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\input{standard}
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\usepackage{tikz}
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% \usetikzlibrary{automata}
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\usepackage[small,nohug,heads=vee]{diagrams}
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% \diagramstyle[labelstyle=\scriptstyle]
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\subject{Mitschrieb der Vorlesung}
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\title{Darstellungstheorie I}
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\author{Wintersemester 2009/10 \\ Prof. Dr. Richard Dipper}
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\publishers{Mitgeschrieben von Stefan Bühler}
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\providecommand{\F}[1]{\mathcal{F}_{#1}}
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\newcommand{\lsup}[2]{\ensuremath{\sideset{^{#1}}{}{\mathop{#2}}}}
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\begin{document}
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\maketitle
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\tableofcontents
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\chapter{Unknown}
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\chapter{Gruppenkonstruktionen und Automorphismen}
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\begin{definition}
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Sei $X$ eine Menge. Die Freie Gruppe $\F X$ über X wird wie folgt konstruiert: \\
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Ein Wort in $\F X$ besteht aus einer endlichen Folge
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$$ x_1^{\varepsilon_1} x_2^{\varepsilon_2} \ldots x_k^{\varepsilon_k}, k \leq 0, \varepsilon_i \in \set{-1, 1}, x_i \in X $$
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Das leere Wort ($k = 0$) wird als $1$ notiert. \\
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Ist für ein $1 \leq i < k$ in einem Wort $x_i = x_{i+1}$ und $\varepsilon_i = - \varepsilon_{i+1}$, so können wir dieses Wort verkürzen, in dem wir
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$x_i^{\varepsilon_i} x_{i+1}^{\varepsilon_{i+1}}$ entfernen. \\
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Wörter, die nicht mehr verkürzt werden können, heißen unverkürzbar. \\
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Der transitive, symmetrische und reflexive Abschluss des "`Kürzens"' definiert eine Äquivalenzrelation; $\F X$ ist als die Gruppe mit der Menge der
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Äquivalenzklassen dieser Relation definiert, wobei die Multiplikation durch Konkatenation der Vertreter definiert wird. \\
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Zwei Wörter sind also äquivalent, wenn man durch Kürzen und Erweitern des einen Wortes das andere erhält. \\
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$\F X$ ist Gruppe mit folgender universeller Eigenschaft: \\
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\parbox{5cm}{
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\begin{diagram}
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X & \rInto^{i} & \F X \\
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& \rdTo_{\forall f} & \dDashto_{\exists ! \hat{f}} \\
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& & G
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\end{diagram}
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}, so dass $\hat{f} \circ i = f$ und $\hat{f}$ Gruppenhomomorphismus.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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Man kann das freie Produkt $G \ast H$ über den Gruppen G und H als Wörter über dem Alphabet $G \cup H$ definieren. \\
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Das freie Produkt hat folgende universelle Eigenschaft: \\
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Sei $\varphi: G \times H \to A$, $G, H, A$ Gruppen, $\varphi_{\mid_{G \times \set{1_H}}}$ und $\varphi_{\mid_{\set{1_G} \times H}}$ jeweils ein Gruppenhomomorphismus, $i: (g,h) \mapsto gh$: \\
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\parbox{5cm}{
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\begin{diagram}
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G \times H & \rInto^{i} & G \ast H \\
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& \rdTo_{\forall\varphi} & \dDashto_{\exists ! \hat{\varphi}} \\
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& & A
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\end{diagram}
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}, so dass $\hat{\varphi} \circ i = \varphi$ und $\hat{\varphi}$ Gruppenhomomorphismus.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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Gruppen mit Erzeugenden und Relationen: $X$ eine Menge, $S \subseteq \F X$ "`Relationen"'. \\
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% Dann ist $N := < \sideset{^{\F X}}{}{\mathop{S}} >$
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Dann ist $N := < \lsup{\F X}{S} >$ die normale Hülle von $S$. \\
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$G = \F X / N$ die Gruppe, die von $X$ mit den Relationen $S$ erzeugt wird; $G := < X \mid S >$.
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\end{definition}
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Beispiele:
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\begin{enumerate}[i)]
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\item Sei $n \in \N, C_n = \set{ 1, g, \ldots, g^{n-1} } = < x | x^n = 1 >$ \\
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Bem: $\abs{X} \leq 1 \Leftrightarrow \F X $ ist kommutativ; $\F X \cong \Z \Leftrightarrow \abs{X} = 1$
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\item $\sigma_n = < \set{s_i \mid 1 \leq i < n} \mid s_i s_j = s_j s_i \text{ für } \abs{i-j} \leq 2, s_i^2 = 1, s_i s_{i+1} s_i = s_{i+1} s_i s_{i+1} > $
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Beachte: \\
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$ T \leq S \leq \F X \Rightarrow U := < \lsup{\F X}T > \leq < \lsup{\F X}S > =: V $ \\
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$ \mathop{\Longrightarrow}{\text{1. Iso Satz}} \exists \text{ Epimorphismus } \F X / U \twoheadrightarrow \F X / v $
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\item Die endlichen einfachenGruppen sind (durchweg?) von 2 Elementen erzeugt.
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\item Sei $G$ Gruppe. Wähle $X = G$, nach universeller Eigenschat $\exists !$ Epimorphismus $\F G \twoheadrightarrow G$ mit Kern $N \Rightarrow G = \F G / N$
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\end{enumerate}
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\begin{definition}
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Seien $G, H$ Gruppen. Das direkte Produkt $G \times H$ ist das kartesische Produkt mit komponentenweiser Multiplikation. \\
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$ G \cong \tilde{G} := G \times \set{1_H} \trianglelefteq G \times H \trianglerighteq \set{1_G} \times H =: \tilde{H} \cong H $ \\
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$ forall g \in \tilde{G}, h \in \tilde{H}: gh = hg \Rightarrow \tilde{G}\tilde{H} = \tilde{H}\tilde{G} = G \times H, \tilde{G} \cap \tilde{H} = \set{1_{G \times HJ}} $ \\
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$ \Rightarrow $ Wir müssen nicht zwischen exterem und internem Produkt unterscheiden. \\
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$ \abs{G \times H} = \abs{G} \abs{H} $
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\end{definition}
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Betrachte $H, N \leq G, N \trianglelefteq G \Rightarrow HN = NH, HN \leq G$ \\
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Sei zusätzlich $HN = G, H \cap N = \set{1}$ \\
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Sei $n \in N$. Wegen $nHn^{-1} = H$ ist $c_n: H \rightarrow H: h \mapsto \lsup n h = n h n^{-1}$ ein Automorphismus von $H$. \\
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$n \mapsto c_n$ ist Gruppenhomomorphismus $N \rightarrow \Aut(H)$.
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\begin{satz}
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Sei $g \in G, c_g: G \rightarrow G: h \mapsto \lsup g h$ Automorphismus von G. Die Menge $\Inn(G) := \set{ c_g \mid g \in G} \subseteq \Aut(G) $ ist Normalteiler von $\Aut(G)$. \\
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$\Out(G) := \Aut(G) / \Inn(G)$ (Gruppe der äußeren Automorphismen von G) \\
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Die Abbildung $c: G \rightarrow Aut(G): g \mapsto c_g$ ist Gruppenhomomorphismus mit Bild $\Inn(G)$ (klar) und $\ker c = Z(G) := \set{g \in G \mid gh = hg \forall h \in G} $ \\
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Also ist $G / Z(G) \cong \Inn(G)$
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\end{satz}
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\begin{bew}
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Sei $g, h_1, h_2 \in G$ \\
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$c_g(h_1 h_2) = g h_1 h_2 g^{-1} = g h_1 g^{-1} g h_2 g^{-1} = c_g(h_1) c_g(h_2)$ \\
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$c_{g^{-1}} \circ c_g (h) = g^{-1} g h g^{-1} g = 1 h 1^{-1} = c_1(h) = id_H $ \\
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Also ist $c_g$ bijektiv und daher Automorphismus von $G$.
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$c: g \rightarrow \Aut(G)$ ist Homomorphismus: \\
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$c_{g_1} \circ c_{g_2} (h) = g_1 g_2 h g_2^{-1} g_1^{-1} = g_1 g_2 h (g_1 g_2)^{-1} = c_{g_1 g_2} (h) $ \\
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\begin{align*}
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c_g = id_G & \Leftrightarrow c_g(h) = h \forall h \\
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& \Leftrightarrow g h g^{-1} = h \forall h \\
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& \Leftrightarrow g h = h g \forall h \\
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& \Leftrightarrow g \in Z(G) \\
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& \Rightarrow \ker c = Z(G)
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\end{align*}
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Da $\im c = \Inn(G)$ ist $\Inn(G) \leq \Aut(G)$. \\
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Sei $\varphi \in \Aut(G), g \in G$: Zu zeigen: $\varphi \Inn(G) \varphi^{-1} = \Inn(G) \Leftrightarrow \varphi c_g \varphi^{-1} \in \Inn(G) \forall g, \varphi$ \\
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$(\varphi c_g \varphi^{-1})(h) = \varphi(g \varphi^{-1}(h) g^{-1}) = \varphi(g) h \varphi^{-1}(g) = \varphi(g) h \varphi(g)^{-1} = c_{\varphi(g)}(h) \forall h \in G$ \\
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$ \Rightarrow \varphi c_g \varphi^{-1} = c_{\varphi(g)} \in \Inn(G)$ \\
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Also ist $\Inn(G) \trianglelefteq \Aut(G)$
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\end{bew}
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Beachte: Sei $N \leq G$. Dann ist $N \trianglelefteq G \Leftrightarrow c_g(N) = N \forall g \in G$ \\
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($\Rightarrow {c_g}_{\mid_N} \in \Aut(N)$. $c_g$ ist $\in \Inn(N) \Leftrightarrow \exists n \in N: c_g = c_n$)
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\begin{definition}
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Sei $H < G$. Dann ist $H$ charakteristisch in $G$, falls $\varphi(H) = H \forall \varphi \in Aut(G)$.\\
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Klar: $H$ char. in $G \Rightarrow H \trianglelefteq G$. \\
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Und: $H \mathop{\leq}\limits_\text{char.} N \mathop{\leq}\limits_\text{char.} G \Rightarrow H \mathop{\leq}\limits_\text{char.} G$
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\end{definition}
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Beispiel: \\
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$Z(G)$ ist char. in $G$: \\
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$\forall z \in Z(G), g \in G: \varphi(g)\varphi(z) = \varphi(gz) = \varphi(zg) = \varphi(z)\varphi(g) $ \\
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$\Rightarrow \varphi(z)G = G \varphi(z) $ \\
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$\Rightarrow \varphi(z) \in Z(G)$
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\end{document}
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