$\Rightarrow(\hat{C_1}, \ldots, \hat{C_m})$ ist $\C$-Basis von $Z(\C G)\Rightarrow\dim_{\C}(Z(\C G))= m =$ Anzahl der Konjugationsklassen $= r =$ Anzahl der irreduziblen $\C G$-Moduln.
Definition: Sei $\varphi: \C G \rightarrow\End_{\C}(M)$ Darstellung, $\dim_{\C} M < \infty$. Dann heißt die Abbildung $\chi_M =\chi_{\varphi}: G \rightarrow\C: g \mapsto\tr(\varphi(g))$ ("`gewöhnlicher"') Charakter zur Darstellung $\varphi$.
$\Rightarrow\chi_M(g)=\tr(\tilde{\varphi}(g))=\tr(\tilde{\psi}(g))\forall g \in G$
Beispiel:
\begin{enumerate}[i)]
\item Sei $M =\C_G$ triviale $\C G$-Modul, d.h. $(\sum\lambda_g g) z =(\sum\lambda_g) z, ~~ (\lambda_g, z \in\C)$\\
$\chi_M: g \rightarrow1\in\C$
\item Sei $\Omega$ eine transitive $G$-Menge, $M_\Omega=$ zugehöriger $\C G$-Modul. \\
Ohne Einschränkung $\Omega=\set{1, \ldots, n}$, $G \rInto\sigma_n \cong W \leq GL_n(\C)$\\
Sei $P_\pi=$ Permutationsmaatrix zu $\pi\in\sigma_n, \tr(P_\pi)=\abs{\set{i \in\set{1, \ldots, n}\mid\pi(i)= i}}$. \\
$\tr(g)=\abs{\set{w \in\Omega\mid gw = w}}$
Spezialfall: $M =\lsub{\C G}{\C G}$. \\
Sei $\chi_M$ zugehöriger Charakter. \\
$\chi_M(g)=\abs{\set{x \in G \mid gx = x}}=\left\{\matr{0&\text{für } g \neq1\\\abs{G}&\text{für } g =1}\right.$
\item Sei $\chi: G \rightarrow\C$ Charakter zum $\C G$-Modul $M$. \\
$\chi(1)=\dim_{\C} M$.
\end{enumerate}
Bezeichnung: Seien $S_1, S_2, \ldots, S_r$ die verschiedenen irreduziblen $\C G$-Moduln, wobei $S_1$ der triviale $\C G$-Modul ist. Wir bezeichnen
den Charakter $\chi_{S_i}$ des $i$-ten $\C G$-Modules mit $\chi_i (i =1, \ldots, r)$\\
$\Irr(G)=\set{\chi_1, \ldots, \chi_r}$. \\
Die $\chi_i$ heißen irreduzible Charaktere. \\
Sei $f_i =\dim_\C S_i: \C G =\bigoplus\limits_{i=1}^r M_{f_i \times f_i}(\C)$\\
Bemerkung: Ist $\dim_\C M =1$ (z.Bsp. $S_1$), so spricht man von einem linearen Charakter, denn $\chi_M : G \rightarrow\C^\ast$ ist Gruppenhomomorphismus.
6.1.4 Satz: Sei $U \in\lsub{\C G}{\Mod}, \rho: G \rightarrow\GL_\C(U)\subseteq\End_\C(U)$ zugehörige Darstellung. Sei $g \in G, \abs{g}= n$. \\
Dann gilt:
\begin{enumerate}[i)]
\item$\rho(g)\in\End_{\C}(U)$ ist diagonalisierbar
\item$\chi_U(g)=$ Summe (mit Vielfachheiten) der Eigenwerte von $\rho(g)$ (LAAG 2: Jordansche NF)
\item$\chi_U(g)=$ Summe von $\chi_U(1)=\dim_\C U$ vielen $n$-ten Einheitswurzeln.
\item[v)]$\Rightarrow\abs{\chi_U(g)}=\chi_U(1)\Leftrightarrow$ ale Eigenwerte von $\rho(g)$ sind 1 $\Leftrightarrow\rho(g)=\id_U \Leftrightarrow g \in\ker\rho_U \trianglelefteq G$. \\
$\rho_U: G \Aut_\C(U)$
\end{enumerate}
Erinnerung: $\C^G =\set{\alpha : G \rightarrow\C}$ ist $\C$-Algebra mit Addition $(\alpha_1+\alpha_g)(g)=\alpha_1(g)+\alpha_2(g), (\alpha_1\cdot\alpha_2)(g)=\alpha_1(g)\cdot\alpha_2(g)$ und
$(\lambda\alpha)(g)=\lambda(\alpha(g))$. \\
Menge Der Charaktere von $G \subseteq\C^G$.
6.1.5 Lemma: $(\chi_1, \ldots, \chi_r)$ ist linear unabhängig in dem $\C$-Vektorraum $\C^G$. \\
Beweis: $\C G \cong M_{f_1\times f_1}(\C)\oplus\ldots\oplus M_{f_r \times f_r}(\C)$, $S_i=$ der eindeutig bestimmte irreduzible $G$-Modul im Block $M_{f_i \times f_i}(\C)$. \\
Sei $e_i =$ Einselement von $M_{f_i \times f_i}(\C)$ (also $e_i =((0)_{f_1\times f_1}, \ldots, (0)_{f_{i-1}\times f_{i-1}}, (1)_{f_i \times f_i}, (0)\ldots)$) Idemp. von $\C G$. \\
Seien $\chi_1, \ldots, \chi_r$ die zu $S_i$ gehörenden Charaktere von $G$. \\
Wir können $\chi_i$ linear zu einer lineare Abbildung vn $\C G$ nach $\C$ ausdehnen: $\chi_i \in\Hom_\C(\C G, \C)=\C G^\ast$, d.h.für $a =\sum\limits_{g\in G}\alpha_g g \in\C G$
ist $\chi_i(\alpha)=\sum\limits_{g \in G}\alpha_g \chi_i(g)\in\C$. \\
Beachte: Auf $S_i$ operiert $e_i$ wie die Eins. D.h. $\chi_i(e_i)=\dim_\C(S_i)= f_i$ und $\chi_j(e_i)=0$ für $i \neq j$. \\
Seien $\lambda_1, \ldots, \lambda_r \in\C$ so, dass $\sum\limits_{j=1}^r \lambda_j \chi_j =0$ ist. Dann ist für $1\leq i \leq r: 0=\sum\limits_{j=1}^r \lambda_j \chi_j)(e_i)=\lambda_i \chi_i(e_i)\Rightarrow\lambda_i =0\forall i$. Also sind $(\chi_1, \ldots, \chi_r)$ linear unabhängig.
6.1.6 Lemma: $U, V \in\lsub{\C G}{\Mod}$ endlich erzeugt. Dann $\chi_{U \oplus V}=\chi_U +\chi_V$\\
Beachte: Sind $g, h \in G$ konjugiert, $\chi$ Charakter von $G \Rightarrow\chi(g)=\chi(u)$,
denn $g, h$ konjugiert $\Rightarrow\exists x \in G: g = xhx^{-1}\Rightarrow\chi(g)=\chi(xhx^{-1})=\chi((hx^{-1})x)=\chi(h)$,
d.h. $\chi$ ist konstant auf Konjugationsklassen von $G$. \\
Abbildung $\alpha: G \rightarrow\C(\alpha\in\C^G)$ heißen \underline{Klassenfunktionen}, wenn $\alpha(g)=\alpha(h)$ falls $g, h$ konjugiert sind.
Wir haben gezeigt: $\chi_1, \ldots, \chi_r$ sind $r$ viele linear unabhängig Klassenfunktionen in $\C^G$. \\
Definiere: $C_1, \ldots, C_r$ seien die Konjugationsklassen auf $G$. Für $1\leq i \leq r$ sei $\epsilon_i: g \mapsto\left\{\matr{1&\text{falls } g \in C_i\\0&\text{sonst}}\right.$\\
Klar: $\set{\epsilon_1,\ldots, \epsilon_r}$ linear unabhängig in der Unteralgebra der Klassenfunktionen. \\
Sei $\alpha: G \rightarrow\C$ Klassenfunktion, mit $\alpha(g)=\alpha_i \in\C$ für $g \in C_i \Rightarrow\alpha=\alpha_1\epsilon_i +\ldots+\alpha_r \epsilon_r$
Folgerung: $\set{\chi_1, \ldots, \chi_r}$ ist Basis der $\C$-Algebra der Klassenfunktionen auf $G$.
Bemerkung: Sei $M \in\lsub{\C G}{\Mod}$ endlich erzeugt $\Rightarrow\exists\nu_1, \ldots, \nu_r \in\N_0$ so, dass $M = S_1^{\oplus\nu_1}\oplus\ldots\oplus S_r^{\oplus\nu_r}$