Merge branch 'master' of git+ssh://git@git.eluhost.de:522/qm1-script

formelsammlung.tex

@@ -1,32 +1,90 @@
+\chapter{Notationen}
+\section{Dirac-Notation}
+
 \chapter{Lineare Algebra}
-\section{Allgemeines}
+\section{Gruppentheorie}
-\subsection*{Definitionen}
+
+\subsection{Abbildungen}
+
+\subsubsection*{Kommutator:}
+	\begin{equation} [A,B] = AB - BA \end{equation}
+	Der Kommutator von g und h ist genau dann gleich dem neutralen Element, wenn g und h kommutieren. \\
+	Sei $a$, $b$ und $c$ Elemente einer assoziativen Algebra und $\lambda$ ein Skalar (Element des Grundkörpers).
+	\begin{enumerate}
+		\item Alternierend (antisymmetrisch):
+			\begin{equation} [a,b]=-[b,a] \end{equation}
+		\item Linear:
+			\begin{equation} [\lambda a+b,c]=\lambda [a,c] + [b,c] \end{equation}
+		\item Jacobi-Identität:
+			\begin{equation} [a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0 \end{equation}
+		\item Leibnizregel(Produktregel):
+			\begin{equation} [a,bc] = [a,b]c+b[a,c] \end{equation}
+	\end{enumerate}
+	Aufgrund der Eigenschaften 1, 2 und 3 wird jede assoziative Algebra $A$ mit dem Kommutator als Lie-Klammer zu einer Lie-Algebra, die teilweise mit $A^-$ bezeichnet wird. \\
+	Eigenschaft 4 bedeutet, daß die Abbildung $b\mapsto [a,b]$ eine Derivation ist.
+
+
 \subsubsection*{Levi-Civita-Symbol:}
 	\begin{math}
 	\varepsilon_{12\dots n} = 1 \\
-	\varepsilon_{ij\dots u\dots v\dots} = -\varepsilon_{ij\dots v\dots u\dots}\\
+	\varepsilon_{ij\dots u\dots v\dots} = -\varepsilon_{ij\dots v\dots u\dots}\\
 	\varepsilon_{ij\dots u\dots u\dots} = 0 \\
-	
 	\levicivita{i,j,k} =
-	\begin{cases}
+	\begin{cases}
-		+1, & \mbox{falls }(i,j,k,\dots) \mbox{ eine gerade Permutation von } (1,2,3,\dots) \mbox{ ist,} \\
+		+1, & \mbox{falls }(i,j,k,\dots) \mbox{ eine gerade Permutation von } (1,2,3,\dots) \mbox{ ist,} \\
-		-1, & \mbox{falls }(i,j,k,\dots) \mbox{ eine ungerade Permutation von } (1,2,3,\dots) \mbox{ ist,} \\
+		-1, & \mbox{falls }(i,j,k,\dots) \mbox{ eine ungerade Permutation von } (1,2,3,\dots) \mbox{ ist,} \\
-		0,  & \mbox{wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.}
+		0,  & \mbox{wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.}
-	\end{cases}
+	\end{cases} \\
-	
 	(\vec{a} \times \vec{b})_i = \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \levicivita{ijk} a_j b_k \\
 	\vec{a} \times \vec{b} = \levicivita{ijk} a_j b_k \vec{e_i} = \levicivita{ijk} a_i b_j \vec{e_k} \\
-	
+	\det A = \levicivita{i_1 i_2 \dots i_n} A_{1i_1} A_{2i_2} \dots A_{ni_n}	
-	\det A = \levicivita{i_1 i_2 \dots i_n} A_{1i_1} A_{2i_2} \dots A_{ni_n}
-	
 	\end{math}
 \subsubsection*{Kronecker-Delta}
-	$\krondelta{i,j}= \begin{cases} 1 & \mbox{falls } i=j \\ 0 & \mbox{falls } i \neq j \end{cases}$ \\s
+	$\krondelta{i,j}= \begin{cases} 1 & \mbox{falls } i=j \\ 0 & \mbox{falls } i \neq j \end{cases}$ \\
 	Die $n\times n$-Einheitsmatrix kann als $(\krondelta{ij})_{i,j\in\{1,\ldots,n\}}$ geschrieben werden.
 
-\section{Matrix-Operationen}
+\subsubsection*{Reihenentwicklungen}
-\subsection*{Inversion}
+	\begin{align}
+		exp(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {\frac{x^n}{n!}} \\
+		sin (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
+		cos (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}
+	\end{align}
+
+\section{\hypertarget{trans_ft}{Fourier-Transformation}}
+\subsection*{Fourier-Reihe}
+\subsubsection*{Definitionen:}
+\subsubsection*{Eigenschaften:}
+
+\subsection*{Fourier-Reihe (kontinuierlich):}
+\subsubsection*{Definitionen:}
+\subsubsection*{Eigenschaften:}
+
+\subsection*{kontinuierliche Fourier-Transformation:}
+Die kontinuierliche Fourier-Transformation ist eine Form der Fourier-Transformation, die es erlaubt, kontinuierliche, aperiodische Vorgänge in ein kontinuierliches Spektrum zu zerlegen.
+Oft wird diese Transformation auch einfach als Fourier-Transformation bezeichnet.
+\subsubsection*{Definition:}
+\begin{equation}
+	\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \integrinf{f(t) e^{-\i \omega t}}{t}
+\end{equation}
+Rücktransformation (Fouriersynthese)
+\begin{equation}
+	\mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\} = f(t)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \integrinf{F(\omega) e^{\i \omega t}}{\omega}
+\end{equation}
+Hierbei ist $F(\omega)$ das kontinuierliche Spektrum, das die Amplitude jeder Frequenz $\omega$ aus den reelle Zahlen angibt.
+
+\subsubsection*{Eigenschaften:}
+
+\section{Lineare Algebra}
+\subsection{Operatoren}
+\subsubsection*{hermitesche Operatoren}
+\subsubsection*{unitäre Operatoren}
+
+
+\subsection*{Matrizen-Operationen}
+\subsubsection*{Spur}
+\subsubsection*{Determinatante}
+\subsubsection*{\hypertarget{fs_linalg_mtrx_inv}{Inversion}}
 \begin{math}
-\hypertarget{fs_mtrx_inv_2d}{A^{-1} = \inlinematrix{a & b \\ c & d}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \inlinematrix{d & -b \\ -c & a}}
+A^{-1} = \inlinematrix{a & b \\ c & d}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \inlinematrix{d & -b \\ -c & a}
 \end{math}
 	

math.tex

@@ -8,6 +8,7 @@
 \newcommand{\setR}{\mathbbm{R}}
 \newcommand{\setC}{\mathbbm{C}}
 \newcommand{\einsmatrix}{\mathbbm{1}}
+\newcommand{\bigO}{\mathbbm{O}}
 \newcommand{\inlinematrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
 \newcommand{\inlinematrixu}[1]{\begin{matrix} #1 \end{matrix}}
 \newcommand{\inlinematrixd}[2]{\left( \begin{matrix} #1\vphantom{#2} \end{matrix} ~\right| \left. \begin{matrix} \vphantom{#1}#2 \end{matrix} \right)}
@@ -28,11 +29,14 @@
 
 \newcommand{\diffP}[1]{\frac{\partial}{\partial #1}}
 \newcommand{\diffT}[1]{\frac{\text{d}}{\text{d} #1}}
+\newcommand{\diffTfrac}[2]{\frac{\text{d} #1}{\text{d} #2}}
+\newcommand{\diffTm}[3]{\diffTfrac{^{#1} #2}{#3^{#1}}}
 \newcommand{\diffPfrac}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
 \newcommand{\intgr}[4]{\int_{#1}^{#2} #3 ~\text{d}#4}
 \newcommand{\intgru}[2]{\int #1 ~\text{d}#2}
+\newcommand{\integrinf}[2]{\int_{-\infty}^[\infty #1 \text{\,d}#2}
 
 \newcommand{\sbk}[1]{\left( #1 \right)}
 
-\newcommand{\levicivita}[1]{\varEpsilon_{#1}}
+\newcommand{\levicivita}[1]{\varepsilon_{#1}}
-\newcommand{\krondelta}[1]{\delta_{+1}}
+\newcommand{\krondelta}[1]{\delta_{#1}}

theo2.tex

@@ -47,9 +47,9 @@
 % \include{ueb6}
 % \inlcude{ueb7}
 
-% \part{Formelsammlung}
+\part{Formelsammlung}
-% \label{FS}
+\label{FS}
-% \include{formelsammlung}
+\include{formelsammlung}
 
 
 \end{document}

ueb1.tex

@@ -6,7 +6,8 @@
 
 \section{Aufgabe 2: Pauli Matrizen}
 \subsection*{a)}
-
+\subsection*{b)}
+\subsection*{c)}
 	\begin{math}
 	\textbf{\sigma} 	= (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z) \\
 	\textbf{\a},\textbf{\b} \in \setR
@@ -20,11 +21,87 @@
 	\sum a_\alpha b_\beta \krondelta{\alpha \beta} \cdot \one + \i a_\alpha b_\beta \levicivita{\alpha,\beta,\gamma} \sigma_\gamma &= \\
 	\one (\textbf{a \cdot b} + \i \sigma \cdot (a \times b)
 	\end{align}
-\subsection*{b)}
-\subsection*{c)}
-\subsection*{d)}
 
+\subsection*{d)}
+	$e^{\i \frac{\i}{2} n \sigma} = \one cos(\frac{\alpha}{2}) - \i (\textbf{n \cdot \sigma}) sin(\frac{\alpha}{2})$ \\
+	Mit der Reihenentwicklung von $e^x$ ergibt sich:
+	\begin{align}
+		e^{- \i \frac{\alpha}{2} \textbf{n \cdot \sigma}	&= \sum_k \frac{(- \i \frac{\alpha}}{2} \textbf{n \cdot \sigma})^k}{k!} \\
+															&= \sum_k (- \i \frac{\alpha}{2})^k \cdot \frac{(\textbf{n \¢dot \sigma)^k}}{k!}
+	\end{align}
+	Desweiteren gilt nach Aufgabe 2 c):
+	\begin{align}
+		(\textbf{n \cdot \sigma}	&= \sigma \\ \\
+		(\textbf{n \cdot \sigma}^2	&= \one (\textbf{n \cdot n} + \underbrace{\i \textbf{\sigma} \cdot (\textbf{\n} \times \textbf{n})}_{=0} \\
+									&= \one (\textbf{n \cdot n}
+	\end{align}
+	
+	$\Rightarrow$
+	
+	\begin{align}
+		\sum_k (- \i \frac{\alpha}{2})^k \cdot \frac{(\textbf{n \cdot \sigma)^k}}{k!} &= \\
+		
+		\sum_k ( (-\i)^{2k} (\frac{\alpha}{2})^{2k+1} \frac{(\textbf{n \cdot \sigma})^{2k}}{(2k)!} +
+		\sum_k ( (-\i)^{2k+1} (\frac{\alpha}{2})^{2k+1} \frac{(\textbf{n \cdot \sigma})^{2k+1}}{(2k+1)!} &= \\
+		
+		\sum_k ( (-1)^k (\frac{\alpha}{2})^{2k+1} \frac{(\textbf{n \cdot \sigma})^{2k}}{(2k)!} +
+		\sum_k ( \i \cdot (-1)^k (\frac{\alpha}{2})^{2k+1} \frac{(\textbf{n \cdot \sigma})^{2k} \cdot (\textbf{n \cdot \sigma})}{(2k+1)!} &= \\
+		
+		\sum_k ( (-1)^k (\frac{\alpha}{2})^{2k+1} \one \frac{1}{(2k)!} +
+		\i \cdot \sum_k (-1)^k (\frac{\alpha}{2})^{2k+1} \one \cdot (\textbf{n \cdot \sigma}) \cdot \frac{1}{(2k+1)!} &= \\
+		
+		\one \cos(\frac{\alpha}{2}) + \i (\textbf{n \cdot \sigma}) \sin(\frac{\alpha}{2})
+		
+	\end{align}
+
+
+
+	
 \section{Aufgabe 3: Operator-Identitäten}
 \subsection*{a)}
+	$f(t) = e^{tA} \cdot B e^{-tA}$
+	\begin{align}
+		\diffTm{}{f(t)}{t}		&= [A,f(t)] \\
+		\diffTm{2}{f(t)}{t}		&= [A,[A,f(t)]] \\ \\
+		\diffTm{}{f(t)}{t}		&= A e^{tA} B e^{-tA} t - e^{tA} B e^{-tA} A	&= [A,f(t)] = A \cdot f(t) - f(t) \cdot A \\
+		\diffT{t} [A,f(t)]		&= \diffT{t} A \cdot f(t) - \diffT{t} f(t) \cdot A \\
+								&= A \cdot [A,f(t)] - [A,f(t)] \cdot A \\
+								&= [A,[A,f(t)]]
+	\end{align}
+	Die Taylorreihenentwicklung lautet dann:
+	$f(t) = e^{tA} \cdot B e^{-tA} = B + \frac{t}{1!}[A,B]+\frac{t^2}{2!}[A,[A,B]]+\ldots$
+
 \subsection*{b)}
-\subsection*{c)}
+	$\forall A,B,C : [A,B] = \i C \and [B,C] = \i A$ \\
+	\begin{align}
+		e^{\i B t} \cdot  B e^{-\i B t}		&= A \cos(t) + C \sin(t) \\
+											&= A + [\i B,A] + \frac{t^2}{2}[\i B,[\i B, A]] \\
+		[\i B, A]							&= \i [B,A]		&= -\i [A,B] \\
+		[\i B, [\i B, A]]					&= [\i B, C]	&= \i \i A = -A }} \\
+		e^{\i B t} A e^{-\i B t}			&= A + C - \frac{t^2}{2} A  \frac{t^3}{6} C + \frac{t^4}{24} A \\ \\
+											&= A \cos(t) + C \sin(t)
+	\end{align}
+
+\subsection*{c)}
+Es gelte: $[A,[A,B]] = [B,[A,B]] = 0$ \\
+\begin{align}
+	e^{A+B}						&= e^A \cdot e^B \cdot e^{-\frac{1}{2}[A,B]} \\
+	g(t)						&= e^{tA} \cdot e^{tB} \cdot e^{-\frac{t^2}{2}[A,B]} \\
+	\diffTfrac{g(t)}{t}			&= A \cdot e^{tA} \cdot e^{tB} \cdot e^{-\frac{t^2}{2}[A,B]} + e^{tA} \cdot (
+									B \cdot e^{tB} \cdot e^{-\frac{t^2}{2}[A,B]} +
+									e^{tB} \cdot -t \cdot e^{-\frac{t^2}{2}[A,B]} \cdot [A,B]) \\
+								&= A \cdot g(t) + e^{tA} \cdot B \cdot e^{tB} \cdot e^{-\frac{t^2}{2}[A,B]}
+									- t  \cdot [A,B] \cdot e^{tA} \cdot e^{tB} \cdot e^{-\frac{t^2}{2}[A,B]} \\
+								&= A \cdot g(t) - t \cdot [A,B] \cdot e^{tA} \cdot e^{tB} \cdot e^{-\frac{t^2}{2}[A,B]} +
+									e^{tA} \cdot B \cdot e^{tB} \cdot e^{-\frac{t^2}{2}[A,B]} \\
+								&= A \cdot g(t) -t \cdot g(t) \cdot [A,B] + e^{tA} \cdot B \cdot e^{tB} \cdot e^{-\frac{t^2}{2}[A,B]}
+	\diffTfrac{g(t)}{t}			&= A \cdot g(t) + e^{tA} \cdot B \cdot e^{-tA} \cdot g(t) - t \cdot g(t) \cdot [A,B] \\
+	e^{x} \cdot e^{-x}			&= \one \\
+	\diffTfrac{g}{t}			&= \right( A - t [A,B] + B + \frac{t}{1!} \cdot [A,B] \left) \cdot g(t) \\
+	\diffTfrac{g}{t}			&= [A+B] \cdot g(t) \\
+	\frac{\diffTfrac{g}{t}}{g}	&= [A+B] \\
+	g(t)						&= e^{[A+B] \cdot t + c} \\
+	e^A \cdot e^B				&= e^B \cdot e^A \cdot e^[A,B] \\
+	e^(A+B)						&= e^A \cdot e^B \cdot e^{-\frac{1}{2}[A,B]} \\
+	e^(B+A)						&= e^B \cdit e^A \cdot e^{-\frac{1}{2}[A,B]}
+\end{align}

ueb2.tex

@@ -3,15 +3,158 @@
 
 \chapter{Quantenmechanik I - Übungsblatt 2}
 \section{Aufgabe 4: Unitäre Operatoren}
+	Es gilt: $U^{-1} = U^\intercal$.
 \subsection*{a)}
+	Zu zeigen: Der Eigenwert ist von der Form $a_n = e^{\i \alpha_n}$:
+	Sei $U$ ein unitärer Operator und $\ket{a}$ Eigenvektor zum Eigenwert $a$.
+	\begin{align}
+		U \ket{a}				&= a \cdot \ket{a} \\
+		\bra{a} U^\intercal		&= a^\ast \cdot \bra{a} \\
+		\braket{a}{a}			&= \dirac{a}{1}{a} \\
+								&= \dirac{a}{U^\intercal U}{a}
+								&= a^\ast \braket{a}{a} a \\
+								&= \abs{a}^2 \cdot \braket{a}{a} \\
+								&\Rightarrow \\
+		\abs{a}					&= 1 \\
+								&\Rightarrow \\
+		\abs{e^{\i \alpha_n}}	&= 1
+	\end{align}
+	
+	Zu zeigen: Die Eigenvektoren sind orthogonal:
+	Sei $U$ ein unitärer Operator und $\ket{a_n}$ bzw. $\ket{a_m}$ Eigenvektor zum Eigenwert $a_n$ bzw. $a_m$.
+	\begin{align}
+		\braket{a_n}{a_m}		&= \dirac{a_n}{1}{a_m} \\
+								&= \dirac{a_n}{U^\intercal U}{a_m} \\
+								&= a_n^\ast \braket{a_n}{a_m} a_m \\
+								&= e^{-\i \alpha_n} \cdot e^{\i \alpha_m} \cdot \braket{a_n}{a_m} \\
+								&= e^{\i ( \alpha_m - \alpha_n)} \braket{a_n}{a_m} \\
+								&\Rightarrow \\
+		\braket{a_n}{a_m}		&= 0
+	\end{align}
+
+
 \subsection*{b)}
+Zu zeigen: Für $A$ hermitesch ist $U(s) = e^{-\i s A}$ unitär  \\
+\begin{align}
+	U(s)	&= e^{\i s A} \\
+			&= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \cdot (-\i s A)^k \\
+			&= \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \cdot (\i s A^\intercol)^k  \\
+			&= e^{\i s A}
+\end{align}
+
+Zu zeigen: Für $A$ hermitesch ist $U(s_1 + s_2) = U(s_1) \cdot U(s_2)$.
+\begin{align}
+	U(s_1 + s_2)	&= e^{-\i (s_1 + s_2) A}\\
+					&= e^{-\i s_1 A - \i s_2 A} \\
+					&= e^{-\i s_1 A} \cdot e^{-\i s_2 A} \\ 
+					&= U(s_1) \cdot U(s_2)
+\end{align}
+
+
 
 \section{Aufgabe 5: Spur und Determinante}
 \subsection*{a)}
+	Zu zeigen: $[A,BC]	&= B \cdot [A,C] + [A,B] \cdot C$.
+	\begin{align}
+		[A,BC]							&= ABC -BCA \\
+		B \cdot [A,C] + [A,B] \cdot C	&= B \cdot (AC - CA) + (AB - BA) \cdot C \\
+										&= BAC - BCA + ABC - BAC \\
+										&= ABC - BCA \\
+										&= [A,BC]
+	\end{align}
 \subsection*{b)}
+Zu zeigen: Für endliche Operatoren gilt:
+$\tr(AB) = \tr(BA)$
+
+\begin{align}
+	\tr(AB)	&= \sum_{i=1}^N \sum_{k=1}^N a_{ik} b_{ki} \\
+			&= \sum_{i=1}^N \sum_{k=1}^N b_{ik} a_{ki} \\
+			&= \tr(BA)
+\end{align}
+
+Zu zeigen: Die Spur ist invariant unter zyklischen Vertauschungen:
+\begin{align}
+	\tr(ABC)	&= \tr(A \cdot (BC)) \\
+				&= \tr((BC) \cdot A) \\
+				&= \tr(BCA) \\
+				&= \tr(B \cdot (CA)) \\
+				&= \tr((CA) \cdot B) \\
+				&= \tr(CAB)
+\end{align}
+
+Zu zeigen: Die Spur ist unabhänging von der Basis:
+Sei hierzu $T^{-1}$ die Matrix der neuen Basisverktoren dargestellt in der alten Basis.
+Dann ist $T^{-1}AT$ die Basistransformation von der A-Basis in die T-Basis.
+\begin{equation}
+	\tr(T^{-1}AT) = \tr(T^{-1}TA) = \tr(A)
+\end{equation}
+
 \subsection*{c)}
+\begin{align}
+	\diffT{t}A(t)				&= A(t) \cdot B \\
+	\frac{\diffT{t}A(t)}{A(t)}	&= B \\
+	\ln(A(t))					&= B \cdot t + c \\
+	A(t)						&= e^{Bt+c} \\
+								&= A(0) \cdot e^{Bt} \\
+								&= A_0 \cdot B \cdot e^{Bt} \\
+								&= A_0 \cdot e^{Bt} \cdot B \\
+	\diffT{t}A_2(t)				&= B \cdot A_2(t)\\
+	A_2(t)						&= e^{Bt} \cdot A_0
+\end{align}
+
 \subsection*{d)}
+\begin{align}1 + \epsilon \tr(A) + O(\epsilon^2)
+	det(1 + \epsilon A)		&= \inlinematrixdet{1+\epsilon A_{11}	& \ldots			& 0+\epsilon A_{1n} \\
+												\vdots				& 1+\epsilon A_{ii}	& \vdots \\
+												0+\epsilon A_{n1}	& \ldots			& 1+\epsilon A_{nn}
+												} \\
+							&= \prod_i (1 + \epsilon A_{ii}) + \bigO(\epsilon^2) \\
+							&= 1 + \epsilon \sum A_{ii} + \bigO(\epsilon^2)\\
+							&= 1 + \epsilon \tr(A) + \bigO(\epsilon^2)
+\end{align}
+
+Zu zeigen: $\det(e^A = e^{\tr(A))$
+\begin{align}
+	g(t)		&= \det(e^{At}) \\
+				&\stackrel{tailor}{} \det(1 + At + \bigO(t^2)) \\
+				&= 1 + \tr(A) + \bigO(t^2) \\
+				&\stackrel{tailor ``rückwärs''}{} e^{\tr(A)t}
+\end{align}
+
+\begin{align}
+	g(t)	&= \limits_{\epsilon \rightarrow \intfy} \frac{1}{\epsilon} \sbk{\det(e^{A(t+\epsilon)) - det(e^{At})} \\
+			&= g(t) \limits_{\epsilon \rightarrow \intfy} \frac{1}{\epsilon} \det(e^{A \epsilon}) \\
+			&= g(t) \limits_{\epsilon \rightarrow \intfy} \frac{1}{\epsilon} \sbk{\det(1 + A \epsilon + \bigO(\epsilon^2) - det(1)} \\
+			&= g(t) \tr(A) \\
+			&\Rightarrow g(t) = e^{\tr(A) \cdot t}
+\end{align}
+
+
+Ist A diagonalisierbar:
+\begin{math}
+	\det(e^A) = \det(T^{-1} e^A T) = \det(e^\hat{A}) = \prod_i e^{\lambda_i} = e^{\sum_i \lambda_i} = e^{\tr(A)}
+\end{math}
+
 
 \section{Aufgabe 6: Hermitesche Matrizen}
 \subsection*{a)}
+Es gilt: $M_i^2 = \one$
+Sei $\bra{a}$ Eigenvektor zum Eigenwert $a$
+\begin{align}
+	M_i \ket{a}		&= a \cdot \bra{a}	&| M_i von links
+	M_i^2 \ket{a}	&= M_i a \cdot \bra{a} \\
+	\one \ket{a}	&= a^2 \bra{a} \\
+					&\Rightarrow a = \pm 1
+					
+\end{align}
+
 \subsection*{b)}
+Für $i \neq j$ folgt mit $M_i M_j + M_j M_i = 2 \krondelta{ij} \one$ : $M_i M_j = - M_j M_i$
+Dann gilt:
+\begin{align}
+	\tr(M_i M_j + M_j M_i)		&= tr(2 \krondelta{ij} \one) \\
+	\tr(M_i M_j) + \tr(M_j M_i)	&= tr(\mathbb{0}) \\
+	\tr(M_i M_j)				&= -tr(M_j M_i) \\
+	\tr(M_i M_j)
+\end{align}
+

ueb7.tex

@@ -4,9 +4,31 @@
 \chapter{Quantenmechanik I - Übungsblatt 7}
 \section{Aufgabe 17: Unendlich hoher Potentialtop (Ergänzungen)}
 \subsection*{a)}
+
+\begin{math}
+	\Phi_n(p) = \intgrinf{\frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \cdot \Phi(x) \cdot e^{-\frac{\i p x}{\hbar}}{x}
+\end{math}
+
+Für n = ungerade:
+
+\begin{align}
+	\Phi_n(p)	&= \integrinf{\frac{1}{\sqrt{2 \pi a \hbar}} \cdot \cos(\frac{(n+1) \cdot \pi x}{2 a}) \cdot e^{-\frac{\i p x}{\hbar}}}{x} \\ \\
+				&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi a \hbar}} \cdot \sbk {
+					\frac{1}{\sbk{\frac{(n+1) \cdot \pi}{2 a}}-\frac{p}{\hbar}} \cdot \sin \sbk{\sbk{\frac{(n+1) \cdot \pi}{2 a}}-\frac{p}{\hbar} \cdot u} +
+					\frac{1}{\sbk{\frac{(n+1) \cdot \pi}{2 a}}+\frac{p}{\hbar}} \cdot \sin \sbk{\sbk{\frac{(n+1) \cdot \pi}{2 a}}+\frac{p}{\hbar} \cdot u}}
+	\Phi_n(p)	&=
+					\begin{case}
+						\frac{1}{\sqrt{2 \pi a \hbar}}	\cdot \frac{\i^n \cdot 4 \cdot a \hbar^2 \cdot (n+1) \cdot \pi}{\hbar^2 (n+1)^2 \pi - 4 a^2 p^2} \cdot \cos\sbk{\frac{pa}{\hbar}}
+						\i^{n+2}						\cdot \frac{\i^n \cdot 4 \cdot a \hbar^2 \cdot (n+1) \cdot \pi}{\hbar^2 (n+1)^2 \pi - 4 a^2 p^2} \cdot \sin\sbk{\frac{pa}{\hbar}}
+					\end{case}
+
+\end{align}
+
+	
 \subsection*{b)}
 \subsection*{c)}
 
+
 \section{Aufgabe 18: Tunneleffekt}
 \includegraphics{grafiken/U_A18_1.pdf}
 \subsection*{a)}