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formelsammlung.tex

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 \chapter{Lineare Algebra}
-\section{Identitäten}
+\section{Allgemeines}
+\subsection*{Definitionen}
+\subsubsection*{Levi-Civita-Symbol:}
 	\begin{math}
-A^{-1} = \inlinematrix{a & b \\ c & d}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \inlinematrix{d & -b \\ -c & a}
+	\varepsilon_{12\dots n} = 1 \\
+	\varepsilon_{ij\dots u\dots v\dots} = -\varepsilon_{ij\dots v\dots u\dots}\\
+	\varepsilon_{ij\dots u\dots u\dots} = 0 \\
+	
+	\levicivita{i,j,k} =
+	\begin{cases}
+		+1, & \mbox{falls }(i,j,k,\dots) \mbox{ eine gerade Permutation von } (1,2,3,\dots) \mbox{ ist,} \\
+		-1, & \mbox{falls }(i,j,k,\dots) \mbox{ eine ungerade Permutation von } (1,2,3,\dots) \mbox{ ist,} \\
+		0,  & \mbox{wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.}
+	\end{cases}
+	
+	(\vec{a} \times \vec{b})_i = \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \levicivita{ijk} a_j b_k \\
+	\vec{a} \times \vec{b} = \levicivita{ijk} a_j b_k \vec{e_i} = \levicivita{ijk} a_i b_j \vec{e_k} \\
+	
+	\det A = \levicivita{i_1 i_2 \dots i_n} A_{1i_1} A_{2i_2} \dots A_{ni_n}
+	
 	\end{math}
+\subsubsection*{Kronecker-Delta}
+	$\krondelta{i,j}= \begin{cases} 1 & \mbox{falls } i=j \\ 0 & \mbox{falls } i \neq j \end{cases}$ \\s
+	Die $n\times n$-Einheitsmatrix kann als $(\krondelta{ij})_{i,j\in\{1,\ldots,n\}}$ geschrieben werden.
+
+\section{Matrix-Operationen}
+\subsection*{Inversion}
+\begin{math}
+\hypertarget{fs_mtrx_inv_2d}{A^{-1} = \inlinematrix{a & b \\ c & d}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \inlinematrix{d & -b \\ -c & a}}
+\end{math}
+	

ueb1.tex

@@ -6,6 +6,20 @@
 
 \section{Aufgabe 2: Pauli Matrizen}
 \subsection*{a)}
+
+	\begin{math}
+	\textbf{\sigma} 	= (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z) \\
+	\textbf{\a},\textbf{\b} \in \setR
+	\end{math}
+	
+	\begin{align}
+	
+	(\textbf{a \cdot \sigma})(\textbf{b \cdot \sigma})	&= \one (\textbf{a \cdot b} + \i \textbf{\sigma} \cdot (\textbf{\a} \times \textbf{b}) \\
+	\sum a_\alpha b_\beta \sigma_\alpha \sigma_\beta	&=  \\
+	\sum a_\alpha b_\beta ( \krondelta{\alpha \beta} \one	+ \i \levicivita{\alpha,\beta,\gamma} \sigma_\gamma )	&= \\
+	\sum a_\alpha b_\beta \krondelta{\alpha \beta} \cdot \one + \i a_\alpha b_\beta \levicivita{\alpha,\beta,\gamma} \sigma_\gamma &= \\
+	\one (\textbf{a \cdot b} + \i \sigma \cdot (a \times b)
+	\end{align}
 \subsection*{b)}
 \subsection*{c)}
 \subsection*{d)}

ueb7.tex

@@ -44,7 +44,7 @@ III
 	\inlinematrix{e^{a \cdot a} & e^{-a \cdot a} \\ q e^{a \cdot a} & q e^{-a \cdot a}} \inlinematrix{C & D} = \inlinematrix{\tilde{E} e^{\i k a} \\ \i k \tilde{E} e^{\i k a}}
 \end{math}
 
-mit den Inversen von: (1) und (2) % geschweifte klammern unter matrix 1 und 2 setzen
+mit den \hyperlink{fs_mtrx_inv_2d}{Inversen} von: (1) und (2) % geschweifte klammern unter matrix 1 und 2 setzen
 
 \begin{math}
 	%mit maxima berechnet