diff --git a/skript.pdf b/skript.pdf index 7a0b2e9..fa33d9f 100644 Binary files a/skript.pdf and b/skript.pdf differ diff --git a/skript.tex b/skript.tex index a086799..2b609f1 100644 --- a/skript.tex +++ b/skript.tex @@ -2075,7 +2075,7 @@ Klar: Ein Isomorphismus ist auch Epimorphismus und Monomorphismus. Eindeutig bis auf Isomorphie. \\ $\cC(0, X) = \set{0} = \set{0_{0, X}}, \cC(X, 0) = \set{0} = \set{0_{X,0}}$ \\ $0_{0, Y} \circ 0_{X, 0}: X \to Y$ heißt $0$-Morphismus ($O_{X,Y}$) - + Sei $\cC$ Kategorie mit $0$-Objekt $O$. Sei $\varphi: A \to B$ Morphismus in $\cC$. Wir definieren den Kern wie folgt: \\ @@ -2085,8 +2085,88 @@ Klar: Ein Isomorphismus ist auch Epimorphismus und Monomorphismus. \item Ist $\varphi \psi = 0$ für einen Morphismus $\psi$ von $X$ nach $A$, so existiert $\psi': X \to K$ mit $\mu \psi' = \psi$ \end{enumerate} - Dualisieren ergibt Kokern "`cok"' $\varphi$ ($\varphi: B \to A$), ($\cC \lsub{R}{\Mod}, coker \varphi = A / \im \varphi)$ + Dualisieren ergibt Kokern $\chi = \coker \varphi$ ($\varphi: A \to B$), $\chi: B \to C, \chi \varphi = 0$ ($\cC \lsub{R}{\Mod}, \coker \varphi = B / \im \varphi)$ \\ + $ \forall \rho: B \to C, \rho \varphi = 0: \exists \rho': \rho' \chi = \rho$. \end{enumerate} +\section{Natürliche Transformationen} + +Definition: Seien $\cC, \cD$ Kategorien und $F, G$ Funktoren von $\cC$ nach $\cD$. Eine natürliche Transformation von $F$ nach $G$ ist eine Familie $(t_X)_{X \in \Obj(\cC)}$ +von Morphismen $t_X: F(X) \to G(X)$, so dass das folgende Diagramm für jeden Morphismus $f: X \to Y$ in $\cC$ kommutiert ($G(f)t_X = t_YF(f)$): +\begin{diagram} +F(X) & \rTo^{t_X} & G(X)\\ +\dTo^{F(f)} & ~~~~~~~~~ & \dTo_{G(f)} \\ +F(Y) & \rTo^{t_Y} & G(Y) +\end{diagram} +Wir schreiben kurz: $t: F \to G$ und nennen $t$ auch "`Morphismus vn $F$ nach $G$"'. + +$F, G, H$ Funktoren von $\cC \to \cD, t: F \to G, u: G \to $ natürliche Transformationen, so wird durch $(u \circ t)_X = u_X \circ t_X$ eine natürliche Transformation $u \circ t: F \to H$ definiert. +\begin{diagram} +F(X) & \rTo^{t_X} & G(X) & \rTo^{u_X} & H(X) \\ +\dTo^{F(f)} & ~~~~~~~~~ & \dTo_{G(f)} & ~~~~~~~~~ & \dTo_{H(f)} \\ +F(Y) & \rTo^{t_Y} & G(Y) & \rTo^{u_Y} & H(Y) +\end{diagram} + +Klar: $\id_F = (\id_{F(X)})_{X \in \Obj(\cC)}$ ist natürliche Transformation. \\ +Und: $u \circ (t \circ s) = (u \circ t) \circ s$ + +"`Kategorie"' der Funktoren von $\cC$ nach $\cD$: \\ +Sind $\cC$ und $\cD$ kleine Kategorien, so funktioniert das. + +Sind alle $t_X (X \in \Obj(\cC))$ Isomorphismen, so heißt $t$ "`natürliche Äquivalenz"' und wir schreiben $F \cong G$. \\ +Klar: Dann wird durch $t^{-1} = (t_X^{-1})_{X \in \Obj(\cC)}$ ein Morphismus $t^{-1}: G \to F$ definiert mit $t t^{-1} = \id_G, t^{-1} t = \id_F$. + +Definition: Seien $\cC, \cD$ Kategorien. Dann heißen $\cC$ und $\cD$ \underline{äquivalent}, falls es Funktoren $F: \cC \to \cD, G: \cD \to \cC$ gibt mit: +$G \circ F \cong \id_{\cC}, F \circ G \cong \id_{\cD}$ \\ +Das heißt: Für $X, Y \in \cC, f : X \to Y$ gilt: +\begin{diagram} +GF(X) & \rTo^{t_X}_{\tilde{}} & X \\ +\dTo^{GF(f)} & & \dTo_{f} \\ +GF(Y) & \rTo^{t_Y}_{\tilde{}} & Y +\end{diagram} +$ \forall X \in \Obj(\cC) \exists$ Isomorphismus $t_X: GF(X) \to X$ so dass $\forall f: X \to Y$ Morphismus in $\cC$ gilt: $f t_X = t_Y GF(f)$ (analog für $FG$) \\ +Wir schreiben $\cC \cong \cD$ + +Beispiele: +\begin{enumerate} + \item Sei $\cC_0$ Skelett von $\cC, F: \cC_0 \rInto \cC$ natürliche Einbettung, $G: \cC \to \cC_0: X \rTo^{\varphi_X}_{\tilde{}} Y \in \cC_0$, wobei $Y$ das eindeutig bestimmte Objekt von $\cC_0$ isomorph zu $X$ ist, + und für $f: X_1 \to X_2$ sei $Gf = \varphi_{X_1} f \varphi^{-1}_{X_2} (\varphi_{X_1}(X_1) = Y_1, \varphi_{X_2}(X_2) = Y_2$ \\ + $\cC \cong \cC_0$ + \item $K$ Körper, $\cV_K$ Kategorie der endlich dimensionalen Vektorräume über $K = \lsub{K}{\underline{\Mod}}$. + Für $V \in \lsub{K}{\underline{\Mod}}$ sei: \\ + $\iota_V: V \to V^{\ast \ast}: v \mapsto \lambda \alpha . \alpha(v)$ +\begin{diagram} +V & \rTo^{\iota_V} & V^{\ast \ast} \\ +\dTo^{f} & & \dTo_{f^{\ast \ast}} \\ +W & \rTo^{\iota_W} & W^{\ast \ast} +\end{diagram} + ${}^{\ast \ast}$ ist Funktor von $\lsub{K}{\underline{\Mod}}$ nach $\lsub{K}{\underline{\Mod}}$. \\ + $(\iota_V)_{V \in \lsub{K}{\underline{\Mod}}}$ ist natürliche Transformation von $\id_V$ nach ${}^{\ast \ast}$ \\ + $f^{\ast \ast} \iota_V(v) = f^{\ast \ast} (\lambda \alpha. \alpha(v)) = f^{\ast} (v) = \lambda \beta . \beta(f(v))$ +\end{enumerate} + +Satz: (Yoneda Lemma) Sei $F: \cC \to \cS$ Funktor, $A \in \Obj(\cC)$ und $\tau: \cC(A, -) \to F$ natürliche Transformation. \\ +Dann wird durch $\tau \mapsto \tau_A(1_A)$ eine Bijektion zwischen der Klasse $[\C(A, -), F]$ der natürlichen Transformationen von $\cC(A, -)$ nach $F$ und der Menge $F(A)$ definiert. +Insbesondere ist $[\cC(A, -), F]$ Menge. \\ +Beweis: Sei $\varphi: A \to B$ Morphismus in $\cC$: ($\varphi_{\ast} := \cC(A, \varphi) = \lambda \alpha . \varphi \circ \alpha$) +\begin{diagram} +\cC(A, A) & \rTo^{\tau_A} & FA \\ +\dTo^{\varphi_{\ast}} & & \dTo_{F(\varphi)} \\ +\cC(A, B) & \rTo{\tau_B} & FB +\end{diagram} +ist kommutativ, da $\tau$ natürliche Transformation ist. Also ist $\tau_B(\varphi_{\ast}(1_A)) = \tau_B(\varphi 1_A) = \tau_B(\varphi) = (F \varphi)(\tau_A(1_A))$. Also ist +$\tau_B$ vollständig durch $\tau_A(1_A)$ bestimmt. \\ +Dies zeigt, dass die Zuordnung $\tau \mapsto \tau_A(1_A) \in F(A)$ injektiv ist. \\ +($\tau_A(1_A) = \tilde{\tau}_A(1_A) \Rightarrow \tau_B(\varphi) = \tilde{\tau}_B(\varphi) \forall B \Rightarrow \tau = \tilde{\tau}$) + +Sei $\kappa \in F(A)$. Wir definieren $\tau_B(\varphi) = (F\varphi)(\kappa)$ \\ +Wir zeigen: $\tau = (\tau_B)_{B \in \Obj(\cC)}$ ist natürliche Transformation von $\cC(A, -)$ nach $F$ mit $\tau_A(1_A) = \kappa$: +\begin{diagram} +\cC(A, B_1) & \rTo^{\tau_{B_1}} & FB_1 \\ +\dTo^{\theta_{\ast}} & & \dTo_{F \theta} \\ +\cC(A, B_2) & \rTo^{\tau_{B_2}} & FB_2 +\end{diagram} +$\theta: B_1 \to B_2$ in $\cC, \theta_{\ast}(\mu) = \theta \circ \mu : A \to B_2$ + \end{document} diff --git a/standard.tex b/standard.tex index cc4bfef..3e68697 100644 --- a/standard.tex +++ b/standard.tex @@ -53,6 +53,7 @@ \providecommand{\cS}[0]{\mathcal{S}} \providecommand{\cT}[0]{\mathcal{T}} \providecommand{\cU}[0]{\mathcal{U}} +\providecommand{\cV}[0]{\mathcal{V}} \providecommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \providecommand{\norm}[1]{\lVert#1\rVert} @@ -109,6 +110,7 @@ \DeclareMathOperator{\Obj}{Obj} \DeclareMathOperator{\Ab}{Ab} \DeclareMathOperator{\opp}{opp} +\DeclareMathOperator{\coker}{coker} \DeclareMathOperator{\Reid}{Reid}