90 lines
3.8 KiB
TeX
90 lines
3.8 KiB
TeX
\input{standard}
|
|
|
|
\usepackage{tikz}
|
|
% \usetikzlibrary{automata}
|
|
|
|
\usepackage[small,nohug,heads=vee]{diagrams}
|
|
% \diagramstyle[labelstyle=\scriptstyle]
|
|
|
|
\subject{Mitschrieb der Vorlesung}
|
|
\title{Darstellungstheorie I}
|
|
\author{Wintersemester 2009/10 \\ Prof. Dr. Richard Dipper}
|
|
\publishers{Mitgeschrieben von Stefan Bühler}
|
|
|
|
\providecommand{\F}[1]{\mathcal{F}_{#1}}
|
|
\newcommand{\lsup}[2]{\ensuremath{\sideset{^{#1}}{}{\mathop{#2}}}}
|
|
|
|
\begin{document}
|
|
|
|
\maketitle
|
|
\tableofcontents
|
|
|
|
\chapter{Unknown}
|
|
|
|
\chapter{Gruppenkonstruktionen und Automorphismen}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
Sei $X$ eine Menge. Die Freie Gruppe $\F X$ über X wird wie folgt konstruiert: \\
|
|
Ein Wort in $\F X$ besteht aus einer endlichen Folge
|
|
$$ x_1^{\varepsilon_1} x_2^{\varepsilon_2} \ldots x_k^{\varepsilon_k}, k \leq 0, \varepsilon_i \in \set{-1, 1}, x_i \in X $$
|
|
Das leere Wort ($k = 0$) wird als $1$ notiert. \\
|
|
Ist für ein $1 \leq i < k$ in einem Wort $x_i = x_{i+1}$ und $\varepsilon_i = - \varepsilon_{i+1}$, so können wir dieses Wort verkürzen, in dem wir
|
|
$x_i^{\varepsilon_i} x_{i+1}^{\varepsilon_{i+1}}$ entfernen. \\
|
|
Wörter, die nicht mehr verkürzt werden können, heißen unverkürzbar. \\
|
|
Der transitive, symmetrische und reflexive Abschluss des "`Kürzens"' definiert eine Äquivalenzrelation; $\F X$ ist als die Gruppe mit der Menge der
|
|
Äquivalenzklassen dieser Relation definiert, wobei die Multiplikation durch Konkatenation der Vertreter definiert wird. \\
|
|
Zwei Wörter sind also äquivalent, wenn man durch Kürzen und Erweitern des einen Wortes das andere erhält. \\
|
|
$\F X$ ist Gruppe mit folgender universeller Eigenschaft: \\
|
|
\parbox{5cm}{
|
|
\begin{diagram}
|
|
X & \rInto^{i} & \F X \\
|
|
& \rdTo_{\forall f} & \dDashto_{\exists ! \hat{f}} \\
|
|
& & G
|
|
\end{diagram}
|
|
}, so dass $\hat{f} \circ i = f$ und $\hat{f}$ Gruppenhomomorphismus.
|
|
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
Man kann das freie Produkt $G \ast H$ über den Gruppen G und H als Wörter über dem Alphabet $G \cup H$ definieren. \\
|
|
Das freie Produkt hat folgende universelle Eigenschaft: \\
|
|
Sei $\varphi: G \times H \to A$, $G, H, A$ Gruppen, $\varphi_{\mid G \times \set{1_H}}$ und $\varphi_{\mid \set{1_G} \times H}$ jeweils ein Gruppenhomomorphismus, $i: (g,h) \mapsto gh$: \\
|
|
\parbox{5cm}{
|
|
\begin{diagram}
|
|
G \times H & \rInto^{i} & G \ast H \\
|
|
& \rdTo_{\forall\varphi} & \dDashto_{\exists ! \hat{\varphi}} \\
|
|
& & A
|
|
\end{diagram}
|
|
}, so dass $\hat{\varphi} \circ i = \varphi$ und $\hat{\varphi}$ Gruppenhomomorphismus.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
Gruppen mit Erzeugenden und Relationen: $X$ eine Menge, $S \subseteq \F X$ "`Relationen"'. \\
|
|
% Dann ist $N := < \sideset{^{\F X}}{}{\mathop{S}} >$
|
|
Dann ist $N := < \lsup{\F X}{S} >$ die normale Hülle von $S$. \\
|
|
$G = \F X / N$ die Gruppe, die von $X$ mit den Relationen $S$ erzeugt wird; $G := < X \mid S >$.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
|
|
Beispiele:
|
|
\begin{enumerate}[i)]
|
|
\item Sei $n \in \N, C_n = \set{ 1, g, \ldots, g^{n-1} } = < x | x^n = 1 >$ \\
|
|
Bem: $\abs{X} \leq 1 \Leftrightarrow \F X $ ist kommutativ; $\F X \cong \Z \Leftrightarrow \abs{X} = 1$
|
|
\item $\sigma_n = < \set{s_i \mid 1 \leq i < n} \mid s_i s_j = s_j s_i \text{ für } \abs{i-j} \leq 2, s_i^2 = 1, s_i s_{i+1} s_i = s_{i+1} s_i s_{i+1} > $
|
|
|
|
Beachte: \\
|
|
$ T \leq S \leq \F X \Rightarrow U := < \lsup{\F X}T > \leq < \lsup{\F X}S > =: V $ \\
|
|
$ \mathop{\Longrightarrow}{\text{1. Iso Satz}} \exists \text{ Epimorphismus } \F X / U \twoheadrightarrow \F X / v $
|
|
|
|
\item Die endlichen einfachenGruppen sind (durchweg?) von 2 Elementen erzeugt.
|
|
\item Sei $G$ Gruppe. Wähle $X = G$, nach universeller Eigenschat $\exists !$ Epimorphismus $\F G \twoheadrightarrow G$ mit Kern $N \Rightarrow G = \F G / N$
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\begin{definition}
|
|
Seien $G, H$ Gruppen. Das direkte Produkt $G \times H$ ist das kartesische Produkt mit komponentenweiser Multiplikation.
|
|
\end{definition}
|
|
|
|
|
|
|
|
\end{document}
|