[vorlesung] Kapitel II.0 fertig (bis auf Bilder)
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@ -41,3 +41,157 @@ Die möglichen $E$-Werte sind die Eigenwerte des $H$-Operators. Diese Form der P
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\end{equation}
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\item H-Operator ist durch das Analogon zur klassischen Hamiltonfunktion gegeben
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\end{enumerate}
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\section{Beispiel 1: $\infty$-Potentialtopf}
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%\begin{figure}[h]
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%\includegraphics{pdf/II/00-02-00.pdf}
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%\end{figure}
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\begin{equation}
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V(x) = \left\lbrace \begin{array}{ll} \infty &\text{für } \abs{x} > a\\ 0 &\text{für } \abs{x} < a \end{array} \right.
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\end{equation}
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\paragraph*{klassisch}
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$x(t_0), p(t_0) = \sqrt{2m E}$
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%\begin{figure}[h]
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%\includegraphics{pdf/II/00-02-01.pdf}
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%\end{figure}
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\paragraph*{quantal}
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\subparagraph*{Schritt 1} Stationäre Zustände
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\begin{equation}
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\left( -\frac{\hbar^2}{2m}~\partial_x^2 + V(x) \right) \phi(x) \stackrel{!}{=} E \phi(x)
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\end{equation}
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mit $V(x) = 0$ für $\abs{x} < a$.\\
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Randbedingung: $\phi(\pm a) = 0$
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\begin{equation}
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\diffPs{x}^2 \phi(x) = -\frac{2 m E}{\hbar} \phi(x)
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\end{equation}
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Lösung:
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\begin{enumerate}
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\item symmetrisch
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\begin{equation}
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\phi(x) = A \cos(kx); ~ k \equiv \sqrt{\frac{2 m E}{\hbar^2}}
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\end{equation}\\
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Rand:
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\begin{equation}
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\phi(\pm a) = A \cos k a) \stackrel{!}{=} 0
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\end{equation}\\
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daraus folgt (mit $n = 0, 2, 4, 6, ...$)
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\begin{equation}
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k_n a = \frac{\pi}{2} ( 1 + n )
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\end{equation}
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und mit $n = 0, 1, ..., \infty$ ist dann
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\begin{equation}
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E_n = \frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{a^2} \left(\frac{\pi}{2} \right)^2 (1 + n)^2
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\end{equation}
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\item antisymmetrisch
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\begin{equation}
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\phi(x) = A \sin(k x)
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\end{equation}
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Rand:
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\begin{equation}
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\phi(\pm a) = \pm A \sin(k a) \stackrel{!}{=} 0
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\end{equation}
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daraus folgt mit $n = 1, 3, 5, 7, 9, ...$
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\begin{equation}
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k_n a = \frac{\pi}{2} (1 + n)\\
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\end{equation}
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und mit $n = 0, 1, ..., \infty$ ist dann
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\begin{equation}
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E_n = \frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{a^2} \left(\frac{\pi}{2} \right)^2 (1 + n)^2
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\end{equation}
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\end{enumerate}
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\subparagraph*{Fazit}
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\begin{enumerate}
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\item Energieeigenwerte sind quantisiert.
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%\begin{figure}[h]
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%\includegraphics{pdf/II/00-02-02.pdf}
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%\end{figure}
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\item Eigenfunktionen $\phi_n(x)$ bilden ein vollständig normiertes Basissystem.
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\begin{equation}
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\phi_n = \frac{1}{\sqrt{a}} \left\lbrace \begin{array}{ll} \cos(k_n x) & n\text{ grade}\\ \sin(k_n x) & \text{sont.} \end{array} \right.
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\end{equation}
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\begin{align}
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\intgr{-\infty}{+\infty}{\phi_m(x) \phi_n(x)}{x} &= \delta_{m,n}\\
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\sum_{n=0}^{\infty} \phi_n(x) \phi_n(x') &= \delta(x - x')
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\end{align}
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d.h. jede Funktion $\psi(x)$ kann entwickelt werden in dieser Basis $\psi(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n \phi_n(x)$.
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%\begin{figure}[h]
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%\includegraphics{pdf/II/00-02-03.pdf}
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%\caption{Skizze der Eigenfunktionen}
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%\end{figure}
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\end{enumerate}
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\paragraph{Schritt 2} Dynamik\\
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Sei nun $\psi(x, t)$ beliebig gegeben durch
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\begin{equation}
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\psi(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n(t) \phi_n(x)
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\end{equation}
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eingesetzt in die Schrödinger Gleichung
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\begin{align}
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i \hbar \sum_{n=0}^{\infty} \left( \diffPs{t} c_n(t) \right) \phi_n(x) &= \sum_{n'=0}^{\infty} \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \diffPs{x}^2 \right) c_{n'}(t) \phi_{n'}(x)\\
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||||
i \hbar \sum_{n=0}^{\infty} \diffPs{t} c_n(t) \phi_n(x) &= \sum_{n'=0}^{\infty} c_{n'}(t) E_{n'} \phi_{n'}(x) &\left| \intgr{-a}{+a}{\phi_m(x)}{x} \right.\\
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i\hbar \diffPs{t} c_n(t) &= E_n c_m(t)
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\end{align}
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dann ist
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\begin{equation}
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c_m(t) = e^{-\frac{i}{\hbar} E_m t}e_m(0)
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\end{equation}
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mit
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\begin{equation}
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c_m(0) = \intgr{-a}{+a}{\phi_m(x) \psi(x,t)}{x}
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\end{equation}
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und damit
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\begin{align}
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\psi(x,t) &= \intgru{\sum_n \phi_n(x) e^{-\frac{i}{\hbar} E_n (t-t_0) \phi_n(x') \psi(x,t)}}{x}\\
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||||
&\equiv \intgru{U(x,t;x',t_0) \psi(x',t_0)}{x'}
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\end{align}
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($U(x,t;x',t_0)$ ... Zeitentwicklungsoperator in Ortsdarstellung)
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\section{Beispiel 2: $\delta$-Potentialtopf}
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%\begin{figure}[h]
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%\includegraphics{pdf/II/00-03-00.pdf}
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%\end{figure}
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Mit
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\begin{equation}
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V(x) = -\alpha \delta(x)
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\end{equation}
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ergeben sich die Stationären Zustände:
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\begin{align}
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\left[ -\frac{\hbar^2}{2m} -\alpha \delta(x) \right] \phi(x) &= E \phi(x) &\left| \intgr{-\varepsilon}{+\varepsilon}{}{x} \right.\\
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||||
-\frac{\hbar^2}{2m} \left[ \phi'(0+\varepsilon) - \phi'(0-\varepsilon) \right] - \alpha \phi(0) &= \underbrace{2 \varepsilon E \phi(0)}_{\rightarrow 0}
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\end{align}
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$\phi'(x)$ springt bei der Null, wobei $\phi$ selbst stetig ist.
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\paragraph*{Fall 1} $E < 0$\\
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$x > 0$:
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\begin{align}
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\diffPs{x}^2 \phi(x) &= K^2 \phi(x) &K^2 \equiv \frac{\abs{E} 2m}{\hbar^2}\\[15pt]
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\phi(x) &= A e^{\pm K x}
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\end{align}
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$+K$-Lösung nicht normierbar, also:
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\begin{equation}
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\phi(x) = A_+ e^{-K x}
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\end{equation}\\[15pt]
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$x > 0$:
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\begin{equation}
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\phi(x) = A_- e^{-K \abs{x}}
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\end{equation}
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Aus der Stetigkeit von $\phi$ folgt:
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\begin{equation}
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A_+ = A_- = A
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\end{equation}
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\subparagraph*{Sprungbedingung}
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\begin{align}
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\frac{- \hbar^2}{2m} \left( \right) - \alpha A &= 0\\
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K &= \frac{m \alpha}{\hbar^2}\\
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\rightarrow E &= -\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{2m}{\hbar} \right)^2 \alpha^2
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\end{align}
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$\rightarrow$ Ein gebundener Zustand.
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%\begin{figure}[h]
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%\includegraphics{pdf/II/00-03-01.pdf}
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%\end{figure}
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\subparagraph*{Normierung}
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\begin{equation}
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\phi_0(x) = \frac{1}{\sqrt{K}} e^{-K \abs{x}}
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\end{equation}
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\paragraph*{Fall 2} $E > 0$: Streuzustände (nicht normierbar)
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