Kapitel III.0 fertig (bis auf Bilder)

kapIII-0.tex

@@ -8,7 +8,7 @@
 \paragraph*{Ziel}
 zwei und mehr Teilchen in $d=3$; Ortsfreiheitsgrad und Ort kombinieren
 
-\section{Beispiel 2 Teilchen in einer Dimension}
+\section{Beispiel: 2 Teilchen in einer Dimension (Teil 1)}
 %\begin{figure}[H] \centering
 %\includegraphics{pdf/III/00-01-00.pdf}
 %\end{figure}
@@ -130,3 +130,107 @@ mit $\ket{\psi} \in \hilbert$ und $\psi(x_1, x_2) = \braket{x_1, x_2}{\psi}$
 \end{align}
 
 \section{Operatoren}
+Im zusammengesetzten Hilbertraum $\hilbert = \hilbert^{(1)} \otimes \hilbert^{(2)}$ sei:
+\begin{itemize}
+	\item $\hilbert^{(1)}$ mit Operatoren $A^{(1)}$\\ \indent
+		(z.B. der Ortsoperator beim Benzolring $A^{(1)} = H$)
+	\item $\hilbert^{(2)}$ mit Operatoren $B^{(2)}$\\ \indent
+		(z.B. ein Spinoperator: $B^{(2)} = \sigma_x$, $sigma_y$ oder $sigma_z$)
+\end{itemize}
+Nun besitzt $A^{(1)}$ die Erweiterung in $\hilbert^{(1)} \otimes \hilbert^{(2)}$:
+\begin{equation}
+	A^{(1)} \rightarrow a^{(1)} \otimes \one^{(2)} \equiv A^{(1) \otimes (2)}
+\end{equation}
+Die Wirkung der Operatoren auf die Zustände ist allgemein:
+\begin{equation}
+	\left( A^{(1)} \otimes B^{(2)} \right) \left( \ket{\psi_1} \otimes \ket{\psi_2} \right) = \left( A^{(1)} \ket{\psi_1} \right) \otimes \left( B^{(2)} \ket{\psi_2} \right)
+\end{equation}
+und am Beispiel des Spinoperators beim Benzolring:
+\begin{align}
+	\sigma_z^{(1) \otimes (2)} \equiv \one^{(1)} \otimes \sigma_z^{(2)} \rightarrow \one^{(1)} \otimes \sigma_z^{(2)} \ket{3, z-} &= \left( \one \ket{3} \right) \otimes (-1)\ket{z-}\\
+	&= -\ket{3, z-}
+\end{align}
+mit der Notation:
+\begin{equation}
+	\sigma_z \ket{3, z-} = -\ket{3, z-}
+\end{equation}
+\paragraph{Beispiel} Ein Ringmölekül mit 3 C-Atomen hat als Basis:
+\begin{equation}
+	\set{\ket{1, z\pm}, \ket{2, z\pm}, \ket{3, z\pm}} = \setCond{\ket{j}}{j = 1, ..., 6}
+\end{equation}
+Operator $\sigma_z$
+\begin{equation}
+	\dirac{j'}{\one \otimes \sigma_z}{j} = \inlinematrix{
+		1 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 \\
+		0 & -1 &  0 &  0 &  0 &  0 \\
+		0 &  0 &  1 &  0 &  0 &  0 \\
+		0 &  0 &  0 & -1 &  0 &  0 \\
+		0 &  0 &  0 &  0 &  1 &  0 \\
+		0 &  0 &  0 &  0 &  0 & -1 \\
+	}
+\end{equation}
+
+\section{Beispiel: 2 Teilchen in einer Dimension (Teil 2)}
+Zeitabhängige Schrödingergleichung in Ortsdarstellung:
+\begin{align}
+	i \hbar \diffPs{t} \ket{\psi} &= H \ket{\psi}
+	&= \frac{\hat{p}_1^2}{2m_1} + \frac{\hat{p}_2^2}{2m_2} V(\hat{x}_1, \hat{x}_2) \ket{\psi}
+\end{align}
+
+\paragraph{Fall 1} $H$ ist separabel:
+\begin{align}
+	V(x_1, x_2) &= V_1(x_1) + V_2(x_2)\\
+	\rightarrow H = H^{(1)} + H^{(2)}
+\end{align}
+Durch den Ansatz
+\begin{equation}
+	\ket{\psi(t)} = e^{-\frac{i}{\hbar} t E} \ket{\phi}
+\end{equation}
+und
+\begin{equation}
+	\left( H^{(1)} + H^{(2)} \right) \ket{\phi} = E \ket{\phi}
+\end{equation}
+mit dem stationären Zustand
+\begin{equation}
+	\ket{\phi} \equiv \ket{E_{i,j}} = \ket{E^{(1)}_i} \otimes \ket{E^{(2)}_j} = \ket{E^{(1)}_i, E^{(2)}_j}
+\end{equation}
+mit
+\begin{equation}
+	H^{(1)} \ket{E^{(1)}_i} = E^{(1)}_i \ket{E^{(1)}_i}
+\end{equation}
+erhält man die vollständige Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung:
+\begin{equation}
+	\ket{\psi(t)} = \sum_{i,j} c_{i,j}(0) e^{-\frac{i}{\hbar} \left( E^{(1)}_i + E^{(2)}_j \right) t} \ket{E^{(1)}_i, E^{(2)}_j}
+\end{equation}
+mit
+\begin{equation}
+	c_{i,j}(0) = \braket{E^{(1)}_i, E^{(2)}_j}{\psi(t_0)}
+\end{equation}
+
+\paragraph{Fall 2} $H$ ist nicht separabel: Man erhält eine partielle Differentialgleichung 2. Ordnung.
+\paragraph{Fall 3} Es liegt kein äußere Potential an: $V = V(x_1 - x_2)$: neue Koordinaten
+\begin{align}
+	x_{CM} &\equiv \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}\\
+	p_{CM} &\equiv p_1 + p_2\\
+	x \equiv x_1 - x_2\\
+	p \equiv \mu \left( \frac{p_1}{m_1} + \frac{p_2}{m_2} \right)\\
+\end{align}
+mit
+\begin{equation}
+	\frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}
+\end{equation}
+Für den Kommutator ergibt sich nun:
+\begin{equation}
+	[x_{CM}, p_{CM}] = [x, p] = [x_1, p_1] = [x_2, p_2] = i\hbar
+\end{equation}
+und für den Hamiltonoperator:
+\begin{align}
+	H &= \frac{p_1^2}{2m_1} \frac{p_2^2}{2m_2} + V(x_1 - x_2)\\
+	&= \underbrace{\frac{p_{CM}^2}{2 (m_1 + m_2)}}_\text{separabel} + \underbrace{\frac{p^2}{2\mu} + V(x)}_{H_\text{rel}}\\[15pt]
+	&= H_{CM} + H_\text{rel}
+\end{align}
+Beispiel:
+\begin{equation}
+	V(x) = \frac{\mu}{2} \omega^2 x^2
+\end{equation}
+\subparagraph{Anmerkung} Aus dem Oberen erhält man eine schöne Basis im Produktraum: $\set{\ket{p_{CM}}, n}$