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\input{standard}
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\usepackage{tikz}
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% \usetikzlibrary{automata}
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\usepackage[small,nohug,heads=vee]{diagrams}
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% \diagramstyle[labelstyle=\scriptstyle]
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\subject{Mitschrieb der Vorlesung}
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\title{Darstellungstheorie I}
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\author{Wintersemester 2009/10 \\ Prof. Dr. Richard Dipper}
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\publishers{Mitgeschrieben von Stefan Bühler}
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\providecommand{\F}[1]{\mathcal{F}_{#1}}
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\newcommand{\lsup}[2]{\ensuremath{\sideset{^{#1}}{}{\mathop{#2}}}}
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\begin{document}
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\maketitle
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\tableofcontents
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\chapter{Unknown}
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\chapter{Gruppenkonstruktionen und Automorphismen}
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\begin{definition}
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Sei $X$ eine Menge. Die Freie Gruppe $\F X$ über X wird wie folgt konstruiert: \\
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Ein Wort in $\F X$ besteht aus einer endlichen Folge
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$$ x_1^{\varepsilon_1} x_2^{\varepsilon_2} \ldots x_k^{\varepsilon_k}, k \leq 0, \varepsilon_i \in \set{-1, 1}, x_i \in X $$
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Das leere Wort ($k = 0$) wird als $1$ notiert. \\
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Ist für ein $1 \leq i < k$ in einem Wort $x_i = x_{i+1}$ und $\varepsilon_i = - \varepsilon_{i+1}$, so können wir dieses Wort verkürzen, in dem wir
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$x_i^{\varepsilon_i} x_{i+1}^{\varepsilon_{i+1}}$ entfernen. \\
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Wörter, die nicht mehr verkürzt werden können, heißen unverkürzbar. \\
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Der transitive, symmetrische und reflexive Abschluss des "`Kürzens"' definiert eine Äquivalenzrelation; $\F X$ ist als die Gruppe mit der Menge der
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Äquivalenzklassen dieser Relation definiert, wobei die Multiplikation durch Konkatenation der Vertreter definiert wird. \\
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Zwei Wörter sind also äquivalent, wenn man durch Kürzen und Erweitern des einen Wortes das andere erhält. \\
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$\F X$ ist Gruppe mit folgender universeller Eigenschaft: \\
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\parbox{5cm}{
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\begin{diagram}
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X & \rInto^{i} & \F X \\
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& \rdTo_{\forall f} & \dDashto_{\exists ! \hat{f}} \\
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& & G
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\end{diagram}
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}, so dass $\hat{f} \circ i = f$ und $\hat{f}$ Gruppenhomomorphismus.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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Man kann das freie Produkt $G \ast H$ über den Gruppen G und H als Wörter über dem Alphabet $G \cup H$ definieren. \\
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Das freie Produkt hat folgende universelle Eigenschaft: \\
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Sei $\varphi: G \times H \to A$, $G, H, A$ Gruppen, $\varphi_{\mid_{G \times \set{1_H}}}$ und $\varphi_{\mid_{\set{1_G} \times H}}$ jeweils ein Gruppenhomomorphismus, $i: (g,h) \mapsto gh$: \\
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\parbox{5cm}{
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\begin{diagram}
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G \times H & \rInto^{i} & G \ast H \\
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& \rdTo_{\forall\varphi} & \dDashto_{\exists ! \hat{\varphi}} \\
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& & A
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\end{diagram}
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}, so dass $\hat{\varphi} \circ i = \varphi$ und $\hat{\varphi}$ Gruppenhomomorphismus.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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Gruppen mit Erzeugenden und Relationen: $X$ eine Menge, $S \subseteq \F X$ "`Relationen"'. \\
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% Dann ist $N := < \sideset{^{\F X}}{}{\mathop{S}} >$
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Dann ist $N := < \lsup{\F X}{S} >$ die normale Hülle von $S$. \\
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$G = \F X / N$ die Gruppe, die von $X$ mit den Relationen $S$ erzeugt wird; $G := < X \mid S >$.
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\end{definition}
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Beispiele:
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\begin{enumerate}[i)]
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\item Sei $n \in \N, C_n = \set{ 1, g, \ldots, g^{n-1} } = < x | x^n = 1 >$ \\
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Bem: $\abs{X} \leq 1 \Leftrightarrow \F X $ ist kommutativ; $\F X \cong \Z \Leftrightarrow \abs{X} = 1$
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\item $\sigma_n = < \set{s_i \mid 1 \leq i < n} \mid s_i s_j = s_j s_i \text{ für } \abs{i-j} \leq 2, s_i^2 = 1, s_i s_{i+1} s_i = s_{i+1} s_i s_{i+1} > $
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Beachte: \\
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$ T \leq S \leq \F X \Rightarrow U := < \lsup{\F X}T > \leq < \lsup{\F X}S > =: V $ \\
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$ \mathop{\Longrightarrow}{\text{1. Iso Satz}} \exists \text{ Epimorphismus } \F X / U \twoheadrightarrow \F X / v $
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\item Die endlichen einfachenGruppen sind (durchweg?) von 2 Elementen erzeugt.
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\item Sei $G$ Gruppe. Wähle $X = G$, nach universeller Eigenschat $\exists !$ Epimorphismus $\F G \twoheadrightarrow G$ mit Kern $N \Rightarrow G = \F G / N$
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\end{enumerate}
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\begin{definition}
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Seien $G, H$ Gruppen. Das direkte Produkt $G \times H$ ist das kartesische Produkt mit komponentenweiser Multiplikation. \\
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$ G \cong \tilde{G} := G \times \set{1_H} \trianglelefteq G \times H \trianglerighteq \set{1_G} \times H =: \tilde{H} \cong H $ \\
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$ forall g \in \tilde{G}, h \in \tilde{H}: gh = hg \Rightarrow \tilde{G}\tilde{H} = \tilde{H}\tilde{G} = G \times H, \tilde{G} \cap \tilde{H} = \set{1_{G \times HJ}} $ \\
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$ \Rightarrow $ Wir müssen nicht zwischen exterem und internem Produkt unterscheiden. \\
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$ \abs{G \times H} = \abs{G} \abs{H} $
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\end{definition}
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Betrachte $H, N \leq G, N \trianglelefteq G \Rightarrow HN = NH, HN \leq G$ \\
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Sei zusätzlich $HN = G, H \cap N = \set{1}$ \\
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Sei $n \in N$. Wegen $nHn^{-1} = H$ ist $c_n: H \rightarrow H: h \mapsto \lsup n h = n h n^{-1}$ ein Automorphismus von $H$. \\
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$n \mapsto c_n$ ist Gruppenhomomorphismus $N \rightarrow \Aut(H)$.
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~
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\begin{satz}
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Sei $g \in G, c_g: G \rightarrow G: h \mapsto \lsup g h$ Automorphismus von G. Die Menge $\Inn(G) := \set{ c_g \mid g \in G} \subseteq \Aut(G) $ ist Normalteiler von $\Aut(G)$. \\
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$\Out(G) := \Aut(G) / \Inn(G)$ (Gruppe der äußeren Automorphismen von G) \\
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Die Abbildung $c: G \rightarrow Aut(G): g \mapsto c_g$ ist Gruppenhomomorphismus mit Bild $\Inn(G)$ (klar) und $\ker c = Z(G) := \set{g \in G \mid gh = hg \forall h \in G} $ \\
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Also ist $G / Z(G) \cong \Inn(G)$
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\end{satz}
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\begin{bew}
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Sei $g, h_1, h_2 \in G$ \\
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$c_g(h_1 h_2) = g h_1 h_2 g^{-1} = g h_1 g^{-1} g h_2 g^{-1} = c_g(h_1) c_g(h_2)$ \\
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$c_{g^{-1}} \circ c_g (h) = g^{-1} g h g^{-1} g = 1 h 1^{-1} = c_1(h) = id_H $ \\
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Also ist $c_g$ bijektiv und daher Automorphismus von $G$.
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$c: g \rightarrow \Aut(G)$ ist Homomorphismus: \\
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$c_{g_1} \circ c_{g_2} (h) = g_1 g_2 h g_2^{-1} g_1^{-1} = g_1 g_2 h (g_1 g_2)^{-1} = c_{g_1 g_2} (h) $ \\
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\begin{align*}
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c_g = id_G & \Leftrightarrow c_g(h) = h \forall h \\
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& \Leftrightarrow g h g^{-1} = h \forall h \\
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& \Leftrightarrow g h = h g \forall h \\
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& \Leftrightarrow g \in Z(G) \\
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& \Rightarrow \ker c = Z(G)
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\end{align*}
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Da $\im c = \Inn(G)$ ist $\Inn(G) \leq \Aut(G)$. \\
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Sei $\varphi \in \Aut(G), g \in G$: Zu zeigen: $\varphi \Inn(G) \varphi^{-1} = \Inn(G) \Leftrightarrow \varphi c_g \varphi^{-1} \in \Inn(G) \forall g, \varphi$ \\
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$(\varphi c_g \varphi^{-1})(h) = \varphi(g \varphi^{-1}(h) g^{-1}) = \varphi(g) h \varphi^{-1}(g) = \varphi(g) h \varphi(g)^{-1} = c_{\varphi(g)}(h) \forall h \in G$ \\
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$ \Rightarrow \varphi c_g \varphi^{-1} = c_{\varphi(g)} \in \Inn(G)$ \\
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Also ist $\Inn(G) \trianglelefteq \Aut(G)$
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\end{bew}
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Beachte: Sei $N \leq G$. Dann ist $N \trianglelefteq G \Leftrightarrow c_g(N) = N \forall g \in G$ \\
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($\Rightarrow {c_g}_{\mid_N} \in \Aut(N)$. $c_g$ ist $\in \Inn(N) \Leftrightarrow \exists n \in N: c_g = c_n$)
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\begin{definition}
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Sei $H < G$. Dann ist $H$ charakteristisch in $G$, falls $\varphi(H) = H \forall \varphi \in Aut(G)$.\\
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Klar: $H$ char. in $G \Rightarrow H \trianglelefteq G$. \\
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\end{definition}
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Beispiel: \\
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$Z(G)$ ist char. in $G$: \\
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$\forall z \in Z(G), g \in G: \varphi(g)\varphi(z) = \varphi(gz) = \varphi(zg) = \varphi(z)\varphi(g) $ \\
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$\Rightarrow \varphi(z)G = G \varphi(z) $ \\
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$\Rightarrow \varphi(z) \in Z(G)$
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\ \\
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\begin{satz} % 1.2.3
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% Und: $H \mathop{\leq}\limits_\text{char.} N \mathop{\leq}\limits_\text{char.} G \Rightarrow H \mathop{\leq}\limits_\text{char.} G$
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Seien $K \leq H \leq G$, $K$ charakteristisch in $H$, $H$ char. in $G$. Dann ist
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$K$ char. in $G$.
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\end{satz}
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\begin{bew} % 1.2.4
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Sei $\varphi \in \Aut(G)$. Zu zeigen: $\varphi(K) = K$. \\
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$\varphi \in \Aut(G) \Rightarrow_{\text{H char. in G}} \varphi(H)( = H \Rightarrow_{\mid_H} \in \Aut(H) \Rightarrow \varphi(K) = \varphi_{\mid_K} = K$, da $K$ char. in $H$ ist.
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Also ist $K$ char. in $G$.
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\end{bew}
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\begin{bem}
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Sei $S \subseteq G$ mit $S^{-1} = S$ und $\varphi(S) = \set{\varphi(s) \mid s \in S} = S$ für alle $\varphi in \Aut(G)$ ($\Inn(G)$). Dann ist $<S> \leq G$ char. (normal) in $G$.
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\end{bem}
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\begin{definition}
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Sei $G$ Gruppe, $a, b \in G$. Dann ist $[a,b] = aba^{-1}b^{-1}$ der Kommutator von $a$ und $b$ ($[a,b]ba = aba^{-1}b^{-1}ba = ab$). \\
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Die Untergruppe $G' := < [a,b] \mid a, b \in G > \leq G$ heißt Kommutatoruntergruppe von $G$.
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\end{definition}
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\begin{satz} % 1.2.5
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Sei $G$ Gruppe. Dann ist $G'$ char. in $G$ (weil $\varphi[a,b] = [\varphi[a], \varphi[b]] \forall \varphi \in \Aut(G)$ ebenfalls Kommutator ist, und $[a,b]^{-1} = [b, a]$). \\
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$G'$ ist der kleinste Normalteiler von $G$, so dass $G / G'$ abelsch ist (d.h. ist $N \trianglelefteq G, G/N$ abelsch $\Rightarrow N \supseteq G'$).
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\end{satz}
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\begin{bew}
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Siehe Algebra. ($\pi: G \rightarrow G/N: g \mapsto gN, \pi[a,b] = [\pi(a), \pi(b)] = \ldots d G/N = N$),
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\end{bew}
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\begin{definition}
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Seien $N, H \leq G, N \trianglelefteq G, G = NH = HN, H \cap N = \set{1}$. dann heißt $G$ (internes) semidirektes Produkt von $N$ mit $H$. Wir schreiben $G = N \rtimes H$.
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\end{definition}
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Beobachtungen: % 1.2.6
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\begin{enumerate}[a)]
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\item $ G/N = NH / N \cong H /_{N \cap H} \cong H$. Also ist $G/N \cong H$. Daher ist $\abs{G} = \abs{N}\abs{G/N} = \abs{N} abs{H} = \abs{N \times H} $
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\item $G = N \cdot H \Rightarrow \forall x \in G \exists n \in N \exists h \in H: x = n \cdot h $. Diese Darstellung ist eindeutig: denn seien $n_1,n_2 \in N, h_1,h_2 \in H$ und sei $n_1 h_1 = n_2 h_2$,
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so folgt $n_2^{-1} n_1 = h_2 h_1^{-1} \in N \cap H \Rightarrow n_2^{-1} n_1 = h_2 h_1^{-1} = 1 \Rightarrow n_1 = n_2, h_1 = h_2 $
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\item Allgemein gilt: $H, N \trianglelefteq G, H \cap N = \set{1} \Rightarrow hn = nh \forall n \in N, h \in H$, denn seien
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$h \in H, n \in N \Rightarrow [n, h] = nhn^{-1}h^{-1} = \mathop{(nhn^{-1})}\limits_{\in H \trianglelefteq G}h^{-1} \in H \cap N = \set{1} $ (die Klammerung analog für $N$) \\
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Daher: Ist $G = N \rtimes H$ und zusätzlich $H \trianglelefteq G \Rightarrow G = H \times N$ (da $n_1 h_1 n_2 h_2 = n_1 n_2 h_1 h_2$)
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\item $G = N \rtimes H, x = n_1 h_1, y = n_2 h_2 \in G \Rightarrow x \cdot y = n_1 h_1 n_2 h_2 = n_1 \mathop{(h_1 n_2 h_1^{-1})}\limits_{\in N \trianglelefteq G} h_1 h_2 = (n_1 \lsup{h_1}n_2) (h_1 h_2) = n' h' $ die eindeutige Darstellung vom Produkt $ x \cdot y $ als Produkt eines Elementes aus $N$ mit einem Element aus $H$. \\
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Die Abb. $\varphi: H \rightarrow \Aut(N): h \mapsto \varphi(h) = \lambda n . \lsup{h}{n} = \varphi_n = {c_n}_{\mid_N} \in \Aut(N)$ ist Gruppenhomomorphismus. \\
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\item Multiplikation in $G$ wird vollständig auf die Multiplikation in $N$ und Multiplikation in $H$ und auf $\varphi$ zurückgeführt: $n_1 h_1 n_2 h_2 = n_1 \varphi_{h_1}(n_2) h_1 h_2 $
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\item Ist $\varphi: H \rightarrow \Aut(N)$ der triviale Homomorphismus, so ist $\varphi_n = {c_n}_{\mid_N} = id_N$ für alle $h \in H$, d.h. $\varphi_h(n) = h n h^{-1} = n \Leftrightarrow hn = nh$. Dann ist $H \trianglelefteq G und G \cong H \times N$. \\
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Daher: Ist $\varphi : H \rightarrow \Aut(N)$ \underline{nicht} tirivial, so kann $G$ nicht abelsch sein. ($\varphi(h) = \varphi_h \neq id_N, h\in H, \Rightarrow n \in N: \varphi_h(n) = hnh^{-1} \neq n \Rightarrow hn \neq hn$)
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\end{enumerate}
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\begin{definition}
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Seien $H, N$ Gruppen, und sei $\varphi: H \rightarrow \Aut(N): j \mapsto \varphi(h) = \varphi_h \in \Aut(N) $ ein Homomorphismus. \\
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Wir definieren das (äußere) semidirekte Produkt $G = N \rtimes H$ wie folgt: \\
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Als \underline{Menge} ist $G$ einfach das kartesische Produkt $N \times H$. \\
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Sei $n_1,n_2 \in N, h_1, h_2 \in H:$ \\
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$(n_1, h_1) \cdot (n_2, h_2) := (n_1 \cdot \varphi_{h_1}(n_2), h_1 \cdot h_2)$ \\
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\end{definition}
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\begin{satz} % 1.2.7
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Mit obiger Multiplikation wird $G = N \times H$ zur Gruppe $N \rtimes H$ mit Einselement $1_G = (1_N, 1_H)$ und Inverser $(n, h)^{-1} = (\varphi_{h^{-1}}(n^{-1}), h^{-1})$ \\
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Seien $\tilde{N} = N \times \set{1_H} \subseteq N \times H $ und $\tilde{H} = \set{1_N} \times H \subseteq N \times H$. \\
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Dann ist $\tilde{N} \trianglelefteq G, H \leq G, \tilde{N} \cong N, \tilde{H} \cong H$ und $G = \tilde{N} \rtimes \tilde{H}$ (intern).
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Für $\tilde{h} = (1_N, h) \in \tilde{H}, \tilde{n} = (n, 1_H) \in \tilde{N}, h \in H, n \in N$ ist $\tilde{h}^{-1} \tilde{n} \tilde{h} = (\varphi_h(n), 1_H)$, d.h. ${c_{\tilde{n}^{-1}}}_{\mid_{\tilde{N}}} \leftrightarrow \varphi_h \in \Aut(N)$
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\end{satz}
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\begin{bew}
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Übung.
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\end{bew}
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\begin{bem}
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Sind $\varphi, \psi$ verschiedene Homomorphismen von $H \rightarrow \Aut(N)$, so können $N \rtimes_\varphi H, N \rtimes_\psi H$ isomorph oder nicht isomorph sein.
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\end{bem}
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\begin{bsp}
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$C_n (\cong (\Z /_{n\Z}, +)) = N, H = C_2 = \set{1, h}$ \\
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$\varphi: H \in \Aut(C_n)$ durch $\varphi(1) = id_{C_n}, \varphi_h(x) = x^{-1} $ \\
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Die Gruppe $D_{2n} := C_n \rtimes_\varphi C_2$ heißt \underline{Diedergruppe} der Ordnung $2n$. \\
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$D_{2n}$ ist die Gruppe der Symmetrien eines regelmäßigen $n$-Ecks; $C_n \trianglelefteq D_{2n}$ ist die Gruppe der Rotationen, $C_2 = D_{2n} /_{C_n}$ sind die Spiegelungen. \\
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$D_{2n} = < x, y \mid x^n = y^2 = 1, yxy = x^{-1} >$
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\end{bsp}
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\chapter{Operationen von Gruppen auf Mengen}
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Im folgenden sei: $G = $ Gruppe, $X = $ Menge, $\sigma_X = \set{ f : X \rightarrow X \mid f \text{bij. Abb.}} = $ "`symmetrische Gruppe auf X"'.
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\begin{definition}
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Eine (Links-)Operation von $G$ auf $X$ ist eine (externe) Verknüpfung
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$$G \times X \rightarrow X: (g,x) \mapsto gx$$
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so dass gilt:
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\begin{enumerate}[i)]
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\item $1_G \cdot x = x \forall x \in X$
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\item $(gh) \cdot x = g \cdot (h \cdot x)$
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\end{enumerate}
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Wir sagen: "`$G$ operiert auf $X$"' (durch Permutationen) oder kurz: "`$X$ ist $G$-Menge"'. (Analog: Rechtsoperation: $X \times G \rightarrow X$)
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\end{definition}
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\begin{bem}
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Ist $X$ $G$-Menge, $\sigma_X$ = symmetrischeGrupe auf $X$, so wird durch $\lambda: G \rightarrow \sigma_X: g \mapsto \lambda_g \in \sigma_X$ ein Gruppenhomomorphismus
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$\lambda$ definiert, wobei $\lambda_g: X \rightarrow X: x \mapsto g \cdot x$; denn: \\
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Sei $g \in G: \lambda_g \lambda_{g^{-1}} : x \mapsto g (g^{-1} x) = (g g^{-1}) x = 1_G x = x \forall x \in X$, also ist $\lambda_g$ bijektiv und $\in \sigma_X$. \\
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Seien $g, h \in G \Rightarrow \lambda_g \circ \lambda_h (x) = \lambda_g (\lambda_h(x)) = g \cdot (h \cdot x) = (g \cdot h) \cdot x = \lambda_{gh}(x) \forall x \in X \Rightarrow \lambda_g \lambda_h = \lambda_{gh}$, d.h. $\lambda$ ist Homomorphismus. \\
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\underline{Umgekehrt:} Sei $\varphi: G \rightarrow \sigma_X$ homomorph. Dann wird durch $g \cdot x := (\varphi(g))(x)$ eine Operation von $G$ auf $X$ definiert, mit $\lambda = \varphi$ (Beweis: Übung). \\
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$\lambda$ heißt "`die zur $G$-Menge $X$ gehörende \underline{Darstellung} von $G$"'. \\
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\underline{Also:} Das Konzept der $G$-Mengen $X$ ist äquivalent zum Konzept der Homomorphismen $G \rightarrow \sigma_X$. \\
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(Im Falle der Rechtsoperation: Entweder op $\sigma_X$ auch von rechts, oder die zug. Darst. $\rho: G \rightarrow \sigma_X$ ist ein Antihomomorphismus)
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\end{bem}
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{\it Beispiele:} (Running Gag) % 1.3.1
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\begin{enumerate}[1.)]
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\item $\sigma_X$ operiert auf $X$ mit Darstellung $id_{\sigma_X} : \sigma_X \rightarrow \sigma_X: \pi \mapsto \pi \in \sigma_X, \pi x = \pi(x) \forall x \in X$
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\item $G$ operiert auf der Menge $G$ durch Linkstranslation $ g \cdot h = g h$. \\
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\underline{Darstellung:} $\lambda G \rightarrow \sigma_G: g \mapsto \lambda_g; \lambda_g: h \mapsto gh \forall h \in G$ \\
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($\abs{\sigma_G} = \abs{G} !$)
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\item $G$ operiert auf $G$ durch Konjugation: \\
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$$ g \cdot h = \lsup{g}{h} = g h g^{-1} [ = c_g(h) ] $$
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\item Sei $H \leq G$, $G = \bigcup\limits^{.}_{i \in I} g_i H$ \\
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Wir definieren eine Operation von $G$ auf der \underline{Menge} $G / H$ der Nebenklassen von $H$ in $G$ durch: $g (g_i H) = g_j H$ (bzw. auf $I: g \dot i = j$) \\
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(Linkstranslation auf $G/H$, Rechtsnebenklassen $H \without G$ durch Rechtstranslation) \\
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Spezialfall: $H = (I) \Rightarrow $ Operation von $G$ auf $G / H = G / (I) = G$ aus 2.)
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\end{enumerate}
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4.) ist die Mutter aller $G$-Operationen auf Mengen.
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\begin{definition}
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Eine Operation von $G$ auf $X$ heißt \underline{treu}, falls gilt: Ist $gx = x \forall x \in X \Rightarrow g = 1$.
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Offensichtlich heißt dies für die zugehörige Darstellung $\varphi: G \rightarrow \sigma_X$, dass $\varphi$ injektiv ist;
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denn $gx = x \forall x \in X \Leftrightarrow (\varphi(g))(x) = x \forall x \in X \Leftrightarrow \varphi(g) = id_X \Leftrightarrow g \in \ker \varphi$ \\
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So: $\ker \varphi = \set{g \in G \mid gx = x \forall x \in X }.$
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\end{definition}
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{\it Beispiele:} % aus 1.3.1
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1.), 2.) treu, da $g \cdot h = h \forall h \in G \Leftrightarrow g = 1$ \\
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3.) (i.A.) nicht treu. Genauer: $\ker \varphi = \ker c_? = \set{g \in G \mid c_g = id_G } = \set{g \in G \mid c_g(h) = h \forall h \in G } = \set{g \in G \mid g hg^{-1} = h \forall h \in G} = Z(G)$ Zentrum von $G$.
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\underline{Klar:} $X$ treue $G$-Menge, so enthält $\sigma_X$ durch die zugehörige Darstellung $\varphi: G \rightarrow \sigma_X$ eine zu $G$ isomorphe Untergruppe.
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\begin{definition}
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Seien $X, Y$ $G$-Mengen. Eine Abbildung $\varphi: X \rightarrow Y$ heißt $G$-Homomorphismus (auch $G$-equivariant) falls gilt: \\
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$\forall x \in X, g \in G: \varphi(g, x) = g \varphi(x)$ \\
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\underline{Wie üblich}: Epi-, Mono- und Isomorphismen. \\
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Komposition (und Inversen falls bijektiv) sind wieder Homomorphismen. \\
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Isosätze etc. \\
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Also: Kategorie der $G$-Mengen.
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\end{definition}
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\underline{Übersetzung für Darstellungen}:\\
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Seien $\varphi: G \rightarrow \sigma_X, \psi: G \rightarrow \sigma_Y$ ($X, Y$ Mengen) Darstellungen. \\
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Ein Morphismus von $\varphi$ nach $\psi$ ist eine Mengenabbildung $f: X \rightarrow Y$, so dass $\forall g \in G$ das folgende Diagramm kommutiert:
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\begin{diagram}
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X & \rTo^{f} & Y \\
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\dTo^{\varphi(g)} & & \dTo_{\psi(g)} \\
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X & \rTo^{f} & Y
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\end{diagram}
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d.h. $f \circ \varphi(g) = \psi(g) \circ f \Leftrightarrow \psi(g) \circ f \circ \varphi(g)^{-1} = f \forall g \in G$
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Dies macht die Klasse der (Permutations-) Darstellungen zu einer Kategorie. Diese ist isomoprh zur Kategorie der $G$-Mengen (Beweis: Übung).
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\underline{Ziel:} Klassifikation von $G$-Mengen.
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\begin{definition}
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$X, Y$ $G-$ Mengen:
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\begin{enumerate}[a)]
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\item Die disjunkte Vereinigung $X \mathop{\cup}\limits^{\cdot} Y$ wird zur $G$-Menge durch $g \cdot z = \left\{ \matr{gx & \text{für } z = x \in X \\ gy & \text{für } z = y \in Y} \right. $ \\
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("`direkte Summe"', "`Koprodukt"' in Kategorie der $G$-Mengen)
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\item Das kartesische Produkt $X \times Y$ wird zu $G$-Menge durch $g \cdot (x,y) = (gx, gy) \forall x \in X, y \in Y, g \in G$
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\item $\sigma_X$ wird $G$-Menge durch $gZ = \set{gz \mid z \in Z}$ für $Z \subseteq X$
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{definition} % 1.3.3
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Sei $X$ eine $G$-Menge, $x \in X$. Die \underline{Bahn} (Orbit) $Gx (\lsup{G}x)$ ist $\set{gx \mid g \in G} \subseteq X$, und der Stabilisator $Stab_G(x)$ in $G$ von $x$ ist $\set{g \in G \mid gx = x} \subseteq G$. \\
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Für $S \subseteq G$ ist der $Stab_G(X) = \set{g \in G \mid gs \in S \forall s \in S }$ \\
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Der \underline{Punktstabilisator} von $S$ in $G$ ist $PStab_G(S) = \set{g \ in G | gs = s \forall s \in S} = \bigcap\limits_{s \in S} Stab_G(s)$ \\
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\underline{Klar:}
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\begin{enumerate}
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\item $Stab_G(x), Stab_G(S), PStab_G(S)$ sind Untergruppen von $G$.
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\item Die Einschränkung von der $G$-Operation auf die Bahn $Gx$ macht die Bahn $Gx$ von $x$ zur $G$-Menge. \\
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Wir definieren eine Äquivalenzrelation $\sim_G$ auf $X$ durch $x \sim_G y \Leftrightarrow \exists g \in G: y = gx$ \\
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Die Äquivalenzklasse von $x \in X$ ist die Bahn $Gx$. \\
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Konsequenz: $X$ ist die direkte Summe der Bahnen von $G$ auf $X$.
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{definition}
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$G$ operiert (einfach) \underline{transitiv} auf $X$, falls nur eine Bahn existiert, d.h. $\forall x, y \in X: \exists g \in G: x = g y$.
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\end{definition}
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{\it Beispiele:} von 1.3.1
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\begin{enumerate}[A)]
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\item Bahnen:
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\begin{enumerate}[1.)]
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\item $G$ ist die einzige Bahn.
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\item $\forall h_1, h_2 \in G \exists g \in G: h_2 = g h_1: g := h_2 h_1^{-1}$, also: $G$ ist die einzige Bahn.
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\item $g \sim_G h \Leftrightarrow \exists x in G: h = x g x^{-1} \Leftrightarrow g$ und $h$ sind konjugiert $\Leftrightarrow$ Bahnen sind Konjugationsklassen.
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\item Eine Bahn. $g,h \in G \Rightarrow \exists x \in G: h = xg \Rightarrow hH = xgH$
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\end{enumerate}
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\item Stabilisatoren:
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\begin{enumerate}[1.)]
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\item $x \in X: Stab_{\sigma_X}(x) = \set{ \pi \in \sigma_X \mid \pi(x) = x } = \sigma_{X \without \set{x}}$, z.Bsp. $Stab_{\sigma_n}(n) = \sigma_{n-1}$ \\
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$Stab_{\sigma_n}(\set{1, \ldots, i}) = \set{ \pi \in \sigma_n | 1 \leq \pi(j) \leq i \forall 1 \leq j \leq i } = \sigma_{\set{1, \ldots, i}} \times \sigma_{\set{i+1, \ldots, n}}$
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\item $h \in G: Stab_G(h) = \set{g \in G \mid gh = h} = \set{ 1 }$
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\item $h \in G: Stab_G(h) = \set{g \in G \mid \lsup{g}{h} = h} = \set{g \in G \mid ghg^{-1} = h} = \set{g \in G \mid gh = hg } = $ Zentralisator von $h$ in $G$.
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\item Spezialfall $Stab_G(1 \cdot H) = \set{ g \in G \mid gH = H} = H$
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\begin{lemma}
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Sei $X$ $G$-Menge, $x \in X, g \in G$: Dann ist $Stab_G(gx) = g \cdot Stab_G(x() \cdot g^{-1}$ ("`konjugierte Untergruppe"')
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\end{lemma}
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\begin{bew}
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"`$\supseteq$"' Sei $h = gfg^{-1} \in $ rechte Seite $\Rightarrow h(gx) = gfg^{-1}gx = gfx = gx \Rightarrow h \in $ linke Seite.
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"`$\subseteq$"' Sei $h \in Stab_G(gx)$, d.h. $h(gx) = gx \Rightarrow g^{-1}hgx = x \Rightarrow g^{-1} h x = f \in Stab_G(x) \Rightarrow h = g f g^{-1} \in g Stab_G(x) g^{-1}$
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\end{bew}
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{\it Beispiele:} von 1.3.1, Stabilisator für 4.): \\
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$ Stab_G(xH) = x H x^{-1} $
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Neues Beispiel für 1.3.1:
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\begin{enumerate}
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\item[5.)] Sei $X = \set{H \leq G}$. Dann operiert $G$ auf $X$ durch Konjugation $lsup{g}{H} = g H g^{-1}$ \\
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$Stab_G(H) = \set{g \in G \mid g H g^{-1} = H } = N_G(H)$ der \underline{Normalisator} von $H$ in $G$ (die größte Untergruppe von $G$ in der $H$ normal ist, $H \trianglelefteq N_G(H) \leq G$)
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\end{enumerate}
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\begin{bem}
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Bahnen sind in 5.) Konjugationsklassen von Untergruppen. \\
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Beachte: $\abs{c_g(H)} = \abs{gHg^{-1}} = \abs{H}$
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\end{bem}
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\begin{satz} % 1.3.5
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Jede $G$-Menge ist (eindeutig) disjunkte Vereinigung (direkte Summe) von transitiven $G$-Mengen, nämlich der Bahnen von $G$ auf der Menge.
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\end{satz}
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\begin{satz} % 1.3.6
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Sei $X$ transitive $G$-Menge und $x \in X, H = Stab_G(x)$. Dann ist $X \cong G / H$ ($ = G$-Menge der Nebenklassen von $H$ in $G$ durch Linkstranslation, siehe Beispiel 4. aus 1.3.1)
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\end{satz}
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\begin{bew}
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Definiere $\varphi: G/H \rightarrow X: gH \mapsto g x$ für $g \in G$.
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\begin{enumerate}[1.)]
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\item $\varphi$ ist wohldefiniert: Denn sei $gH = fH \Rightarrow f^{-1}g \in H \Rightarrow f^{-1}gx = x$, da $H = Stab_G(x)$ ist $\Rightarrow gx = fx$
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\item Umgekehrt gehts auch: Sei $fx = gx$ ($f, g \in G$) $\Rightarrow x = f^{-1}gx \Rightarrow f^{-1}g \in H \Rightarrow gH = fH$ Also ist $\varphi$ injektiv.
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\item Wegen $G \cdot x = X$ ist $\varphi$ surjektiv.
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\item Seien $a, g \in G:$ Dann ist $a \varphi(gH) = a(gx) = (ag)x = \varphi(agH)$, also ist $\varphi$ ein Isomorphismus von $G$-Mengen.
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\end{enumerate}
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\end{bew}
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\begin{korr} % 1.3.7
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$\abs{X} = \abs{G/H} = \left[G : H \right] $ \\
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\underline{Allgemein}: Sei $X$ $G$-Menge, $x \in X \Rightarrow \abs{Gx} = \abs{G : Sta_G(x)}$ (Bahngleichung)
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\end{korr}
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Wir haben jetzt is aus Isomorphie alle $G$-Mengen konstruiert, nämlich als disjunkte Vereinigunge (direkte Summen) von $G$-Mengen der Form $G/H$ mit $H \leq G$. \\
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\underline{Frage:} Sind $H, K \leq G$. Wann ist $G/H \cong G/K$ als $G$-Menge (unter Linkstranslation)?
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\begin{lemma} % 1.3.8
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Seien $X, Y$ $G$-Mengen, $\varphi:X \rightarrow Y$ Homomorphismus, und sei $x \in X$. Dann ist $\Stab_G(x) \leq \Stab_G(\varphi(x)$ \\
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Insbesondere: ist $\varphi$ ein Isomorphismus, so ist $\Stab_G(x) = \Stab_G(\varphi(x))$.
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\end{lemma}
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\begin{bew}
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$g \in G: gx = x \Rightarrow g (\varphi(x)) = \varphi(gx) = \varphi(x) \Rightarrow g \in \Stab_G(\varphi(x))$
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\end{bew}
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\begin{satz} % 1.3.9
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Seien $H, K \leq G$. Dann ist $G/H \cong G/K \Leftrightarrow H \mathop{=}_G K$ (d.h. $\exists g \in G: gKg^{-1} = H$).
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\end{satz}
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\underline{Bemerkung:} 1.3.6 + 1.3.9 liefert die Klassifikation der $G$-Mengen.
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\begin{bew}
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Sei $\varphi: G/H \rightarrow G/K$ ein Isomorphismus von $G$-Mengen,
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$(\exists x \in G): varphi(1 \cdot H) = xK \Rightarrow \Stab_G(1 \cdot H) = H = \Stab_G(xK) = x\Stab_G(1\cdot K) x^{-1} = xKx^{-1}$. Also ist $H =_G K$. \\
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|
Umgekehrt ist $H =_G K$, etwa $K = x H x^{-1}$. Dann ist (nach 1.3.4) $K = \Stab_G(xH)$, und $G/K \cong G/H$ nach 1.3.6
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\end{bew}
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\begin{definition}
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Sei $k \in \N, X$ $G$-Menge. Dan heißt $X$ $k$-fach transitiv ($k$-trans.) falls gilt: Sind $x_1, \ldots, x_k \in X$ und $y_1, \ldots, y_k \in X$ jeweils beliebige aber paarweise verschieden, so gibt es $g \in G: y_i = g x_i \forall 1 \leq i \leq k$ \\
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(Klar: $G$ operiert auf $X^{\times k} = X \times \ldots \times X$ k-trans. $\Leftrightarrow G$ operiert auf $\set{ (x_1, \ldots, x_k) \in X^{\times k} \mid x_i \text{ paarweise verschieden}}$ transitiv. 1-transitiv = transitiv)
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\end{definition}
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\begin{satz} % 1.3.10
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Sei $X$ 2-transitive $G$-Menge, $x \in X$. Dann ist $\Stab_G(x)$ maximale Untergrupe von $G$.
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\end{satz}
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\begin{bew}
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2-transitiv $\Rightarrow X$ ist transitiv $\Rightarrow X \cong G/H$ für $H = \Stab_G(X)$. Angenommen, $H$ st nicht maximal in $G$. Sei $H < K < G, g \in G, g \notin K, k \in K, k \notin H$.
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Dann ist $kH \neq H, gH \neq H$. Wir hben also zwei Paare $(H, kH)$ und $(H, gH)$. 2-transitiv $\Rightarrow \exists f \in G: f \cdot (1 H) = (1 H), f (k H) = g H \Rightarrow f \in H \Rightarrow fk \in K
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\Rightarrow \exists h \in H: fk = gh \Rightarrow K = f k K = g h K = g K \Rightarrow g \in K$ Widerspruch!
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\end{bew}
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\begin{definition}
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Eine transitive $G$-Menge X heißt primitiv $\Leftrightarrow \forall x \in X: \Stab_G(x)$ maximale Untergruppe von $G$ ist.
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\end{definition}
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\begin{diagram}
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\text{2-transitiv} & \Rightarrow & \text{"`primitiv"'} & \Rightarrow & \text{transitiv} \\
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\Downarrow & & \Updownarrow & & \Updownarrow \\
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\text{Stab = max. Untergruppe} & & \text{Stab = max. Untergr.} & & \text{Stab = bel. Untergr.}
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\end{diagram}
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\begin{satz}
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Eine transitive $G$-Menge $X$ ist primitiv $\Leftrightarrow$ wenn gilt: Sei $Y \subsetneq X, \abs{Y} \geq 2$. Dann gibt es für alle $g \in G$ Elemente $y,z \in Y$ mit $gy \in Y, gz \notin Y$.
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\end{satz}
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\underline{Anwendungen:}
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\begin{satz} % 1.3.12
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Sei $G$ endlich, $H, K \leq G$. Es gilt:
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$$ \abs{H \cdot K} = \frac{\abs{H} \cdot \abs{K}}{\abs{H \cap K}} $$
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\end{satz}
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\begin{bew}
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Sei $X = G/K$ eine $G$-Menge. Durch Einschränken ist $G/K$ auch $H$-Menge. \\
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Sei $H_K$ die Bahn von $K = 1\cdot K$ unter dieser $H$-Operation. \\
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Klar: $H_K = \set{hK \mid h \in H}, H K = \mathop{\cup}\limits_{h \in H} h K$. \\
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Also ist $HK$ die Vereinigung von $K$-Nebenklassen von $G$ mit Vertretern aus $H$. \\
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Also ist $\abs{HK} = \abs{\lsup{H}{K}} \cdot \abs{K}$. Nach 1.3.7 ist $\abs{\lsup{H}{K}} = \abs{H : \Stab_H(K)}$ \\
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$\Stab_H(K) = \set{h \in H \mid hK = K} = K \cap H$. \\
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Also ist $\abs{HK} = \abs{K} \cdot \abs{\lsup{H}{K}} = \abs{K} \cdot \abs{H : \Stab_H(K)} = \abs{K} \cdot \abs{H : (H \cap K)} = \abs{K} \cdot \frac{\abs{H}}{\abs{H \cap K}}$
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\end{bew}
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\underline{Konjugationsop:} $\abs{G} = n \in \N, 1 = g_1, g_2, \ldots, g_k$ seien Vertreter der Konjugationsklassen von $G$. \\
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$\cC_i := \lsup{G}{g_i} = \set{g g_i g^{-1} \mid g \in G}$ Bahn \\
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$C_i = \Stab_G(g_i) = C_G(g_i) = \set{h \in G \mid h g_i = g_i h} \leq G$ \\
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\begin{satz} % 1.3.13
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\underline{Klassengleichung:} Sei $\abs{G} = n$. \\
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$ n = 1 + \sum_{i=2}^{k} \abs{G : C_i} = \abs{Z(G)} + \sum\limits_{i=1,\ldots,k, g_i \notin Z(G)} \abs{G : C_i} $
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\end{satz}
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\begin{bew}
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Ohne Einschränkung: $Z(G) = \set{g_1, \ldots, g_l}, 1 \leq l \leq k \Rightarrow C_i = G \forall i = 1, \ldots, l, \cC_i = \set{g_i}$ \\
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Mit 1.3.7 $\mathop{\Rightarrow}\limits_{i=1, \ldots, k} \abs{\lsup{G}{g_i}} = \abs{\cC_i} = [G:C_i] = [G:\Stab_G(g_i)]$
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\end{bew}
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\begin{definition}
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Sei $G$ endliche Gruppe, $G^1 = [G, G]$. Definiere $D^{i}(G) (i \in \N)$ durch
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\begin{enumerate}
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\item $D^1(G) = G^1$
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\item $i > 1: D^i(G) = [D^{i-1}(G), D^{i-1}(G)]$
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\end{enumerate}
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Klar: $D^i(G) \trianglelefteq D^{i-1}(G)$ und $D^{i-1}(G)/D^i(G)$ abelsch. \\
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$G$ heißt auflösbar, falls $D^k(G) = (1)$ für ein $k \in \N \Leftrightarrow \exists (1) = N_1 \leq N_2 \ldots \leq N_m = G$ mit $N_i \trianglelefteq N_{i+1}$ und $N_{i+1}/N_i$ abelsch (zyklisch, zyklisc von Primzahlordnung nach Korrespondenzsatz). \\
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Kann man zusätzlich $N_i$ so wählen, dass $N_i \trianglelefteq G$ ist, so heißt $G$ Überauflösbar ("`supersolvable"'). \\
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$N \trianglelefteq G$: mit $N$ auflösbar, $G/N$ auflösbar $\Leftrightarrow G$ auflösbar.
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\end{definition}
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Sei $Z_i(G)$ induktiv durch folgendes definiert:
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\begin{enumerate}[i)]
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\item $Z_1(G) = Z(G) \trianglelefteq G$ (charakteristisch)
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\item $Z_2(G)$ ist volles Urbild von $Z(G/Z(G))$ in $G$ unter natürlicher Projektion $G \rightarrow G/Z(G)$. \\
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Beachte: Nach Korrespondenzsatz (1.2.10) gilt: $Z_2(G) \trianglelefteq G$. \\
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($Z_2(G) = \set{g \in G \mid g Z(G) \in Z(G/Z(G)) }$)
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\item $i > 1: Z_i(G)$ ist volles Urbild von $Z(G/Z_{i-1})$ in $G, Z_i(G) \trianglelefteq G$.
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\end{enumerate}
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Haben: $(1) = Z_1(G) \trianglelefteq Z_2(G) \trianglelefteq \ldots \trianglelefteq Z_i(G) \trianglelefteq \ldots$ \\
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$Z_i(G) / Z_{i-1}(G)$ abelsch, $Z_i(G) \trianglelefteq G$. (Beweis: Übung) \\
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$G$ heißt nilpotent, falls $\exists k \in \N: Z_k(G) = G$. \\
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\underline{Beachte:} nilpotent $\Rightarrow$ überauflösbar $\Rightarrow$ auflösbar
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\begin{korr} % 1.3.14
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Sei $G$ eine $p$-Gruppe, $p$ Primzahl (d.h. $\exists t \in \N: \abs{G} = p^t$), Dann ist $\abs{Z(G)} > 1$. \\
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Insbesondere ist $G$ nilpotent.
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\end{korr}
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\begin{bew}
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$x \in G, x \notin Z(G) \Rightarrow C_G(x) \lneq G \Rightarrow [G : C_G(x)]$ wird von p geteilt. \\
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Klassengleichung: $\abs{G} = p^t = \abs{Z(G)} + \sum\limits_{i=l+1}^k \abs{G : C_G(g_i)}$ \\
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$p$ teilt $\abs{G : C_G(g_i)} \Rightarrow p $ teilt die Summe $\Rightarrow p $ teilt $ \abs{Z(G)}$. \\
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Rest: Übung.
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\end{bew}
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\end{document}
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