@ -1020,4 +1020,89 @@ Relativ leichte Übung: Ist $G$ einfach und $\abs{G} < 60$ so folgt $G \cong C_{
Beweis: Sei $g \in G$. Wegen $gNg^{-1}= N \trianglelefteq G$ ist $gPg{-1}\subseteq N \Rightarrow gPg^{-1}\in\Syl_p)N)$. Also gibt es $n \in N: n ( gPg^{-1}) n^{-1}= P = ng P (ng)^{-1}$
$\Rightarrow ng \in N_G(P)\Rightarrow g \in n^{-1} N_G(P)\subseteq N N_G(P)= N_G(P) N$. \qed
% Kapitel 4
\chapter{Normalteilerstruktur}
% Para 1
\section{Satz von Jordan-Hölder}
Sei im folgenden $G$ eine beliebige Gruppe.
4.1.1 Definition: Sei $\Omega$ eine Menge, dann heißt $G$ Gruppe mit Operatorenbereich $\Omega$ (kurz $\Omega$-Gruppe), falls es eine externe binäre Verknüpfung $\Omega\times G \rightarrow G: (\alpha, g)\mapsto\alpha g \in G$ gibt mit $\alpha(g_1 g_2)=(\alpha g_1)(\alpha g_2)\forall g_1, g_2\in G, \alpha\in\Omega$. \\
\underline{Äquivalente Formulierung:} Es gibt eine Abbildung von $\Omega\rightarrow\set{\sigma: G \rightarrow G \mid\sigma\text{ ist Gruppenhom.}}$.
Eine Untergruppe $H$ der $\Omega$-Gruppe $G$ heißt \underline{zulässig} ($\Omega$-Untergruppe, $H \leq_\Omega G$), falls $\alpha h \in H \forall h \in H, \alpha\in\Omega$, und sie heißt zulässiger Normalteiler
($\Omega$-Normalteiler, $H \trianglelefteq_\Omega G$), wenn $H$ zusätzlich Normalteiler von $G$ ist.
Klar: Homomorphismen von $\Omega$-Gruppen: $F: G \rightarrow X$ Gruppenhomomorphismus mit $f(\alpha g)=\alpha f(g)$, $G, X$$\Omega$-Gruppen, $g \in G, \alpha\in\Omega$\\
Es gelten Isosätze, Kerne von $\Omega$-Homomorphismen sind $\Omega$-Normalteiler, Bilder sind $\Omega$-Untergruppen. \\
Eine $\Omega$-Gruppe heißt \underline{einfach}, falls sie keine nichttrivialen $\Omega$-Normalteiler hat.
4.1.2 Beispiele: $G: \Omega$-Gruppe
\begin{enumerate}[i)]
\item$\Omega=\emptyset$: zulässigen Untergruppen = Untergruppe von $G$, zulässigen Normalteiler = Normalteiler von $G$.
\item$\Omega=\Inn(G)$ ($\Omega= G$ operiert durch Konjugation auf $G$): zulässigen Untergruppen = zulässigen Normalteiler = Normalteiler von $G$.
\item$\Omega=\Aut(G)$: zulässigen Untergruppen = char. Untergruppen von $G$.
\item$G =(R, +)$ = add. Gruppe eines Rings $R$ mit 1 (alle Untergruppen sind Normalteiler) \\
$\Omega= R$ operiert auf $G$ per Multiplikation von links (rechts). Die $\Omega$-Untergruppen von $(R, +)$ sind genau die Linksideale (Rechtsideale) von $R$.
Links-Rechts-Operation: $\Omega\times G \times\Omega\rightarrow G: (\alpha, g, \beta)\mapsto\alpha g \beta$ mit $(\alpha g)\beta=\alpha(g \beta)$. \\
Für $(R, +)$ mit $\Omega= R$ sind dann die zulässigen Untergruppen die Ideale von $R$.
\item$M = G =$ additive abelsche Gruppe mit $R$-Modul, $R =$ Ring $\ni1$, $M$ ist eine $R$-Gruppe unter Linksmultiplikation mit Elementen von $R$. \\
Die zulässigen $R$-Untergruppen = zulässige $R$-Normalteiler = Untermoduln (analog für Rechtsmoduln).
\end{enumerate}
Jetzt sei $\Omega$ eine Menge und $G$ eine $\Omega$-Gruppe.
Definition: Eine endliche Folge $G = G_0 >_\Omega G_1 >_\Omega G_2 >_\Omega\ldots >_\Omega G_r =(1)$ von $\Omega$-Untergruppen heißt \underline{Kompositionsreihe} von $G$,
falls $G_{i+1}\trianglelefteq_\Omega G_i$ und $G_i/G_{i+1}$ ist einfache $\Omega$-Gruppe.
Beispiel: $\sigma_5\trianglerighteq A_5\trianglerighteq(1)$ ist eine Kompositionsreihe mit "`Kompositionsfaktoren"' $\sigma_5/ A_5\cong C_2, A_5= A_5/(1)$.
Definition: $N$ ist maximale normale $\Omega$-Untergruppe von $G$, falls $G \neq N \trianglelefteq_\Omega G$ und kein $\Omega$-Normalteiler von $G$ echt zwischen $N$ und $G$ existiert $\Rightarrow G/N $ einfache $\Omega$-Gruppe.
Beachte: Für $\Omega$-Gruppen gelten die 3 Isomorphiesätze, und daher der Korrespondenzsatz 1.1.11.
4.1.3 Satz: Endliche Gruppen ($\Omega=\emptyset$) besitzen Kompositionsreihen. Beweis klar.
4.1.4 Korrolar: Sei $G$ endliche Gruppe ($\Omega=\emptyset$), und sei $N \trianglelefteq G$. Dann besitzt $G$ eine Kompositionsreihe "`durch"' N, d.h. $N$ kommt als eine der Untergruppen $G_i$ vor. \\
Beweis: Sei $N = N_0 > N_1 > N_2 > \ldots > N_k =(1)$ Kompositionsreihe von $N$ und $G/N = H_0 > H_1 > \ldots > H_r =(1)$ Kompositionsreihe von $G/N$, $G_i =$ volles Urbild von $H_i$ in $G/N$, also
$G_i =\set{g \in G \mid gN \in H_i}$. \\
1.1.11 $\Rightarrow G = G_0 > G_1 > \ldots > G_{r-1} > N = N_0 > \ldots > N_k =(1)$ Kompositionsreihe von $G$ durch $N$. \\
4.1.5 Lemma: Sei $G$ beliebige $\Omega$-Gruppe mit einer Kompositionsreihe. Sei $N \trianglelefteq_\Omega G$, dann besitzt $N$ ebenfalls eine Kompositionsreihe. \\
Beweis: Sei $G = G_0 > G_1 > \ldots > G_r =(1)$ Kompositionsreihe von $G$. Sei $N_i = N \cap G_i$. Dann ist $N = N_0\geq N_1\geq\ldots\geq N_r =(1)$\\
Dann ist $N_{i+1}= G_{i+1}\cap N \trianglelefteq N_i = G_i \cap N$ und $N_i/N_{i+1}=(N \cap G_i)/(N \cap G_{i+1})=(N \cap G_i)/((N \cap G_i)\cap(G_{i+1}))
Also ist, da $G_i/G_{i+1}$ einfach ist, entweder $N_i/N_{i+1}=(1)$ (d.h. $N_i = N_{i+1}$), oder $N_i/N_{i+1}\cong G_i/G_{i+1}$ einfach. \\
So erhalten wir eine Kompositionsreihe von $N$ durch Streichung der Wiederholungen in $N = N_0\geq N_1\geq\ldots\geq N_r =(1)$. \qed
Definition: Eine Kette $G = G_0 > G_1 > \ldots > G_r =(1)$ heißt $\Omega$-Subnormalkette, falls $G_{i+1}\trianglelefteq_\Omega G$ ist, und $\Omega$-Normalkette, falls $G_i \trianglelefteq_\Omega G$ ist.
Seien $G = G_0 > G_1 > \ldots > G_r =(1)$ und $G = H_0 > H_1 > \ldots > H_r =(1)$ zwei Subnormalketten derselben Länge $r$. Dann heißen diese äquivalent, fall es ein $\rho\in\sigma_r$ gibt mit $G_{i-1}/G_i \cong H_{\rho(i)-1}/H_{\rho(i)}$ für $1\leq i \leq r$. \\
Klar: Dies ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Subnormalketten der Länge $r$ von $G$.
4.1.6 Satz (Jordan-Hölder): Sei $G$ eine $\Omega$-Gruppe und besitze $G$ eine Kompositionsreihe. Dann haben je zwei Kompositionsreihen von $G$ dieselbe Länge und sind äquivalent. \\
Konsequenz: In einer Kompositionsreihe einer $\Omega$-Gruppe (= einfache $\Omega$-Gruppen), sind die vorkommenden einfachen Kompositionsfaktoren mit ihren Multiplizitäten eindeutig bestimmt (aber nicht die Reihenfolge).
Beweis: Seien $G = G_0 > G_1 > \ldots > G_r =(1)$ und $G = H_0 > H_1 > \ldots > H_s =(1)$ zwei Kompositionsreihen von $G$. \\
Induktion über $r$: \\
$r =0$: $G =(1)$ trivial. \\
$r =1$: $G \trianglerighteq(1)$ ist Kompositionsreihe $\Rightarrow G$ ist einfach $\Rightarrow s = s, H_1=(1)$. \\
Sei $r > 1$ und die Behauptung bewiesen für alle $\Omega$-Gruppen mit einer Kompositionsreihe der Länge $< r$. \\
Ist $G_1= H_1$, so hat $G_1= H_1$ die Kompositionsreihe $G_1 > G_2 > \ldots > G_r =(1)$ der Länge $r-1$ und $H_1 > H_2 > \ldots > H_s =(1)$, die nach Induktionsvoraussetzung äquivalent sind und $r-1= s-1$, also $r = s$ und mit $G_/G_1= H/H_1$ fertig. \\
Sei also $G_1\neq H_1$. Wegen $G_1\trianglelefteq G_0= G, H_1\trianglelefteq H_0= G$ ist $G_1\lneq G_1 H_1\trianglelefteq G$. Da $G/G_1$ einfach ist, ist also $G_1 H_1= G$. \\
Sei $K = G_1\cap H_1$, dann ist $G/G_1\cong H_1/K$ und $G/H_1\cong G_1/K$. \\
Also sind $G_1/K$ und $H_1/K$ einfache $\Omega$-Gruppen. \\
Beachte $K \trianglelefteq G$, also besitzt $K$ eine Kompositionsreihe $K = K_0 > K_1 > \ldots > K_t =(1)$. \\
$G_1 > K_0 > K_1 > \ldots > K_t =(1)$ ist Kompositionsreihe von $G$ der Länge $t+1$, die nach Induktionsvoraussetzung äquivalent zu $G_1 > G_2 > \ldots > G_r$ ist, und $t+1=r-1$, analog $t+1=s-1$, also $r = s$. \\
Wegen $G/G_1\cong H_1/K$ und $G/H_1\cong G_1/K$ sind die ursprünglichen Kompositionsreihen äquivalent.
Beispiele:
\begin{enumerate}[i)]
\item$\Omega=\emptyset$, Kompositionsreihen sind Subnormalketten $G = G_0 > G_1 > \ldots > G_r =(1)$ mit $G_{i+1}\trianglelefteq G_i$ und $G_i/G_{i+1}$ einfache Gruppe.
\item$M$ ist $R$-Module, $R = K$-Algebra, $\dim_K(M) < \infty\Rightarrow M $ hat Kompositionsreihe.
\item$G$ ist $\Omega$-Gruppe mit $\Omega=\Inn(G)$ ($\Aut(G)$?)