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Conflicts:

	theo2.kilepr

kapII-3.tex

@@ -100,3 +100,116 @@ mit
 	j_I &= \frac{\hbar k}{m} &\text{einfallend}\\
 	j_R &= \frac{\hbar}{m} k \left( \frac{k - q}{k + q} \right)^2 \equiv R j_I &\text{reflectiert}
 \end{align}
+Strom rechts: $x > 0$
+\begin{align}
+	j(x > 0) &= \frac{\hbar}{m} \im{\diffPs{x} \phi(x > 0) \phi(x > 0)}\\
+	&= \frac{\hbar}{m} q C^2\\
+	&= \frac{\hbar}{m} q \sbk{\frac{2k}{k + q}}^2
+	&\equiv j_T \equiv T j_I
+\end{align}
+mit dem Reflexionskoeffizient
+\begin{equation}
+	R \equiv \frac{j_R}{j_I} = \left(\frac{k - q}{k + q}\right)^2
+\end{equation}
+und dem Transmissionskoeffizient
+\begin{equation}
+	T \equiv \frac{j_T}{j_I} = \frac{q}{k} \left( \frac{2k}{k + q} \right)^2
+\end{equation}
+für die gilt:
+\begin{equation}
+	\boxed{R + T = 1}
+\end{equation}
+%\begin{figure}[h]
+%\includegraphics{pdf/II/03-02-01.pdf}
+%\end{figure}
+Zusammenfassung:\\
+Auch für $E > V_0$ wird ein Teil reflektiert!
+
+\subparagraph*{Fall 2} $0 < E < V_0$\\
+links: wie oben\\[15pt]
+rechts:
+\begin{align}
+	\diffPs{x}^2 \phi(x) &= 2m \frac{V_0 - E}{\hbar^2} \phi(x)\\
+	\phi(x) &= C e^{-\kappa x} + D e^{\kappa x}
+\end{align}
+mit
+\begin{equation}
+	\kappa \equiv \sqrt{\frac{2m (V_0 - E)}{\hbar^2}}; ~ D \stackrel{!}{=} 0 \text{ (explodiert für } x \rightarrow +\infty \text{)}
+\end{equation}
+Stetigkeit:
+\begin{align}
+	A + B &= C\\[15pt]
+	\diffPs{x} \phi(x) \cdot i k (A - B) &= -C \kappa\\[15pt]
+	A &= 1\\
+	\rightarrow C &= \frac{2k}{k + i \kappa}\\
+	B &= \frac{k - i \kappa}{k + i \kappa}
+\end{align}
+transmittierter Strom:
+\begin{align}
+	j_T = j(x > 0) &= \frac{\hbar}{m} \im{\diffPs{x}\phi(x > 0) ~ \phi^*(x > 0)}\\
+	&= \frac{\hbar}{m} \im{\frac{(-\kappa) 2 k}{k + i\kappa} \cdot \frac{2k}{k i \kappa} e^{-2 \kappa x}}\\
+	&=0\\[15pt]
+	j_R &= j_I
+\end{align}
+Wellenfunktion für $x > 0$
+\begin{align}
+	\phi(x) &= C e^{-\kappa x}\\[15pt]
+	\rho(x) &= \abs{\phi(x)}^2 = C C^* e^{-2 \kappa x} \neq 0
+\end{align}
+%\begin{figure}[h]
+%\includegraphics{pdf/II/03-02-00.pdf}
+%\caption{das Teilchen dringt in die Potentialstufe ein}
+%\end{figure}
+
+\section{Potentialtopf}
+%\begin{figure}[h]
+%\includegraphics{pdf/II/03-03-00.pdf}
+%\caption{gebundene Zustände $0 > E > -\abs{V_0}$}
+%\end{figure}
+\paragraph*{symmetrische Lösung}
+\begin{align}
+	\abs{x} < a: ~ \phi(x) &= A \cos(q x)\\
+	q &= \frac{2m (E + \abs{V_0})}{\hbar^3}\\
+	\abs{x} > a: ~ \phi(x) &= B e^{-\kappa \abs{x}}\\
+	\kappa^2 &= \frac{2m}{\hbar^2} \abs{E}
+\end{align}
+Stetigkeit:
+\begin{align}
+	A \cos(q a) &= B e^{-\kappa a} \label{eqn00}\\
+	\text{von } \diffPs{x}\phi(0) ~ \rightarrow -A q \sin(q a) &= -\kappa B e^{-\kappa a} \label{eqn01}
+\end{align}
+teile \ref{eqn01} durch \ref{eqn00}:
+\begin{equation}
+	\tan(q a) = \frac{\kappa}{q} = \frac{\sqrt{\frac{2m a^2 \abs{V_0}}{\hbar^2} - (q a)^2}}{q a}
+\end{equation}
+%\begin{figure}[h]
+%\includegraphics{pdf/II/03-03-01.pdf}
+%\end{figure}
+\begin{itemize}
+	\item endlich viele diskrete $q$-Werte d.h. $E$-Werte mit Lösung
+	\item es gibt mindestens eine Lösung
+\end{itemize}
+für $\frac{2m a^2 \abs{V_0}}{\hbar^2} < \pi^2$ existiert nur eine Lösung
+\subparagraph*{Grundzustand $\phi_0$}
+%\begin{figure}[h]
+%\includegraphics{pdf/II/03-03-02.pdf}
+%\end{figure}
+\begin{equation}
+	\phi_0(x) = \left\lbrace \begin{array}{ll} A \cos(q_0) & \abs{x} < a\\ B e^{-\kappa x} & \abs{x} \geq a \end{array} \right.
+\end{equation}
+$A$, $B$ über Stetigkeit und Normierung berechnen
+
+\paragraph*{asymmetrische Lösung}
+\begin{align}
+	\abs{x} < a: ~ \phi(x) &= A \sin(q x)\\
+	\abs{x} > a: ~ \phi(x) &= \sign(x) e^{-\abs{\kappa} x}
+\end{align}
+wie oben:
+\begin{equation}
+	\tan(q a) = -\frac{q a}{\sqrt{\frac{2 m a^2 \abs{V_0}}{\hbar^2} - q a}}
+\end{equation}
+gibt es nur falls $\frac{2 m a^2 \abs{V_0}}{\hbar^2} > \frac{\pi^2}{4}$
+\subparagraph*{Spektrum}
+%\begin{figure}[h]
+%\includegraphics{pdf/II/03-03-03.pdf}
+%\end{figure}

kapII-4.tex

@@ -0,0 +1,191 @@
+\chapter{Symmetrie}
+\section{Nichtentartung gebundener Zustände}
+\paragraph{Satz} Gebundene Zustände $\left( \phi(x) \xrightarrow{x \rightarrow \pm \infty} 0 \right)$ in einer Dimension sind nicht entartet
+\subparagraph{Beweis} durch Wiederspruch:
+\begin{align}
+	-\frac{\hbar^2}{2m} \diffPs{x}^2 \phi_1 + V(x) \phi_1 &= E \phi_1 &\left| \phi_2 \right.\\
+	-\frac{\hbar^2}{2m} \diffPs{x}^2 \phi_2 + V(x) \phi_1 &= E \phi_2 &\left| \phi_1 \right.\\[15pt]
+	\rightarrow \diffPs{x}^2(\phi_1) \phi_2 + \phi_1 \diffPs{x}^2(\phi_2) &= 0\\
+	\diffPs{x}\left( \diffPs{x}(\phi_1) \phi_2 - \phi_1 \diffPs{x}(\phi_2) \right)\\
+	\rightarrow \diffPs{x}(\phi_1) \phi_2 - \phi_1 \diffPs{x}(\phi_2) &= \const
+	&= 0 ~ \left(\text{betrachte } x = \pm \infty \right)\\
+	\rightarrow \frac{\diffPs{x}(\phi_1)}{\phi_1} &= \frac{\diffPs{x}(\phi_2)}{\phi_2}\\[15pt]
+	\rightarrow \phi_1(x) &= \const \cdot \phi_2(x)
+\end{align}
+\begin{flushright}
+	$\square$
+\end{flushright}
+\section{Parität}
+\paragraph{Satz} Falls $V(x) = V(-x)$ können die Eigenfunktionen von $H$ als symmetrisch oder antisymmetrisch gewählt werden.
+\subparagraph{Beweis} Sei $\phi(x)$ Lösung der SG. Betrachte $\tilde{\phi}(x) \equiv \phi(-x)$:
+\begin{align}
+	-\frac{\hbar^2}{2m} \diffPs{x}^2(\phi(x)) + V(x) \tilde{\phi(x)} &= -\frac{\hbar^2}{2m} \diffPs{x}^2(\tilde{\phi}(x)) + V(-x) \tilde{\phi}(x)\\[15pt]
+	\rightarrow \frac{\hbar^2}{2m} \diffPs{x}^2(\phi(x)) + V(-x) \phi(-x) &= E \phi(-x)\\
+	&= E \tilde{\phi}(x)
+\end{align}
+Also löst
+\begin{equation}
+	\phi_{S,a}(x) \equiv \phi(x) \pm \phi(-x)
+\end{equation}
+die SG zu $E$.
+
+\subparagraph{Alternativer Zugang über Paritätsoperator}
+Definiere den Paritätsoperator $\Pi$ als:
+\begin{equation}
+	\Pi \ket{x} \equiv \ket{-x} ~\left[~ \neq -\ket{x} ~\right]
+\end{equation}
+%\begin{figure}[h]
+%\includegraphics{pdf/II/04-02-00.pdf}
+%\caption{Beispiel für $\Pi$}
+%\end{figure}
+
+\begin{align}
+	\Pi \ket{\psi} &= \intgr{-\infty}{+\infty}{\Pi \ket{x} \braket{x}{\psi}}{x}\\
+	&= \intgr{-\infty}{+\infty}{\ket{-x} \psi(x)}{x} &(-x = y)\\
+	&= \intgr{-\infty}{+\infty}{\ket{y} \psi(-y)}{(-y)}\\
+	&= \intgr{-\infty}{+\infty}{\ket{y} \psi(-y)}{y} &\left| ~\bra{x} \right.\\
+	\rightarrow \dirac{x}{\Pi}{\psi} &= \intgr{-\infty}{+\infty}{\braket{x}{y} \psi(-y)}{y}\\
+	\braket{x}{\Pi \psi} &= \psi(-x)\\
+	\left( \Pi \psi \right)(x) &= \psi(-x)
+\end{align}
+Wirkung auf Impulse:
+\begin{align}
+	\dirac{x}{\Pi}{p} &= p(-x)\\
+	&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^{\frac{i p}{\hbar} (-x)}\\
+	&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^{\frac{i}{\hbar} (-p) x}\\
+	&= \braket{x}{-p}\\[15pt]
+	\Pi \ket{p} &= \ket{-p}
+\end{align}
+Eigenschaften von $\Pi$:
+\begin{align}
+	\Pi^2 \ket{x} &= \Pi \ket{-x} = \ket{x}\\
+	\rightarrow \Pi^2 &= \one\\
+	\rightarrow \Pi^{-1} &= \Pi
+	\rightarrow \text{Eigenwerte} &= \pm 1
+\end{align}
+Eigenfunktionen zu $+1$:
+\begin{equation}
+	\Pi \ket{\psi} = +\ket{\psi}
+\end{equation}
+in Ortsdarstellung
+\begin{align}
+	\braket{x \Pi}{\psi} &= + \braket{x}{\psi}
+	\psi(-x) &= \psi(x)
+\end{align}
+$\Pi$ ist hermitesch und unitär.\\[15pt]
+Falls $[H, \Pi] = 0$, gibt es eine gemeinsame Eigenbasis; d.h. Eigenfunktionen von $H$ können als symmetrisch bzw. antisymmetrisch gewählt werden.\\[15pt]
+Was ist $[H, \Pi]$ ?
+\begin{enumerate}
+	\item $[V(\hat{x}), \Pi]$
+		\begin{align}
+			\dirac{x}{V(\hat{x})\Pi - V(\hat(x)}{x'} &= (V(x) - V(x')) \underbrace{\dirac{x}{\Pi}{x}}_{\braket{x}{-x'} = \delta(-x' - x)}\\
+			&= (V(x) - V(x')) \delta(x' + x)\\
+			&= \left\lbrace\begin{array}{ll} 0 & \text{falls } x' \neq -x \\ \underbrace{(V(x) - V(x'))}_{= 0 \text{ falls } V(x) = V(-x)}\delta(0) & \text{falls } x' = -x \end{array}\right.
+		\end{align}
+	\item $[\hat{p}^2, \Pi]$
+		\begin{align}
+			\dirac{p}{\hat{p}^2 \Pi - \Pi \hat{p}^2}{p'} &= \left(p^2 - {p'}^2 \right) \braket{p \Pi}{p'}\\
+			&= \left(p^2 - {p'}^2 \right) \braket{p}{-p'} = 0
+		\end{align}
+\end{enumerate}
+\begin{flushright}
+	$\square$
+\end{flushright}
+
+\section{Translationsoperator periodisches Potential\\und Bloch Theorem}
+\paragraph{Definition} Translationoperator
+%\begin{figure}[h]
+%\includegraphics{pdf/II/04-03-00.pdf}
+%\end{figure}
+\begin{align}
+	\dirac{x}{T_a}{\psi} &\equiv \psi(x - a)\\
+	&= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-a)^n}{n!} \diffPfrac{^n}{x^n} \psi(x)\\
+	&= e^{-a \diffP{x}} \psi(x)\\
+	&= \dirac{x}{e^{-\frac{i a}{\hbar} \hat{p}}}{\psi}
+\end{align}
+\begin{align}
+	\rightarrow T_a &= e^{-\frac{i a}{\hbar} \hat{p}}\\
+	&\approx \one - \frac{i a}{\hbar} \hat{p}
+\end{align}
+(Vergleiche: I.5.4 $D_{x/y/z}(\varepsilon) \approx \one - \frac{i \varepsilon}{\hbar} J_{x/y/z}$)\\[15pt]
+$T_a$ unitär $\Rightarrow$ Eigenwerte sind vom Typ $\lambda_a = e^{-i \kappa a}$
+\begin{align}
+	T_a \ket{\phi} &= e^{-i \kappa a} \ket{\phi} &\left| \bra{x} \right.\\
+	\phi(x - a) &= e^{-i \kappa a} \phi(x)
+\end{align}
+mit $\phi(x)$, der Eigenfunktion zu
+\begin{equation}
+	x_a \equiv e^{-i \kappa a}
+\end{equation}
+(mit $\kappa$ beliebig reell)
+%\begin{figure}[h]
+%\includegraphics{pdf/II/04-03-01.pdf}
+%\caption{Periodisches Potential}
+%\end{figure}
+Falls $[H, T_a] = 0$ gibt es gemeinsame Eigenfunktionen:
+\begin{enumerate}
+	\item es gilt immer:
+		\begin{equation}
+			[\hat{p}^2, T_a] = 0
+		\end{equation}
+	\item $[v(\hat{x}), T_a]$
+		\begin{align}
+			\dirac{x'}{V(x) T_a - T_a V(\hat{x})}{x} &= (V(x) - V(x'))\underbrace{\dirac{x'}{T_a}{x}}_{\braket{x'}{x+a} = \delta(x' - (x - a))}\\
+			&= 0 \text{ falls } V(x) = V(x + a)
+		\end{align}
+\end{enumerate}
+
+\paragraph{Konsequenz (Bloch Theorem)} Es gibt gemeinsame Eigenfunktionen von $H$ und $T_a$:
+\begin{align}
+	H \phi_\kappa(x) &= E \phi_\kappa(x)\\[15pt]
+	\phi_\kappa(x) &= e^{+i \kappa a} \phi_\kappa(x - a)
+\end{align}
+d.h. SG im Intervall $[0, a]$ lösen mit Randbedingung:
+\begin{equation}
+	\phi(a) = e^{-i \kappa a} \phi(0)
+\end{equation}
+
+\section{Bandstruktur im Beispiel ``Dirac-Kamm''}
+%\begin{figure}[h]
+%\includegraphics{pdf/II/04-04-00.pdf}
+%\end{figure}
+\begin{equation}
+	V(x) = \alpha \sum_{j=-\infty}^{+\infty} \delta(x - j a)
+\end{equation}
+SG:
+\begin{equation}
+	\left( -\frac{\hbar^2}{2m} \diffPs{x}^2 + V(x) \right) \phi(x) = E \phi(x)
+\end{equation}
+für $0 < x < a$:
+\begin{equation}
+	\phi(x) = A \sin(k x) + B \cos(k x) ~, ~ k^2 = \frac{2m E}{\hbar^2}
+\end{equation}
+für $-a < x < 0$ (Bloch Theorem):
+\begin{align}
+	\phi(x) &= e^{-i \kappa a} \phi(x + a)\\
+	&= e^{-i \kappa A} \left[ A \sin(k (x + a)) + B \cos(k (x + a)) \right]
+\end{align}
+Anschluss bei $x = 0$:
+\begin{align}
+	\phi(+\varepsilon) = \phi(-\varepsilon):~ B &= e^{-i \kappa a} \left( A \sin(k a) + B \cos(k a) \right)\\[15pt]
+	\diffT{x}\phi(+\varepsilon) - \diffT{x}\phi(-\varepsilon) &= \frac{2m \alpha}{\hbar^2} \phi(0)\\
+	k A - e^{-i \kappa} \left(k A \cos(k a) - k B \sin(k a)\right) &= \frac{2 m \alpha}{\hbar^2} B
+\end{align}
+Lösung falls $\det M = 0$ mit
+\begin{equation}
+	M \inlinematrix{A \\ B} = 0
+\end{equation}
+\begin{equation}
+	\cos(\kappa A) = \cos(k a) + \frac{m \alpha a}{\hbar^2} \frac{\sin(k a)}{k a}
+\end{equation}
+%\begin{figure}[h]
+%\includegraphics{pdf/II/04-04-01.pdf}
+%\end{figure}
+in $z$ ist erlaubt:
+\begin{equation}
+	z_n(\beta) \leq z \leq n\pi
+\end{equation}
+in $E$ ist erlaubt:
+\begin{equation}
+	\frac{\hbar^2}{2 m a^2} z_n(\beta) \leq E \leq \frac{\hbar^2}{2 m a^2} (\pi n)^2
+\end{equation}

kapII-5.tex

@@ -0,0 +1,263 @@
+\chapter{Harmonischer Oszilator}
+\section{Algebraische Lösung des Spektrums von $H$}
+\begin{align}
+	H &= \frac{P^2}{2 m} + \frac{m}{2} \omega^2 X^2; \text{ mit } \hat{x} \equiv \left( \frac{m \omega}{\hbar} \right)^\frac{1}{2} X; ~ \hat{p} \equiv \left( \frac{1}{\hbar m \omega} \right)^2 P
+	&= \frac{\hbar \omega}{2} \left( \hat{p}^2 + \hat{x}^2 \right)
+\end{align}
+mit
+\begin{equation}
+	[\hat{x}, \hat{p}] = i
+\end{equation}
+\paragraph{Vernichtungsoperator}
+\begin{align}
+	\aDs \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \hat{x} + i \hat{p} \right)\\
+	\aCr \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \hat{x} - i \hat{p} \right)
+\end{align}
+daraus ergeben sich $\hat{x}$ und $\hat{p}$ als:
+\begin{align}
+	\hat{x} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \aDs + \aCr \right)\\
+	\hat{p} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \aDs - \aCr \right)
+\end{align}
+
+\subparagraph{Kommutator}
+\begin{align}
+	[\aDs, \aCr] &= \frac{1}{2} [\hat{x} + i \hat{p}, \hat{x} - i \hat{p}]\\
+	&= -i[\hat{x}, \hat{p}]\\
+	&= \one = 1
+\end{align}
+eingesetzt in $H$:
+\begin{align}
+	H &= \frac{\hbar \omega}{2} \left( \hat{p}^2 + \hat{x}^2 \right)\\
+	&= \frac{\hbar \omega}{4} \left( -\left( \aCr\aCr - \aDs\aCr - \aDs\aCr + \aDs\aDs \right) + \left( \aDs\aDs + \aDs\aCr + \aCr\aDs + \aCr\aCr \right) \right)\\
+	&= \frac{\hbar \omega}{4} \left( 2\aDs\aCr + 2\aCr\aDs \right)\\
+	&= \frac{\hbar \omega}{2} \left( 2\aCr\aDs + \one \right)\\
+	&= \hbar \omega \left( \aCr\aDs + \frac{\one}{2} \right)
+\end{align}
+
+\paragraph{Anzahloperator}
+\begin{equation}
+	\nOp \equiv \aCr \aDs
+\end{equation}
+
+\subparagraph{Kommutatoren}
+\begin{align}
+	[\nOp, \aDs] &= [\aCr\aDs, \aDs] = [\aCr, \aDs] \aDs = -\aDs\\
+	[\nOp, \aCr] &= [\aCr\aDs, \aCr] = \aDs [\aDs, \aDs] = \aCr
+\end{align}
+
+\subparagraph*{Spektrum von $\nOp$}
+\begin{enumerate}
+	\item Sei $\ket{\nu}$ Eigenvektor von $\nOp$ mit Eigenwert $\nu$:
+		\begin{equation}
+			\nOp \ket{\nu} = \nu \ket{\nu} \text{ mit } \braket{\nu}{\nu} > 0
+		\end{equation}
+	\item
+		\begin{align}
+			\nOp \aDs \ket{\nu} &= \aCr \aDs \aDs \ket{\nu}\\
+			&= \left( \aDs \aCr - \one \right) \aDs \ket{\nu}\\
+			&= \aDs \nOp \ket{\nu} - \aDs \ket{\nu}\\
+			&= \aDs \cdot \nu \ket{\nu} - \aDs \ket{\nu}\\
+			&= \left(\nu - 1\right) \aDs \ket{\nu}
+		\end{align}
+		$\rightarrow$ $\aDs\ket{\nu}$ ist Eigenvektor von $\nOp$ zum Eigenwert $\left( \nu - 1 \right)$\\
+		\underline{oder}:
+		\begin{equation}
+			\aDs\ket{\nu} = \zero \text{ (Nullvektor)}
+		\end{equation}
+	\item
+		\begin{equation}
+			0 \leq \norm{\aDs \ket{\nu}}^2 = \braket{\nu}{\aCr \aDs \nu} = \nu \underbrace{\braket{\nu}{\nu}}_{\geq 0}
+		\end{equation}
+		%\begin{figure}[h]
+		%\includegraphics{pdf/II/05-01-00.pdf}
+		%\end{figure}
+		Die obige Ungleichung wäre nach mehrfacher Anwendung von $\aDs \ket{\nu}$ verletzt wenn anfänglich $\nu$ keine ganze positive Zahl ist.
+	\item
+		\begin{align}
+			\nOp \aCr \ket{\nu} &= \aCr \aDs \aCr \ket{\nu}\\
+			&= \aCr \left( \aCr \aDs + 1 \right)\ket{\nu}\\
+			&= \aCr \left( \nu + 1 \right) \ket{\nu}\\
+			&= \left( \nu + 1 \right) \aCr \ket{\nu}
+		\end{align}
+	\item
+		\begin{align}
+			0 \leq \norm{\aCr \ket{\nu}}^2 &= \braket{\nu}{\aDs \aCr \nu} = \dirac{\nu}{\aCr \aDs + 1}{\nu}\\
+			&= \left( \nu + 1 \right) \aCr \ket{\nu}
+		\end{align}
+		$\rightarrow$ kein Problem
+\end{enumerate}
+Daraus ergibt sich das Spektrum von $\nOp$:
+\begin{equation}
+	\nOp \ket{n} = n \ket{n} \text{ mit } n \in \setZ^+_0
+\end{equation}
+%\begin{figure}[h]
+%\includegraphics{pdf/II/05-01-01.pdf}
+%\end{figure}
+und das Spektrum von $H$:
+\begin{equation}
+	H \ket{n} = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right) \ket{n}
+\end{equation}
+\begin{enumerate}
+	\item nur diskrete Eigenwerte erlaubt: Quantisierung
+	\item Grundzustandsenergie (auch Nullzustandsenergie):
+		\begin{equation}
+			E_0 = \frac{\hbar \omega}{2}
+		\end{equation}
+	\item Es gilt:
+		\begin{equation}
+			a \ket{0} = \ket{\zero}
+		\end{equation}
+	\item klassischer harmonischer Oszilator (mit $m = 1\text{kg}$; $\omega = \frac{1}{\text{sec}}$):
+		\begin{align}
+			\Delta E &= E_{n+1} - E_n = 10^{-34}\text{J}\\
+			E_0 &= \frac{m}{2} \omega^2 x^2 = 1 \text{J}
+		\end{align}
+\end{enumerate}
+
+\paragraph*{Matrixelemente der Erzeuger- und Vernichter-Operatoren}
+\begin{align}
+	\aCr \ket{n} &= c_n \ket{n+1} ~ \left( \ket{n} \text{ seien normiert} \right)\\[15pt]
+	\rightarrow \abs{c_n}^2 &= \dirac{n}{\aDs \aCr}{n}\\
+	&= \dirac{n}{\aCr\aDs + 1}{n}\\
+	&= (n + 1) \underbrace{\braket{n}{n}}_{1}\\[15pt]
+	\rightarrow c_n &= \sqrt{n + 1} \text{ (Phase absichtlich 1 gesetzt)}
+\end{align}
+daraus ergibt sich
+\begin{equation}
+	\aCr \ket{n} = \sqrt{n + 1} \ket{n + 1} \label{eqn03}
+\end{equation}
+insbesondere
+\begin{align}
+	\aCr \ket{0} &= 1 \ket{1} \Rightarrow \ket{1} = \aCr \ket{0}\\
+	\aCr \ket{1} &= \sqrt{2} \ket{2} \Rightarrow \ket{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \aCr \ket{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{1}} \aCr \aCr \ket{0}
+\end{align}
+und analog zu \ref{eqn03} gilt:
+\begin{equation}
+	\aDs \ket{n} = \sqrt{n} \ket{n - 1}
+\end{equation}
+Man erhält nun aus dem Obigen die allgemeine Form für $\ket{n}$:
+\begin{equation}
+	\boxed{\ket{n} = \frac{1}{\sqrt{n!}} \left( \aCr \right)^n \ket{0}}
+\end{equation}
+Die Matrixelemente von $\aCr$ sind dann:
+\begin{align}
+	\dirac{n'}{\aCr}{n} &= \sqrt{n + 1} \braket{n'}{n + 1}\\
+	&= \sqrt{n + 1} \krondelta{n', n + 1}
+\end{align}
+und ebenso die Matrixelemente von $a = \left( \aCr \right)^\dagger$:
+\begin{align}
+	\dirac{n'}{\aDs}{n} &= \dirac{n}{\aCr}{n}\\
+	&= \sqrt{n} \krondelta{n, n + 1}
+\end{align}
+als Matrix:
+\begin{align}
+	\aDs &= \inlinematrix{
+		0      & \sqrt{1} & 0        & 0        & 0      & \cdots \\
+		0      & 0        & \sqrt{2} & 0        & 0      & \cdots \\
+		0      & 0        & 0        & \sqrt{3} & 0      & \cdots \\
+		0      & 0        & 0        & 0        & \ddots &        \\
+		\vdots & \vdots   & \vdots   & \vdots   &        &
+	}\\
+	\aCr &= \inlinematrix{
+		0        & 0        & 0        & 0      & \cdots \\
+		\sqrt{1} & 0        & 0        & 0      & \cdots \\
+		0        & \sqrt{2} & 0        & 0      & \cdots \\
+		0        & 0        & \sqrt{3} & 0      & \cdots \\
+		0        & 0        & 0        & \ddots &        \\
+		\vdots   & \vdots   & \vdots   &        &
+	}\\
+	\aDs\aCr &= \inlinematrix{
+		1      & 0      & 0      & 0      & \cdots \\
+		0      & 2      & 0      & 0      & \cdots \\
+		0      & 0      & 3      & 0      & \cdots \\
+		0      & 0      & 0      & \ddots &        \\
+		\vdots & \vdots & \vdots &        &
+	}\\
+	\aCr\aDs &= \inlinematrix{
+		0      & 0      & 0      & 0      & 0      & \cdots \\
+		0      & 1      & 0      & 0      & 0      & \cdots \\
+		0      & 0      & 2      & 0      & 0      & \cdots \\
+		0      & 0      & 0      & 3      & 0      & \cdots \\
+		0      & 0      & 0      & 0      & \ddots &        \\
+		\vdots & \vdots & \vdots & \vdots &        &
+	}
+\end{align}
+\begin{equation}
+	\left( \left[\aDs, \aCr \right] = \right) \aDs\aCr - \aCr\aDs = 1
+\end{equation}
+\begin{align}
+	\hat{x} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \inlinematrix{
+		0        & \sqrt{1} & 0        & 0        & 0      & \cdots \\
+		\sqrt{1} & 0        & \sqrt{2} & 0        & 0      & \cdots \\
+		0        & \sqrt{2} & 0        & \sqrt{3} & 0      & \cdots \\
+		0        & 0        & \sqrt{3} & 0        & \ddots &        \\
+		0        & 0        & 0        & \ddots   & \ddots &        \\
+		\vdots   & \vdots   & \vdots   &          &        & 
+	}\\
+	\hat{p} &= \frac{i}{\sqrt{2}} \inlinematrix{
+		0        & -\sqrt{1} & 0         & 0         & 0      & \cdots \\
+		\sqrt{1} & 0         & -\sqrt{2} & 0         & 0      & \cdots \\
+		0        & \sqrt{2}  & 0         & -\sqrt{3} & 0      & \cdots \\
+		0        & 0         & \sqrt{3}  & 0         & \ddots &        \\
+		0        & 0         & 0         & \ddots    & \ddots &        \\
+		\vdots   & \vdots    & \vdots    &           &        & 
+	}\\
+\end{align}
+\begin{align}
+	\left[ \hat{x}, \hat{p} \right] &= i \one\\[15pt]
+	\tr\left[ \hat{x}, \hat{p} \right] &= \tr\left( i \one \right)\\
+	\tr\left( \hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x} \right) &= \tr\left( i \one \right)\\
+	0 &= i \infty \text{ (falls Spur zyklisch $\leftarrow$ gilt nur für endliche Räume)}
+\end{align}
+
+\section{Wellenfunktion im Ortsaum}
+Gesucht:
+\begin{align}
+	\phi_n(x) &= \braket{x}{n}\\
+	\phi_0(x) &= \braket{x}{0}
+\end{align}
+Wir wissen:
+\begin{equation}
+	\aDs \ket{0} = \zero
+\end{equation}
+daraus ergibt sich
+\begin{align}
+	\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \hat{x} + i\hat{p} \right) \ket{0} &= \zero &\left| \bra{x} \right.\\
+	\dirac{x}{\hat{x} + i\hat{p}}{0} &= 0\\
+	x + i(-i) \diffPs{x} \phi_0(x) &= 0 &\left(\text{denn: } \dirac{x}{\hat{p}}{\psi} = -i \hbar \diffPs{x} \psi(x) \right)\\
+	\rightarrow \left(x - \diffPs{x} \right) \phi_0(x) &= 0\\
+	\phi_0(x) &= c \cdot e^{-\frac{x^2}{2}}
+\end{align}
+Normierung:
+\begin{equation}
+	\intgr{-\infty}{+\infty}{\phi_0(x) \phi_0^*(x)}{x} \stackrel{!}{=} 1 ~ \rightarrow ~ c = \frac{1}{\pi^\frac{1}{4}}
+\end{equation}
+%\begin{figure}[h]
+%\includegraphics{pdf/II/05-02-00.pdf}
+%\end{figure}
+\paragraph*{Angeregte Zustände}
+\begin{align}
+	\ket{1} &= \aCr \ket{0} &\left| \bra{x} \right.\\[15pt]
+	\phi_0(x) &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( x - \diffPs{x} \right) \phi_0(x)\\
+	&= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( x - \diffPs{x} \right) \frac{1}{\pi^\frac{1}{4}} e^{-\frac{x^2}{2}}\\
+	&= \frac{\sqrt{2}}{\pi^\frac{1}{4}} x e^{-\frac{x^2}{2}}\\[15pt]
+	\phi_2(x) &= \frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{2}} \left( x - \diffPs{x} \right) \left( \frac{\sqrt{2}}{\pi^\frac{1}{4}} x e^{-\frac{x^2}{2}} \right)\\
+	&= \frac{1}{\pi^\frac{1}{4}} \left( 2x^2 - 1 \right) e^{-\frac{x^2}{2}}
+\end{align}
+allgemein:
+\begin{align}
+	\ket{n} &= \frac{\left( \aCr \right)^n}{\sqrt{n!}} \ket{0} &\left| \bra{x} \right.\\
+	\phi_n(x) &= \frac{1}{\sqrt{n!}} \frac{1}{\pi^\frac{1}{4}} \frac{1}{\sqrt{2^n}} \left( x - \diffPs{x} \right)^n e^{-\frac{x^2}{2}}
+\end{align}
+$Q_n$ ist symmetrisch für $n = 2k$, antisymmetrisch für $n = 2k + 1$ und hat $n$ Nullstellen.
+
+\paragraph*{Erwartungswerte}
+\begin{align}
+	< \hat{x} >_\ket{n} &= \dirac{n}{\hat{x}}{n}\\
+	&= \frac{1}{\sqrt{2}} \dirac{n}{\aCr + \aDs}{n}\\
+	&= \frac{1}{\sqrt{2}} \bra{n} \left( \sqrt{n + 1} \ket{n + 1} + \sqrt{n} \ket{n - 1}\right)\\
+	&= 0\\[15pt]
+	< \hat{p} >_\ket{n} &= 0
+\end{align}
+Wegen Ehrenfest:
+

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 \newcommand{\re}[1]{{\text{Re}\left( #1 \right)}}
 \newcommand{\im}[1]{{\text{Im}\left( #1 \right)}}
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+\newcommand{\sign}{{\text{sign}}}
 
 \newcommand{\QED}{\begin{large}\textbf{\checkmark}\end{large}}
 \newcommand{\cequiv}{\stackrel{\scriptscriptstyle\wedge}{=}}

physics.tex

@@ -5,7 +5,12 @@
 
 \newcommand{\hilbert}{\mathcal{H}}
 \newcommand{\one}{\mathbbm{1}}
+\newcommand{\zero}{\pmb{0}}
+\newcommand{\aDs}{{\hat{a}}}
+\newcommand{\aCr}{{\aDs^\dagger}}
+\newcommand{\nOp}{{\hat{n}}}
 
 \newcommand{\probb}[2]{\text{prob}\left[ #1\vphantom{#2} \right. \left| \vphantom{#1}#2 \right]}
 \newcommand{\prob}[1]{\text{prob}\left[ #1 \right]}
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+\newcommand{\const}{{\text{const.}}}

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