Kapitel III.0 fertig (bis auf Bilder)
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@ -8,7 +8,7 @@
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\paragraph*{Ziel}
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zwei und mehr Teilchen in $d=3$; Ortsfreiheitsgrad und Ort kombinieren
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\section{Beispiel 2 Teilchen in einer Dimension}
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\section{Beispiel: 2 Teilchen in einer Dimension (Teil 1)}
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%\begin{figure}[H] \centering
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%\includegraphics{pdf/III/00-01-00.pdf}
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%\end{figure}
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@ -129,4 +129,108 @@ mit $\ket{\psi} \in \hilbert$ und $\psi(x_1, x_2) = \braket{x_1, x_2}{\psi}$
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\ket{\psi}^{(4)} &= \intgr{-\infty}{+\infty}{\sum_{n=0}^\infty \psi_n(x) \ket{x, n}}{x}
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\end{align}
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\section{Operatoren}
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\section{Operatoren}
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Im zusammengesetzten Hilbertraum $\hilbert = \hilbert^{(1)} \otimes \hilbert^{(2)}$ sei:
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\begin{itemize}
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\item $\hilbert^{(1)}$ mit Operatoren $A^{(1)}$\\ \indent
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(z.B. der Ortsoperator beim Benzolring $A^{(1)} = H$)
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\item $\hilbert^{(2)}$ mit Operatoren $B^{(2)}$\\ \indent
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(z.B. ein Spinoperator: $B^{(2)} = \sigma_x$, $sigma_y$ oder $sigma_z$)
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\end{itemize}
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Nun besitzt $A^{(1)}$ die Erweiterung in $\hilbert^{(1)} \otimes \hilbert^{(2)}$:
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\begin{equation}
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A^{(1)} \rightarrow a^{(1)} \otimes \one^{(2)} \equiv A^{(1) \otimes (2)}
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\end{equation}
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Die Wirkung der Operatoren auf die Zustände ist allgemein:
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\begin{equation}
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\left( A^{(1)} \otimes B^{(2)} \right) \left( \ket{\psi_1} \otimes \ket{\psi_2} \right) = \left( A^{(1)} \ket{\psi_1} \right) \otimes \left( B^{(2)} \ket{\psi_2} \right)
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\end{equation}
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und am Beispiel des Spinoperators beim Benzolring:
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\begin{align}
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\sigma_z^{(1) \otimes (2)} \equiv \one^{(1)} \otimes \sigma_z^{(2)} \rightarrow \one^{(1)} \otimes \sigma_z^{(2)} \ket{3, z-} &= \left( \one \ket{3} \right) \otimes (-1)\ket{z-}\\
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&= -\ket{3, z-}
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\end{align}
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mit der Notation:
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\begin{equation}
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\sigma_z \ket{3, z-} = -\ket{3, z-}
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\end{equation}
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\paragraph{Beispiel} Ein Ringmölekül mit 3 C-Atomen hat als Basis:
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\begin{equation}
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\set{\ket{1, z\pm}, \ket{2, z\pm}, \ket{3, z\pm}} = \setCond{\ket{j}}{j = 1, ..., 6}
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\end{equation}
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Operator $\sigma_z$
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\begin{equation}
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\dirac{j'}{\one \otimes \sigma_z}{j} = \inlinematrix{
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1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
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0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
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0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
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0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
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0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
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0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\
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}
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\end{equation}
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\section{Beispiel: 2 Teilchen in einer Dimension (Teil 2)}
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Zeitabhängige Schrödingergleichung in Ortsdarstellung:
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\begin{align}
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i \hbar \diffPs{t} \ket{\psi} &= H \ket{\psi}
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&= \frac{\hat{p}_1^2}{2m_1} + \frac{\hat{p}_2^2}{2m_2} V(\hat{x}_1, \hat{x}_2) \ket{\psi}
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\end{align}
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\paragraph{Fall 1} $H$ ist separabel:
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\begin{align}
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V(x_1, x_2) &= V_1(x_1) + V_2(x_2)\\
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\rightarrow H = H^{(1)} + H^{(2)}
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\end{align}
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Durch den Ansatz
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\begin{equation}
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\ket{\psi(t)} = e^{-\frac{i}{\hbar} t E} \ket{\phi}
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\end{equation}
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und
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\begin{equation}
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\left( H^{(1)} + H^{(2)} \right) \ket{\phi} = E \ket{\phi}
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\end{equation}
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mit dem stationären Zustand
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\begin{equation}
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\ket{\phi} \equiv \ket{E_{i,j}} = \ket{E^{(1)}_i} \otimes \ket{E^{(2)}_j} = \ket{E^{(1)}_i, E^{(2)}_j}
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\end{equation}
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mit
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\begin{equation}
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H^{(1)} \ket{E^{(1)}_i} = E^{(1)}_i \ket{E^{(1)}_i}
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\end{equation}
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erhält man die vollständige Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung:
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\begin{equation}
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\ket{\psi(t)} = \sum_{i,j} c_{i,j}(0) e^{-\frac{i}{\hbar} \left( E^{(1)}_i + E^{(2)}_j \right) t} \ket{E^{(1)}_i, E^{(2)}_j}
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\end{equation}
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mit
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\begin{equation}
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c_{i,j}(0) = \braket{E^{(1)}_i, E^{(2)}_j}{\psi(t_0)}
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\end{equation}
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\paragraph{Fall 2} $H$ ist nicht separabel: Man erhält eine partielle Differentialgleichung 2. Ordnung.
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\paragraph{Fall 3} Es liegt kein äußere Potential an: $V = V(x_1 - x_2)$: neue Koordinaten
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\begin{align}
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x_{CM} &\equiv \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}\\
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p_{CM} &\equiv p_1 + p_2\\
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x \equiv x_1 - x_2\\
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p \equiv \mu \left( \frac{p_1}{m_1} + \frac{p_2}{m_2} \right)\\
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\end{align}
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mit
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\begin{equation}
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\frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}
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\end{equation}
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Für den Kommutator ergibt sich nun:
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\begin{equation}
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[x_{CM}, p_{CM}] = [x, p] = [x_1, p_1] = [x_2, p_2] = i\hbar
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\end{equation}
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und für den Hamiltonoperator:
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\begin{align}
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H &= \frac{p_1^2}{2m_1} \frac{p_2^2}{2m_2} + V(x_1 - x_2)\\
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&= \underbrace{\frac{p_{CM}^2}{2 (m_1 + m_2)}}_\text{separabel} + \underbrace{\frac{p^2}{2\mu} + V(x)}_{H_\text{rel}}\\[15pt]
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&= H_{CM} + H_\text{rel}
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\end{align}
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Beispiel:
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\begin{equation}
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V(x) = \frac{\mu}{2} \omega^2 x^2
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\end{equation}
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\subparagraph{Anmerkung} Aus dem Oberen erhält man eine schöne Basis im Produktraum: $\set{\ket{p_{CM}}, n}$
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