\input{standard}

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\subject{Mitschrieb der Vorlesung}
\title{Darstellungstheorie I}
\author{Wintersemester 2009/10 \\ Prof. Dr. Richard Dipper}
\publishers{Mitgeschrieben von Stefan Bühler}

\providecommand{\F}[1]{\mathcal{F}_{#1}}
\newcommand{\lsup}[2]{\ensuremath{\sideset{^{#1}}{}{\mathop{#2}}}}

\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents

\chapter{Unknown}

\chapter{Gruppenkonstruktionen und Automorphismen}

\begin{definition}
Sei $X$ eine Menge. Die Freie Gruppe $\F X$ über X wird wie folgt konstruiert: \\
Ein Wort in $\F X$ besteht aus einer endlichen Folge
$$ x_1^{\varepsilon_1} x_2^{\varepsilon_2} \ldots x_k^{\varepsilon_k}, k \leq 0, \varepsilon_i \in \set{-1, 1}, x_i \in X $$
Das leere Wort ($k = 0$) wird als $1$ notiert. \\
Ist für ein $1 \leq i < k$ in einem Wort $x_i = x_{i+1}$ und $\varepsilon_i = - \varepsilon_{i+1}$, so können wir dieses Wort verkürzen, in dem wir
$x_i^{\varepsilon_i} x_{i+1}^{\varepsilon_{i+1}}$ entfernen. \\
Wörter, die nicht mehr verkürzt werden können, heißen unverkürzbar. \\
Der transitive, symmetrische und reflexive Abschluss des "`Kürzens"' definiert eine Äquivalenzrelation; $\F X$ ist als die Gruppe mit der Menge der
Äquivalenzklassen dieser Relation definiert, wobei die Multiplikation durch Konkatenation der Vertreter definiert wird. \\
Zwei Wörter sind also äquivalent, wenn man durch Kürzen und Erweitern des einen Wortes das andere erhält. \\
$\F X$ ist Gruppe mit folgender universeller Eigenschaft: \\
\parbox{5cm}{
\begin{diagram}
X & \rInto^{i}         & \F X \\
  & \rdTo_{\forall f}  & \dDashto_{\exists ! \hat{f}} \\
  &                    & G
\end{diagram}
}, so dass $\hat{f} \circ i = f$ und $\hat{f}$ Gruppenhomomorphismus.

\end{definition}

\begin{definition}
Man kann das freie Produkt $G \ast H$ über den Gruppen G und H als Wörter über dem Alphabet $G \cup H$ definieren. \\
Das freie Produkt hat folgende universelle Eigenschaft: \\
Sei $\varphi: G \times H \to A$, $G, H, A$ Gruppen, $\varphi_{\mid G \times \set{1_H}}$ und $\varphi_{\mid \set{1_G} \times H}$ jeweils ein Gruppenhomomorphismus, $i: (g,h) \mapsto gh$: \\
\parbox{5cm}{
\begin{diagram}
G \times H & \rInto^{i}         & G \ast H \\
  & \rdTo_{\forall\varphi}    & \dDashto_{\exists ! \hat{\varphi}} \\
  &                    & A
\end{diagram}
}, so dass $\hat{\varphi} \circ i = \varphi$ und $\hat{\varphi}$ Gruppenhomomorphismus.
\end{definition}

\begin{definition}
Gruppen mit Erzeugenden und Relationen: $X$ eine Menge, $S \subseteq \F X$ "`Relationen"'. \\
% Dann ist $N := < \sideset{^{\F X}}{}{\mathop{S}} >$
Dann ist $N := < \lsup{\F X}{S} >$ die normale Hülle von $S$. \\
$G = \F X / N$ die Gruppe, die von $X$ mit den Relationen $S$ erzeugt wird; $G := < X \mid S >$.
\end{definition}


Beispiele:
\begin{enumerate}[i)]
 \item Sei $n \in \N, C_n = \set{ 1, g, \ldots, g^{n-1} } = < x | x^n = 1 >$ \\
   Bem: $\abs{X} \leq 1 \Leftrightarrow \F X $ ist kommutativ; $\F X \cong \Z \Leftrightarrow \abs{X} = 1$
 \item $\sigma_n = < \set{s_i \mid 1 \leq i < n} \mid s_i s_j = s_j s_i \text{ für } \abs{i-j} \leq 2, s_i^2 = 1, s_i s_{i+1} s_i = s_{i+1} s_i s_{i+1} > $

Beachte: \\
$ T \leq S \leq \F X \Rightarrow U := < \lsup{\F X}T > \leq < \lsup{\F X}S > =: V $ \\
$ \mathop{\Longrightarrow}{\text{1. Iso Satz}} \exists \text{ Epimorphismus } \F X / U \twoheadrightarrow \F X / v $

 \item Die endlichen einfachenGruppen sind (durchweg?) von 2 Elementen erzeugt.
 \item Sei $G$ Gruppe. Wähle $X = G$, nach universeller Eigenschat $\exists !$ Epimorphismus $\F G \twoheadrightarrow G$ mit Kern $N \Rightarrow G = \F G / N$
\end{enumerate}

\begin{definition}
Seien $G, H$ Gruppen. Das direkte Produkt $G \times H$ ist das kartesische Produkt mit komponentenweiser Multiplikation.
\end{definition}



\end{document}
