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kapII-0.tex

@@ -41,3 +41,157 @@ Die möglichen $E$-Werte sind die Eigenwerte des $H$-Operators. Diese Form der P
 		\end{equation}
 	\item H-Operator ist durch das Analogon zur klassischen Hamiltonfunktion gegeben
 \end{enumerate}
+
+\section{Beispiel 1: $\infty$-Potentialtopf}
+%\begin{figure}[h]
+%\includegraphics{pdf/II/00-02-00.pdf}
+%\end{figure}
+\begin{equation}
+	V(x) = \left\lbrace \begin{array}{ll} \infty &\text{für } \abs{x} > a\\ 0 &\text{für } \abs{x} < a \end{array} \right.
+\end{equation}
+
+\paragraph*{klassisch}
+$x(t_0), p(t_0) = \sqrt{2m E}$
+%\begin{figure}[h]
+%\includegraphics{pdf/II/00-02-01.pdf}
+%\end{figure}
+
+\paragraph*{quantal}
+\subparagraph*{Schritt 1} Stationäre Zustände
+\begin{equation}
+	\left( -\frac{\hbar^2}{2m}~\partial_x^2 + V(x) \right) \phi(x) \stackrel{!}{=} E \phi(x)
+\end{equation}
+mit $V(x) = 0$ für $\abs{x} < a$.\\
+Randbedingung: $\phi(\pm a) = 0$
+\begin{equation}
+	\diffPs{x}^2 \phi(x) = -\frac{2 m E}{\hbar} \phi(x)
+\end{equation}
+Lösung:
+\begin{enumerate}
+	\item symmetrisch
+		\begin{equation}
+			\phi(x) = A \cos(kx); ~ k \equiv \sqrt{\frac{2 m E}{\hbar^2}}
+		\end{equation}\\
+		Rand:
+		\begin{equation}
+			\phi(\pm a) = A \cos k a) \stackrel{!}{=} 0
+		\end{equation}\\
+		daraus folgt (mit $n = 0, 2, 4, 6, ...$)
+		\begin{equation}
+			k_n a = \frac{\pi}{2} ( 1 + n )
+		\end{equation}
+		und mit $n = 0, 1, ..., \infty$ ist dann
+		\begin{equation}
+			E_n = \frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{a^2} \left(\frac{\pi}{2} \right)^2 (1 + n)^2
+		\end{equation}
+	\item antisymmetrisch
+		\begin{equation}
+			\phi(x) = A \sin(k x)
+		\end{equation}
+		Rand:
+		\begin{equation}
+			\phi(\pm a) = \pm A \sin(k a) \stackrel{!}{=} 0
+		\end{equation}
+		daraus folgt mit $n = 1, 3, 5, 7, 9, ...$
+		\begin{equation}
+			k_n a = \frac{\pi}{2} (1 + n)\\
+		\end{equation}
+		und mit $n = 0, 1, ..., \infty$ ist dann
+		\begin{equation}
+			E_n = \frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{a^2} \left(\frac{\pi}{2} \right)^2 (1 + n)^2
+		\end{equation}
+\end{enumerate}
+\subparagraph*{Fazit}
+\begin{enumerate}
+	\item Energieeigenwerte sind quantisiert.
+		%\begin{figure}[h]
+		%\includegraphics{pdf/II/00-02-02.pdf}
+		%\end{figure}
+	\item Eigenfunktionen $\phi_n(x)$ bilden ein vollständig normiertes Basissystem.
+		\begin{equation}
+			\phi_n = \frac{1}{\sqrt{a}} \left\lbrace \begin{array}{ll} \cos(k_n x) & n\text{ grade}\\ \sin(k_n x) & \text{sont.} \end{array} \right.
+		\end{equation}
+		\begin{align}
+			\intgr{-\infty}{+\infty}{\phi_m(x) \phi_n(x)}{x} &= \delta_{m,n}\\
+			\sum_{n=0}^{\infty} \phi_n(x) \phi_n(x') &= \delta(x - x')
+		\end{align}
+		d.h. jede Funktion $\psi(x)$ kann entwickelt werden in dieser Basis $\psi(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n \phi_n(x)$.
+		%\begin{figure}[h]
+		%\includegraphics{pdf/II/00-02-03.pdf}
+		%\caption{Skizze der Eigenfunktionen}
+		%\end{figure}
+\end{enumerate}
+\paragraph{Schritt 2} Dynamik\\
+Sei nun $\psi(x, t)$ beliebig gegeben durch
+\begin{equation}
+	\psi(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n(t) \phi_n(x)
+\end{equation}
+eingesetzt in die Schrödinger Gleichung
+\begin{align}
+	i \hbar \sum_{n=0}^{\infty} \left( \diffPs{t} c_n(t) \right) \phi_n(x) &= \sum_{n'=0}^{\infty} \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \diffPs{x}^2 \right) c_{n'}(t) \phi_{n'}(x)\\
+	i \hbar \sum_{n=0}^{\infty} \diffPs{t} c_n(t) \phi_n(x) &= \sum_{n'=0}^{\infty} c_{n'}(t) E_{n'} \phi_{n'}(x) &\left| \intgr{-a}{+a}{\phi_m(x)}{x} \right.\\
+	i\hbar \diffPs{t} c_n(t) &= E_n c_m(t)
+\end{align}
+dann ist
+\begin{equation}
+	c_m(t) = e^{-\frac{i}{\hbar} E_m t}e_m(0)
+\end{equation}
+mit
+\begin{equation}
+	c_m(0) = \intgr{-a}{+a}{\phi_m(x) \psi(x,t)}{x}
+\end{equation}
+und damit
+\begin{align}
+	\psi(x,t) &= \intgru{\sum_n \phi_n(x) e^{-\frac{i}{\hbar} E_n (t-t_0) \phi_n(x') \psi(x,t)}}{x}\\
+	&\equiv \intgru{U(x,t;x',t_0) \psi(x',t_0)}{x'}
+\end{align}
+($U(x,t;x',t_0)$ ... Zeitentwicklungsoperator in Ortsdarstellung)
+\section{Beispiel 2: $\delta$-Potentialtopf}
+%\begin{figure}[h]
+%\includegraphics{pdf/II/00-03-00.pdf}
+%\end{figure}
+Mit
+\begin{equation}
+	V(x) = -\alpha \delta(x)
+\end{equation}
+ergeben sich die Stationären Zustände:
+\begin{align}
+	\left[ -\frac{\hbar^2}{2m} -\alpha \delta(x) \right] \phi(x) &= E \phi(x) &\left| \intgr{-\varepsilon}{+\varepsilon}{}{x} \right.\\
+	-\frac{\hbar^2}{2m} \left[ \phi'(0+\varepsilon) - \phi'(0-\varepsilon) \right] - \alpha \phi(0) &= \underbrace{2 \varepsilon E \phi(0)}_{\rightarrow 0}
+\end{align}
+$\phi'(x)$ springt bei der Null, wobei $\phi$ selbst stetig ist.
+
+\paragraph*{Fall 1} $E < 0$\\
+$x > 0$:
+\begin{align}
+	\diffPs{x}^2 \phi(x) &= K^2 \phi(x) &K^2 \equiv \frac{\abs{E} 2m}{\hbar^2}\\[15pt]
+	\phi(x) &= A e^{\pm K x}
+\end{align}
+$+K$-Lösung nicht normierbar, also:
+\begin{equation}
+	\phi(x) = A_+ e^{-K x}
+\end{equation}\\[15pt]
+$x > 0$:
+\begin{equation}
+	\phi(x) = A_- e^{-K \abs{x}}
+\end{equation}
+Aus der Stetigkeit von $\phi$ folgt:
+\begin{equation}
+	A_+ = A_- = A
+\end{equation}
+\subparagraph*{Sprungbedingung}
+\begin{align}
+	\frac{- \hbar^2}{2m} \left(  \right) - \alpha A &= 0\\
+	K &= \frac{m \alpha}{\hbar^2}\\
+	\rightarrow E &= -\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{2m}{\hbar} \right)^2 \alpha^2
+\end{align}
+$\rightarrow$ Ein gebundener Zustand.
+%\begin{figure}[h]
+%\includegraphics{pdf/II/00-03-01.pdf}
+%\end{figure}
+\subparagraph*{Normierung}
+\begin{equation}
+	\phi_0(x) = \frac{1}{\sqrt{K}} e^{-K \abs{x}}
+\end{equation}
+
+\paragraph*{Fall 2} $E > 0$: Streuzustände (nicht normierbar)

kapII-2.tex

@@ -121,7 +121,7 @@ Heisenberg:
 für Gauss'sches Wellenpacket ist Gleichheit erreicht.
 \paragraph*{Dynamik}
 \begin{align}
-	\psi(x,t) &= \intgr{-\infty}{+infty}{U(x,t; x',t_0)}{x'} &\left| t_0 = 0; ~ U(x,t; x',t_0) = \dirac{x}{U(t,t_0}{x'} \right.\\
+	\psi(x,t) &= \intgr{-\infty}{+infty}{U(x,t; x',t_0)}{x'} &\left| \begin{array}{l} t_0 = 0;\\ U(x,t; x',t_0) = \dirac{x}{U(t,t_0}{x'} \end{array} \right.\\
 	&= \left( \sqrt{\pi} \left( \Delta + \frac{i \hbar t}{m \Delta} \right) \right)^{-\frac{1}{2}} e^\frac{-\left(x - \frac{p_0 t}{m} \right)^2}{2 \Delta^2 \left( 1 + i \hbar \frac{t}{m \Delta^2} \right)} e^{\frac{i p_0}{\hbar} \left( x - \frac{p_0 t}{m} \right)}
 \end{align}
 \begin{equation}

kapII-3.tex

@@ -24,4 +24,79 @@ der Wahscheinlichkeitsstromdichte (``Kontinuitätsgleichung''; gilt für jede Er
 % 	&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \frac{p}{}
 \end{align}
 
-\section{Streuung an der Potentialstufe}
+\section{Streuung an der Potentialstufe}
+%\begin{figure}[h]
+%\includegraphics{pdf/II/03-02-00.pdf}
+%\end{figure}
+\paragraph*{klassisch}
+\subparagraph*{Fall 1} $E > V_0$
+\begin{align}
+	x < 0:~ & p(x < 0) = \sqrt{2m E}\\
+	x > 0:~ & p(x > 0) = \sqrt{2m (E - V_0)}
+\end{align}
+Teilchen passiert die Potentialstufe, verliert Impuls
+\subparagraph*{Fall 2} $E < V_0$
+\begin{equation}
+	p(x < 0) = \sqrt{2m E}
+\end{equation}
+Teilchen wird reflektiert
+
+\paragraph*{quantal}
+\subparagraph*{Fall 1} $E > 0$\\
+stationäre SG:
+\begin{equation}
+	\left( -\frac{\hbar^2}{2m} \diffPs{x}^2  V(x) \right) \phi(x) = E \phi(x)
+\end{equation}
+links: $x < 0$
+\begin{equation}
+	\diffPs{x}^2 \phi(x) = -k^2 \phi(x)
+\end{equation}
+mit
+\begin{equation}
+	k = \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}}
+\end{equation}
+Lösung:
+\begin{equation}
+	\phi(x) = A e^{i k x} + B e^{-i k x}
+\end{equation}
+rechts: $x > 0$
+\begin{equation}
+	\left( -\frac{\hbar^2}{2m} \diffPs{x}^2 + V_0 \right) \phi(x) = E \phi(x)
+\end{equation}
+Lösung:
+\begin{equation}
+	\phi(x) = C e^{i q x} + D e^{-i q x}
+\end{equation}
+mit
+\begin{equation}
+	q = \sqrt{\frac{2m (E - V_0)}{\hbar^2}}
+\end{equation}
+Randbedinung bei $x = 0$
+\begin{align}
+	\phi(-\varepsilon) &= \phi(+\varepsilon)\\
+	\diffPs{x} \phi(-\varepsilon) &= \diffPs{x} \phi(+\varepsilon)\\
+	\rightarrow A + B &= C + D\\
+	i k (A - B) &= i q (C - D)\\[15pt]
+	\inlinematrix{1 & 1 \\ i k & -i k} \inlinematrix{A \\ B} &= \inlinematrix{1 & 1 \\ i q & -i q} \inlinematrix{C \\ D}\\
+	\inlinematrix{A \\ B} &= \frac{1}{2k} \inlinematrix{k+q & k-q \\ k-q & k+q} \inlinematrix{C \\ D}
+\end{align}
+$\rightarrow$ Randbedingung einer von links laufenden Welle\\
+$\Rightarrow$ keine Komponente einer von rechts einlaufenden Welle für $x > 0$ erlaubt!\\
+$\Rightarrow$ $D \equiv 0$\\
+o.B.d.A.: $A = 1$
+\begin{align}
+	A &= \frac{k + q}{2k} C ~ \rightarrow C = \frac{2k}{k+q}\\
+	B &= \frac{k - q}{2k} C ~ \rightarrow B = \frac{k - q}{k + q}
+\end{align}
+Strom links: $x < 0$
+\begin{align}
+	j(x < 0) &= \frac{\hbar}{m} \im{\diffPs{x}\phi ~ \phi^*}\\
+	&= \frac{\hbar}{m} \im{i k \left(A e^{i k x} - B e^{-i k x} \right) \left(A^* e^{- i k x} + B^* e^{i k x}\right)}\\
+	&= \frac{\hbar}{m} \im{ik \left( A A^* - B B^*\right) + ik \left( A B^* e^{2 i k x} - A^* B e^{-2 i k x} \right)}\\
+	&= \frac{\hbar}{m} k \left( 1 - \left( \frac{k - q}{k + q} \right)^2 \right) \equiv j_I - j_R
+\end{align}
+mit
+\begin{align}
+	j_I &= \frac{\hbar k}{m} &\text{einfallend}\\
+	j_R &= \frac{\hbar}{m} k \left( \frac{k - q}{k + q} \right)^2 \equiv R j_I &\text{reflectiert}
+\end{align}

math.tex

@@ -33,7 +33,7 @@
 \newcommand{\intgr}[4]{\int_{#1}^{#2} #3 ~\text{d}#4}
 \newcommand{\intgru}[2]{\int #1 ~\text{d}#2}
 
-\newcommand{\bbracket}[1]{\left #1 \right}
+\newcommand{\sbk}[1]{\left( #1 \right)}
 
 \newcommand{\levicivita}[1]{\varepsilon_{#1}}
 \newcommand{\krondelta}[1]{\delta_{#1}}

ueb6.tex

@@ -73,7 +73,7 @@ Da $\inlinematrix{l \\ o \\ m} S_x \inlinematrix{n \\ o \\ p} = 0}$ folgt $S_x =
 \end{align}
 (1)
 \begin{align}
-	\braket{\chi_k}{\phi_0} &= \frac{1}{\sqrt{6}} \sum{n=0}{5}{exp(-\i n \delta_{keine ahnung}\bracket{\phi_n}{\phi_0}} \\ \\
+	\braket{\chi_k}{\phi_0} &= \frac{1}{\sqrt{6}} \sum{n=0}{5}{exp(-\i n \delta_{keine ahnung}\braket{\phi_n}{\phi_0}} \\ \\
 				&= \frac{1}{\sqrt{6}} e^{-\i 0 \delta_{keine ahnung}} \\
 				&= \frac{1}{\sqrt{6}}
 \end{align}