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@@ -511,5 +511,118 @@ $p$ teilt $\abs{G : C_G(g_i)} \Rightarrow p $ teilt die Summe $\Rightarrow p $ t
 Rest: Übung.
 \end{bew}
 
+\begin{bem}
+Berühmte Ergebnisse:
+\begin{enumerate}[I)]
+ \item Brunside's $pq$-Theorem: Seien $p, q$ Primzahlen, $\abs{G} = p^a \cdot q^b, a, b \in \N \Rightarrow G$ ist auflösbar.
+ \item Feit-Thompson: Ist $2 \nmid \abs{G} \Rightarrow G$ ist auflösbar.
+\end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\underline{Beachte:} Sei $H \leq G$. Dann ist $H \trianglelefteq G \Leftrightarrow H$ ist Vereinigung von (disjunkten) Konjugationsklassen von $G$; denn
+$gHg^{-1} = H \forall g \in G$ gilt genau dann, wenn $\forall h \in H, g \in G: c_g(h) = ghg^{-1} \in H$, d.h. $\lsup{G}{h} \subseteq H$. Daher ist
+$\abs{H} = \sum\limits_{g_i \in H} \abs{C_i} $ % i ) 1, \ldots, k
+
+\underline{Erinnerung:} Sei $H \leq G$. Dann ist $N_g(H) = \set{g \in G \mid gHg^{-1} = H} \leq G$ und $H \trianglelefteq N_G(H) = $ die eindeutig bestimmte größte Untergruppe von $N$,
+in der $H$ normal ist. $H \trianglelefteq G \Leftrightarrow N_G(H) = G$.
+
+\begin{satz} % 1.3.15
+Sei $\abs{G} = n < \infty$, und sei $H \leq G$. Sei $\mathcal{A} = \set{gHg^{-1} \mid g \in G}$. Dann ist $\abs{\mathcal{A}} = \abs{G : N_G(H)}$.
+\end{satz}
+
+\begin{bew}
+$G$ operiert auf $\sigma(G)$ ($\set{K \leq G}$) per Konjugation, und $\mathcal{A}$ ist gerade die Bahn $\lsup{G}{H}$ von $H$ unter dieser Operation.
+$N_G(H) = \Stab_G(H)$. So folgt die Behauptung aus 1.3.7.
+\end{bew}
+
+\begin{definition}
+$H, K \leq G, z \in G$. Dann heißt $HzK = \set{hzk \mid h \in H, k \in K}$ die $H$-$K$-Doppelnebenklasse von $z$. \\
+Definiere $\sim$ auf $G$ durch $, y \in G$, so ist $x \sim y \Leftrightarrow \exists h \in H, k \in K: y = hxk$
+\begin{enumerate}[i)]
+ \item $ x = 1_H x 1_K \Rightarrow x \sim x \forall x \in G$
+ \item $ y = hxk \Rightarrow x = h^{-1}yk^{-1} \Rightarrow$ Symmetrie
+ \item $ y = h_1 x k_1, z = h_2 y k_2 \Rightarrow z = h_2 h_1 x k_1 k_2 \Rightarrow x \sim z$
+\end{enumerate}
+Also ist $G$ disjunkte Vereinigung der $H$-$K$-Doppelnebenklassen.
+\end{definition}
+
+\underline{Klar:} $HzK = \bigcup\limits_{h \in H} hzK = \bigcup\limits_{k \in K} Hzk$ ist (disjunkte) Vereinigung von $K$-Links- bzw $H$-Rechtsnebenklassen in $G$.
+
+\begin{satz} % 1.3.16
+Sei $\abs{G} = n < \infty, H, K \leq G$ und $ \in G$. Dann gilt: \\
+$$ \abs{HzK} = \frac{\abs{H} \cdot \abs{K}}{\abs{H \cap zKz^{-1}}} = \frac{\abs{H} \cdot \abs{K}}{\abs{z^{-1}Hz \cap K}} = [H : (H \cap zKz^{-1}] \cdot \abs{K} = \abs{H} \cdot [K : (z^{-1}Hz \cap K] $$
+Das kommt nicht von unefähr: Ist $h_1 = 1, h2, \ldots,h_l \in H$ ein Vertretersystem der Linksnebenklassen von $H \cap zKz^{-1}$ in $H$, d.h. $H = \mathop{\cup}\limits^{\bullet} h_i (H \cap zKz^{-1}$,
+so ist $HzK = \bigcup\limits_{j=1, \ldots, l}^{\bullet} h_i z K$. Analog $K = \bigcup\limits_{j=1, \ldots, m}^{\bullet} (z^{-1}Hz \cap K) \cdot k_j, HzK = \bigcup\limits_{j=1, \ldots, m}^{\bullet} Hz k_j $
+\end{satz}
+
+\underline{Beweisidee:} $h \in H \cap zKz^{-1} \Leftrightarrow \exists k \in K: h = zkz^{-1} \Leftrightarrow hzK = zkz^{-1}z K = zkK = zK \Rightarrow h_i (z^{-1}H \cap K) zK= h_i zK$, Details Übung.
+
+\begin{bew}
+\begin{enumerate}[a)]
+ \item $\abs{HzK} = \abs{HzKz^{-1}} \mathop{=}\limits^{\text{1.3.12}} \frac{\abs{H} \cdot \abs{zKz^{-1}}}{\abs{H \cap zKz^{-1}}} = \frac{\abs{H} \cdot \abs{K}}{\abs{H \cap zKz^{-1}}} = \frac{\abs{H} \cdot \abs{K}}{\abs{z^{-1}Hz \cap K}}$
+ \item 2. Beweis: $G$ operiert auf $G / K$ wie üblich, also auch $H$ durch Einschränkung. $HzK$ ist die Vereinigung der Nebenklassen, die in $\lsup{H}{zK}$ liegen. Daher ist $\abs{HzK} = \abs{K} \cdot $ Bahnlänge $\abs{\lsup{H}{zK}}$. Nun ist $\Stab_H(zK) = \set{h \in H \mid hzK = zK}$. Aber $hzK = zK \Leftrightarrow z^{-1}hz = k \in K \Leftrightarrow h = zkz^{-1}$ ist $\exists k \in K$. \\
+  Also ist $\Stab_H(zK) = H \cap zKz^{-1} \mathop{\Rightarrow}\limits^{\text{1.3.7}} \abs{HzK} = \abs{K} [H : H \cap zKz^{-1}] = \frac{\abs{H}\cdot \abs{K}}{\abs{H \cap zKz^{-1}}}$
+ \end{enumerate}
+\end{bew}
+
+% \part{Lineare Gruppen}
+
+$F$ ist ein Körper, $n \in \N, G = \GL_n(F) \cong \Aut_F(V), v = F$-Vektorraum mit $\dim_F(V) = n$ \\
+$G = \set{A \in F^{n \times n} \mid \det A \neq 0} = $ volle lineare Gruppe. \\
+$SL_n(F) = \set{A \in F^{n \times n} \mid \det A = 1} = $ spezielle lineare Gruppe. \\
+$Z(G) = \set{\alpha \cdot E_{n \times n} | 0 \neq \alpha \in F}$ \\
+$Z(\SL_n(F)) = Z(G) \cap \SL_n(G)$, da $G = \SL_n(F) \cdot \set{\pmatr{XXX}}, Z(\SL_n(F)) = \set{ \alpha \cdot 1_G \mid 0 \neq \alpha \in F, \alpha^n = 1}$ \\
+$\PSL_n(F) = \SL_n(F) / Z(\SL_n(F)) = $ "`projektive spezielle lineare Gruppe"' \\
+\underline{Ziel:} $\Gamma = \PSL_n(F), \Gamma \neq \PSL_n(\GF(q))$ für $n = 2, q = 2, 3$ und $n = 3, q = 2$, dann ist $\PSL_n(F)$ einfach.
+
+\underline{Notation:} $\abs{F} = \GF(q) = \F_q$ Körper mit $q$ Elementen, $q = p^a, p$ Primzahl, $a \in N$. \\
+$G = \GL_n(q), \SL_n(F) = \SL_n(q), \PSL_n(F) = \PSL_n(q)$ \\
+$\abs{G} = \prod\limits_{k=1}^{n} (q^n - q^{k-1}) = (q^n-1)(q^n-q)(q^n-q^2)\ldots = q^{\frac{n(n-)}{2}} (q^n-1)(q^{n-1}-1)\ldots(q-1)$
+$\abs{\SL_n(q)} = \frac{\abs{\GL_n(q)}}{q-1}, \abs{\PSL_n(q)} = \frac{\abs{\SL_n(q)}}{\abs{ \alpha \mid \alpha^n = 1 \in F}} $
+
+\chapter{Basics und ... Zerlegung}
+
+\begin{satz} % 2.1.1
+$\abs{\GL_n(q)} = $ oben (Algebra)
+\end{satz}
+
+\begin{definition}
+$T := \set{ \text{Diagonalmatrizen in } G = diag(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \mid 0 \neq \alpha_i \in \F_q}, \abs{T} = (q-1)^n$, Standard (Split) "`Torus"' \\
+$B := \set{ A = \text{obere Dreiecksmatrizen in } G \mid \det A = \prod \alpha_i \neq 0}$, Standard "`Boreluntergruppe"' von $G$ \\
+Klar: $T \leq B \leq G$ "`Borus"', "`Torel"'; $A \in B \Rightarrow A^{-1} \in B; X, Y \in B \Rightarrow XY \in B$, also $B \leq G$. \\
+$U = \set{ A \in B \mid \text{Diagonaleinträge von $A$ sind 1}} \leq B$ \\
+$A \in B, X \in U: AXA^{-1} \in U \Rightarrow U \trianglelefteq B$
+\end{definition}
+
+\underline{Klar:} $U \cap T = (1_G)$. \\
+Sei $A = \in B \Rightarrow A \cdot \pmatr{A_{11}^{-1} & & 0 \\ & \ddots & \\ & & A_{nn}^{-1}} \in U$ \\
+d.h. $Y \in T, A \cdot Y = X \Rightarrow A = X \cdot Y^{-1}$. Also ist $B = U \cdot T$.
+
+\begin{definition}
+\begin{enumerate}[i)]
+ \item Eine Untergruppe von $G$, die konjugiert zu $B$ ist, heißt Boreluntergruppe von $G$.
+ \item Sei $\xi = (e_1, \ldots, e_n)$ natürliche Basis von $\F_q^n$, Für $\pi \in \sigma_n$ sei $\xi_{\pi} = (e_{\pi(1)}, \ldots, e_{\pi(n)})$. \\
+ Sei $E_{\pi} = m_{\id}(\xi, \xi_\pi) $ Basiswechselmatrix von $\xi$ nach $\xi_\pi$ \\
+ Beispiel: $\pi = (2,3,1): E_\pi = \pmatr{0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0} = $ Permutationsmatrix zu $\pi$. \\
+ Beachte: Matrix-Einheit: $e_{ij} = (\delta_{r s}) \in M_{n \times n}(\F_q) $ \\
+ $E_\pi = \sum\limits_{i=1}^n e_{\pi(i)i}$
+\end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+Eine Permutationsmatrix $A \in M_{n \times n}(F)$ ist eine Matrix, die in jeder Spalte und Zeile genauen einen von 0 verschiedenen Eintrag hat, der 1 ist. \\
+Sei $A$ Permutationsmatrix. Definiere $\pi: \set{1, \ldots, n} \rightarrow \set{1, \ldots, n}$ durch $\pi(i) = j \Leftrightarrow A_{\pi(i)j} = 1$.
+\end{definition}
+
+Also ist $\pi \mapsto E_\pi$ eine Bijektion von $\sigma_n$ in $W := \set{\text{Permutationsmatrizen}}$.
+
+Seien $\sigma, \pi \in \sigma_n$. Dann ist $E_\pi \cdot E_\sigma = (\sum_{i=1}^n e_{\pi(i)i}) (\sum_{j=1}^n e_{\sigma(j)j}) = \sigma_{i,j} e_{\pi(i)i} e_{\sigma(j)j}
+= \sum_{j=1}^{n} e_{\pi\sigma(j)j} = E_{\pi \sigma}$. \\
+Also ist $\pi \mapsto E_\pi$ ein Isomorphismus von $\sigma_n$ in $W$, insbesondere ist $W \leq G$, $W$ heißt "`Weylgruppe"' von $G$.
+
+\begin{satz} % 2.1.2 + 2.1.3
+Die Menge $W$ der Permutationsmatrizen in $G$ ist Untergruppe von $G$ und isomoprh zu $\sigma_n$
+\end{satz}
+
 
 \end{document}
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index 282d83b..ab2c813 100644
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+++ b/standard.tex
@@ -39,6 +39,7 @@
 \providecommand{\C}[0]{\mathbb{C}}
 \providecommand{\N}[0]{\mathbb{N}}
 \providecommand{\Z}[0]{\mathbb{Z}}
+\providecommand{\F}[0]{\mathbb{F}}
 \providecommand{\cO}[0]{\mathcal{O}}
 \providecommand{\cC}[0]{\mathcal{C}}
 
@@ -80,6 +81,10 @@
 \DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
 \DeclareMathOperator{\Out}{Out}
 \DeclareMathOperator{\Stab}{Stab}
+\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
+\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
+\DeclareMathOperator{\PSL}{PSL}
+\DeclareMathOperator{\GF}{GF}
 
 
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