uebungsaufgaben: kompilationsfehler korrigiert

theo2.tex

@@ -13,6 +13,7 @@
 \include{physics}
 
 \newcommand{\lboxed}[1]{\left\lceil #1 \right\rfloor}
+\renewcommand{\i}{i}
 
 \title{Theoretische Physik 2 Vorlesungs- und Übungsmitschrieb}
 \author{Daniel Bahrdt, Oliver Groß}
@@ -44,13 +45,17 @@
 
 % \part{Übungsmitschrieb}
 % \label{UE}
-% \include{ueb1}
+\include{ueb1}
-% \include{ueb2}
+\include{ueb2}
-% \include{ueb3}
+\include{ueb3}
-% \include{ueb4}
+\include{ueb4}
 % \include{ueb5}
-% \include{ueb6}
+\include{ueb6}
-% \inlcude{ueb7}
+\include{ueb7}
+% \include{ueb8}
+% \include{ueb9}
+% \include{ueb10}
+% \include{ueb11}
 
 \part{Formelsammlung}
 \label{FS}

ueb1.tex

@@ -9,49 +9,39 @@
 \subsection*{b)}
 \subsection*{c)}
 	\begin{math}
-	\textbf{\sigma} 	= (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z) \\
+	\vec{\sigma} = (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z) \\
-	\textbf{\a},\textbf{\b} \in \setR
+	\vec{a}, \vec{b} \in \setR
 	\end{math}
 	
 	\begin{align}
-	
+	(\vec{a} \cdot \vec{\sigma})(\vec{b} \cdot \vec{\sigma})	&= \one (\vec{a} \cdot \vec{b} + \i \vec{\sigma} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) \\
-	(\textbf{a \cdot \sigma})(\textbf{b \cdot \sigma})	&= \one (\textbf{a \cdot b} + \i \textbf{\sigma} \cdot (\textbf{\a} \times \textbf{b}) \\
 	\sum a_\alpha b_\beta \sigma_\alpha \sigma_\beta	&=  \\
 	\sum a_\alpha b_\beta ( \krondelta{\alpha \beta} \one	+ \i \levicivita{\alpha,\beta,\gamma} \sigma_\gamma )	&= \\
 	\sum a_\alpha b_\beta \krondelta{\alpha \beta} \cdot \one + \i a_\alpha b_\beta \levicivita{\alpha,\beta,\gamma} \sigma_\gamma &= \\
-	\one (\textbf{a \cdot b} + \i \sigma \cdot (a \times b)
+	\one (\vec{a} \cdot \vec{b} + \i \sigma \cdot (a \times b)
 	\end{align}
 
 \subsection*{d)}
-	$e^{\i \frac{\i}{2} n \sigma} = \one cos(\frac{\alpha}{2}) - \i (\textbf{n \cdot \sigma}) sin(\frac{\alpha}{2})$ \\
+	$e^{\i \frac{\i}{2} n \sigma} = \one cos(\frac{\alpha}{2}) - \i (\vec{n} \cdot \vec{\sigma}) sin(\frac{\alpha}{2})$ \\
 	Mit der Reihenentwicklung von $e^x$ ergibt sich:
-	\begin{align}
-		e^{- \i \frac{\alpha}{2} \textbf{n \cdot \sigma}	&= \sum_k \frac{(- \i \frac{\alpha}}{2} \textbf{n \cdot \sigma})^k}{k!} \\
-															&= \sum_k (- \i \frac{\alpha}{2})^k \cdot \frac{(\textbf{n \¢dot \sigma)^k}}{k!}
-	\end{align}
 	Desweiteren gilt nach Aufgabe 2 c):
 	\begin{align}
-		(\textbf{n \cdot \sigma}	&= \sigma \\ \\
+		(\vec{n} \cdot \vec{\sigma}	&= \sigma \\
-		(\textbf{n \cdot \sigma}^2	&= \one (\textbf{n \cdot n} + \underbrace{\i \textbf{\sigma} \cdot (\textbf{\n} \times \textbf{n})}_{=0} \\
+		(\vec{n} \cdot \vec{\sigma})^2	&= \one (\vec{n} \cdot \vec{n} + \underbrace{\i \vec{\sigma} \cdot (\vec{n} \times \vec{n})}_{=0} \\
-									&= \one (\textbf{n \cdot n}
+									&= \one (\vec{n} \cdot \vec{n}
 	\end{align}
 	
 	$\Rightarrow$
 	
 	\begin{align}
-		\sum_k (- \i \frac{\alpha}{2})^k \cdot \frac{(\textbf{n \cdot \sigma)^k}}{k!} &= \\
+		\sum_k \sbk{- \i \frac{\alpha}{2}}^k \cdot \frac{\sbk{\vec{n} \cdot \vec{\sigma}}^k}{k!} &= \\
-		
+		\sum_k \sbk{ (-\i)^{2k} (\frac{\alpha}{2})^{2k+1} \frac{(\vec{n} \cdot \vec{\sigma})^{2k}}{(2k)!}} +
-		\sum_k ( (-\i)^{2k} (\frac{\alpha}{2})^{2k+1} \frac{(\textbf{n \cdot \sigma})^{2k}}{(2k)!} +
+		\sum_k \sbk{ (-\i)^{2k+1} (\frac{\alpha}{2})^{2k+1} \frac{(\vec{n} \cdot \vec{\sigma})^{2k+1}}{(2k+1)!}} &= \\
-		\sum_k ( (-\i)^{2k+1} (\frac{\alpha}{2})^{2k+1} \frac{(\textbf{n \cdot \sigma})^{2k+1}}{(2k+1)!} &= \\
+		\sum_k \sbk{ (-1)^k \sbk{\frac{\alpha}{2}}^{2k+1} \frac{\sbk{\vec{n} \cdot \vec{\sigma}}^{2k}}{(2k)!}} +
-		
+		\sum_k \sbk{ \i \cdot (-1)^k \sbk{\frac{\alpha}{2}}^{2k+1} \frac{\sbk{\vec{n} \cdot \vec{\sigma}}^{2k} \cdot \sbk{\vec{n} \cdot \vec{\sigma}}}{(2k+1)!}} &= \\
-		\sum_k ( (-1)^k (\frac{\alpha}{2})^{2k+1} \frac{(\textbf{n \cdot \sigma})^{2k}}{(2k)!} +
+		\sum_k ( (-1)^k \sbk{\frac{\alpha}{2}}^{2k+1} \one \frac{1}{(2k)!} +
-		\sum_k ( \i \cdot (-1)^k (\frac{\alpha}{2})^{2k+1} \frac{(\textbf{n \cdot \sigma})^{2k} \cdot (\textbf{n \cdot \sigma})}{(2k+1)!} &= \\
+		\i \cdot \sum_k (-1)^k (\frac{\alpha}{2})^{2k+1} \one \cdot (\vec{n} \cdot \vec{\sigma}) \cdot \frac{1}{(2k+1)!} &= \\
-		
+		\one \cos(\frac{\alpha}{2}) + \i (\vec{n} \cdot \vec{\sigma}) \sin(\frac{\alpha}{2})
-		\sum_k ( (-1)^k (\frac{\alpha}{2})^{2k+1} \one \frac{1}{(2k)!} +
-		\i \cdot \sum_k (-1)^k (\frac{\alpha}{2})^{2k+1} \one \cdot (\textbf{n \cdot \sigma}) \cdot \frac{1}{(2k+1)!} &= \\
-		
-		\one \cos(\frac{\alpha}{2}) + \i (\textbf{n \cdot \sigma}) \sin(\frac{\alpha}{2})
-		
 	\end{align}
 
 
@@ -72,18 +62,18 @@
 	$f(t) = e^{tA} \cdot B e^{-tA} = B + \frac{t}{1!}[A,B]+\frac{t^2}{2!}[A,[A,B]]+\ldots$
 
 \subsection*{b)}
-	$\forall A,B,C : [A,B] = \i C \and [B,C] = \i A$ \\
+	$\forall A,B,C : [A,B] = \i C \and [B,C] = \i A$
 	\begin{align}
 		e^{\i B t} \cdot  B e^{-\i B t}		&= A \cos(t) + C \sin(t) \\
 											&= A + [\i B,A] + \frac{t^2}{2}[\i B,[\i B, A]] \\
 		[\i B, A]							&= \i [B,A]		&= -\i [A,B] \\
-		[\i B, [\i B, A]]					&= [\i B, C]	&= \i \i A = -A }} \\
+		[\i B, [\i B, A]]					&= [\i B, C]	&= \i \i A = -A \\
 		e^{\i B t} A e^{-\i B t}			&= A + C - \frac{t^2}{2} A  \frac{t^3}{6} C + \frac{t^4}{24} A \\ \\
 											&= A \cos(t) + C \sin(t)
 	\end{align}
 
 \subsection*{c)}
-Es gelte: $[A,[A,B]] = [B,[A,B]] = 0$ \\
+Es gelte: $[A,[A,B]] = [B,[A,B]] = 0$
 \begin{align}
 	e^{A+B}						&= e^A \cdot e^B \cdot e^{-\frac{1}{2}[A,B]} \\
 	g(t)						&= e^{tA} \cdot e^{tB} \cdot e^{-\frac{t^2}{2}[A,B]} \\
@@ -97,11 +87,11 @@ Es gelte: $[A,[A,B]] = [B,[A,B]] = 0$ \\
 								&= A \cdot g(t) -t \cdot g(t) \cdot [A,B] + e^{tA} \cdot B \cdot e^{tB} \cdot e^{-\frac{t^2}{2}[A,B]}
 	\diffTfrac{g(t)}{t}			&= A \cdot g(t) + e^{tA} \cdot B \cdot e^{-tA} \cdot g(t) - t \cdot g(t) \cdot [A,B] \\
 	e^{x} \cdot e^{-x}			&= \one \\
-	\diffTfrac{g}{t}			&= \right( A - t [A,B] + B + \frac{t}{1!} \cdot [A,B] \left) \cdot g(t) \\
+	\diffTfrac{g}{t}			&= \left( A - t [A,B] + B + \frac{t}{1!} \cdot [A,B] \right) \cdot g(t) \\
 	\diffTfrac{g}{t}			&= [A+B] \cdot g(t) \\
 	\frac{\diffTfrac{g}{t}}{g}	&= [A+B] \\
 	g(t)						&= e^{[A+B] \cdot t + c} \\
 	e^A \cdot e^B				&= e^B \cdot e^A \cdot e^[A,B] \\
 	e^(A+B)						&= e^A \cdot e^B \cdot e^{-\frac{1}{2}[A,B]} \\
-	e^(B+A)						&= e^B \cdit e^A \cdot e^{-\frac{1}{2}[A,B]}
+	e^(B+A)						&= e^B \cdot e^A \cdot e^{-\frac{1}{2}[A,B]}
 \end{align}

ueb2.tex

@@ -34,11 +34,11 @@
 
 
 \subsection*{b)}
-Zu zeigen: Für $A$ hermitesch ist $U(s) = e^{-\i s A}$ unitär  \\
+Zu zeigen: Für $A$ hermitesch ist $U(s) = e^{-\i s A}$ unitär
 \begin{align}
 	U(s)	&= e^{\i s A} \\
-			&= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \cdot (-\i s A)^k \\
+			&= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \cdot \sbk{-\i s A}^k \\
-			&= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \cdot (\i s A^\intercol)^k  \\
+			&= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \cdot \sbk{\i s A^{\intercal}}^k  \\
 			&= e^{\i s A}
 \end{align}
 
@@ -54,7 +54,7 @@ Zu zeigen: Für $A$ hermitesch ist $U(s_1 + s_2) = U(s_1) \cdot U(s_2)$.
 
 \section{Aufgabe 5: Spur und Determinante}
 \subsection*{a)}
-	Zu zeigen: $[A,BC]	&= B \cdot [A,C] + [A,B] \cdot C$.
+	Zu zeigen: $[A,BC]	= B \cdot [A,C] + [A,B] \cdot C$.
 	\begin{align}
 		[A,BC]							&= ABC -BCA \\
 		B \cdot [A,C] + [A,B] \cdot C	&= B \cdot (AC - CA) + (AB - BA) \cdot C \\
@@ -113,27 +113,25 @@ Dann ist $T^{-1}AT$ die Basistransformation von der A-Basis in die T-Basis.
 							&= 1 + \epsilon \tr(A) + \bigO(\epsilon^2)
 \end{align}
 
-Zu zeigen: $\det(e^A = e^{\tr(A))$
+Zu zeigen: $\detb{e^A} = e^{\tr(A)}$
 \begin{align}
-	g(t)		&= \det(e^{At}) \\
+	g(t)		&= \detb{e^{At}}	&& \left| \text{Tailor} \right. \\
-				&\stackrel{tailor}{=} \det(1 + At + \bigO(t^2)) \\
+				&= \detb{1 + At + \bigO(t^2)} &\\
-				&= 1 + \tr(A) + \bigO(t^2) \\
+				&= 1 + \tr(A) + \bigO(t^2) && \left| \text{tailor ``rückwärs''} \right.\\
-				&\stackrel{tailor ``rückwärs''}{=} e^{\tr(A)t}
+				&= e^{\tr(A)t}	&
 \end{align}
 
 \begin{align}
-	g(t)	&= \limits_{\epsilon \rightarrow \intfy} \frac{1}{\epsilon} \sbk{\det(e^{A(t+\epsilon)) - det(e^{At})} \\
+	g(t)	&= \lim_{\epsilon \rightarrow \infty} \frac{1}{\epsilon} \sbk{\detb{e^{A(t+\epsilon)}} - \detb{e^{At}}} \\
-			&= g(t) \limits_{\epsilon \rightarrow \intfy} \frac{1}{\epsilon} \det(e^{A \epsilon}) \\
+			&= g(t) \lim_{\epsilon \rightarrow \infty} \frac{1}{\epsilon} \detb{e^{A \epsilon}} \\
-			&= g(t) \limits_{\epsilon \rightarrow \intfy} \frac{1}{\epsilon} \sbk{\det(1 + A \epsilon + \bigO(\epsilon^2) - det(1)} \\
+			&= g(t) \lim_{\epsilon \rightarrow \infty} \frac{1}{\epsilon} \sbk{\det(1 + A \epsilon + \bigO(\epsilon^2) - det(1)} \\
 			&= g(t) \tr(A) \\
 			&\Rightarrow g(t) = e^{\tr(A) \cdot t}
 \end{align}
 
 
 Ist A diagonalisierbar:
-\begin{math}
+
-	\det(e^A) = \det(T^{-1} e^A T) = \det(e^\hat{A}) = \prod_i e^{\lambda_i} = e^{\sum_i \lambda_i} = e^{\tr(A)}
-\end{math}
 
 
 \section{Aufgabe 6: Hermitesche Matrizen}
@@ -145,7 +143,6 @@ Sei $\bra{a}$ Eigenvektor zum Eigenwert $a$
 	M_i^2 \ket{a}	&= M_i a \cdot \bra{a} \\
 	\one \ket{a}	&= a^2 \bra{a} \\
 					&\Rightarrow a = \pm 1
-					
 \end{align}
 
 \subsection*{b)}

ueb3.tex

@@ -8,28 +8,28 @@ Wahrscheinlichkeiten
 
 \section{Aufgabe 7: Eigenzustände und Erwartungswerte von Spin-1/2-Teilchen}
 $\vec{n}(\theta,\Phi) = \inlinematrix{\sin(\theta) \cos(\Phi) \\ \sin(\theta) \sin(\Phi) \\ \cos(\Phi)}$ \\
-Präparation in $\ket{n_1+} \vec{n_1} = \vec{n}(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4})$ \\
+Präparation in $\ket{n_1+} \vec{n_1} = \vec{n}\sbk{\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}}$ \\
 $\Rightarrow$ \\
-$\vec{n_1} = \inlinematrix{\cos(\frac{\pi}{4} \\ 1 \\ \cos(\frac{\pi}{4}}$
+$\vec{n_1} = \inlinematrix{\cosb{\frac{\pi}{4}} \\ 1 \\ \cosb{\frac{\pi}{4}}}$
-$\ket{n_1} = \inlinematrix{\cos(\frac{\Thea}{2}) \\ e^{\i \phi} \sin(\frac{\Theta}{2}}$
+$\ket{n_1} = \inlinematrix{\cosb{\frac{\Theta}{2}} \\ e^{\i \phi} \sinb{\frac{\Theta}{2}}}$
 
 \subsection*{a)}
-$\vec{n_2} = \vec{n}(\frac{3\pi}{4},\phi)$
+$\vec{n_2} = \vec{n}\sbk{\frac{3\pi}{4},\phi}$
 \begin{align}
-	p_+(\phi)	&= \probb{\sigma_{n_2 \cequiv +1}{\ket{n_1+}}} \\
+	p_+\sbk{\phi}	&= \probb{\sigma_{n_2} \cequiv +1}{\ket{n_1+}} \\
 					&= \abs{\braket{n_2+}{n_1+}}^2 \\
-				&= \frac{1}{4} \sbk{1 + \cos(\phi+\frac{\pi}{4})} \\
+					&= \frac{1}{4} \sbk{1 + \cosb{\phi+\frac{\pi}{4}}} \\
-	p_-(\phi)	&= 1 - p_+ \\
+	p_-\sbk{\phi}	&= 1 - p_+ \\
-				&= 1 - \frac{1}{4} \sbk{1 + \cos(\phi+\frac{\pi}{4})} \\
+					&= 1 - \frac{1}{4} \sbk{1 + \cosb{\phi+\frac{\pi}{4}}} \\
-				&= \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \cos(\phi+\frac{\pi}{4}) \\
+					&= \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \cosb{\phi+\frac{\pi}{4}} \\
-				&= \frac{1}{4} \sbk{3 - \cos(\phi+\frac{\pi}{4})}
+					&= \frac{1}{4} \sbk{3 - \cosb{\phi+\frac{\pi}{4}}} \\
 	\ket{n_1+}		&= c_1 \ket{n_2+} + c_2 \ket{n_2-}
 \end{align}
 
 \subsection*{b)}
 	\begin{align}
-		\expval{şigma_z}_{\ket{n_1+}}	&= \probb{\sigma_z \cequiv +1}{\ket{n_1+}} +
+		\expval{sigma_z}_{\ket{n_1+}}	&= \probb{\sigma_z \cequiv +1}{\ket{n_1+}} +
-											(-1) \probb{\sigma_z \cequiv -1}{\ket{n_1+}} \\ \\
+											(-1) \probb{\sigma_z \cequiv -1}{\ket{n_1+}} \\
 										&= \abs{\inlinematrix{1 & 0} \inlinematrix{\cos(\frac{\pi}{8} \\ e^{\i \frac{\pi}{4}}}}^2 -
 											\abs{\inlinematrix{0 & -1} \inlinematrix{\cos(\frac{\pi}{8} \\ e^{\i \frac{\pi}{4}}}}^2 \\
 										&= \cos^2(\frac{\pi}{8}) - \sin^2(\frac{\pi}{8}) \\
@@ -43,10 +43,10 @@ $\vec{n_2} = \vec{n}(\frac{3\pi}{4},\phi)$
 										&\Rightarrow
 		\sbk{\Delta \sigma_x}^2			&= 1 - \frac{1}{2}^2 \\
 										&= \frac{3}{4} \\
-										&\stackrel{analog}{=} \sbk{\Delta \sigma_y}^2 \\
+										&\stackrel{\text{analog}}{=} \sbk{\Delta \sigma_y}^2 \\
 		\sbk{\Delta \sigma_x} \cdot \sbk{\Delta \sigma_y}	&= \frac{3}{4} \\
 		\sbk{\Delta A} \cdot \sbk{\Delta B}	&\geq \frac{1}{2} \abs{\expval{\frac{1}{\i} [A,B]}} \\
-		\frac{1}{2} \abs{\expval{\sigma_z}}	&= \frac{1}{\sqrt{2}} &\< \frac{3}{4}
+		\frac{1}{2} \abs{\expval{\sigma_z}}	&= \frac{1}{\sqrt{2}} &< \frac{3}{4}
 	\end{align}
 	
 \subsection*{c)}
@@ -60,7 +60,6 @@ $\vec{n_2} = \vec{n}(\frac{3\pi}{4},\phi)$
 										&= \abs{\frac{1}{\sqrt{2}} \inlinematrix{1 \\ 1} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \inlinematrix{1 \\ e^{\i \alpha}}}^2 \\
 										&= \frac{1}{4} \abs{1 + e^{\i \alpha}}^2 \\
 										&= \frac{1}{2} \sbk{1 + \cos(\alpha)}
-	
 \end{align}
 
 
@@ -68,11 +67,11 @@ $\vec{n_2} = \vec{n}(\frac{3\pi}{4},\phi)$
 \subsection*{a)}
 \includegraphics{grafiken/U_A6_a.pdf}
 \subsection*{b)}
-$[\Epsilon_\alpha, \Epsilon_\beta] = \i \Epsilon_{\alpha, \beta, \gamma} \Epsilon_\gamma$
+$[\Sigma_\alpha, \Sigma_\beta] = \i \Sigma_{\alpha, \beta, \gamma} \Sigma_\gamma$
 mit allen $\Sigma_{x,y,z}$ durch testen.
 \subsection*{c)}
 \begin{align}
-	\Sigma_^2	&= \Sigma_x^2 + \Sigma_y^2 + \Sigma_z^2 \\
+	\Sigma^2	&= \Sigma_x^2 + \Sigma_y^2 + \Sigma_z^2 \\
 				&= 2 \one
 \end{align}
 
@@ -84,11 +83,11 @@ mit allen $\Sigma_{x,y,z}$ durch testen.
 	p_0					&\Rightarrow	&\ket{x0}				&= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \inlinematrix{1 \\ 0 \\ -1} \\
 	p_+					&\Rightarrow	&\ket{x+}				&= \frac{1}{2} \cdot \inlinematrix{1 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1} \\
 	p_-					&\Rightarrow	&\ket{x-}				&= \frac{1}{2} \cdot \inlinematrix{-1 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -1}
-	\vec{\Sigma_n}		&= 				&\Sigma \cdot \vev{n}	&= \inlinematrix{\cos(\Theta) & \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(\Theta) e^{-\ \phi} & 0 \\
+	\vec{\Sigma_n}		&= 				&\Sigma \cdot \vec{n}	&= \inlinematrix{\cos(\Theta) & \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(\Theta) e^{-\ \phi} & 0 \\
 																					\frac{1}{\sqrt{2}} \sin(\Phi) e^{\i \phi} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}	\sin(\Theta) e^{-\i \phi} \\
 																					0	& \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(\Theta) e^{\i \phi} & \cos(\Theta)}
 						&\Rightarrow
-	\ket{n_0}			&				&						&= \frac{1}\sqrt{2}} \inlinematrix{-\sin(\Theta) e^{\i \Phi} \\ \sqrt{2} \cos(\Theta) \\ \sin(\Theta) e^{\i \Phi}} \\
+	\ket{n_0}			&				&						&= \frac{1}{\sqrt{2}} \inlinematrix{-\sin(\Theta) e^{\i \Phi} \\ \sqrt{2} \cos(\Theta) \\ \sin(\Theta) e^{\i \Phi}}
 \end{align}
 \begin{align}
 	p_+		&= \abs{\braket{x_1}{n_0}}^2		&= \ldots \frac{1}{2} \cos^2(\Theta) + \frac{1}{2} \sin^2(\Theta) \sin^2(\Phi) = p_- \\
@@ -100,11 +99,10 @@ mit allen $\Sigma_{x,y,z}$ durch testen.
 	\expval{\Sigma_x}_{\ket{\Psi}}	&= \dirac{n_0}{\Sigma_x}{n_0} \\
 									&= +1 + 1 p_+ + p_0 + (-1) p_- \\
 									&= 0 \\
-	\ket{\Psi}						&= c_1 \ket{\x+} + c_2 \ket{x-} + c_3 \ket{x0} \\
+	\ket{\Psi}						&= c_1 \ket{x+} + c_2 \ket{x-} + c_3 \ket{x0} \\
-	\sbk{\Delta \Epsilon_x}^2		&= \langle \Sigma_x^2 \rangle - {\langle \Sigma_x \rangle}^2 \\
+	\sbk{\Delta \Sigma_x}^2		&= \langle \Sigma_x^2 \rangle - {\langle \Sigma_x \rangle}^2 \\
 									&= c_2 \inlinematrix{1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1} %ist das richtig?
 	\dirac{\Psi}{\Sigma_x^2}{\Psi}	&= c_1^2 \cdot 1^2 + c_2^2 \cdot (-1)^2 + c_3^2 \cdot 0^2 \\
 									&\stackrel{c_1 = c_2}{=} 2 c_1^2 \\
 									&= \cos^2(\Theta) + \sin^2(\Theta) \cdot \sin^2(\phi) %Ist das richtig?
-									
 \end{align}

ueb4.tex

@@ -3,9 +3,37 @@
 
 \chapter{Quantenmechanik I - Übungsblatt 4}
 \section{Aufgabe 9: Zeitentwicklung eines allgemeinen Zweizustandssystems}
+\begin{math}
+	H = \hbar \inlinematrix{A & B \\ B & -A} \\
+	A = \Omega \cosb{2 \theta} \\
+	B = \Omega \sinb{2 \theta} \\
+	E_\pm = \pm \hbar \Omega
+\end{math}
+
 \subsection*{a)}
+\begin{align}
+	\ket{\chi_+}	&= \inlinematrix{\sinb{2 \theta} \\ 1 - \cosb{2 \theta}}	&= \inlinematrix{\cosb{\theta} \\ \sinb{\theta}} \\
+	\ket{\chi_-}	&= 															&= \inlinematrix{\sinb{\theta} \\ -\cosb{\theta}}
+\end{align}
+
 \subsection*{b)}
+\begin{align}
+	\i \hbar \diffPs{t} \ket{\psi}	&= H \ket{\psi} \\
+	\ket{\dot{\psi}}				&= -\i \Omega \inlinematrix{\cosb{2 \theta} & \sinb{2 \theta} \\ \sinb{2 \theta} & -\cosb{2 \theta}} \ket{\psi} \\
+	\ket{\psi(t)}					&= c_1 \cdot e^{\i \Omega t} \ket{\chi+} + c_2 \cdot e^{-\i \Omega t} \ket{\chi-} \\
+	\ket{\psi(0)}					&= \inlinematrix{\lambda \\ \mu} \\
+	\inlinematrix{c_+(t) \\ c_-(t)}	&= \sbk{\lambda \cosb{\theta} + \mu \sinb{\theta}} \cdot \inlinematrix{\cosb{\theta} \\ \sinb{\theta}} \cdot e^{-\i t} +
+										\sbk{\lambda \sinb{\theta} - \mu \cosb{\theta}} \cdot \inlinematrix{\sinb{\theta} \\ -\cosb{\theta}} \cdot e^{\i \Omega t}
+\end{align}
+
 \subsection*{c)}
+%hier stimmt evtl. was nicht
+\begin{align}
+	\ket{\psi(0)}					&= \inlinematrix{0 \\ 1} \\
+	\abs{\braket{+}{\psi(t)}}^2		&= \sin^2\sbk{\Omega t} \cdot \sin^2\sbk{2 \theta} \\
+	\abs{\braket{-}{\psi(t)}}^2		&= \cos^2\sbk{\Omega t} + \sin^2\sbk{\Omega t} \cdot \cos^2\sbk{2 \Omega}
+\end{align}
+
 
 \section{Aufgabe 10: Zerfall eines instabilen Zustandes}
 \subsection*{a)}

ueb6.tex

@@ -12,11 +12,11 @@
 \end{align}
 
 
-$det(H-\lambda \einsmatrix) = 0 \\$
+$det(H-\lambda \einsmatrix) = 0$
 \begin{align}
 	\lambda_1 &= B\hbar^2 \\
 	\lambda_2 &= \frac{\hbar^2}{2} B (1 + \sqrt{1 + \frac{4 A^2}{\hbar^2 B^2}} \\
-	\lambda_3 &= \frac{\hbar^2}{2} B (1-\sqrt{1 + \frac{4 A^2}{\hbar^2 B}}
+	\lambda_3 &= \frac{\hbar^2}{2} B (1-\sqrt{1 + \frac{4 A^2}{\hbar^2 B})}
 \end{align}
 
 \begin{align}
@@ -40,7 +40,7 @@ $\Rightarrow $
 	S_x	&= \hbar \Sigma_x &= \hbar \inlinematrix{0 &1 &0 \\ 1 &0 &1 \\ 0 &1 &0}
 \end{align}
 
-Da $\inlinematrix{l \\ o \\ m} S_x \inlinematrix{n \\ o \\ p} = 0}$ folgt $S_x = S_y = 0$ %wo kommt das her, und wieso ist hier S_x=0, obwohl es oben != 0 ist
+Da $\inlinematrix{l \\ o \\ m} S_x \inlinematrix{n \\ o \\ p} = 0$ folgt $S_x = S_y = 0$ %wo kommt das her, und wieso ist hier S_x=0, obwohl es oben != 0 ist
 
 
 
@@ -53,7 +53,7 @@ Da $\inlinematrix{l \\ o \\ m} S_x \inlinematrix{n \\ o \\ p} = 0}$ folgt $S_x =
 \end{align}
 
 \begin{align}
-	\dirac{\psi(t)}{S_z}{\psi(t)} &= \frac{1}{(a^2+b^2)^2} [(a^2-b^2)^2 + 4a^2b^2cos((E_+-E_-)t)]}
+	\dirac{\psi(t)}{S_z}{\psi(t)} &= \frac{1}{\sbk{a^2+b^2}^2} [(a^2-b^2)^2 + 4 a^2 b^2 \cosb{(E_+-E_-)t}]
 \end{align}
 
 
@@ -62,8 +62,8 @@ Da $\inlinematrix{l \\ o \\ m} S_x \inlinematrix{n \\ o \\ p} = 0}$ folgt $S_x =
 \subsection*{a)}
 \begin{align}
 	P_m H 			&= \norm{\braket{\phi_m}{\psi(t)}} \\
-	\ket{\psi(t)} 	&= U(t,t_0) \ket{\psi(t)} \\ \\
+	\ket{\psi(t)} 	&= U(t,t_0) \ket{\psi(t)} \\
-			&= exp(-\frac{\i}{\hbar} t H} \\
+					&= exp{-\frac{\i}{\hbar} t H} \\
 					&= \sum{k=0}{5}{exp(-\frac{\i}{\hbar} t \lambda_k) \ket{\chi_k} \braket{\chi_k}{\phi_0}} \\ %warum 5?
 					&=^1 \frac{1}{6} \sum{k=0}{5}{\sum{n=0}{5}{exp(-\frac{\i}{\hbar} t (E-2Acos(\delta_k)))}} \\ %warum diese umformung?
 	P_m(t)			&= \norm{\braket{\phi_m}{\psi(t)}} \\
@@ -96,24 +96,20 @@ Da $\inlinematrix{l \\ o \\ m} S_x \inlinematrix{n \\ o \\ p} = 0}$ folgt $S_x =
 \begin{align} \\
 	%nach schrödingergleichung in ortsdarstellung gucken
 	\i \hbar \partial_\tau \ket{\psi}	&= H \ket{\psi} & \left| \bra{p}\right. \\
-	\i \hbar \partial_\t \psi(p)		&= \dirac{p}{\frac{p^2}{2m}+V(\hat{x}}{\psi}
+	\i \hbar \partial_t \psi(p)		&= \dirac{p}{\frac{p^2}{2m}+V(\hat{x}}{\psi}
 \end{align}
 
-\begin{align}}
+\begin{align}
-	\int_{-\infty}^{\infty} \text{dx} \dirac{p}{V(\hat[x})}{x}\braket{x}{\psi} \\
+	\int_{-\infty}^{\infty} \text{dx} \dirac{p}{V(\hat{x})}{x}\braket{x}{\psi}
 	&= \int_{-\infty}^{\infty} \text{dx} V(x) \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{-\frac{\i p}{\hbar}x}\braket{x}{\psi} \\
-	&= \int_{-\infty}^{\infty} \text{dx} \int_{-\infty}^{\infty} \text{dp'} V(x)\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}e^{-\frac{\i p}{\hbar}x}\braket{x}{p'}\braket{p'}{x} \\ \\
+	&= \int_{-\infty}^{\infty} \text{dx} \int_{-\infty}^{\infty} \text{dp'} V(x)\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{-\frac{\i p}{\hbar}x}\braket{x}{p'}\braket{p'}{x} \\
-	&= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \text{dx} \text{dp'} V(x)\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}e^{-\frac{i(p-p')}{\hbar}x}\psi(p') \\
+	&= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} \text{dx} \text{dp'} V(x)\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{-\frac{i(p-p')}{\hbar}x}\psi(p') \\
 	&= (2) % aus aufgabenblatt raussuchen
 \end{align}
 
 \begin{align}
-	%wo kommt das her?
+	%wo kommt das her
-	\dirac{p}{V(\hat{x}}{\psi}	&= \dirac{p}{V(\i\hbar\diffP{p}}{\psi} \\
+	\dirac{p}{V(\hat{x})}{\psi}	&= \dirac{p}{V(\i\hbar\diffP{p}}{\psi} \\
-					&= V(\i\hbar\diffP{p})\psi(p) %vertauschen von p und V: Regeln?
+								&= V(\i \hbar \diffP{p})\psi(p) %vertauschen von p und V: Regeln?
 \end{align}
 
-
-
-\i \hbar
-

ueb7.tex

@@ -6,22 +6,21 @@
 \subsection*{a)}
 
 \begin{math}
-	\Phi_n(p) = \intgrinf{\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \cdot \Phi(x) \cdot e^{-\frac{\i p x}{\hbar}}{x}
+	\Phi_n(p) = \intgrinf{\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \cdot \Phi(x) \cdot e^{-\frac{\i p x}{\hbar}}}{x}
 \end{math}
 
 Für n = ungerade:
 
 \begin{align}
-	\Phi_n(p)	&= \integrinf{\frac{1}{\sqrt{2 \pi a \hbar}} \cdot \cos(\frac{(n+1) \cdot \pi x}{2 a}) \cdot e^{-\frac{\i p x}{\hbar}}}{x} \\ \\
+	\Phi_n(p)	&= \intgrinf{\frac{1}{\sqrt{2 \pi a \hbar}} \cdot \cos(\frac{(n+1) \cdot \pi x}{2 a}) \cdot e^{-\frac{\i p x}{\hbar}}}{x} \\ \\
 				&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi a \hbar}} \cdot \sbk {
 					\frac{1}{\sbk{\frac{(n+1) \cdot \pi}{2 a}}-\frac{p}{\hbar}} \cdot \sin \sbk{\sbk{\frac{(n+1) \cdot \pi}{2 a}}-\frac{p}{\hbar} \cdot u} +
 					\frac{1}{\sbk{\frac{(n+1) \cdot \pi}{2 a}}+\frac{p}{\hbar}} \cdot \sin \sbk{\sbk{\frac{(n+1) \cdot \pi}{2 a}}+\frac{p}{\hbar} \cdot u}}
 	\Phi_n(p)	&=
-					\begin{case}
+					\begin{cases}
 						\frac{1}{\sqrt{2 \pi a \hbar}}	\cdot \frac{\i^n \cdot 4 \cdot a \hbar^2 \cdot (n+1) \cdot \pi}{\hbar^2 (n+1)^2 \pi - 4 a^2 p^2} \cdot \cos\sbk{\frac{pa}{\hbar}}
 						\i^{n+2}						\cdot \frac{\i^n \cdot 4 \cdot a \hbar^2 \cdot (n+1) \cdot \pi}{\hbar^2 (n+1)^2 \pi - 4 a^2 p^2} \cdot \sin\sbk{\frac{pa}{\hbar}}
-					\end{case}
+					\end{cases}
-
 \end{align}
 
 	
@@ -76,17 +75,16 @@ mit den \hyperlink{fs_mtrx_inv_2d}{Inversen} von: (1) und (2) % geschweifte klam
 
 $\inlinematrix{C & D}$ eingesetzt ergibt:
 \begin{align}
-	\tilde{E}	&= \frac{2 k a}{e^{ika} \bbracket{(q^2 - k^2) \cdot \i sinh(q \cdot a) - 2 k q cosh(qa)} \\
+	\tilde{E}	&= \frac{2 k a}{e^{ika} \sbk{(q^2 - k^2) \cdot \i sinh(q \cdot a) - 2 k q cosh(qa)}} \\ % ist das richtig?
 	A			&= 1 \\
-	T		&= \bbracket{\frac{E}{A}}^2 \\
+	T			&= \sbk{\frac{E}{A}}^2 \\
-	R		&= 1 - T &= \bbracket{\frac{B}{A}}^2 \\
+	R			&= 1 - T &= \sbk{\frac{B}{A}}^2 \\
-	T		&= \frac{1}{\bbracket{\frac{a^2 - k^2}{2 q k}} \cdot 2 sinh^2(q a) + cosh^2(q a)}
+	T			&= \frac{1}{\sbk{\frac{a^2 - k^2}{2 q k}} \cdot 2 sinh^2(q a) + cosh^2(q a)}
 \end{align}
 
-
 \subsection*{c)}
 
-\section{Aufgabe 19: Doppeltes \delta-Potential}
+\section{Aufgabe 19: Doppeltes Delta-Potential}
 \subsection*{a)}
 \subsection*{b)}
 \subsection*{c)}