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Vorlesung 22.12.2009

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@@ -1388,5 +1388,80 @@ Dann ist $x = f(a) = f(a \cdot 1) = a f(1) = am$. Also ist $M = A m$ zyklischer

Beispiel: $M \in \lsub{A}{\Mod}$ irreduzibel, $0 \neq m \in M$. $(0) \neq Am \leq M \Rightarrow Am = M \Rightarrow M$ zyklisch.

5.3.2 Satz: Sei $A$ endlich dimensionale $K$-Algebra und sei $M \in \lsub{A}{\Mod}$ endlich erzeugt. Dann ist $\dim_KM < \infty$ und $M$ besitzt eine Kompositionsreihe. \\
Beweis: $M = \sum_{i=1}^k A m_i, \exists m_i \in M, k \in \N$ \\
$A m_i$ ist zyklischer Modul und daher epimorphes Bild von $\lsub{A}{A}$. Wegen $\dim_K (\lsub{A}{A}) < \infty$ ist $\dim_K (Am_i) < \infty$, und daher $\dim_K M \leq \sum_{i=1}^k \dim_K (Am_i) < \infty$. \\
Da jeder $A$-Untermodul von $M$ insbesondere ein $K$-Untervektorraum von $M$ ist, muss jede echt absteigende Kette von $A$-Untermoduln von $M$ terminieren. Also hat $M$ eine Kompositionsreihe und Jordan-Hölder gilt. \qed

5.2.3 Korrolar: Sei $A$ $K$-Algebra. Dann ist jeder einfache $A$-Modul zyklisch und daher epimorphes Bild vom \underline{regulären} $A$-Modul $\lsub{A}{A}$. Ist insbesondere $\dim_K A < \infty$, so sind alle irreduziblen $A$-Moduln endlich dimensional. Wegen $\dim_K A < \infty$ hat $\lsub{A}{A}$ eine Kompositionsreihe und daher kommen nur endlich viele Kompositionsfaktoren vor. Also gibt es nur endliche viele nicht isomorphe irreduziblen $A$-Moduln. \\
Beweis: Sei $M \in \lsub{A}{\Mod}$ irreduzibel, und sei $M \neq (0)$. Sei $0 \neq m \in M \Rightarrow M = A \cdot m$, da $0 \neq Am \leq M$ und $M$ irreduzibel. Also ist $Am = M$, d.h. $M$ ist zyklisch. Rest folgt. \qed

Bemerkung: Es ist im Allgemeinen falsch, dass jeder irreduzible $A$-Modul als Untermodul von $\lsub{A}{A}$ vorkommt! Für Gruppenalgebren $KG$, $\abs{G} < \infty$, stimmt dies aber!

Beispiele von $KG$-Moduln:
\begin{enumerate}[i)]
\item $\lsub{KG}{KG}$ ist der reguläre $KG$-Modul. Die zugehörige (Matrix-)Darstellung $\rho: G \rightarrow M_{\abs{G}\times\abs{G}} (K)$: \\
$\cB = G = $ Basis von $\lsub{KG}{KG}$ geordnet \\
Sei $g \in G$. Dann ist $g \cdot h \in G$ für ein $h \in G$. Man erhält die Permutationsmatrix, die die Linksmultiplikation von $g$ auf $G$ darstellt.
\item \underline{Allgemeiner}: Sei $\Omega$ endliche $G$-Menge, und sei $\rho: G \rightarrow \sigma_{\Omega}$ die zugehörige Permutationsdarstellung. Ordne $\Omega = \set{\omega_1, \ldots, \omega_k}$. \\
\begin{diagram}
\rho: G & \rTo & \sigma_k & \cong W \leq \GL_n(K) \\
\dInto \\
KG & \rTo & M_{k \times k} (K)
\end{diagram}
Modul: $V = $ (freie) $K$-Vektorraum mit Basis $\Omega, \sigma_\Omega \subseteq \End_K(V)$ \\
$\rho: KG \rightarrow \End_K(V): g \mapsto $ Permutationsmatrix. $V \in \lsub{KG}{\Mod}$ "`Permutationsmodul"'

\item Der triviale $KG$-Modul ist $K$ mit $G$-Operation $g \cdot \lambda = \lambda \forall g \in G, \lambda \in K$. \\
Das heißt $G$ operiert "`trivial"' auf $K$. Die zugehörige Darstellung ist gegeben als Gruppenhomomorphismus $G \rightarrow K^\ast: g \mapsto 1_K$
bzw. $\rho: KG \rightarrow K: \sum \lambda_g g \mapsto \sum \lambda_g$, fast alle $\lambda_g = 0$ (Epimorphismus). \\
Es ist der $\ker \rho = < g - 1 \mid g \in G>_{\text{Ideal}} \trianglelefteq KG$. \\
( Für $S \subseteq A = K$-Algebra: $<S>_A = \bigcap_{I \trianglelefteq A, S \subseteq I} I = $ kleinstes Ideal von $A$, das $S$ als Teilmenge enthält $= \sum_{s\in S} AsA$ ) \\
$\dim_K (\ker \rho) = \abs{G} - 1$ \\
Das Ideal $< g-1 \mid g \in G>_{\text{Ideal}}$ heißt \underline{Augmentationsideal} von $G$ und wird mit $\Omega KG$ bezeichnet.

\item Sei $H \leq G$, $\lsub{H}{K}$ triviale $KH$-Modul, $G = \bigcup\limits_{i \in I}^{\bullet} g_i H, \set{g_i \mid i \in I}$ Vertretersystem von $H$-Linksnebenklassen in $G$. \\
$G$ operiert auf $G \without H = \set{ g_i \mid i \in I}$ durch Linkstranslation: Für $g \in G, i \in I$ gibt es genau ein $j \in I$ und $h \in H: g g_i = g_j h$ \\
$g \cdot g_i \Rightarrow g_j$ ist Permutationsdarstellung. \\
Sei $V$ der $K$-Vektorraum mit Basis $g_i, i \in I$. Dann wird $V$ zum $KG$-Modul nach ii). \\
$\varphi: KG \otimes_{KH} K \Rightarrow V: \sum_{i \in I} \alpha_i g_i \otimes 1_k \mapsto \sum_{i \in I} \alpha_i g_i$,
d.h. Permutationsmodul von der $G$-Menge $G \without H$ ist $KG \otimes_{KH} K = \Ind_{KH}^{KG}(\lsub{H}{K})$

Umgekehrt: Ist $\Omega$ eine $G$-Menge und ohne Einschränkung transitiv (disjunkte Vereinigung von Orbits $\leftrightarrow$ direkte Summe der zugehörigen Permutationsmodule). \\
Sei $\Omega = (\omega_1, \ldots, \omega_k), H = \Stab_G(\omega_1)$. Dan ist der Permutationsmodul nach ii) isomorph zu $KG \otimes_{KH} K = \Ind_H^G(\lsub{H}{K})$.

\item Sei $V \in \lsub{KG}{\Mod}, V^\ast = \Hom_K(V, K)$. Dann wird $V^\ast$ zum $KG$-Modul durch $ f \in V^\ast, g \in G, v \in V: (gf)(v) := f(g^{-1} v)$. \\
D.h. für fast alle $\lambda_g = 0$: $((\sum \lambda_g g) f)(v) = \sum \lambda_g f (g^{-1} v) \in K$
\end{enumerate}

5.2.4 Lemma: Sei $A, B, C, D, \ldots $ $K$-Algebren, $\lsub{A}{M_B} \in \lsub{A}{\Mod_B}, \lsub{A}{N_C} \in \lsub{A}{\Mod_C}$. Dann wird $F := \Hom_A(\lsub{A}{M_B}, \lsub{A}{N_C}) \in \lsub{B}{\Mod_C}$ durch: \\
$~~(bf)(m) := f(mb), (fc)(m) := f(m)c$ \\
Analog: Ist $M \in \lsub{A}{\Mod_B}, N \in \lsub{C}{\Mod_B} \Rightarrow F := \Hom_B(\lsub{A}{M_B}, \lsub{C}{N_B}) \in \lsub{C}{\Mod_A}$ durch: \\
$~~(cfa)(m) := c \cdot f(am)$ \\
Beweis: $bf$ ist wohldefinierte Abbildung von $M \rightarrow N$. Zu zeigen: $bf$ ist $A$-linear:\\
$ ~~(bf)(m_1 + m_2) = f((m_1+m_2)b) = f (m_1 b + m_2 b) = f(m_1 b) + f(m_2 b) = (bf)(m_1) + (bf)(m_2)$ \\
$ ~~(bf)(am) = f((am)b) = f(a(mb)) = a \cdot f(mb) = a \cdot (bf)(m)$ \\
Weiter ist z.Bsp: \\
$ ~~ ((b_1 b_2)f)(m) = f(m(b_1 b_2)) = f((mb_1) b_2) = (b_2 f)(m b_1) = (b_1(b_2 f))(m)$ usw. (Übung) \\
Also ist $\Hom_A(M, N)$ ein Links-$B$-Modul, jetzt Rechts-$C$-Modul:
$ ~~ (fc)(m_1 + m_2) = f(m_1 + m_2)c = (f(m_1) + f(m_2))c = f(m_1)c + f(m_2)c = (fc)(m_1) + (fc)(m_2)$ \\
$ ~~ (fc)(am) = f(am)c = (a \cdot f(m))c = a (f(m)c) = a (fc)(m)$ \\
$ ~~ (f (c_1 c_2))(m) = f(m)(c_1 c_2) = (f(m)c_1)c_2 = (fc_1)(m)c_2 = ((fc_1)c_2)(m)$ usw. \\
und: $ ((bf)c)(m) = ((bf)(m))c = (f(mb))c = (fc)(mb) = (b(fc))(m)$, damit ist $\Hom_A(M,N)$ ein $B$-$C$-Bimodul. \qed

Beispiel: $V \in \lsub{A}{\Mod} \Rightarrow V^\ast \in \Mod_A, V^\ast = \Hom_K(\lsub{A}{V_K}, K_K) \in \Mod_A$ \\
$f \in V^\ast, a \in A: (fa)(v) = f(av)$

5.2.5 Lemma: Sei $A$ $K$-Algebra, $\iota: A \rightarrow $ Antihomomorphismus von $K$-Algebren, d.h. $\iota$ ist $K$-linear, $\iota(a_1 a_2) = \iota(a_2) \iota(a_1)$. \\
Sei $V \in \lsub{A}{\Mod}$. Dann wird $V \in \Mod_A$ durch $v . a = \iota(a) v$ \\
Beweis: $v . (a_1 + a_2) = \iota(a_1 + a_2)v = \iota(a_1)v + \iota(a_2)v = v . a_1 + v . a_2$ und \\
$ ~~ v . (a_1 a_2) = \iota(a_1 a_2) v = \iota(a_2) \iota(a_1) v = \iota(a_2)(va_1) = (va_1) . a_2$ usw. \qed

5.2.6 Lemma: Sei $G$ Gruppe. Dan induziert $g \mapsto g^{-1}$ einen Antihomomorphismus von $KG$ in $KG$ ($\sum \lambda_g g \mapsto \sum \lambda_g g^{-1}$).

5.2.7 Korrolar: $V \in \lsub{KG}{\Mod}$. Dann wird $V^\ast = \Hom_K(V, K)$ zum $KG$-Modul durch $(gf)(v) := f(g^{-1} v)$.

5.2.8 Korrolar: Seien $V, W \in \lsub{KG}{\Mod}$. Dann wird $\Hom_K(V, W)$ zum $KG$-Modul durch $(g.f)(v) := gf(g^{-1} v)$ \\
(Da $\Hom_K(\lsub{KV}{V_K}, \lsub{KG}{W_K}) \in \lsub{KG}{\Mod_{KG}}$)

\end{document}

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