Merge branch 'master' of git+ssh://git@git.eluhost.de:522/qm1-script
This commit is contained in:
Daniel Bahrdt
commit
913cc5719c
|
|
@ -24,7 +24,7 @@
|
|||
Eigenschaft 4 bedeutet, daß die Abbildung $b\mapsto [a,b]$ eine Derivation ist.
|
||||
|
||||
|
||||
\subsubsection*{Levi-Civita-Symbol:}
|
||||
\subsubsection*{Levi-Civita-Symbol}
|
||||
\begin{math}
|
||||
\varepsilon_{12\dots n} = 1 \\
|
||||
\varepsilon_{ij\dots u\dots v\dots} = -\varepsilon_{ij\dots v\dots u\dots}\\
|
||||
|
|
@ -40,17 +40,18 @@
|
|||
\det A = \levicivita{i_1 i_2 \dots i_n} A_{1i_1} A_{2i_2} \dots A_{ni_n}
|
||||
\end{math}
|
||||
\subsubsection*{Kronecker-Delta}
|
||||
$\krondelta{i,j}= \begin{cases} 1 & \mbox{falls } i=j \\ 0 & \mbox{falls } i \neq j \end{cases}$ \\
|
||||
\equationblock{\krondelta{i,j} = \begin{cases} 1 & \mbox{falls } i=j \\ 0 & \mbox{falls } i \neq j \end{cases}}
|
||||
Die $n\times n$-Einheitsmatrix kann als $(\krondelta{ij})_{i,j\in\{1,\ldots,n\}}$ geschrieben werden.
|
||||
|
||||
\subsubsection*{Reihenentwicklungen}
|
||||
\begin{align}
|
||||
exp(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {\frac{x^n}{n!}} \\
|
||||
sin (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
|
||||
cos (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}
|
||||
\exp(x) &= \sum_{n = 0}^{\infty} {\frac{x^n}{n!}} \\
|
||||
\sin(x) &= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
|
||||
\cos(x) &= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
\section{\hypertarget{trans_ft}{Fourier-Transformation}}
|
||||
\section{Fourier-Transformation}
|
||||
\hypertarget{trans_ft}{}
|
||||
\subsection*{Fourier-Reihe}
|
||||
\subsubsection*{Definitionen:}
|
||||
\subsubsection*{Eigenschaften:}
|
||||
|
|
@ -83,7 +84,8 @@ Hierbei ist $F(\omega)$ das kontinuierliche Spektrum, das die Amplitude jeder Fr
|
|||
\subsection*{Matrizen-Operationen}
|
||||
\subsubsection*{Spur}
|
||||
\subsubsection*{Determinatante}
|
||||
\subsubsection*{\hypertarget{fs_linalg_mtrx_inv}{Inversion}}
|
||||
\subsubsection*{Inversion}
|
||||
\hypertarget{fs_linalg_mtrx_inv}{}
|
||||
\begin{math}
|
||||
A^{-1} = \inlinematrix{a & b \\ c & d}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \inlinematrix{d & -b \\ -c & a}
|
||||
\end{math}
|
||||
|
|
|
|||
53
kapI-1.tex
53
kapI-1.tex
|
|
@ -1,6 +1,6 @@
|
|||
\chapter{Stern-Gerlach-Experimente}
|
||||
\section{Versuchsaufbau (1921)}
|
||||
\begin{figure}[h]
|
||||
\begin{figure}[H] \centering
|
||||
\includegraphics{1-001.pdf}
|
||||
\caption{Versuchsskizze}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
|
@ -28,93 +28,80 @@ dominiert
|
|||
\end{equation}
|
||||
Wir erwarten, dass $\overrightarrow{\mu}$ unpolarisiert ist mit $\mu_z = abs(\mu) \cos \theta$ mit $\theta$ zufällig $p(\theta) = \frac{2\pi}{4\pi} \sin \theta$ und damit auf dem Schirm:
|
||||
|
||||
\begin{figure}[h]
|
||||
\begin{figure}[H] \centering
|
||||
\includegraphics{1-002.pdf}
|
||||
\caption{klassisches Histogramm}
|
||||
\end{figure}
|
||||
Das Ergebnis, insbesondere 3. ist klassisch nicht zu verstehen!
|
||||
|
||||
\section{Schlüsselexperimente}
|
||||
Kurzdarstellung:
|
||||
|
||||
\begin{figure}[h]
|
||||
\begin{figure}[H] \centering
|
||||
\includegraphics{1-003.pdf}
|
||||
|
||||
bzw.
|
||||
|
||||
\includegraphics{1-004.pdf}
|
||||
\caption{Kurzdarstellung}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
$SG, n$ sei ein in $\overrightarrow{n}$ Richtung orientierter Magnet.
|
||||
|
||||
Physikalische Eigenschaft: Spin ($\cequiv$ Auslenkung) in $+\overrightarrow{n}$ Richtung
|
||||
$SG, n$ sei ein in $\vec{n}$ Richtung orientierter Magnet.\\
|
||||
Physikalische Eigenschaft: Spin ($\cequiv$ Auslenkung) in $+\vec{n}$ Richtung
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\sigma_n = \underbrace{\pm 1}_\text{mögliche Messwerte}
|
||||
\end{equation}
|
||||
\pagebreak %pfusch!!
|
||||
|
||||
\subsection*{Ex. 1}
|
||||
\begin{figure}[h]
|
||||
\begin{figure}[H] \centering
|
||||
\includegraphics{1-005.pdf}
|
||||
\end{figure}
|
||||
Fazit: Wiederholung der gleichen Messung führt auf das identische Ergebnis.
|
||||
|
||||
\subsection*{Ex. 2}
|
||||
\subsubsection*{a}
|
||||
\begin{figure}[h]
|
||||
\begin{figure}[H] \centering
|
||||
\includegraphics{1-006.pdf}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
Fazit: Die $x$-Messung hat den $z$-Spin beeinflusst.
|
||||
|
||||
\subsubsection*{b}
|
||||
\begin{figure}[h]
|
||||
\begin{figure}[H] \centering
|
||||
\includegraphics{1-007.pdf}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\pagebreak %pfusch!
|
||||
|
||||
\subsection*{Ex. 3}
|
||||
\begin{figure}[h]
|
||||
\begin{figure}[H] \centering
|
||||
\includegraphics{1-008.pdf}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
|
||||
\section*{Superposition VS Messung}
|
||||
\begin{figure}[h]
|
||||
\section{Superposition VS Messung}
|
||||
Zur Erinnerung:
|
||||
\begin{figure}[H] \centering
|
||||
\includegraphics{1-009.pdf}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\subsection*{Ex. 4}
|
||||
\begin{figure}[h]
|
||||
\begin{figure}[H] \centering
|
||||
\includegraphics{1-010.pdf}
|
||||
\end{figure}
|
||||
Fazit: Wird $\sigma_x$ nicht gemessen bleibt $\sigma_z$ erhalten.
|
||||
|
||||
\pagebreak %pfusch!
|
||||
|
||||
\subsection*{Ex. 5 (Peres)}
|
||||
|
||||
\subsubsection*{a}
|
||||
\begin{figure}[h]
|
||||
\begin{figure}[H] \centering
|
||||
\includegraphics{1-011.pdf}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\subsubsection*{b}
|
||||
\begin{figure}[h]
|
||||
\begin{figure}[H] \centering
|
||||
\includegraphics{1-012.pdf}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\subsubsection*{c}
|
||||
\begin{figure}[h]
|
||||
\begin{figure}[H] \centering
|
||||
\includegraphics{1-013.pdf}
|
||||
\end{figure}
|
||||
|
||||
\pagebreak %pfusch!
|
||||
|
||||
\subsubsection*{d}
|
||||
Wenn der mittlere $SG, x$ immer schwächer wird ($B_x \rightarrow 0$), muss sich das Muster auf dem so verändern
|
||||
\begin{figure}[h]
|
||||
\begin{figure}[H] \centering
|
||||
\includegraphics{1-014.pdf}
|
||||
\end{figure}
|
||||
$\Rightarrow$ Intereferenz
|
||||
Wenn der mittlere $SG, x$ immer schwächer wird ($B_x \rightarrow 0$), muss sich das Muster auf dem Schirm wie oben gezeigt verändern.\\
|
||||
$\Rightarrow$ Intereferenz!
|
||||
|
|
|
|||
127
kapII-5.tex
127
kapII-5.tex
|
|
@ -224,8 +224,8 @@ daraus ergibt sich
|
|||
\begin{align}
|
||||
\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \hat{x} + i\hat{p} \right) \ket{0} &= \zero &\left| \bra{x} \right.\\
|
||||
\dirac{x}{\hat{x} + i\hat{p}}{0} &= 0\\
|
||||
x + i(-i) \diffPs{x} \phi_0(x) &= 0 &\left(\text{denn: } \dirac{x}{\hat{p}}{\psi} = -i \hbar \diffPs{x} \psi(x) \right)\\
|
||||
\rightarrow \left(x - \diffPs{x} \right) \phi_0(x) &= 0\\
|
||||
\left(x + i(-i) \diffPs{x}\right) \phi_0(x) &= 0 &\left(\text{denn: } \dirac{x}{\hat{p}}{\psi} = -i \hbar \diffPs{x} \psi(x) \right)\\
|
||||
\rightarrow \left(x + \diffPs{x} \right) \phi_0(x) &= 0\\
|
||||
\phi_0(x) &= c \cdot e^{-\frac{x^2}{2}}
|
||||
\end{align}
|
||||
Normierung:
|
||||
|
|
@ -260,4 +260,127 @@ $Q_n$ ist symmetrisch für $n = 2k$, antisymmetrisch für $n = 2k + 1$ und hat $
|
|||
< \hat{p} >_\ket{n} &= 0
|
||||
\end{align}
|
||||
Wegen Ehrenfest:
|
||||
\begin{align}
|
||||
\diffT{t}< \hat{x} >(t) &= < \hat{p} >(t) \frac{1}{m}\\[15pt]
|
||||
\diffT{t}< \hat{p} >(t) &= -\left< \diffTfrac{V(x)}{x} \right>\\
|
||||
&= -m \omega < \hat{x} >(t)
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
\paragraph{Grundzustand} Varianz:
|
||||
\begin{align}
|
||||
\varianz{x}{\ket{0}}^2 &\equiv \dirac{0}{(x - <x>)^2}{0} &\left(<x> = 0\right)\\
|
||||
&= \dirac{0}{x^2}{0}\\
|
||||
&= \dirac{0}{\frac{1}{2} \left( \aCr + \aDs \right)^2}{0}\\
|
||||
&= \frac{1}{2} \dirac{0}{\left( \aCr\ \right)^2 + \aCr\aDs + \aDs\aCr + \left( \aDs \right)^2}{0}\\
|
||||
&= \frac{1}{2} \dirac{0}{\aDs\aCr}{0}\\
|
||||
&= \frac{1}{2} \dirac{0}{\aDs}{1}\\
|
||||
&= \frac{1}{2} \braket{0}{0}\\
|
||||
&= \frac{1}{2}\\[15pt]
|
||||
\varianz{p}{\ket{0}}^2 &= \frac{1}{2} ~ \text{(genauso wie oben)}\\[15pt]
|
||||
\varianz{x}{\ket{0}}\varianz{p}{\ket{0}} &= \frac{1}{2} \geq \frac{1}{2} \abs{\dirac{0}{[x, p]}{0}} = \frac{1}{2}
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
\section{Darstellung durch Hermitepolynome}
|
||||
\paragraph*{Definition} Sei $H_n(x)$ ein Hermitepolynom definiert durch:
|
||||
\begin{align}
|
||||
\phi_n &\equiv \sqrt{\frac{1}{2^n n! \sqrt{n}}} e^{-\frac{x^2}{2}} H_n(x)\\[15pt]
|
||||
\rightarrow H_n(x) &= e^\frac{x^2}{2} \left( \sqrt{2} \aCr \right)^n e^{-\frac{x^2}{2}}\\
|
||||
&= e^{(x^2)} \underbrace{e^{-\frac{x^2}{2}} \left( x - \diffPs{x} \right) e^\frac{x^2}{2}}_{(-1)^n \diffPfrac{^n}{x^n}} e^{(-x^2)}\\
|
||||
&= (-1)^n e^{(x^2)} \left( \diffP{x} \right)^n e^{-\frac{x^2}{2}}
|
||||
\end{align}
|
||||
Beispiele:
|
||||
\begin{equation}
|
||||
H_0(x) = 1; ~ H_1(x) = 2x; ~ H_2(x) = 4x^2 - 2
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
\subparagraph*{Eigenschaften}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Orthogonalität
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\intgr{-\infty}{+\infty}{H_n(x) H_m(x) e^{(-x^2)}}{x} = \sqrt{\pi} 2^n n!
|
||||
\end{equation}
|
||||
denn:
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\intgr{-\infty}{+\infty}{\phi_n^*(x)\phi_m(x)}{x} = \krondelta{n,m}
|
||||
\end{equation}
|
||||
\item Vollständigkeit
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\sum_{n = 0}^{\infty} \phi_n(x)\phi_n(x') = \delta(x - x')
|
||||
\end{equation}
|
||||
\item DGL:
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\left( \diffPs{x}^2 - 2x \diffPs{x} + 2n \right) H_n(x) = 0
|
||||
\end{equation}
|
||||
\item Erzeugende Funktion
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{t^n}{n!} H_n(x) = e^{-t^2 + 2 t x}
|
||||
\end{equation}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
\section{Spektrum von $H$ aus der DGL}
|
||||
Die stationäre Schrödingergleichung ist wiefolgt:
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\left( \frac{-\hbar^2}{2m} \diffPs{X}^2 + \frac{m}{2} X^2 \right) \Phi(X) = E \Phi(X)
|
||||
\end{equation}
|
||||
mit
|
||||
\begin{equation}
|
||||
x = \frac{X}{X_0}; ~ p = P \cdot X_0; ~ X_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{m \omega_0}}
|
||||
\end{equation}
|
||||
Also ergibt sich:
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\rightarrow \left( \right) \phi(x) = \varepsilon \phi(x)
|
||||
\end{equation}
|
||||
Wir suchen normierbare Lösungen $\left(\intgr{-\infty}{+\infty}{\phi^2(x)}{x} < \infty\right)$ für $x \rightarrow \pm \infty$. Wir verwenden den Ansatz
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\phi(x) \tilde e^{-\alpha x^m}
|
||||
\end{equation}
|
||||
und erhalten
|
||||
\begin{equation}
|
||||
-\frac{1}{2} \left( (-\alpha m) (-\alpha (m - 1)) \alpha x^{m - 2} + \alpha^2 m^2 x^{2(m - 1)}\right) + \frac{1}{2}x^2 = 0
|
||||
\end{equation}
|
||||
für $x \rightarrow \infty$:
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\phi(x) \rightarrow e^{-\frac{x^2}{2}}
|
||||
\end{equation}
|
||||
neuer Ansatz:
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\phi(x) = e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot u(x)
|
||||
\end{equation}
|
||||
eingesetzt in die statische Schrödingergleichung:
|
||||
\begin{align}
|
||||
-\frac{1}{2} \diffPs{x}^2(u) + \diffPs{x}(u) \cdot x + \frac{1}{2} u x^2 &= \varepsilon u ~ \text{(exakt)}\\
|
||||
\diffPs{x}^2(u) - 2x \diffPs{x}(u) + (2\varepsilon - 1) u &= 0
|
||||
\end{align}
|
||||
mit dem Ansatz
|
||||
\begin{equation}
|
||||
u(x) = \sum_{n = 0}^\infty b_n x^n
|
||||
\end{equation}
|
||||
ergibt sich
|
||||
\begin{align}
|
||||
\sum_{n=2}^\infty b_n n(n-1) x^{n-2} - 2x\sum_{n=1}^\infty b_n n x^{n-1} + (2 \varepsilon - 1) \sum_{n = 0}^\infty b^n x^n &= 0\\
|
||||
\sum_{n=0}^\infty b_{n+2} (n+2)(n+1) x^n + \sum_{n=0}^\infty b_n \left[ (2\varepsilon - 1) - 2n \right] x^n &= 0
|
||||
\end{align}
|
||||
und damit
|
||||
\begin{equation}
|
||||
b_{n+2} = \frac{2n - (2\varepsilon - 1)}{(n+2)(n+1)} b_n
|
||||
\end{equation}
|
||||
Scheinbar lässt sich für alle $\varepsilon$ eine Lösung für gegebene $b_0, b_1$ finden.\\
|
||||
\underline{Aber:} Die Lösung muss normierbar sein.
|
||||
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\frac{b_{n+2}}{b_n} \rightarrow \frac{2}{n} ~ \text{für} ~ n \rightarrow \infty
|
||||
\end{equation}
|
||||
Mit
|
||||
\begin{equation}
|
||||
e^{\left( x^2 \right)} = \sum_k \frac{1}{k!} x^{2k} = \sum_n \frac{1}{\left(\frac{n}{2}\right)!} x^n
|
||||
\end{equation}
|
||||
für $b_n$ erhält man
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\frac{b_{n+2}}{b_n} = \frac{\left(\frac{n}{2}\right)!}{\left(\frac{n+2}{2}\right)!} = \frac{2}{n+2} \rightarrow \frac{2}{n}
|
||||
\end{equation}
|
||||
\underline{Also:} Rekursion muss abbrechen, d.h. $b_{\tilde{n}} = 0$ für irgendein $\tilde{n}$.
|
||||
\begin{align}
|
||||
2n - (2\varepsilon - 1) &= 0\\
|
||||
\rightarrow \varepsilon &= n + \frac{1}{2}
|
||||
\end{align}
|
||||
(Quantisierung und Eigenfunktionen wir vorhin!)
|
||||
|
|
@ -0,0 +1,132 @@
|
|||
\chapter{Zusammengesetzte Systeme}
|
||||
\paragraph*{bisher:}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item[I] ein Spin-1/2 (bzw. ein N-Niveau System)
|
||||
\item[II] ein Teilchen entlang einer Dimension
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\paragraph*{Ziel}
|
||||
zwei und mehr Teilchen in $d=3$; Ortsfreiheitsgrad und Ort kombinieren
|
||||
|
||||
\section{Beispiel 2 Teilchen in einer Dimension}
|
||||
%\begin{figure}[H] \centering
|
||||
%\includegraphics{pdf/III/00-01-00.pdf}
|
||||
%\end{figure}
|
||||
Mit dem Potential
|
||||
\begin{equation}
|
||||
V(x_1, x_2) = V_1(x_1) + V_2(x_2) + V_\text{int}(x_1, x_2)
|
||||
\end{equation}
|
||||
auf dem Niveau der Wellenfunktion $\psi(x_1, x_2)$ ist
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\rho(x_1, x_2) \equiv \abs{\psi(x_1, x_2)}^2
|
||||
\end{equation}
|
||||
die Wahrscheinlichkeitsdichte das erste Teilchen bei $x_1$ und das zweite Teilchen bei $x_2$ zu finden und
|
||||
\begin{align}
|
||||
\rho_1(x_1) &\equiv \intgr{-\infty}{+\infty}{\rho(x_1, x_2)}{x_2}\\
|
||||
&= \intgr{-\infty}{+\infty}{\abs{\psi(x_1, x_2)}^2}{x_2}
|
||||
\end{align}
|
||||
die Wahrscheinlichkeitsdichte das erste Teilchen bei $x_2$ zu finden unabhängig davon wo das 2. Teilchen ist.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Normierung
|
||||
\begin{equation}
|
||||
1 = \intgru{\rho_1(x_1)}{x_1} = \intgru{\intgru{\rho(x_1, x_2)}{x_2}}{x_1}
|
||||
\end{equation}
|
||||
\item Zeitabhängige Schrödingergleichung in Ortsdarstellung
|
||||
\begin{equation}
|
||||
i\hbar \diffPs{t} \psi(x_1, x_2, t) = \left( -\frac{\hbar^2}{2 m_1} \diffPs{x_1}^2 - \frac{\hbar^2}{2 m_2} \diffPs{x_2}^2 + V(x_1, x_2) \right) \psi(x_1, x_2, t)
|
||||
\end{equation}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\section{Hilbertraum als Tensorprodukt}
|
||||
\subsection{endlich dimensionaler Fall}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item System 1: $\hilbert^{(1)}$ mit Basis $\set{\ket{n} \left| n = 1, ..., N \right.}$
|
||||
\item System 2: $\hilbert^{(2)}$ mit Basis $\set{\ket{m} \left| m = 1, ..., M \right.}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\paragraph{Beispiel: Benzolring}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item System 1:
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\ket{\psi_1} = \sum_{n=1}^6 c_n \ket{n}
|
||||
\end{equation}
|
||||
\item System 2: (Spin des Elektrons; hier in Z-Richtung)
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\ket{\psi_2} = \sum_{m=1}^M d_m \ket{m} = d_+ \ket{z+} + d_-\ket{z-}
|
||||
\end{equation}
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\paragraph{Gesamtraum}
|
||||
Der Gesamtraum $\hilbert$ der Dimension $n \cdot m$ sei nun
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\hilbert = \left( \hilbert^{(1)} \otimes \hilbert^{(2)} \right)
|
||||
\end{equation}
|
||||
mit der Basis
|
||||
\begin{equation}
|
||||
B_\hilbert = \set{\ket{n} \otimes \ket{m} \left| n = 1, ..., N; m = 1, ..., M \right.}
|
||||
\end{equation}
|
||||
und im obigen Beispiel: $\set{\ket{1} \otimes \ket{z+}, ..., \ket{6} \otimes \ket{z+}, \ket{1} \otimes \ket{z-}, ..., \ket{6} \otimes \ket{z-}}$\\[15pt]
|
||||
Ein beliebiger Zustand in $\hilbert$ ist dann
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\ket{\psi} = \sum_{n=1}^N \sum_{m=1}^M d_{n,m} \ket{n} \otimes \ket{m} = \sum_{j=1}^{N \cdot M} a_j \ket{j}
|
||||
\end{equation}
|
||||
\underline{Beachte:} nicht jeder $\ket{\psi} \in \hilbert$ lässt sich schreiben als
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\ket{\psi} = \underbrace{\ket{\psi_1}}_{\in \hilbert^{(1)}} \otimes \underbrace{\ket{\psi_2}}_{\in \hilbert^{(2)}}
|
||||
\end{equation}
|
||||
denn
|
||||
\begin{align}
|
||||
\ket{\psi} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ket{1} \otimes \ket{z+} + \ket{2} \otimes \ket{z-} \right)\\
|
||||
&\neq \ket{\psi_1} \otimes \ket{\psi_2} ~ \text{``Verschränkung'' (``entanglement'')}
|
||||
\end{align}
|
||||
im Gegensatz zu
|
||||
\begin{align}
|
||||
\ket{\phi} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ket{1} \otimes \ket{z+} + \ket{2} \otimes \ket{z+} \right)\\
|
||||
&= \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \ket{1} + \ket{2} \right) \otimes \ket{z+} \right) ~ \text{``Produktzustand''}
|
||||
\end{align}
|
||||
Weiterhin sei das Skalarprodukt wiefolgt definiert:
|
||||
\begin{align}
|
||||
\left( \bra{n'} \otimes \bra{m'} \right) \left( \ket{n} \otimes \ket{m} \right)&= \braket{n'}{n} \braket{m'}{m}\\
|
||||
&= \krondelta{n,n'} \krondelta{m,m'}
|
||||
\end{align}
|
||||
d.h.
|
||||
\begin{align}
|
||||
\ket{\psi} &= \sum_{n,m} a_{n,m} \ket{n} \otimes \ket{m}\\
|
||||
\ket{\phi} &= \sum_{n,m} b_{n',m'} \ket{n'} \otimes \ket{m'}\\[15pt]
|
||||
\braket{\phi}{\psi} &= \sum_{n,m} b_{n,m}^* a_{n,m}
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
\subsection{kontinuierlicher Fall}
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Teilchen (System) 1: $\ket{\psi_1} \in \hilbert^1$ mit Basis $\set{\ket{x_1}}$, $\set{\ket{p_1}}$ oder $\set{\ket{n_1}}$
|
||||
\item Teilchen (System) 2: $\ket{\psi_2} \in \hilbert^2$ mit Basis $\set{\ket{x_2}}$, $\set{\ket{p_2}}$ oder $\set{\ket{n_2}}$
|
||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\paragraph{Gesamtraum}
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\hilbert = \hilbert^1 \otimes \hilbert^2
|
||||
\end{equation}
|
||||
mit Basis
|
||||
\begin{equation}
|
||||
B_\hilbert^{(1)} = \set{\ket{x_1} \otimes \ket{x_2} \equiv \ket{x_1, x_2}}
|
||||
\end{equation}
|
||||
oder
|
||||
\begin{equation}
|
||||
B_\hilbert^{(2)} = \set{\ket{x} \otimes \ket{p} \equiv \ket{x, p}}
|
||||
\end{equation}
|
||||
oder
|
||||
\begin{equation}
|
||||
B_\hilbert^{(3)} = \set{\ket{p_1} \otimes \ket{p_2} \equiv \ket{p_1, p_2}}
|
||||
\end{equation}
|
||||
oder
|
||||
\begin{equation}
|
||||
B_\hilbert^{(4)} = \set{\ket{x} \otimes \ket{n} \equiv \ket{x, n}}
|
||||
\end{equation}
|
||||
mit $\ket{\psi} \in \hilbert$ und $\psi(x_1, x_2) = \braket{x_1, x_2}{\psi}$
|
||||
\begin{align}
|
||||
\ket{\psi}^{(1)} &= \intgru{\intgru{\psi(x_1, x_2) \ket{x_1, x_2}}{x_2}}{x_1}\\
|
||||
\ket{\psi}^{(2)} &= \intgr{-\infty}{+\infty}{\intgr{-\infty}{+\infty}{\psi(x, p)\ket{x, p}}{p}}{x}\\
|
||||
\ket{\psi}^{(4)} &= \intgr{-\infty}{+\infty}{\sum_{n=0}^\infty \psi_n(x) \ket{x, n}}{x}
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
\section{Operatoren}
|
||||
4
math.tex
4
math.tex
|
|
@ -42,4 +42,6 @@
|
|||
\newcommand{\sqbk}[1]{\left[ #q ]\right}
|
||||
|
||||
\newcommand{\levicivita}[1]{\varepsilon_{#1}}
|
||||
\newcommand{\krondelta}[1]{\delta_{#1}}
|
||||
\newcommand{\krondelta}[1]{\delta_{#1}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\equationblock}[1]{\begin{equation} #1 \end{equation}}
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -7,10 +7,12 @@
|
|||
\newcommand{\one}{\mathbbm{1}}
|
||||
\newcommand{\zero}{\pmb{0}}
|
||||
\newcommand{\aDs}{{\hat{a}}}
|
||||
\newcommand{\aCr}{{\aDs^\dagger}}
|
||||
\newcommand{\aCr}{{{}\aDs^\dagger}}
|
||||
\newcommand{\nOp}{{\hat{n}}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\probb}[2]{\text{prob}\left[ #1\vphantom{#2} \right. \left| \vphantom{#1}#2 \right]}
|
||||
\newcommand{\prob}[1]{\text{prob}\left[ #1 \right]}
|
||||
\newcommand{\diffPs}[1]{\partial_{#1}}
|
||||
\newcommand{\const}{{\text{const.}}}
|
||||
\newcommand{\const}{{\text{const.}}}
|
||||
|
||||
\newcommand{\varianz}[2]{{\left(\Delta #1 \right)_{#2}}}
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -6,6 +6,7 @@
|
|||
\usepackage{amsfonts}
|
||||
\usepackage{amssymb}
|
||||
\usepackage{multirow}
|
||||
\usepackage{float}
|
||||
\usepackage[pdfborder={0 0 0}]{hyperref} % muss immer als letztes eingebunden werden
|
||||
|
||||
\include{math}
|
||||
|
|
@ -37,6 +38,10 @@
|
|||
\include{kapII-4}
|
||||
\include{kapII-5}
|
||||
|
||||
\part{Quantale Systeme in d=2 und d=3}
|
||||
\label{III}
|
||||
\include{kapIII-0}
|
||||
|
||||
% \part{Übungsmitschrieb}
|
||||
% \label{UE}
|
||||
% \include{ueb1}
|
||||
|
|
|
|||
Loading…
Reference in New Issue