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@@ -13,6 +13,7 @@
 
 \providecommand{\F}[1]{\mathcal{F}_{#1}}
 \newcommand{\lsup}[2]{\ensuremath{\sideset{^{#1}}{}{\mathop{#2}}}}
+\newcommand{\lsub}[2]{\ensuremath{\sideset{_{#1}}{}{\mathop{#2}}}}
 
 \begin{document}
 
@@ -1129,7 +1130,7 @@ $\Rightarrow G = G_0 > G_1 > \ldots > G_r = N > G_{r+1} = (1)$ ist Hauptreihe f
 
 \section{Grundlagen}
 
-\paragraph{Gruppenalgebren}
+\subsection{Gruppenalgebren}
 
 Alle Ringe haben Einselement $1 = 1_R$, aber sind nicht notwendigerweise kommutativ.
 
@@ -1179,7 +1180,7 @@ Fragen:
 
 5.1.3 Konstruktion von $\Lambda G$: Die Gruppenalgebra $\Lambda G$ ist als $\Lambda$-Modul der freie $\Lambda$-Modul über der Menge $G$, d.h.
 $\Lambda G = \set{ \sum_{g \in G} \alpha_g g \mid \alpha_g \in \Lambda, \text{ fast alle }\alpha_g = 0}$ \\
-$(\sum \lambda_g g) + (\sum \mu_g g) = \sum (\lambda_g + \mu_g) g$ \\
+$(\sum \lambda_g g) + (\sum \mu_g g) = \sum (V + \mu_g) g$ \\
 $\beta (\sum \lambda_g g) = \sum (\beta \lambda_g)g$ \\
 $(\sum \alpha_g g)(\sum \beta_h h) = \sum_{g,h} \alpha_g \beta_h (g \cdot h) = \sum_x (\sum_{gh=x} \alpha_g \beta_h) x = \sum_x (\sum_g \alpha_g \beta_{g^{-1}x}) x$
 
@@ -1198,12 +1199,124 @@ lineare Darstellung von $G$ über dem $K$-Vektorraum $V$ ist ein Homomorphismus
 
 Klar: 
 \begin{diagram}
-G & \rightarrow^\varphi & \Aut_K(V) & \rightarrow^{\sim}_{\text{Wahl der Basis}} & \GL_n(K) \\
-\downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\
-KG \rightarrow \End_K(V) \rightarrow^{\sim}_{\text{Wahl der Basis}} & M_{n \times n}(K) \\
+G & \rTo^\varphi & \Aut_K(V) & \rTo^{\sim}_{\text{Wahl der Basis}} & \GL_n(K) & ~~ n = \dim_V (K) \\
+\dInto & & \dInto & & \dInto \\
+KG & \rTo & \End_K(V) & \rTo^{\sim}_{\text{Wahl der Basis}} & M_{n \times n}(K) \\
 \end{diagram}
 
-Für eine $K$-Algebra $A$ ist eine Darstellung von $A$ ein $K$-Algebra-Homomorphismus $A \rightarrow \End_K(V) \cong M_{n \times n}(K) (\dim_K V = n)$ \\
-Sei $\varphi: KG \rightarrow \End_K(V)$ Darstellung. Dan wird $V$ zum $KG$-Modul durch $x \cdot m = (\varphi(x))(m)$ für $y \in KG$ und $m \in V$.
+Für eine $K$-Algebra $A$ ist eine Darstellung von $A$ über dem $K$-Vektorraum $V$ ein $K$-Algebra-Homomorphismus $A \rightarrow \End_K(V) \cong M_{n \times n}(K) (\dim_K V = n)$ \\
+Sei $\rho: KG \rightarrow \End_K(V)$ Darstellung. Dann wird $V$ zum $KG$-Modul durch $x \cdot m = (\rho(x))(m)$ für $y \in KG$ und $m \in V$. \\
+Umgekehrt: Ist $V$ ein $A$-Modul, so wird durch $\rho: A \rightarrow \End_K(V): a \mapsto \lambda_a, \lambda_a(v) = av$ für $a \in A, v \in V$ eine Darstellung von $A$ über $V$ definiert. \\
+So: Konzept der Darestellungen von $A$ ist äquivalent zum Konzept der $A$-Moduln. (Vgl. Permutationsdarstellungen). \\
+Homomorphismen von $A$-Moduln: Klar. \\
+Homomorphismen von Darstellungen: Seien $\rho : A \rightarrow \End_K(V), \psi : A \rightarrow \End_K(W)$ Darstellungen von $A$. Ein Homomorphismus von $\rho$ nach $\psi$ ist ein $K$-lineare Abbildung $f: V \rightarrow W$, so dass $\forall a \in A: f \circ \rho(a) = \psi(a) \circ f$
+\begin{diagram}
+V & \rTo^f & W \\ \dTo^{\rho(a)} & & \dTo_{\psi(a)} \\ V & \rTo^f & W
+\end{diagram}
+
+Beachte: $W = V$ mit $f \in \Aut_K(V)$ Homomorphismus von $\rho$ nach $\psi \Leftrightarrow \psi(a) = f \circ \rho(a) \circ f^{-1} \forall a \in A$ \\
+$\dim_K(V) = n, \tilde{\rho}: A \rightarrow M_{n \times n}(K), \tilde{\psi}: A \rightarrow M_{n \times n}(K)$ zugehörige Matrixdarstellungen nach Wahl einer Basis $\cB$, so
+kann man $f$ als Basiswechsel interpretieren: $m_{\id}(\cC, \cB)= m_f(\cB, \cB)$ für Basis $\cC$ von $V$. \\
+$m_{\tilde{\psi}}(\cC, \cC) = m_{\id}(\cC, \cB) m_{\tilde{\rho}}(\cB, \cB) m_{\id}(\cB, \cC)$ (Details: Übung)
+
+Definition: Seien $A, B$ $\Lambda$-Algebren mit $1$ und sei $M$ ein $A$-Linksmodul und ein $B$-Rechtsmodul. $M$ heißt $A$-$B$-Bimodul falls gilt: \\
+$\forall \alpha \in A, \beta \in B, m \in M: (\alpha m) \beta = \alpha (m \beta)$ \\
+($M$ $A$-Linksmodul und $B$-Linksmodul: $\alpha(\beta m) = \beta(\alpha m)$)
+
+Beachte: Für die zugehörigen Darstellungen bedeutet das: $\lambda_\alpha: M \rightarrow M: m \mapsto \alpha m, \rho_\beta: M \rightarrow M: m \mapsto m \beta$ \\
+(Abbildung $\rho: B \rightarrow \End_\Lambda(M)$ ist Antihomomorphismus, d.h. $\rho_\beta \rho_\gamma = \rho_{\gamma \beta}$ für $\gamma, \beta \in B$) \\
+Bedingung $\Leftrightarrow \lambda_\alpha \rho_\beta = \rho_\beta \lambda_\alpha \forall \alpha \in A, \beta \in B$ \\
+d.h. $\lambda_\alpha$ und $\rho_\beta$ zentralisieren einander in $\End_\Lambda(M)$ ($\forall \lambda \in \Lambda, m \in m: \lambda m = m \lambda$)
+
+5.1.3 Beispiel: $M \in A^{mod} = \set{\text{Links-$A$-Moduln}}$. Sei $E = \End_A(M)$. $E$ operiert auf $M$ von rechts. \\
+$E = \set{b \in \End_\Lambda(M) \mid (am) b = a (mb) \forall a \in A, m \in M}$ \\
+Dann ist $E$ $\Lambda$-Algebra und $M$ ein $A$-$E$-Bimodul. \\
+Beweis: $A = \Lambda$-Algebra $\Rightarrow M$ ist $\Lambda$-Modul durch Einschränken, $\lambda m = (\lambda 1_A) m$.
+Durch $\lambda m = m \lambda$ wird $M$ ein $\Lambda$-Rechtsmodul, da $\Lambda$ kommutativ ist. \\
+Ein $A$-Endomorphismus ist dann auch ein $\Lambda$-Endomorphismus, d.h. $E = \End_A(M) \subseteq \End_\Lambda(M)$.
+
+( Beachte: $\set{\text{$\Z$-Moduln}} = \set{\text{$\Z$-Bimoduln}} = \set{\text{abelsche Gruppen}}$ )
+
+Für $b \in E$, $m \in M$ und $\lambda \in \Lambda$ sei $\lambda b \in \End_A(M)$ definiert durch $m (\lambda b) = \lambda (m b) = (m b) \lambda = m (b \lambda)$. So ist $E$ eine $\Lambda$-Algebra. Rest klar.
+
+Bemerkung: $A$ und $B$ seien $\Lambda$-Algebren, $M$ ein $A$-Links- und $B$-Rechtsmodul. $\lambda: A \rightarrow \End_\Lambda(M): a \mapsto \lambda_a, \rho : B \rightarrow \End_\Lambda(M): b \mapsto \rho_b, \rho_b(m) = m b$ \\
+$\rho $ Antihomomorphismus, $\lambda$ Homomorphismus von $\Lambda$-Algebra \\
+$\tilde{B} = \im \rho \subseteq \End_\Lambda(M) \supseteq \tilde{A} = \im \lambda$
+
+($R$ Ring, $R^{opp} = $ Ring auf Menge $R$ mit Multiplikation $\ast$ gegeben durch $r \ast s = sr \forall r,s \in R$)
+
+Dann ist $M$ ein $A$-$B$-Bimodul $\Leftrightarrow$ $\tilde{B} \subseteq \End_A(M) \subseteq \End_\Lambda(M) \Leftrightarrow \tilde{A} \subseteq \End_B(M) \subseteq \End_\Lambda(M) $
+
+Man sagt: $M$ erfüllt Schur-Wyl-Dualität oder ist balanced oder erfüllt Bizentralisatoren Eigenschaft, falls gilt: $\tilde{B} = \End_A(M), \tilde{A} = \End_B(M)$.
+
+$ \rightsquigarrow $ Ausrechnen von $\End_A(M):$ $\Lambda = K $ Körper, $M \in \Lambda^{mod}, \dim_K M = n < \infty, \rho: A \rightarrow M_{n \times n}(K)$ zugehörige Matrixdarstellung. \\
+$G_a: \rho(a)X = X \rho(a), X \in M_{n \times n}K$. Um $E$ auszurechnen genügt es die Gleichunssysteme $G_a$ für $a \in A$ simultan zu lösen. \\
+Angenommen, $a_1, \ldots, a_k \in A$ so, dass $A$ die kleinste Unteralgebra von $A$ ist, die $a_1, \ldots, a_k$ enthält, d.h. $\set{a_1, \ldots, a_k}$ erzeugt die $K$-Algebra $A$,
+dann genügt es $\rho(a_i)X = X \rho(a_i)$ simultan zu lösen $\rightsquigarrow$ mühsamer Weg um $E$ auszurechnen.
+
+\subsection{Tensorprodukte}
+
+$A, B, C$ seien $\Lambda$-Algebren, $\Lambda$ kommutativer Ring $\ni 1$. $\lsub{A}{\Mod_B} := \set{\text{$A$-$B$-Bimoduln}}$
+
+Definition: Sei $M \in \lsub{A}{\Mod_B}, N \in \lsub{B}{\Mod_C}$. Eine Abbildung $f: M \times N \rightarrow U \in \lsub{A}{\Mod_C}$ heißt $A$-$C$-bilinear und $B$-balanced, falls gilt $\forall a \in A, b \in B, c \in C, m, m_1, m_2 \in M, n, n_1, n_2 \in N$: \\
+\begin{enumerate}[i)]
+ \item $f$ ist bilinear, d.h. $f(m_1 + m_2, n) = f(m_1, n) + f(m_2, n), f(m, n_1 + n_2) = f(m, n_1) + f(m, n_2)$
+ \item $f(am, n) = a f(m, n)$
+ \item $f(m, nc) = f(m, n) c$
+ \item $f(mb, n) = f(m, bn) $
+\end{enumerate}
+
+Ein \underline{Tensorprodukt} $M \otimes_B N \in \lsub{A}{\Mod_C}$ über $B$ ist ein $A$-$C$-Bimodul zusammen mit einer $A$-$C$-bilinearen, $B$-balanced Abbildung $\eta: M \times N \rightarrow M \otimes_B N$ so, dass folgende universelle Eigenschaft gilt:
+\begin{diagram}
+M \times N & \rTo^\eta & M \otimes_B N \\
+& \rdTo_{f} & \dTo_{\exists ! \hat{f}} \\
+& & U \in \lsub{A}{\Mod_C}
+\end{diagram}
+mit $\hat{f} \circ \eta = f$
+
+$\cA$ = freie abelsche Gruppe über \\ $M \times N = \set{ z_1 (m_1, n_2) + z_2(m_2, n_2) + \ldots+ z_k(m_k, n_k) \mid m_i \in M, n_i \in N, k \in N, z_i \in \Z}$ \\
+$I = \set{ (m_1+m_2, n) - (m_1, n) - (m_2, n), (m, n_1 + n_2) - (m, n_1) - (m, n_2), (mb, n) - (m, bn)}$
+$(b \in B, m, m_1, m_2 \in M, n, n_1, n_2 \in N)$ \\
+
+$\cA$ ist $A$-Linksmodul durch $a(\sum z_i(m_i, n_i)) = (\sum z_i(am_i, n_i))$, $C$-Rechtsmodul analog. \\
+$cA \in \lsub{A}{\Mod_C}$, $I$ ist $A$-$C$-invariant $\Rightarrow <I>$ ist $A$-$C$-Unterbimodul. \\
+$M \otimes_B N = A / <I> \in \lsub{A}{\Mod_C}$ \\
+$\eta: M \times N \rightarrow M \otimes_B N: (m, n) \mapsto (m,n)+<I> = m \otimes n$ (einfacher Tensor) \\
+Klar: $\set{m \otimes n \mid m \in M, n \in N}$ erzeugt $M \otimes_B N$, d.h. \\
+$M \otimes_B N = \set{\sum_{i=1}^k m_i \otimes n_i \mid m_i \in M, n_i \in N, k \in \N}$
+
+Bemerkung: $M \in \lsub{A}{\Mod_B} \subseteq \Mod_B, N \in \lsub{B}{\Mod}$. \\
+Bilde $M \otimes_B N$ mit $M$ nur als $B$-Rechtsmodul. $\tilde{X} = M \otimes_B N$ mit $M$ als $A$-$B$-Bimodul. \\
+Dann ist $X \in \lsub{A}{\Mod}$ und $X \cong \tilde{X}$ als $A$-Linksmodul.
+
+Für $a \in A$ definiere eine Abbildung $f_a: M \times N \rightarrow M \times N: (m, n) \mapsto (am, n)$ \\
+$A$-$\Z$-bilinear, $B$-balanced (wegen $(am)b = a(mb)$, da $M$ $A$-$B$-Bimodul).
+
+\begin{diagram}
+M \times N & \rTo^\eta & M \otimes_B N \\
+& \rdTo_{f_a} & \dTo{\exists! \hat{f_a}} \\
+& & M \otimes_B N
+\end{diagram}
+mit $\hat{f_a} (\sum m_i \otimes n_i) = \sum a m_i \otimes n_i$
+
+5.2.1 Fakten:
+\begin{enumerate}[i)]
+ \item $M \in \lsub{A}{\Mod}, A \in \lsub{A}{\Mod_A} \Rightarrow A \otimes_A M \cong M$ \\
+   Beweis: $f(a,m) = am$
+   \begin{diagram}
+    A \times M & \rTo^\eta & A \otimes_A M \\
+    & \rdTo_f & \dTo^{\hat{f}} \\
+    & & M
+   \end{diagram}
+   $\hat{f}(\sum a_i \otimes m_i) = \sum a_i m_i \in M, \hat{f}^{-1}: M \rightarrow A \otimes_A M: m \mapsto 1_A \otimes m \in A \otimes M$
+ \item Tensorprodukte vertauschen mit direkten Summen: $(\oplus_{i \in I}) \otimes_A N \cong \oplus_{i \in I}(M_i \otimes N)$ \\
+   $M \cong \oplus_{i\in I} A_i, A_i \cong_A A, N \in \lsub{A}{\Mod}$ \\
+   $M \otimes_I N = (\oplus_{i \in I} A_i) \otimes N \cong \oplus_{i \in I}(A_i \otimes N) \cong N = \oplus_{i \in I} N_i$ mit $N_i \cong N$ als $A$-Modul.
+ \item $(\lsub{A}{M} \otimes_B N) \otimes_C L_D \cong \lsub{A}{M} \otimes_B (N \otimes_C L)_D$ Assoziativität, $N \in \lsub{B}{\Mod_C}$
+\end{enumerate}
+
+Beispiel: $X := \Z/z\Z \otimes_\Z \Z/3\Z = (0)$ \\
+$ 1 = 2 \cdot 2 - 3$ \\
+$ a \otimes b \in X: a \otimes b = 1 a \otimes b = (4-3)(a \otimes b) = 4(a \otimes b) - 3(a \otimes b) = (4a)\otimes b - a \otimes (3b) = 0 \otimes b - a \otimes 0 = 0$
 
 \end{document}
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@@ -43,6 +43,7 @@
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@@ -90,6 +91,7 @@
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