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@@ -21,7 +21,9 @@
 
 \chapter{Unknown}
 
-\chapter{Gruppenkonstruktionen und Automorphismen}
+\section{Unknown}
+
+\section{Gruppenkonstruktionen und Automorphismen}
 
 \begin{definition}
 Sei $X$ eine Menge. Die Freie Gruppe $\F X$ über X wird wie folgt konstruiert: \\
@@ -221,7 +223,7 @@ $D_{2n}$ ist die Gruppe der Symmetrien eines regelmäßigen $n$-Ecks; $C_n \tria
 $D_{2n} = < x, y \mid x^n = y^2 = 1, yxy = x^{-1} >$
 \end{bsp}
 
-\chapter{Operationen von Gruppen auf Mengen}
+\section{Operationen von Gruppen auf Mengen}
 
 Im folgenden sei: $G = $ Gruppe, $X = $ Menge, $\sigma_X = \set{ f : X \rightarrow X \mid f \text{bij. Abb.}} = $ "`symmetrische Gruppe auf X"'.
 
@@ -1097,12 +1099,111 @@ Beachte $K \trianglelefteq G$, also besitzt $K$ eine Kompositionsreihe $K = K_0
 $G_1 > K_0 > K_1 > \ldots > K_t = (1)$ ist Kompositionsreihe von $G$ der Länge $t+1$, die nach Induktionsvoraussetzung äquivalent zu $G_1 > G_2 > \ldots > G_r$ ist, und $t+1=r-1$, analog $t+1=s-1$, also $r = s$. \\
 Wegen $G/G_1 \cong H_1/K$ und $G/H_1 \cong G_1/K$ sind die ursprünglichen Kompositionsreihen äquivalent.
 
-Beispiele:
+4.1.7 Beispiele:
 \begin{enumerate}[i)]
  \item $\Omega = \emptyset$, Kompositionsreihen sind Subnormalketten $G = G_0 > G_1 > \ldots > G_r = (1)$ mit $G_{i+1} \trianglelefteq G_i$ und $G_i/G_{i+1}$ einfache Gruppe.
  \item $M$ ist $R$-Module, $R = K$-Algebra, $\dim_K(M) < \infty \Rightarrow M $ hat Kompositionsreihe.
- \item $G$ ist $\Omega$-Gruppe mit $\Omega = \Inn(G)$ ($\Aut(G)$?)
+ \item $G$ ist $\Omega$-Gruppe mit $\Omega = \Inn(G), G = G_0 > \ldots > G_r = (1)$ mit $G_i \trianglelefteq G$ und $G_i/G_{i+1}$ einfache Gruppe ("`Normalreihe"', Hauptreihe mit Hauptfaktoren $G_i/G_{i+1}$)
+ \item $R = \text{Ring} \ni 1, G = (R, +), \Omega = R$ operiert durch Linksmultiplikation. Kompositionsreihe: $R = R_0 > \ldots > R_r = (0)$, $R_i$ Linksideale von $R_1$, $R_i/R_{i+1}$ einfacher $R$-Modul.
+ \item $R = \text{Ring} \ni 1, M = $ abelsche Gruppe, $R$-Linksmodul. $M = M_0 > \ldots > M_r = (0)$ mit $M_i/M_{i+1}$ irreduzibler $R$-Modul.
 \end{enumerate}
 
+Beachte: Ist $G = G_0 > G_1 > \ldots > G_r$ eine Hauptreihe für $G$, so ist $G_i/G_{i+1}$ minimaler Normalteiler von $G/G_{i+1}$ (Korrespondenzsatz)
+
+4.1.8 Satz: Ein minimaler Normalteiler einer endlichen Gruppe $G$ ist direktes Produkt von Kopien einer einzigen einfachen Gruppe. \\
+Beweisidee: Sei $(1) \neq N \trianglelefteq G, N \neq G$ minimaler Normalteiler von $G$. Ist $N$ einfachh, so sind wir fertig. \\
+Sei $N$ nicht einfach und sei $(1) \neq N_1$ maximaler echter Normalteilervon $N$. Seien $N_1, \ldots, N_k$ die verschiedenen $G$-konjugierten von $N_1$ ($N_i = g_i N g_i^{-1}$ für ein $g_i \in G$).
+Nun ist $g_i N_1 g_i^{-1} \subseteq g_i N g_i^{-1} = N \Rightarrow N_1, \ldots, N_k \leq N$. Es gilt also $N_i \trianglelefteq N$ \\
+Man kann zeigen, dass alle $N/N_i$ isomorph und einfach und $N \cong $ direktes Produkt eines Teils der $N/N_i$. (Details Übung)
+
+4.1.9 Satz: Endliche Gruppen besitzen eine Hauptreihe (Kompositionsreihe mit $\Omega = \Inn(G)$). Jeder Hauptfaktor ist minimale normale Untergruppe einer Faktorgruppe von $G$ und
+daher direktes Produkt von Kopien einer einfachen Gruppe. \\
+Beweis: Sei $G$ endliche Gruppe. Induktion über $\abs{G}$. $\abs{G} = 1$ trivial. \\
+Ist $(1) \neq G$ und $G$ einfach, so ist $G > (1)$ eine Hauptreihe. \\
+Sei also $G$ nicht einfach und $N \neq (1)$ minimaler Normalteiler von $G$. Nach Induktion besitzt $G/N$ eine Hauptreihe $G/N = G_0/N > G_1/N > \ldots > G_r/N = (1)$ mit $G_i$ = volles Urbild von $(G/N)_i$ in $G$
+$\Rightarrow G = G_0 > G_1 > \ldots > G_r = N > G_{r+1} = (1)$ ist Hauptreihe für $G$. \qed
+
+Übung: Sei $G$ Gruppe. Hat $G$ eine Kompositionsreihe ($\Omega = \emptyset)$, so auch eine Hauptreihe ($\Omega = \Inn(G)$).
+
+\chapter{Lineare Darstellung}
+
+\section{Grundlagen}
+
+\paragraph{Gruppenalgebren}
+
+Alle Ringe haben Einselement $1 = 1_R$, aber sind nicht notwendigerweise kommutativ.
+
+Bekannt: Unterring, Rechts-/Linksideale ($\Reid, \Liid$), Ideale, Ringhomomorphismen, $\ker$, $\im$, Faktorringe, Isosätze \ldots
+
+$K = $ Körper: Selbe Liste für $K$-Algebren.
+
+Allgemein: $\Lambda =$ kommutativer Ring $\ni 1$, Eine $\Lambda$-Algebra is ein Ring $R$ mit Einselement zusammen mit einem einserhaltenden Ringhomomorphsimus $f$ von $\Lambda \rightarrow Z(R) = \set{r \in R | rs = sr \forall s \in R}$, $Z(R)$ ist immer ein Unterring von $R$, $1_R \in Z(R)$, so dass gilt: \\
+(Wir schreiben $\Lambda r$ statt $f(\Lambda)r$ für $\lambda \in \Lambda. r \in R$) \\
+$\lambda r = r \lambda \forall r \in R$ ($f$ nicht notwendigerweise injektiv) \\
+Beachte: $\overline{f}: \Lambda/\ker f \rightarrow Z(r)$ ist injektiv, d.h. $R$ ist $\overline{\Lambda}$-Algebra mit $\overline{\Lambda} = \Lambda / \ker f$
+
+Beachte:
+\begin{enumerate}[i)]
+ \item Jeder Ring ist $\Z$-Algebra durch $z \mapsto z \cdot 1_R$.
+ \item Unterringe einer $\Lambda$-Algebra sind nicht notwendigerweise Uneralgebren, aber Rechtsideale und Linksideale sind es. Nicht jeder Ringhomomorphsimus zwischen $\Lambda$-Algebren ist Algebra Homomorphismus (auch $\Lambda$-linear).
+\end{enumerate}
+
+Beispiele:
+\begin{enumerate}[i)]
+ \item $K^{n \times n}, \End_K(V), V = K$-Vektorraum
+ \item Auf $R = \C^2$ definieren wir eine Multiplikation durch $(\alpha, \beta)(\gamma, \delta) = (\alpha \gamma + \beta \delta, \alpha \delta + \beta \gamma)$ \\
+  Übung: $R$ ist 2-dimensionale kommutative $\C$-Algebra. $\C$-Basis: $\set{e := (1,0), a := (0,1)}$ \\
+  $e \cdot e = (1,0)(1,0) = (1,0) = e, a \cdot e = e \cdot a = (0, 1) = a, a \cdot a = (1,0) = e$ \\
+  $(\set{e, a}, \cdot) = C_2$
+\end{enumerate}
+
+5.1.1 Definition: $\Lambda = $ kommutativer Ring $\ni 1$, $A = \Lambda$-Algebra, so dass gilt:
+\begin{enumerate}[i)]
+ \item Als $\Lambda$-Modul ist $A$ frei mit einer Basis $\cB$ so dass gilt:
+ \item $(\cB, \cdot) \cong G$ = Gruppe
+ \item Dann heißt $A$ Gruppenalgebra über $\Lambda$ der Gruppe $G$ und wird mit $\Lambda G$ bezeichnet.
+\end{enumerate}
+
+Fragen:
+\begin{enumerate}[i)]
+ \item $G$ Gruppe, $\Lambda =$ kommutativer Ring $\ni 1$ \\
+   Gibt es eine Gruppenalgebra $\Lambda G$?
+ \item Gibt es genau eine Gruppenalgebra $\Lambda G$ Ja (trivial)
+ \item Bestimmt die Gruppenalgebra die Gruppe $G$, d.h. ist $\Lambda G \cong \Lambda H \Rightarrow G \cong H$? Nein! \\
+   $\abs{G} < \infty$. Klar $\abs{G} = \abs{H}$. \\
+   $\Lambda = \C$: Viele Gegenbeispiele: $\C D_8 \cong \C Q_8$, \ldots \\
+   $\Lambda = \Z$ (Highman, $\sim$ 1930) Vermutung: $\Z G \cong \Z H \Rightarrow G \cong H$? Nein, Gegenbeispiel: \\
+   $\abs{G} = \abs{H} = 2^21 \cdot 97^28$ (?) (Hertweck) \\
+   Es gibt kleinere! (aber nicht sehr viel kleinere)
+\end{enumerate}
+
+5.1.3 Konstruktion von $\Lambda G$: Die Gruppenalgebra $\Lambda G$ ist als $\Lambda$-Modul der freie $\Lambda$-Modul über der Menge $G$, d.h.
+$\Lambda G = \set{ \sum_{g \in G} \alpha_g g \mid \alpha_g \in \Lambda, \text{ fast alle }\alpha_g = 0}$ \\
+$(\sum \lambda_g g) + (\sum \mu_g g) = \sum (\lambda_g + \mu_g) g$ \\
+$\beta (\sum \lambda_g g) = \sum (\beta \lambda_g)g$ \\
+$(\sum \alpha_g g)(\sum \beta_h h) = \sum_{g,h} \alpha_g \beta_h (g \cdot h) = \sum_x (\sum_{gh=x} \alpha_g \beta_h) x = \sum_x (\sum_g \alpha_g \beta_{g^{-1}x}) x$
+
+5.1.4 Satz: Seien $\Lambda$, G, $\Lambda G$ wie oben beschrieben. Dann $\Lambda G$ assoziative $\Lambda$-Algebra mit Einselement $1_{\Lambda G} = \sum \alpha_g g$ mit $\alpha_g = 1$ für $g=1$ und sonst $0$. ($\alpha_g = 1_G$). Durch $g: \mapsto \sum_h a_h h$ mit $a_h = 1$ für $h = g$ und 0 sonst wird $G$ in $\Lambda G$ eingebttet und bildet eine $\Lambda$-Basis von $\Lambda G$.
+Beweis: Trivial.
+
+Andere Notation: $\sum \alpha_g g \mapsto $ Abbildung $G \rightarrow K: g \mapsto \alpha_g \in \Lambda$ mit $\alpha_g = 0$ für fast alle $g$. \\
+$\Lambda G = \set{f \ in \Lambda^G \mid f(g) = 0 \text{ für fast alle } g \in G}$ \\
+$x, y \in \Lambda G \subseteq \Lambda^G:$ Für $g \in G$ ist $(x+y)(g) = x(g) + y(g), (\lambda x)(g) = \lambda x(g), (xy)(g) = \sum_h x(h)y(h^{-1}g)$ "`Faltung"' \\
+Erinnerung: $A = \Lambda$-Algebra, $M = A$-Linksmodul, d.h. $(M, +)$ ist abelsche Gruppe mit binärer Operation von $A \times M \rightarrow M: (a, m) \mapsto am$ mit $1_A m= m, (ab)m = a(bm), a(m+n) = am+an, (a+b)m = am + bm \forall a,b \in A, m,n \in M$
+
+$A^{mod} = $ Klasse der $A$-Linksmoduln, $\lsup{mod}{A} = $ Klasse der Rechtsmoduln.
+
+Definition: $G=$ Grupoe, $K=$ Körper. Eine (lineare)-Darstellung von $G$ vom Grad $n$ ist ein Homomorphismus $\rho: G \rightarrow \GL_n(K)$
+lineare Darstellung von $G$ über dem $K$-Vektorraum $V$ ist ein Homomorphismus $\varphi: G \rightarrow \Aut_k(V)$.
+
+Klar: 
+\begin{diagram}
+G & \rightarrow^\varphi & \Aut_K(V) & \rightarrow^{\sim}_{\text{Wahl der Basis}} & \GL_n(K) \\
+\downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\
+KG \rightarrow \End_K(V) \rightarrow^{\sim}_{\text{Wahl der Basis}} & M_{n \times n}(K) \\
+\end{diagram}
+
+Für eine $K$-Algebra $A$ ist eine Darstellung von $A$ ein $K$-Algebra-Homomorphismus $A \rightarrow \End_K(V) \cong M_{n \times n}(K) (\dim_K V = n)$ \\
+Sei $\varphi: KG \rightarrow \End_K(V)$ Darstellung. Dan wird $V$ zum $KG$-Modul durch $x \cdot m = (\varphi(x))(m)$ für $y \in KG$ und $m \in V$.
 
 \end{document}
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-\def\thesection{Aufgabe \arabic{section}}
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 %%
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