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\input{standard}
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\usepackage{tikz}
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% \usetikzlibrary{automata}
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\usepackage[small,nohug,heads=vee]{diagrams}
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% \diagramstyle[labelstyle=\scriptstyle]
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\subject{Mitschrieb der Vorlesung}
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\title{Darstellungstheorie I}
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\author{Wintersemester 2009/10 \\ Prof. Dr. Richard Dipper}
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\publishers{Mitgeschrieben von Stefan Bühler}
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\providecommand{\F}[1]{\mathcal{F}_{#1}}
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\newcommand{\lsup}[2]{\ensuremath{\sideset{^{#1}}{}{\mathop{#2}}}}
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\begin{document}
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\maketitle
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\tableofcontents
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\chapter{Unknown}
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\chapter{Gruppenkonstruktionen und Automorphismen}
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\begin{definition}
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Sei $X$ eine Menge. Die Freie Gruppe $\F X$ über X wird wie folgt konstruiert: \\
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Ein Wort in $\F X$ besteht aus einer endlichen Folge
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$$ x_1^{\varepsilon_1} x_2^{\varepsilon_2} \ldots x_k^{\varepsilon_k}, k \leq 0, \varepsilon_i \in \set{-1, 1}, x_i \in X $$
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Das leere Wort ($k = 0$) wird als $1$ notiert. \\
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Ist für ein $1 \leq i < k$ in einem Wort $x_i = x_{i+1}$ und $\varepsilon_i = - \varepsilon_{i+1}$, so können wir dieses Wort verkürzen, in dem wir
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$x_i^{\varepsilon_i} x_{i+1}^{\varepsilon_{i+1}}$ entfernen. \\
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Wörter, die nicht mehr verkürzt werden können, heißen unverkürzbar. \\
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Der transitive, symmetrische und reflexive Abschluss des "`Kürzens"' definiert eine Äquivalenzrelation; $\F X$ ist als die Gruppe mit der Menge der
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Äquivalenzklassen dieser Relation definiert, wobei die Multiplikation durch Konkatenation der Vertreter definiert wird. \\
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Zwei Wörter sind also äquivalent, wenn man durch Kürzen und Erweitern des einen Wortes das andere erhält. \\
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$\F X$ ist Gruppe mit folgender universeller Eigenschaft: \\
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\parbox{5cm}{
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\begin{diagram}
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X & \rInto^{i} & \F X \\
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& \rdTo_{\forall f} & \dDashto_{\exists ! \hat{f}} \\
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& & G
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\end{diagram}
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}, so dass $\hat{f} \circ i = f$ und $\hat{f}$ Gruppenhomomorphismus.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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Man kann das freie Produkt $G \ast H$ über den Gruppen G und H als Wörter über dem Alphabet $G \cup H$ definieren. \\
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Das freie Produkt hat folgende universelle Eigenschaft: \\
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Sei $\varphi: G \times H \to A$, $G, H, A$ Gruppen, $\varphi_{\mid G \times \set{1_H}}$ und $\varphi_{\mid \set{1_G} \times H}$ jeweils ein Gruppenhomomorphismus, $i: (g,h) \mapsto gh$: \\
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\parbox{5cm}{
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\begin{diagram}
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G \times H & \rInto^{i} & G \ast H \\
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& \rdTo_{\forall\varphi} & \dDashto_{\exists ! \hat{\varphi}} \\
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& & A
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\end{diagram}
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}, so dass $\hat{\varphi} \circ i = \varphi$ und $\hat{\varphi}$ Gruppenhomomorphismus.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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Gruppen mit Erzeugenden und Relationen: $X$ eine Menge, $S \subseteq \F X$ "`Relationen"'. \\
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% Dann ist $N := < \sideset{^{\F X}}{}{\mathop{S}} >$
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Dann ist $N := < \lsup{\F X}{S} >$ die normale Hülle von $S$. \\
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$G = \F X / N$ die Gruppe, die von $X$ mit den Relationen $S$ erzeugt wird; $G := < X \mid S >$.
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\end{definition}
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Beispiele:
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\begin{enumerate}[i)]
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\item Sei $n \in \N, C_n = \set{ 1, g, \ldots, g^{n-1} } = < x | x^n = 1 >$ \\
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Bem: $\abs{X} \leq 1 \Leftrightarrow \F X $ ist kommutativ; $\F X \cong \Z \Leftrightarrow \abs{X} = 1$
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\item $\sigma_n = < \set{s_i \mid 1 \leq i < n} \mid s_i s_j = s_j s_i \text{ für } \abs{i-j} \leq 2, s_i^2 = 1, s_i s_{i+1} s_i = s_{i+1} s_i s_{i+1} > $
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Beachte: \\
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$ T \leq S \leq \F X \Rightarrow U := < \lsup{\F X}T > \leq < \lsup{\F X}S > =: V $ \\
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$ \mathop{\Longrightarrow}{\text{1. Iso Satz}} \exists \text{ Epimorphismus } \F X / U \twoheadrightarrow \F X / v $
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\item Die endlichen einfachenGruppen sind (durchweg?) von 2 Elementen erzeugt.
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\item Sei $G$ Gruppe. Wähle $X = G$, nach universeller Eigenschat $\exists !$ Epimorphismus $\F G \twoheadrightarrow G$ mit Kern $N \Rightarrow G = \F G / N$
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\end{enumerate}
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\begin{definition}
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Seien $G, H$ Gruppen. Das direkte Produkt $G \times H$ ist das kartesische Produkt mit komponentenweiser Multiplikation.
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\end{definition}
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\end{document}
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