &= \hbar m \ket{m} &\left| \bra{\rho, \phi} \right.\\
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\dirac{\rho, \phi}{J_3}{m} = \hbar m \braket{\rho, \phi}{m}\\[15pt]
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\rightarrow -i\hbar \diffPs{\phi}\underbrace{\braket{\rho,\phi}{m}}_{\psi_m(\rho,\phi)} &= \hbar m \braket{\rho,\phi}{m}\\
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-i\hbar \diffPs{\phi}\psi_m(\rho,\phi) &= \hbar m \psi_m(\rho,\phi)
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\end{align}
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mit
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\begin{equation}
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\psi_m(\rho,\phi) = e^{i m \phi} R_m(\rho)
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\end{equation}
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ist dann: %TODO:???
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\begin{equation}
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H \ket{n,m} = E_{n,m}\ket{n,m}
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\end{equation}
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führt auf die Radialgleichung wie oben.
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