[vorlesung] kapitel II.3 fertig (bis auf Bilder)

kapII-3.tex

@@ -100,3 +100,116 @@ mit
 	j_I &= \frac{\hbar k}{m} &\text{einfallend}\\
 	j_R &= \frac{\hbar}{m} k \left( \frac{k - q}{k + q} \right)^2 \equiv R j_I &\text{reflectiert}
 \end{align}
+Strom rechts: $x > 0$
+\begin{align}
+	j(x > 0) &= \frac{\hbar}{m} \im{\diffPs{x} \phi(x > 0) \phi(x > 0)}\\
+	&= \frac{\hbar}{m} q C^2\\
+	&= \frac{\hbar}{m} q \sbk{\frac{2k}{k + q}}^2
+	&\equiv j_T \equiv T j_I
+\end{align}
+mit dem Reflexionskoeffizient
+\begin{equation}
+	R \equiv \frac{j_R}{j_I} = \left(\frac{k - q}{k + q}\right)^2
+\end{equation}
+und dem Transmissionskoeffizient
+\begin{equation}
+	T \equiv \frac{j_T}{j_I} = \frac{q}{k} \left( \frac{2k}{k + q} \right)^2
+\end{equation}
+für die gilt:
+\begin{equation}
+	\boxed{R + T = 1}
+\end{equation}
+%\begin{figure}[h]
+%\includegraphics{pdf/II/03-02-01.pdf}
+%\end{figure}
+Zusammenfassung:\\
+Auch für $E > V_0$ wird ein Teil reflektiert!
+
+\subparagraph*{Fall 2} $0 < E < V_0$\\
+links: wie oben\\[15pt]
+rechts:
+\begin{align}
+	\diffPs{x}^2 \phi(x) &= 2m \frac{V_0 - E}{\hbar^2} \phi(x)\\
+	\phi(x) &= C e^{-\kappa x} + D e^{\kappa x}
+\end{align}
+mit
+\begin{equation}
+	\kappa \equiv \sqrt{\frac{2m (V_0 - E)}{\hbar^2}}; ~ D \stackrel{!}{=} 0 \text{ (explodiert für } x \rightarrow +\infty \text{)}
+\end{equation}
+Stetigkeit:
+\begin{align}
+	A + B &= C\\[15pt]
+	\diffPs{x} \phi(x) \cdot i k (A - B) &= -C \kappa\\[15pt]
+	A &= 1\\
+	\rightarrow C &= \frac{2k}{k + i \kappa}\\
+	B &= \frac{k - i \kappa}{k + i \kappa}
+\end{align}
+transmittierter Strom:
+\begin{align}
+	j_T = j(x > 0) &= \frac{\hbar}{m} \im{\diffPs{x}\phi(x > 0) ~ \phi^*(x > 0)}\\
+	&= \frac{\hbar}{m} \im{\frac{(-\kappa) 2 k}{k + i\kappa} \cdot \frac{2k}{k i \kappa} e^{-2 \kappa x}}\\
+	&=0\\[15pt]
+	j_R &= j_I
+\end{align}
+Wellenfunktion für $x > 0$
+\begin{align}
+	\phi(x) &= C e^{-\kappa x}\\[15pt]
+	\rho(x) &= \abs{\phi(x)}^2 = C C^* e^{-2 \kappa x} \neq 0
+\end{align}
+%\begin{figure}[h]
+%\includegraphics{pdf/II/03-02-00.pdf}
+%\caption{das Teilchen dringt in die Potentialstufe ein}
+%\end{figure}
+
+\section{Potentialtopf}
+%\begin{figure}[h]
+%\includegraphics{pdf/II/03-03-00.pdf}
+%\caption{gebundene Zustände $0 > E > -\abs{V_0}$}
+%\end{figure}
+\paragraph*{symmetrische Lösung}
+\begin{align}
+	\abs{x} < a: ~ \phi(x) &= A \cos(q x)\\
+	q &= \frac{2m (E + \abs{V_0})}{\hbar^3}\\
+	\abs{x} > a: ~ \phi(x) &= B e^{-\kappa \abs{x}}\\
+	\kappa^2 &= \frac{2m}{\hbar^2} \abs{E}
+\end{align}
+Stetigkeit:
+\begin{align}
+	A \cos(q a) &= B e^{-\kappa a} \label{eqn00}\\
+	\text{von } \diffPs{x}\phi(0) ~ \rightarrow -A q \sin(q a) &= -\kappa B e^{-\kappa a} \label{eqn01}
+\end{align}
+teile \ref{eqn01} durch \ref{eqn00}:
+\begin{equation}
+	\tan(q a) = \frac{\kappa}{q} = \frac{\sqrt{\frac{2m a^2 \abs{V_0}}{\hbar^2} - (q a)^2}}{q a}
+\end{equation}
+%\begin{figure}[h]
+%\includegraphics{pdf/II/03-03-01.pdf}
+%\end{figure}
+\begin{itemize}
+	\item endlich viele diskrete $q$-Werte d.h. $E$-Werte mit Lösung
+	\item es gibt mindestens eine Lösung
+\end{itemize}
+für $\frac{2m a^2 \abs{V_0}}{\hbar^2} < \pi^2$ existiert nur eine Lösung
+\subparagraph*{Grundzustand $\phi_0$}
+%\begin{figure}[h]
+%\includegraphics{pdf/II/03-03-02.pdf}
+%\end{figure}
+\begin{equation}
+	\phi_0(x) = \left\lbrace \begin{array}{ll} A \cos(q_0) & \abs{x} < a\\ B e^{-\kappa x} & \abs{x} \geq a \end{array} \right.
+\end{equation}
+$A$, $B$ über Stetigkeit und Normierung berechnen
+
+\paragraph*{asymmetrische Lösung}
+\begin{align}
+	\abs{x} < a: ~ \phi(x) &= A \sin(q x)\\
+	\abs{x} > a: ~ \phi(x) &= \sign(x) e^{-\abs{\kappa} x}
+\end{align}
+wie oben:
+\begin{equation}
+	\tan(q a) = -\frac{q a}{\sqrt{\frac{2 m a^2 \abs{V_0}}{\hbar^2} - q a}}
+\end{equation}
+gibt es nur falls $\frac{2 m a^2 \abs{V_0}}{\hbar^2} > \frac{\pi^2}{4}$
+\subparagraph*{Spektrum}
+%\begin{figure}[h]
+%\includegraphics{pdf/II/03-03-03.pdf}
+%\end{figure}