From 5ed1966e0a1528e39f7b403f2bc5479f39e843c4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Stefan=20B=C3=BChler?= Date: Wed, 28 Oct 2009 15:17:49 +0100 Subject: [PATCH] Vorlesung 27.10.2009 fertig --- skript.tex | 58 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-- standard.tex | 5 +++++ 2 files changed, 61 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/skript.tex b/skript.tex index af02255..db20640 100644 --- a/skript.tex +++ b/skript.tex @@ -48,7 +48,7 @@ X & \rInto^{i} & \F X \\ \begin{definition} Man kann das freie Produkt $G \ast H$ über den Gruppen G und H als Wörter über dem Alphabet $G \cup H$ definieren. \\ Das freie Produkt hat folgende universelle Eigenschaft: \\ -Sei $\varphi: G \times H \to A$, $G, H, A$ Gruppen, $\varphi_{\mid G \times \set{1_H}}$ und $\varphi_{\mid \set{1_G} \times H}$ jeweils ein Gruppenhomomorphismus, $i: (g,h) \mapsto gh$: \\ +Sei $\varphi: G \times H \to A$, $G, H, A$ Gruppen, $\varphi_{\mid_{G \times \set{1_H}}}$ und $\varphi_{\mid_{\set{1_G} \times H}}$ jeweils ein Gruppenhomomorphismus, $i: (g,h) \mapsto gh$: \\ \parbox{5cm}{ \begin{diagram} G \times H & \rInto^{i} & G \ast H \\ @@ -79,11 +79,65 @@ $ \mathop{\Longrightarrow}{\text{1. Iso Satz}} \exists \text{ Epimorphismus } \F \item Die endlichen einfachenGruppen sind (durchweg?) von 2 Elementen erzeugt. \item Sei $G$ Gruppe. Wähle $X = G$, nach universeller Eigenschat $\exists !$ Epimorphismus $\F G \twoheadrightarrow G$ mit Kern $N \Rightarrow G = \F G / N$ \end{enumerate} +~ \begin{definition} -Seien $G, H$ Gruppen. Das direkte Produkt $G \times H$ ist das kartesische Produkt mit komponentenweiser Multiplikation. +Seien $G, H$ Gruppen. Das direkte Produkt $G \times H$ ist das kartesische Produkt mit komponentenweiser Multiplikation. \\ +$ G \cong \tilde{G} := G \times \set{1_H} \trianglelefteq G \times H \trianglerighteq \set{1_G} \times H =: \tilde{H} \cong H $ \\ +$ forall g \in \tilde{G}, h \in \tilde{H}: gh = hg \Rightarrow \tilde{G}\tilde{H} = \tilde{H}\tilde{G} = G \times H, \tilde{G} \cap \tilde{H} = \set{1_{G \times HJ}} $ \\ +$ \Rightarrow $ Wir müssen nicht zwischen exterem und internem Produkt unterscheiden. \\ +$ \abs{G \times H} = \abs{G} \abs{H} $ \end{definition} +Betrachte $H, N \leq G, N \trianglelefteq G \Rightarrow HN = NH, HN \leq G$ \\ +Sei zusätzlich $HN = G, H \cap N = \set{1}$ \\ +Sei $n \in N$. Wegen $nHn^{-1} = H$ ist $c_n: H \rightarrow H: h \mapsto \lsup n h = n h n^{-1}$ ein Automorphismus von $H$. \\ +$n \mapsto c_n$ ist Gruppenhomomorphismus $N \rightarrow \Aut(H)$. +~ +\begin{satz} +Sei $g \in G, c_g: G \rightarrow G: h \mapsto \lsup g h$ Automorphismus von G. Die Menge $\Inn(G) := \set{ c_g \mid g \in G} \subseteq \Aut(G) $ ist Normalteiler von $\Aut(G)$. \\ +$\Out(G) := \Aut(G) / \Inn(G)$ (Gruppe der äußeren Automorphismen von G) \\ +Die Abbildung $c: G \rightarrow Aut(G): g \mapsto c_g$ ist Gruppenhomomorphismus mit Bild $\Inn(G)$ (klar) und $\ker c = Z(G) := \set{g \in G \mid gh = hg \forall h \in G} $ \\ +Also ist $G / Z(G) \cong \Inn(G)$ +\end{satz} + +\begin{bew} +Sei $g, h_1, h_2 \in G$ \\ +$c_g(h_1 h_2) = g h_1 h_2 g^{-1} = g h_1 g^{-1} g h_2 g^{-1} = c_g(h_1) c_g(h_2)$ \\ +$c_{g^{-1}} \circ c_g (h) = g^{-1} g h g^{-1} g = 1 h 1^{-1} = c_1(h) = id_H $ \\ +Also ist $c_g$ bijektiv und daher Automorphismus von $G$. + +$c: g \rightarrow \Aut(G)$ ist Homomorphismus: \\ +$c_{g_1} \circ c_{g_2} (h) = g_1 g_2 h g_2^{-1} g_1^{-1} = g_1 g_2 h (g_1 g_2)^{-1} = c_{g_1 g_2} (h) $ \\ +\begin{align*} +c_g = id_G & \Leftrightarrow c_g(h) = h \forall h \\ + & \Leftrightarrow g h g^{-1} = h \forall h \\ + & \Leftrightarrow g h = h g \forall h \\ + & \Leftrightarrow g \in Z(G) \\ + & \Rightarrow \ker c = Z(G) +\end{align*} + +Da $\im c = \Inn(G)$ ist $\Inn(G) \leq \Aut(G)$. \\ +Sei $\varphi \in \Aut(G), g \in G$: Zu zeigen: $\varphi \Inn(G) \varphi^{-1} = \Inn(G) \Leftrightarrow \varphi c_g \varphi^{-1} \in \Inn(G) \forall g, \varphi$ \\ +$(\varphi c_g \varphi^{-1})(h) = \varphi(g \varphi^{-1}(h) g^{-1}) = \varphi(g) h \varphi^{-1}(g) = \varphi(g) h \varphi(g)^{-1} = c_{\varphi(g)}(h) \forall h \in G$ \\ +$ \Rightarrow \varphi c_g \varphi^{-1} = c_{\varphi(g)} \in \Inn(G)$ \\ +Also ist $\Inn(G) \trianglelefteq \Aut(G)$ +\end{bew} + +Beachte: Sei $N \leq G$. Dann ist $N \trianglelefteq G \Leftrightarrow c_g(N) = N \forall g \in G$ \\ +($\Rightarrow {c_g}_{\mid_N} \in \Aut(N)$. $c_g$ ist $\in \Inn(N) \Leftrightarrow \exists n \in N: c_g = c_n$) + +\begin{definition} +Sei $H < G$. Dann ist $H$ charakteristisch in $G$, falls $\varphi(H) = H \forall \varphi \in Aut(G)$.\\ +Klar: $H$ char. in $G \Rightarrow H \trianglelefteq G$. \\ +Und: $H \mathop{\leq}\limits_\text{char.} N \mathop{\leq}\limits_\text{char.} G \Rightarrow H \mathop{\leq}\limits_\text{char.} G$ +\end{definition} + +Beispiel: \\ +$Z(G)$ ist char. in $G$: \\ +$\forall z \in Z(G), g \in G: \varphi(g)\varphi(z) = \varphi(gz) = \varphi(zg) = \varphi(z)\varphi(g) $ \\ +$\Rightarrow \varphi(z)G = G \varphi(z) $ \\ +$\Rightarrow \varphi(z) \in Z(G)$ \end{document} diff --git a/standard.tex b/standard.tex index 5d55197..31096a4 100644 --- a/standard.tex +++ b/standard.tex @@ -1,5 +1,6 @@ \documentclass[DIV14,12pt,a4paper,pagesize,headsepline]{scrreprt} \setlength\parindent{0pt} +\addtolength{\parskip}{\baselineskip} \usepackage[automark]{scrpage2} @@ -67,12 +68,16 @@ \DeclareMathOperator{\Kern}{Kern} \DeclareMathOperator{\Bild}{Bild} +\DeclareMathOperator{\im}{im} \DeclareMathOperator{\id}{id} \DeclareMathOperator{\grad}{grad} \DeclareMathOperator{\rang}{rang} \DeclareMathOperator{\Bil}{Bil} \DeclareMathOperator{\Char}{char} \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom} +\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut} +\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn} +\DeclareMathOperator{\Out}{Out} %%