qm1-script/kapII-0.tex

\chapter{Wellenmechanik in Ortsdarstellung: Grundregeln und Beispiel}
\section{Konkrete Form der Postulate}
\paragraph*{(P1)} Bei vollst. Kenntnis kann ein 1-dimensionales quantales System zu jedem Zeitpunkt durch eine komplexe Wellenfunktion $\psi(x,t_0)$ (mit $\intgr{-\infty}{+\infty}{\abs{\psi(x,t_0)}^2}{x} = 1$) repräsentiert werden.
\paragraph{(P2)} Die Warscheinlichkeit das System zur Zeit $t_0$
\begin{itemize}
	\item am Ort $x$ zu messen ist
		\begin{equation}
			\rho(x) = \abs{\psi(x,t_0)}^2
		\end{equation}
	\item mit dem Impuls $p$ zu messen ist
		\begin{equation}
			\rho(p) = \abs{\psi(p,t_0)}^2
		\end{equation}
		mit
		\begin{equation}
			\psi(p,t_0) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \intgr{-\infty}{+\infty}{e^{-\frac{i p x}{\hbar}} \psi(x,t_0)}{x}
		\end{equation}
\end{itemize}
Konsequenz für die Erwartungswerte:
\begin{align}
	<x>(t_0) &\equiv \intgr{-\infty}{+\infty}{x~\rho(x,t)}{x}\\
	&= \intgr{-\infty}{+\infty}{\psi^*(x,t_0) \cdot x \psi(x,t_0)}{x}\\[15pt]
	<p>(t_0) &= \intgr{-\infty}{+\infty}{p~\rho(p,t_0)}{p}\\
	&= \intgr{-\infty}{+\infty}{\intgr{-\infty}{+\infty}{\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^\frac{i p x}{\hbar} \psi^*(x,t_0)}{x}~p~\intgr{-\infty}{+\infty}{e^{-\frac{i x' p}{\hbar}} \psi(x',t_0)}{x'}}{p}\\
	&= \intgru{\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \intgru{\psi^*(x,t_0) e^\frac{i p x}{\hbar}}{p} \intgru{\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \psi(x,t) (i \hbar \partial_{x'})e^\frac{-i x' p}{\hbar}}{x'}}{x}\\
	&= \intgru{\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar} \intgru{\intgru{\psi^*(x,t_0) e^\frac{i p x}{\hbar} e^\frac{-i p x'}{\hbar} (-i \hbar) \partial_{x'} \psi(x',t0)}{x'}}{p}}}{x}\\
	&= \intgru{\psi^*(x,t_0) (-i \hbar~\partial_x) \psi(x,t_0)}{x}
\end{align}
\paragraph{(P3)} Die Dynamik folgt der Schrödinger Gleichung
\begin{equation}
	i \hbar \partial_t \psi(x,t) = \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \partial_x^2 + V(x) \right) \psi(x,t)
\end{equation}
Für stationäre Zustände gilt (Ansatz $\psi(x,t) = e^{-\frac{i}{\hbar} E t} \phi(x)$)
\begin{equation}
	\left( -\frac{\hbar^2}{2m} \partial_x^2 + V(x) \right) \phi(x) = E \phi(x)
\end{equation}
Die möglichen $E$-Werte sind die Eigenwerte des $H$-Operators. Diese Form der Postulate kann aud den allgemeinen Postulaten (I - 3.) hergeleitet werden unter den Zusatzannahmen:
\begin{enumerate}
	\item \begin{equation}
			\diffT{t}<x>(t) = <p>(t) m^{-1}
		\end{equation}
	\item H-Operator ist durch das Analogon zur klassischen Hamiltonfunktion gegeben
\end{enumerate}

\section{Beispiel 1: $\infty$-Potentialtopf}
\begin{figure}[H] \centering
\includegraphics{pdf/II/00-02-00.pdf}
\end{figure}
\begin{equation}
	V(x) = \left\lbrace \begin{array}{ll} \infty &\text{für } \abs{x} > a\\ 0 &\text{für } \abs{x} < a \end{array} \right.
\end{equation}

\paragraph*{klassisch}
$x(t_0), p(t_0) = \sqrt{2m E}$
\begin{figure}[H] \centering
\includegraphics{pdf/II/00-02-01.pdf}
\end{figure}

\paragraph*{quantal}
\subparagraph*{Schritt 1} Stationäre Zustände
\begin{equation}
	\left( -\frac{\hbar^2}{2m}~\partial_x^2 + V(x) \right) \phi(x) \stackrel{!}{=} E \phi(x)
\end{equation}
mit $V(x) = 0$ für $\abs{x} < a$.\\
Randbedingung: $\phi(\pm a) = 0$
\begin{equation}
	\diffPs{x}^2 \phi(x) = -\frac{2 m E}{\hbar} \phi(x)
\end{equation}
Lösung:
\begin{enumerate}
	\item symmetrisch
		\begin{equation}
			\phi(x) = A \cos(kx); ~ k \equiv \sqrt{\frac{2 m E}{\hbar^2}}
		\end{equation}\\
		Rand:
		\begin{equation}
			\phi(\pm a) = A \cos k a) \stackrel{!}{=} 0
		\end{equation}\\
		daraus folgt (mit $n = 0, 2, 4, 6, ...$)
		\begin{equation}
			k_n a = \frac{\pi}{2} ( 1 + n )
		\end{equation}
		und mit $n = 0, 1, ..., \infty$ ist dann
		\begin{equation}
			E_n = \frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{a^2} \left(\frac{\pi}{2} \right)^2 (1 + n)^2
		\end{equation}
	\item antisymmetrisch
		\begin{equation}
			\phi(x) = A \sin(k x)
		\end{equation}
		Rand:
		\begin{equation}
			\phi(\pm a) = \pm A \sin(k a) \stackrel{!}{=} 0
		\end{equation}
		daraus folgt mit $n = 1, 3, 5, 7, 9, ...$
		\begin{equation}
			k_n a = \frac{\pi}{2} (1 + n)\\
		\end{equation}
		und mit $n = 0, 1, ..., \infty$ ist dann
		\begin{equation}
			E_n = \frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{a^2} \left(\frac{\pi}{2} \right)^2 (1 + n)^2
		\end{equation}
\end{enumerate}
\subparagraph*{Fazit}
\begin{enumerate}
	\item Energieeigenwerte sind quantisiert.
		\begin{figure}[H] \centering
		\includegraphics{pdf/II/00-02-02.pdf}
		\end{figure}
	\item Eigenfunktionen $\phi_n(x)$ bilden ein vollständig normiertes Basissystem.
		\begin{equation}
			\phi_n = \frac{1}{\sqrt{a}} \left\lbrace \begin{array}{ll} \cos(k_n x) & n\text{ grade}\\ \sin(k_n x) & \text{sont.} \end{array} \right.
		\end{equation}
		\begin{align}
			\intgr{-\infty}{+\infty}{\phi_m(x) \phi_n(x)}{x} &= \delta_{m,n}\\
			\sum_{n=0}^{\infty} \phi_n(x) \phi_n(x') &= \delta(x - x')
		\end{align}
		d.h. jede Funktion $\psi(x)$ kann entwickelt werden in dieser Basis $\psi(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n \phi_n(x)$.
\end{enumerate}
\begin{figure}[H] \centering
\includegraphics{pdf/II/00-02-03.pdf}
\caption{Skizze der Eigenfunktionen}
\end{figure}
\paragraph{Schritt 2} Dynamik\\
Sei nun $\psi(x, t)$ beliebig gegeben durch
\begin{equation}
	\psi(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n(t) \phi_n(x)
\end{equation}
eingesetzt in die Schrödinger Gleichung
\begin{align}
	i \hbar \sum_{n=0}^{\infty} \left( \diffPs{t} c_n(t) \right) \phi_n(x) &= \sum_{n'=0}^{\infty} \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \diffPs{x}^2 \right) c_{n'}(t) \phi_{n'}(x)\\
	i \hbar \sum_{n=0}^{\infty} \diffPs{t} c_n(t) \phi_n(x) &= \sum_{n'=0}^{\infty} c_{n'}(t) E_{n'} \phi_{n'}(x) &\left| \intgr{-a}{+a}{\phi_m(x)}{x} \right.\\
	i\hbar \diffPs{t} c_n(t) &= E_n c_m(t)
\end{align}
dann ist
\begin{equation}
	c_m(t) = e^{-\frac{i}{\hbar} E_m t}e_m(0)
\end{equation}
mit
\begin{equation}
	c_m(0) = \intgr{-a}{+a}{\phi_m(x) \psi(x,t)}{x}
\end{equation}
und damit
\begin{align}
	\psi(x,t) &= \intgru{\sum_n \phi_n(x) e^{-\frac{i}{\hbar} E_n (t-t_0) \phi_n(x') \psi(x,t)}}{x}\\
	&\equiv \intgru{U(x,t;x',t_0) \psi(x',t_0)}{x'}
\end{align}
($U(x,t;x',t_0)$ ... Zeitentwicklungsoperator in Ortsdarstellung)
\section{Beispiel 2: $\delta$-Potentialtopf}
\begin{figure}[H] \centering
\includegraphics{pdf/II/00-03-00.pdf}
\end{figure}
Mit
\begin{equation}
	V(x) = -\alpha \delta(x)
\end{equation}
ergeben sich die Stationären Zustände:
\begin{align}
	\left[ -\frac{\hbar^2}{2m} -\alpha \delta(x) \right] \phi(x) &= E \phi(x) &\left| \intgr{-\varepsilon}{+\varepsilon}{}{x} \right.\\
	-\frac{\hbar^2}{2m} \left[ \phi'(0+\varepsilon) - \phi'(0-\varepsilon) \right] - \alpha \phi(0) &= \underbrace{2 \varepsilon E \phi(0)}_{\rightarrow 0}
\end{align}
$\phi'(x)$ springt bei der Null, wobei $\phi$ selbst stetig ist.

\paragraph*{Fall 1} $E < 0$\\
$x > 0$:
\begin{align}
	\diffPs{x}^2 \phi(x) &= K^2 \phi(x) &K^2 \equiv \frac{\abs{E} 2m}{\hbar^2}\\[15pt]
	\phi(x) &= A e^{\pm K x}
\end{align}
$+K$-Lösung nicht normierbar, also:
\begin{equation}
	\phi(x) = A_+ e^{-K x}
\end{equation}\\[15pt]
$x > 0$:
\begin{equation}
	\phi(x) = A_- e^{-K \abs{x}}
\end{equation}
Aus der Stetigkeit von $\phi$ folgt:
\begin{equation}
	A_+ = A_- = A
\end{equation}
\subparagraph*{Sprungbedingung}
\begin{align}
	\frac{- \hbar^2}{2m} \left(  \right) - \alpha A &= 0\\
	K &= \frac{m \alpha}{\hbar^2}\\
	\rightarrow E &= -\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{2m}{\hbar} \right)^2 \alpha^2
\end{align}
$\rightarrow$ Ein gebundener Zustand.
\begin{figure}[H] \centering
\includegraphics{pdf/II/00-03-01.pdf}
\end{figure}
\subparagraph*{Normierung}
\begin{equation}
	\phi_0(x) = \frac{1}{\sqrt{K}} e^{-K \abs{x}}
\end{equation}

\paragraph*{Fall 2} $E > 0$: Streuzustände (nicht normierbar)