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Kapitel III 3 und 4 fertig; Fixes in II 1

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Oliver Groß 11 years ago
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+ 1
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kapI-5.tex View File

@@ -146,6 +146,7 @@ $\omega_1 = \Omega$ d.h. $\omega = \omega_0$, d.h. $B_1$-Feld zirkuliert mit der
\end{itemize}

\section{Transformationsverhalten unter Rotationen}
\label{labelTransfRot}
\subsection*{klassisch}
Vektor $\vec{a}$ wird gedreht mit Matrix $R_z(\varepsilon)$ um den Winkel $\varepsilon$ um die $z$-Achse
\begin{align}

+ 5
- 5
kapII-1.tex View File

@@ -61,23 +61,23 @@ Wie verhält sich $\diffT{t} \dirac{\psi}{\hat{p}}{\psi}$ ?
\end{align}

\section{Ortsdatsrellung (Analogie zu Spin $\frac{1}{2}$)}
\begin{tabular}{l|c|c}
\begin{tabular}{l||c|c}
& Spin & Teilchen \\ \hline\hline
Basis & $\sigma_z \ket{z\pm} = \pm 1 \ket{z\pm}$ & $\hat{x} \ket{x} = x \ket{x}$ \\ \hline
Orthogonalität &
$\begin{array}[t]{rl}\braket{z+}{z+} &= 1\\ &= \braket{z-}{z-}\\ \braket{z+}{z-} &= \braket{z-}{z+}\\ &= 0\end{array}$ &
$\begin{array}[t]{r@{\,=\,}l}\braket{z+}{z+} & 1\\ &= \braket{z-}{z-}\\ \braket{z+}{z-} & \braket{z-}{z+}\\ & 0\end{array}$ &
$\braket{x'}{x} = \delta(x'-x)$ \\ \hline
Zustände in Basis entwickelt & $\begin{array}[t]{rl} \ket{\psi} &= \one \ket{\psi}\\ &= \ket{z+}\braket{z+}{\psi} + \ket{z-}\braket{z-}{\psi} \end{array}$ & $\begin{array}[t]{rl} \ket{\psi} &= \one \ket{\psi}\\ &= \intgr{-\infty}{+\infty}{\ket{x}\underbrace{\braket{x}{\psi}}_{\psi(x)}}{x}\\ &= \intgr{-\infty}{+\infty}{\psi(x) \ket{x}}{x} \end{array}$
Zustände in Basis entwickelt & $\begin{array}[t]{r@{\,=\,}l} \ket{\psi} & \one \ket{\psi}\\ & \ket{z+}\braket{z+}{\psi} + \ket{z-}\braket{z-}{\psi} \end{array}$ & $\begin{array}[t]{r@{\,=\,}l} \ket{\psi} & \one \ket{\psi}\\ & \intgr{-\infty}{+\infty}{\ket{x}\underbrace{\braket{x}{\psi}}_{\psi(x)}}{x}\\ & \intgr{-\infty}{+\infty}{\psi(x) \ket{x}}{x} \end{array}$
\end{tabular}

\paragraph*{Normierung}
\begin{align}
1 \stackrel{!}{=} \braket{\psi}{\psi} &= \intgr{-\infty}{+\infty}{\psi^* \bra{x}}{x} \intgr{-\infty}{+\infty}{\psi(x') \ket{x'}}{x'}\\
\intgru{\intgru{\psi(x)\psi(x')\underbrace{\braket{x}{x'}}_{\delta(x-x')}}{x'}}{x}\\
&= \intgru{\intgru{\psi(x)\psi(x')\underbrace{\braket{x}{x'}}_{\delta(x-x')}}{x'}}{x}\\
&= \intgru{\psi^*(x)\psi(x)}{x}\\
&= \intgru{(\psi(x))^2}{x}
\end{align}
$\rightarrow$ Zulässige Zustände haben eine ``Wellenfunktion'', die quadrat-integrabel ist.
$\rightarrow$ Zulässige Zustände haben eine ``Wellenfunktion'', die quadrat-integrabel ist.align

\paragraph*{Erwartungswert einer Ortsmessung}
\begin{align}

+ 1
- 0
kapIII-2.tex View File

@@ -1,4 +1,5 @@
\chapter{Rotationssymetrie im Potential in $d=2$}
\label{labelRotSym2D}
\section{Lösung der stationären Schrödingergleichung durch ``Separation der Variablen''}
\label{rotSymSGL}
Mit den Polarkoordinaten

+ 129
- 1
kapIII-3.tex View File

@@ -237,5 +237,133 @@ mit
\begin{equation}
m(n_+,n_-) = n_+ - n_-
\end{equation}

%TODO...
Für Rotationsinvarianz gilt:
\begin{align}
[L_z, p^2] &= 0\\
[L_z, r^2] &= 0\\
\rightarrow [L_z, V(r)] &= 0
\end{align}
(gilt analog für $L_x$ und $L_y$)
\begin{equation}
\rightarrow \left[ \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(r), L^2 \right] = 0
\end{equation}
also vertauschen $H$, $L^2$ und $L-z$ und es existiert eine gemeinsame Eigenbasis $\set{\ket{E\,l,m}}$ mit
\begin{align}
H \ket{E\,l,m} &= E \ket{E\,l,m}\\
L^2 \ket{E\,l,m} &= \hbar^2 l(l+1) \ket{E\,l,m}\\
L_z \ket{E\,l,m} &= \hbar m \ket{E\,l,m}
\end{align}
Sucht man nach dem Spektrum von $H$ so muss man die möglichen $E$-Werte für festes $l$ und $m$ finden.

\section{Radialgleichung}
\paragraph{Ziel} $H \ket{\phi} = E \ket{\phi}$ vereinfachen mit
\begin{equation}
p^2 = -\frac{\hbar^2}{2\mu} \left[ \diffPs{r}^2 + \frac{2}{r} \diffPs{r} \right] + \frac{\vec{L}^2}{2\mu r^2}
\end{equation}
\paragraph{Beweis}
\begin{align}
L^2 &= \levicivita{\alpha,\beta,\gamma} x_\beta p_x \levicivita{\alpha,\mu,\nu} x_\mu p_\nu \\
&= \left(\krondelta{\beta,\mu} \krondelta{x,\nu} - \krondelta{\beta,\nu} \krondelta{\gamma,\beta}\right) x_\beta p_\gamma x_\gamma p_\nu \\
&= x_\beta \underbrace{p_\gamma x_\beta}_{x_\beta p_\gamma - i\hbar \krondelta{\beta,\gamma}} - x_\beta p_\gamma \underbrace{x_\gamma p_\beta}_{p_\beta x_\gamma + i\hbar \krondelta{\gamma,\beta}} \\
&= x^2 p^2 - i\hbar x p - \left( (x \cdot p)\underbrace{p \cdot x}_{x \cdot p - 3i\hbar} + i\hbar (x \cdot p) \right) \\
&= x^2 p^2 - (x \cdot p)^2 + i \hbar x p \label{stern00}
\end{align}
mit
\begin{equation}
\dirac{r,\theta,\phi}{x^2 p^2}{\psi} = r^2 \dirac{r,\theta,\phi}{\hat{p}^2}{\psi}
\end{equation}
und
\begin{align}
\dirac{r,\theta,\phi}{\hat{x} p}{\psi} &= \vec{x} (-i\hbar \vec{\nabla}) \psi(r,\theta,\phi) \\
&= -i\hbar r \diffPs{r} \psi(r,\theta,\phi)
\end{align}
daraus wird (\ref{stern00})
\begin{align}
\dirac{r,\theta,\phi}{L^2}{\psi} &= r^2 \cdot 2 \mu \braket{r,\theta,\phi \, H_\text{kin}}{\psi} + \hbar^2 (r\diffPs{r})(r\diffPs{r})\psi(r,\theta,\phi) + \hbar^2(r\diffPs{r})\psi(r,\theta,\phi) \\[15pt]
\rightarrow \dirac{r,\theta,\phi}{\underbrace{H_\text{kin} + V(r)}_{H}}{\psi} &\stackrel{!}{=} E \braket{r,\theta,\phi}{\psi}
\end{align}
für Eigenfunktion
\begin{equation}
\rightarrow \left( -\frac{\hbar^2}{2\mu} \left( \diffPs{r}^2 + \frac{2}{r} \diffPs{r} \right) + \frac{L^2}{2\mu r^2} + V(r) \right) \psi
\end{equation}
mit
\begin{equation}
\ket{\psi} = \ket{E\,l,m}
\end{equation}
ist
\begin{align}
\psi(r,\theta,\phi) &= R_E(r) y_{l,m}(\theta,\phi)\\
\rightarrow \left( -\frac{\hbar^2}{2\mu} \left( \diffPs{r}^2 + \frac{2}{r} \diffPs{r} - \frac{l(l+1)}{r^2} \right) + V(r) \right) R_E(r) &= E R_E(r)
\end{align}
unabhängig von $m$ (nur abhängig von Gesammtdrehimpuls)!
Als Vergleich: Rotation in 2D:
\begin{equation}
\left( -\frac{\hbar^2}{2\mu} \left( \diffPs{\rho}^2 + \frac{1}{\rho} \diffPs{\rho} - \frac{m^2}{\rho^2} \right) + V(\rho) \right) R_E(\rho) = E R_E(\rho)
\end{equation}
Nun ist
\begin{align}
R_E(r) &= \frac{u(r)}{r}\\
\diffPs{r}R_E(r) &= \frac{\diffPs{r}u(r)}{r} - \frac{u(r)}{r^2}\\
\diffPs{r}^2R_E(r) &= \frac{\diffPs{r}^2u(r)}{r} - \frac{2\diffPs{r}u(r)}{r^2} + \frac{2u}{r^3}
\end{align}
einsetzen:
\begin{equation}
\left( -\frac{\hbar^2}{2\mu} \diffPs{r}^2 + \underbrace{\frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{l(l+1)}{r^2} + V(r)}_{V_\text{eff}(r)} \right) u(r) = E u(r) \text{ für } r \geq 0
\end{equation}
gleicht formal der eindimensionalen Schrödingergleichung mit effektivem Potential. Aber $r \geq 0$ beachten (mit $u(r = 0) = 0$)!

\section{Coulomb-Problem und Wasserstoffatom}
Potential:
\begin{equation}
V(r) = -\frac{Z e^2}{r}; ~~ r = a_0 y
\end{equation}
mit
\begin{equation}
a_0 = \frac{\hbar}{\mu e^2} \text{ (Bohr'scher Radius)}; ~~ E = \frac{e^2}{a_0} \varepsilon
\end{equation}
eingesetzt in die stationre Schrödingergleichung
\begin{equation}
\left( \diffPs{y}^2 - \frac{l(l+1)}{y^2} + \frac{2Z}{y} + \varepsilon \right) u(y) = 0
\end{equation}
\paragraph{Lösungsstrategie 1} Asymptotik bestimmen, abspalten, Potenzreihenansatz (Tailorreihe!) einsetzen, Konvergenz durch Abbruch führt auf quantisierte Energie (steht in jedem Buch).
\paragraph{Lösungsstrategie 2} Abbildung auf harmonischen Oszillator in 2D:\\
dazu:
\begin{align}
x^2 &= 2 \lambda y\\
x \text{ d}x &= \lambda \text{ d}y\\
\rightarrow \diffPfrac{}{y} = \frac{\lambda}{x} \diffPfrac{}{x}
\end{align}
einsetzen:
\begin{equation}
\left( \diffPs{x}^2 - \frac{(2l+1)^2 - \frac{1}{4}}{x^2} + \frac{4Z}{\lambda} + \frac{2\varepsilon}{\lambda^2} x2 \right) \frac{u(y)}{\sqrt{x}} = 0
\end{equation}
Erinnerung an 2D H.O.
\begin{equation}
\left( \left( \diffPs{\rho}^2 + \frac{1}{\rho} \diffPs{\rho} - \frac{m^2}{\rho^2} \right) -\frac{\mu \omega^2}{\hbar^2} \rho^2 + E \frac{2m}{\hbar^2} \right) R_{n,m}(\rho) = 0
\end{equation}
mit $q \equiv \sqrt{\frac{u\omega}{\hbar}}\rho$
\begin{equation}
\left( \diffPs{q}^2 - \frac{m^2 - \frac{1}{4}}{q^2} - q^2 + 2N + 2 \right) \sqrt{\rho} R_{n,m}(\rho) = 0
\end{equation}
Korrespondenz:
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c}
Coulomb & H.O. \\ \hline
$(2l+1)^2$ & $m^2$ \\
$\frac{4Z}{\lambda}$ & $2N+2$ \\
$\frac{2\varepsilon}{\lambda}$ & $-1$
\end{tabular}
\end{center}
Also sind:
\begin{equation}
\abs{m} = 2l+1 \text{ und } \lambda = \frac{2Z}{N+1} = \frac{2Z}{\abs{m} + 2n_r + 1}
\end{equation}
Energieeigenwerte:
\begin{equation}
\varepsilon = -\frac{\lambda^2}{2} = -2Z^2 \frac{1}{(\abs{m} + 2n_r + 1)^2} = -z^2 \frac{1}{(l + n_r + 1)^2}
\end{equation}
damit das Spektrum:
%\begin{figure}[H] \centering
%\includegraphics{pdf/III/03-05-00.pdf}
%\end{figure}

+ 132
- 1
kapIII-4.tex View File

@@ -8,7 +8,7 @@ mit
\begin{equation}
D(\phi,\vec{n}) = 1 - i\frac{\phi}{\hbar} J_{\vec{n}} + O(\phi^2)
\end{equation}
In () hatten wir die Relation
In (\ref{labelTransfRot}) hatten wir die Relation
\begin{equation}
[J_x,J_y] = i\hbar J_z
\end{equation}
@@ -62,3 +62,134 @@ $\beta$-Spektrum ist eingeschränkt wegen:
\begin{equation}
0 \leq \dirac{\alpha,\beta}{J_x^2 + J_y^2}{\alpha,\beta} = \dirac{\alpha,\beta}{J^2-J_z^2}{\alpha,\beta} = (\alpha-\beta)^2 \underbrace{\braket{\alpha,\beta}{\alpha,\beta}}_{\geq 0}
\end{equation}
Also ist $\alpha \geq \beta^2$ und $\exists \beta_\text{max}$ mit
\begin{align}
J_+ \ket{\alpha,\beta_\text{max}} &= \ket{\zero} & \left| J_- \right.\\
J_- J_+ \ket{\alpha,\beta_\text{max}} &= 0\\
\left( J^2 - J_z^2 - \hbar J_z \right) \ket{\alpha,\beta_\text{max}} &= 0\\
\alpha - \beta_\text{max}^2 \hbar^2 -\beta_\text{max} \hbar &\stackrel{!}{=} 0\\
\rightarrow \alpha = \beta_\text{max} (\beta_\text{max} + \hbar)
\end{align}
entsprechend:
\begin{align}
J_- \ket{\alpha,\beta_\text{min}} &= \ket{\zero}\\
... \rightarrow \alpha &= \beta_\text{min} (\beta_\text{min} - \hbar)
\end{align}
Daraus folgt:
\begin{equation}
\beta_\text{max}^2 + \beta_\text{max} \hbar = \beta_\text{min}^2 + \beta_\text{min} \hbar
\end{equation}
quadratische Gleichung mit den 2 Lösungen:
\begin{align}
\beta_\text{max} &= \beta_\text{min} - \hbar &\text{(irrelevant)}\\
\beta_\text{max} &= -\beta_\text{min}
\end{align}
\begin{align}
\left( J_+ \right)^k \ket{\alpha,\beta_\text{mix}} &= \const \ket{\alpha,\beta_\text{max}}\\
\rightarrow \beta_\text{max} &= \beta_\text{min} + \hbar \cdot k
\end{align}
daraus ergibt sich mit $k = 0,1,2,...$:
\begin{equation}
\boxed{\beta_\text{max} = \frac{\hbar}{2} \cdot k}
\end{equation}
und
\begin{equation}
\alpha = \beta_\text{max}^2 + \beta_\text{max} \hbar = \hbar^2 \left( \frac{k}{2} + 1 \right) \frac{k}{2}
\end{equation}
Zusammenfassung:
\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
$\frac{k}{2}$ & $\beta_\text{max}$ & $\alpha$ & $\ket{\alpha,\beta_\text{max}}$ & Anzahl $\ket{\alpha,\beta}$ \\ \hline
$0$ & $0$ & $0$ & $\ket{0,0}$ & $1$ \\ \hline
$\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{2}\hbar$ & $\frac{3}{4}\hbar^2$ & $\ket{\frac{3}{4},\frac{1}{2}}$ & $2$ \\ \hline
$1$ & $\hbar$ & $2\hbar^2$ & $\ket{2,1}$ & $3$ \\ \hline
$\frac{3}{2}$ & $\frac{3}{2}\hbar$ & $\frac{15}{4}\hbar^2$ & $\ket{\frac{15}{4},\frac{3}{2}}$ & $4$
\end{tabular}
\end{center}
Wir finden halbzahlige Eigenwerte für $J_z$. Aber: in (\ref{labelRotSym2D}) hatten wir gesehen:
\begin{equation}
J_3 = XP_Y - YP_X
\end{equation}
hat Eigenwerte $m \hbar= (0,\pm 1, \pm 1, ...) \hbar$.\\
Mit der Notation $j \equiv \frac{k}{2}$
\begin{align}
\alpha &= \hbar^2 j (j + 1)\\
\beta &= \hbar m
\end{align}
und
\begin{align}
J^2 \ket{j,m} &= \hbar^2 j (j+1) \ket{j,m} & \left(j = \frac{0,1,2,3,...}{2}\right)\\
J_z \ket{j,m} &= \hbar m \ket{j,m} & \left(m = -j, -j+1, ..., j\right)
\end{align}
Matrixelemente:
\begin{align}
J_\pm \ket{j,m} &= c_+(j,m) \ket{j,m \pm 1}\\
\bra{j,m} J_\mp &= c_+^*(j,m) \bra{j,m \pm 1}\\[15pt]
\dirac{j,m}{J_- J_+}{j,m} &= \abs{c_+(j,m)}^2 \underbrace{\braket{j,m+1}{j,m+1}}_1\\
\dirac{j,m}{J^2 - J_z^2 - \hbar J_z}{j,m} &= \abs{c_+(j,m)}^2\\
\rightarrow \hbar^2 \left( j (j+1) - m^2 - m \right) &= \abs{c_+(j,m)}^2\\
\rightarrow c_+ &= \hbar \sqrt{j (j+1) - m^2 - m}\\
&= \sqrt{(j + m + 1)(j - m)}
\end{align}
genauso
\begin{equation}
c_- = \hbar \sqrt{(j - m + 1)(j + m)}
\end{equation}
Matrixelemente von $J_x$ und $J_y$:
\begin{align}
\dirac{j',m'}{J_x}{j,m} &= \braket{j',m'}{\frac{J_+ + J_-}{2} - j,m}\\
&= \krondelta{j',j} \left\lbrace \krondelta{m',m+1} c_+(j,m) + \krondelta{m'-1,m} c_-(j,m) \right\rbrace
\end{align}
\definecolor{lgray}{gray}{0.9}
\newcommand{\graycell}{\cellcolor{lgray}}
\begin{itemize}
\item für $J^2 / \hbar^2$
\begin{center}
\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c}
$j',m' \backslash j,m$ & $(0,0)$ & $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ & $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ & $(1,1)$ & $(1,0)$ & $(1,-1)$ \\ \hline\hline
$(0,0)$ & $0$ \graycell & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ \\ \hline
$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ & $0$ & $\frac{3}{4}$ \graycell & $0$ \graycell & $0$ & $0$ & $0$ \\ \hline
$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ & $0$ & $0$ \graycell & $\frac{3}{4}$ \graycell & $0$ & $0$ & $0$ \\ \hline
$(1,1)$ & $0$ & $0$ & $0$ & $2$ \graycell & $0$ \graycell & $0$ \graycell \\ \hline
$(1,0)$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ \graycell & $2$ \graycell & $0$ \graycell \\ \hline
$(1,-1)$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ \graycell & $0$ \graycell & $2$ \graycell \\
\end{tabular}
\end{center}
\item für $J_z / \hbar$
\begin{center}
\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c}
$j',m' \backslash j,m$ & $(0,0)$ & $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ & $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ & $(1,1)$ & $(1,0)$ & $(1,-1)$ \\ \hline\hline
$(0,0)$ & $0$ \graycell & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ \\ \hline
$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ & $0$ & $\frac{1}{2}$ \graycell & $0$ \graycell & $0$ & $0$ & $0$ \\ \hline
$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ & $0$ & $0$ \graycell & $-\frac{1}{2}$ \graycell & $0$ & $0$ & $0$ \\ \hline
$(1,1)$ & $0$ & $0$ & $0$ & $1$ \graycell & $0$ \graycell & $0$ \graycell \\ \hline
$(1,0)$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ \graycell & $0$ \graycell & $0$ \graycell \\ \hline
$(1,-1)$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ \graycell & $0$ \graycell & $1$ \graycell \\
\end{tabular}
\end{center}
\item für $J_x / \hbar$
\begin{center}
\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c}
$j',m' \backslash j,m$ & $(0,0)$ & $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ & $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ & $(1,1)$ & $(1,0)$ & $(1,-1)$ \\ \hline\hline
$(0,0)$ & $0$ \graycell & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ \\ \hline
$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ & $0$ & $0$ \graycell & $\frac{1}{2}$ \graycell & $0$ & $0$ & $0$ \\ \hline
$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ & $0$ & $\frac{1}{2}$ \graycell & $0$ \graycell & $0$ & $0$ & $0$ \\ \hline
$(1,1)$ & $0$ & $0$ & $0$ & $1$ \graycell & $0$ \graycell & $0$ \graycell \\ \hline
$(1,0)$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ \graycell & $0$ \graycell & $0$ \graycell \\ \hline
$(1,-1)$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ \graycell & $0$ \graycell & $1$ \graycell \\
\end{tabular}
\end{center}
\item für $J_y / \hbar$
\begin{center}
\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c}
$j',m' \backslash j,m$ & $(0,0)$ & $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ & $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ & $(1,1)$ & $(1,0)$ & $(1,-1)$ \\ \hline\hline
$(0,0)$ & $0$ \graycell & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ \\ \hline
$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ & $0$ & $0$ \graycell & $-\frac{i}{2}$ \graycell & $0$ & $0$ & $0$ \\ \hline
$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ & $0$ & $\frac{i}{2}$ \graycell & $0$ \graycell & $0$ & $0$ & $0$ \\ \hline
$(1,1)$ & $0$ & $0$ & $0$ & $1$ \graycell & $0$ \graycell & $0$ \graycell \\ \hline
$(1,0)$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ \graycell & $0$ \graycell & $0$ \graycell \\ \hline
$(1,-1)$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ \graycell & $0$ \graycell & $1$ \graycell \\
\end{tabular}
\end{center}
\end{itemize}
Erkennbar ist hier jeweils eine Blockstruktur!

+ 2
- 2
math.tex View File

@@ -37,8 +37,8 @@
\newcommand{\diffTfrac}[2]{\frac{\text{d} #1}{\text{d} #2}}
\newcommand{\diffTm}[3]{\diffTfrac{^{#1} #2}{#3^{#1}}}
\newcommand{\diffPfrac}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\intgr}[4]{\int_{#1}^{#2} #3 ~\text{ d}#4}
\newcommand{\intgru}[2]{\int #1 ~\text{ d}#2}
\newcommand{\intgr}[4]{\int_{#1}^{#2} #3 \,\text{d}#4}
\newcommand{\intgru}[2]{\int #1 \,\text{d}#2}
\newcommand{\intgrinf}[2]{\intgr{-\infty}{+\infty}{#1}{#2}}

\newcommand{\sbk}[1]{\left( #1 \right)}

+ 32
- 23
theo2.kilepr View File

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theo2.tex View File

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\part{Formelsammlung}
\label{FS}
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