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@@ -373,9 +373,143 @@ Jede $G$-Menge ist (eindeutig) disjunkte Vereinigung (direkte Summe) von transit
 \end{satz}
 
 \begin{satz} % 1.3.6
-Sei $X$ transitive $G$-Menge und $x \in X, H = Stab_G(x)$. Dann ist $X \cong G / H$ aus 1.3.1 Beispiel 4.)
+Sei $X$ transitive $G$-Menge und $x \in X, H = Stab_G(x)$. Dann ist $X \cong G / H$ ($ = G$-Menge der Nebenklassen von $H$ in $G$ durch Linkstranslation, siehe Beispiel 4. aus 1.3.1)
 \end{satz}
 
+\begin{bew}
+Definiere $\varphi: G/H \rightarrow X: gH \mapsto g x$ für $g \in G$.
+\begin{enumerate}[1.)]
+ \item $\varphi$ ist wohldefiniert: Denn sei $gH = fH \Rightarrow f^{-1}g \in H \Rightarrow f^{-1}gx = x$, da $H = Stab_G(x)$ ist $\Rightarrow gx = fx$
+ \item Umgekehrt gehts auch: Sei $fx = gx$ ($f, g \in G$) $\Rightarrow x = f^{-1}gx \Rightarrow f^{-1}g \in H \Rightarrow gH = fH$ Also ist $\varphi$ injektiv.
+ \item Wegen $G \cdot x = X$ ist $\varphi$ surjektiv.
+ \item Seien $a, g \in G:$ Dann ist $a \varphi(gH) = a(gx) = (ag)x = \varphi(agH)$, also ist $\varphi$ ein Isomorphismus von $G$-Mengen.
+\end{enumerate}
+\end{bew}
+
+\begin{korr} % 1.3.7
+$\abs{X} = \abs{G/H} = \left[G : H \right] $ \\
+\underline{Allgemein}: Sei $X$ $G$-Menge, $x \in X \Rightarrow \abs{Gx} = \abs{G : Sta_G(x)}$ (Bahngleichung)
+\end{korr}
+
+Wir haben jetzt is aus Isomorphie alle $G$-Mengen konstruiert, nämlich als disjunkte Vereinigunge (direkte Summen) von $G$-Mengen der Form $G/H$ mit $H \leq G$. \\
+\underline{Frage:} Sind $H, K \leq G$. Wann ist $G/H \cong G/K$ als $G$-Menge (unter Linkstranslation)?
+
+\begin{lemma} % 1.3.8
+Seien $X, Y$ $G$-Mengen, $\varphi:X \rightarrow Y$ Homomorphismus, und sei $x \in X$. Dann ist $\Stab_G(x) \leq \Stab_G(\varphi(x)$ \\
+Insbesondere: ist $\varphi$ ein Isomorphismus, so ist $\Stab_G(x) = \Stab_G(\varphi(x))$.
+\end{lemma}
+
+\begin{bew}
+$g \in G: gx = x \Rightarrow g (\varphi(x)) = \varphi(gx) = \varphi(x) \Rightarrow g \in \Stab_G(\varphi(x))$
+\end{bew}
+
+\begin{satz} % 1.3.9
+Seien $H, K \leq G$. Dann ist $G/H \cong G/K \Leftrightarrow H \mathop{=}_G K$ (d.h. $\exists g \in G: gKg^{-1} = H$).
+\end{satz}
+
+\underline{Bemerkung:} 1.3.6 + 1.3.9 liefert die Klassifikation der $G$-Mengen.
+
+\begin{bew}
+Sei $\varphi: G/H \rightarrow G/K$ ein Isomorphismus von $G$-Mengen,
+ $(\exists x \in G): varphi(1 \cdot H) = xK \Rightarrow \Stab_G(1 \cdot H) = H = \Stab_G(xK) = x\Stab_G(1\cdot K) x^{-1} = xKx^{-1}$. Also ist $H =_G K$. \\
+Umgekehrt ist $H =_G K$, etwa $K = x H x^{-1}$. Dann ist (nach 1.3.4) $K = \Stab_G(xH)$, und $G/K \cong G/H$ nach 1.3.6
+\end{bew}
+
+\begin{definition}
+Sei $k \in \N, X$ $G$-Menge. Dan heißt $X$ $k$-fach transitiv ($k$-trans.) falls gilt: Sind $x_1, \ldots, x_k \in X$ und $y_1, \ldots, y_k \in X$ jeweils beliebige aber paarweise verschieden, so gibt es $g \in G: y_i = g x_i \forall 1 \leq i \leq k$ \\
+(Klar: $G$ operiert auf $X^{\times k} = X \times \ldots \times X$ k-trans. $\Leftrightarrow G$ operiert auf $\set{ (x_1, \ldots, x_k) \in X^{\times k} \mid x_i \text{ paarweise verschieden}}$ transitiv. 1-transitiv = transitiv)
+\end{definition}
+
+\begin{satz} % 1.3.10
+Sei $X$ 2-transitive $G$-Menge, $x \in X$. Dann ist $\Stab_G(x)$ maximale Untergrupe von $G$.
+\end{satz}
+
+\begin{bew}
+2-transitiv $\Rightarrow X$ ist transitiv $\Rightarrow X \cong G/H$ für $H = \Stab_G(X)$. Angenommen, $H$ st nicht maximal in $G$. Sei $H < K < G, g \in G, g \notin K, k \in K, k \notin H$.
+Dann ist $kH \neq H, gH \neq H$. Wir hben also zwei Paare $(H, kH)$ und $(H, gH)$. 2-transitiv $\Rightarrow \exists f \in G: f \cdot (1 H) = (1 H), f (k H) = g H \Rightarrow f \in H \Rightarrow fk \in K
+\Rightarrow \exists h \in H: fk = gh \Rightarrow K = f k K = g h K = g K \Rightarrow g \in K$ Widerspruch!
+\end{bew}
+
+\begin{definition}
+Eine transitive $G$-Menge X heißt primitiv $\Leftrightarrow \forall x \in X: \Stab_G(x)$ maximale Untergruppe von $G$ ist.
+\end{definition}
+
+\begin{diagram}
+\text{2-transitiv} & \Rightarrow & \text{"`primitiv"'} & \Rightarrow & \text{transitiv} \\
+\Downarrow & & \Updownarrow & & \Updownarrow \\
+\text{Stab = max. Untergruppe} & & \text{Stab = max. Untergr.} & & \text{Stab = bel. Untergr.}
+\end{diagram}
+
+\begin{satz}
+Eine transitive $G$-Menge $X$ ist primitiv $\Leftrightarrow$ wenn gilt: Sei $Y \subsetneq X, \abs{Y} \geq 2$. Dann gibt es für alle $g \in G$ Elemente $y,z \in Y$ mit $gy \in Y, gz \notin Y$.
+\end{satz}
+
+\underline{Anwendungen:}
+\begin{satz} % 1.3.12
+Sei $G$ endlich, $H, K \leq G$. Es gilt:
+$$ \abs{H \cdot K} = \frac{\abs{H} \cdot \abs{K}}{\abs{H \cap K}} $$
+\end{satz}
+
+\begin{bew}
+Sei $X = G/K$ eine $G$-Menge. Durch Einschränken ist $G/K$ auch $H$-Menge. \\
+Sei $H_K$ die Bahn von $K = 1\cdot K$ unter dieser $H$-Operation. \\
+Klar: $H_K = \set{hK \mid h \in H}, H K = \mathop{\cup}\limits_{h \in H} h K$. \\
+Also ist $HK$ die Vereinigung von $K$-Nebenklassen von $G$ mit Vertretern aus $H$. \\
+Also ist $\abs{HK} = \abs{\lsup{H}{K}} \cdot \abs{K}$. Nach 1.3.7 ist $\abs{\lsup{H}{K}} = \abs{H : \Stab_H(K)}$ \\
+$\Stab_H(K) = \set{h \in H \mid hK = K} = K \cap H$. \\
+Also ist $\abs{HK} = \abs{K} \cdot \abs{\lsup{H}{K}} = \abs{K} \cdot \abs{H : \Stab_H(K)} = \abs{K} \cdot \abs{H : (H \cap K)} = \abs{K} \cdot \frac{\abs{H}}{\abs{H \cap K}}$
+\end{bew}
+
+\underline{Konjugationsop:} $\abs{G} = n \in \N, 1 = g_1, g_2, \ldots, g_k$ seien Vertreter der Konjugationsklassen von $G$. \\
+$\cC_i := \lsup{G}{g_i} = \set{g g_i g^{-1} \mid g \in G}$ Bahn \\
+$C_i = \Stab_G(g_i) = C_G(g_i) = \set{h \in G \mid h g_i = g_i h} \leq G$ \\
+
+\begin{satz} % 1.3.13
+\underline{Klassengleichung:} Sei $\abs{G} = n$. \\
+$ n = 1 + \sum_{i=2}^{k} \abs{G : C_i} = \abs{Z(G)} + \sum\limits_{i=1,\ldots,k, g_i \notin Z(G)} \abs{G : C_i} $
+\end{satz}
+
+\begin{bew}
+Ohne Einschränkung: $Z(G) = \set{g_1, \ldots, g_l}, 1 \leq l \leq k \Rightarrow C_i = G \forall i = 1, \ldots, l, \cC_i = \set{g_i}$ \\
+Mit 1.3.7 $\mathop{\Rightarrow}\limits_{i=1, \ldots, k} \abs{\lsup{G}{g_i}} = \abs{\cC_i} = [G:C_i] = [G:\Stab_G(g_i)]$
+\end{bew}
+
+\begin{definition}
+Sei $G$ endliche Gruppe, $G^1 = [G, G]$. Definiere $D^{i}(G) (i \in \N)$ durch
+\begin{enumerate}
+ \item $D^1(G) = G^1$
+ \item $i > 1: D^i(G) = [D^{i-1}(G), D^{i-1}(G)]$
+\end{enumerate}
+Klar: $D^i(G) \trianglelefteq D^{i-1}(G)$ und $D^{i-1}(G)/D^i(G)$ abelsch. \\
+$G$ heißt auflösbar, falls $D^k(G) = (1)$ für ein $k \in \N \Leftrightarrow \exists (1) = N_1 \leq N_2 \ldots \leq N_m = G$ mit $N_i \trianglelefteq N_{i+1}$ und $N_{i+1}/N_i$ abelsch (zyklisch, zyklisc von Primzahlordnung nach Korrespondenzsatz). \\
+Kann man zusätzlich $N_i$ so wählen, dass $N_i \trianglelefteq G$ ist, so heißt $G$ Überauflösbar ("`supersolvable"'). \\
+$N \trianglelefteq G$: mit $N$ auflösbar, $G/N$ auflösbar $\Leftrightarrow G$ auflösbar.
+\end{definition}
+
+Sei $Z_i(G)$ induktiv durch folgendes definiert:
+\begin{enumerate}[i)]
+ \item $Z_1(G) = Z(G) \trianglelefteq G$ (charakteristisch)
+ \item $Z_2(G)$ ist volles Urbild von $Z(G/Z(G))$ in $G$ unter natürlicher Projektion $G \rightarrow G/Z(G)$. \\
+  Beachte: Nach Korrespondenzsatz (1.2.10) gilt: $Z_2(G) \trianglelefteq G$. \\
+  ($Z_2(G) = \set{g \in G \mid g Z(G) \in Z(G/Z(G)) }$)
+ \item $i > 1: Z_i(G)$ ist volles Urbild von $Z(G/Z_{i-1})$ in $G, Z_i(G) \trianglelefteq G$.
+\end{enumerate}
+Haben: $(1) = Z_1(G) \trianglelefteq Z_2(G) \trianglelefteq \ldots \trianglelefteq Z_i(G) \trianglelefteq \ldots$ \\
+$Z_i(G) / Z_{i-1}(G)$ abelsch, $Z_i(G) \trianglelefteq G$. (Beweis: Übung) \\
+$G$ heißt nilpotent, falls $\exists k \in \N: Z_k(G) = G$. \\
+\underline{Beachte:} nilpotent $\Rightarrow$ überauflösbar $\Rightarrow$ auflösbar
+
+\begin{korr} % 1.3.14
+Sei $G$ eine $p$-Gruppe, $p$ Primzahl (d.h. $\exists t \in \N: \abs{G} = p^t$), Dann ist $\abs{Z(G)} > 1$. \\
+Insbesondere ist $G$ nilpotent.
+\end{korr}
+
+\begin{bew}
+$x \in G, x \notin Z(G) \Rightarrow C_G(x) \lneq G \Rightarrow [G : C_G(x)]$ wird von p geteilt. \\
+Klassengleichung: $\abs{G} = p^t = \abs{Z(G)} + \sum\limits_{i=l+1}^k \abs{G : C_G(g_i)}$ \\
+$p$ teilt $\abs{G : C_G(g_i)} \Rightarrow p $ teilt die Summe $\Rightarrow p $ teilt $ \abs{Z(G)}$. \\
+Rest: Übung.
+\end{bew}
 
 
 \end{document}
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 %%
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