@ -1388,5 +1388,80 @@ Dann ist $x = f(a) = f(a \cdot 1) = a f(1) = am$. Also ist $M = A m$ zyklischer
Beispiel: $M \in\lsub{A}{\Mod}$ irreduzibel, $0\neq m \in M$. $(0)\neq Am \leq M \Rightarrow Am = M \Rightarrow M$ zyklisch.
5.3.2 Satz: Sei $A$ endlich dimensionale $K$-Algebra und sei $M \in\lsub{A}{\Mod}$ endlich erzeugt. Dann ist $\dim_KM < \infty$ und $M$ besitzt eine Kompositionsreihe. \\
Beweis: $M =\sum_{i=1}^k A m_i, \exists m_i \in M, k \in\N$\\
$A m_i$ ist zyklischer Modul und daher epimorphes Bild von $\lsub{A}{A}$. Wegen $\dim_K (\lsub{A}{A}) < \infty$ ist $\dim_K (Am_i) < \infty$, und daher $\dim_K M \leq\sum_{i=1}^k \dim_K (Am_i) < \infty$. \\
Da jeder $A$-Untermodul von $M$ insbesondere ein $K$-Untervektorraum von $M$ ist, muss jede echt absteigende Kette von $A$-Untermoduln von $M$ terminieren. Also hat $M$ eine Kompositionsreihe und Jordan-Hölder gilt. \qed
5.2.3 Korrolar: Sei $A$$K$-Algebra. Dann ist jeder einfache $A$-Modul zyklisch und daher epimorphes Bild vom \underline{regulären}$A$-Modul $\lsub{A}{A}$. Ist insbesondere $\dim_K A < \infty$, so sind alle irreduziblen $A$-Moduln endlich dimensional. Wegen $\dim_K A < \infty$ hat $\lsub{A}{A}$ eine Kompositionsreihe und daher kommen nur endlich viele Kompositionsfaktoren vor. Also gibt es nur endliche viele nicht isomorphe irreduziblen $A$-Moduln. \\
Beweis: Sei $M \in\lsub{A}{\Mod}$ irreduzibel, und sei $M \neq(0)$. Sei $0\neq m \in M \Rightarrow M = A \cdot m$, da $0\neq Am \leq M$ und $M$ irreduzibel. Also ist $Am = M$, d.h. $M$ ist zyklisch. Rest folgt. \qed
Bemerkung: Es ist im Allgemeinen falsch, dass jeder irreduzible $A$-Modul als Untermodul von $\lsub{A}{A}$ vorkommt! Für Gruppenalgebren $KG$, $\abs{G} < \infty$, stimmt dies aber!
Beispiele von $KG$-Moduln:
\begin{enumerate}[i)]
\item$\lsub{KG}{KG}$ ist der reguläre $KG$-Modul. Die zugehörige (Matrix-)Darstellung $\rho: G \rightarrow M_{\abs{G}\times\abs{G}}(K)$: \\
$\cB= G =$ Basis von $\lsub{KG}{KG}$ geordnet \\
Sei $g \in G$. Dann ist $g \cdot h \in G$ für ein $h \in G$. Man erhält die Permutationsmatrix, die die Linksmultiplikation von $g$ auf $G$ darstellt.
\item\underline{Allgemeiner}: Sei $\Omega$ endliche $G$-Menge, und sei $\rho: G \rightarrow\sigma_{\Omega}$ die zugehörige Permutationsdarstellung. Ordne $\Omega=\set{\omega_1, \ldots, \omega_k}$. \\
\begin{diagram}
\rho: G &\rTo&\sigma_k &\cong W \leq\GL_n(K) \\
\dInto\\
KG &\rTo& M_{k \times k} (K)
\end{diagram}
Modul: $V =$ (freie) $K$-Vektorraum mit Basis $\Omega, \sigma_\Omega\subseteq\End_K(V)$\\
$\rho: KG \rightarrow\End_K(V): g \mapsto$ Permutationsmatrix. $V \in\lsub{KG}{\Mod}$ "`Permutationsmodul"'
\item Der triviale $KG$-Modul ist $K$ mit $G$-Operation $g \cdot\lambda=\lambda\forall g \in G, \lambda\in K$. \\
Das heißt $G$ operiert "`trivial"' auf $K$. Die zugehörige Darstellung ist gegeben als Gruppenhomomorphismus $G \rightarrow K^\ast: g \mapsto1_K$
bzw. $\rho: KG \rightarrow K: \sum\lambda_g g \mapsto\sum\lambda_g$, fast alle $\lambda_g =0$ (Epimorphismus). \\
Es ist der $\ker\rho= < g -1\mid g \in G>_{\text{Ideal}}\trianglelefteq KG$. \\
( Für $S \subseteq A = K$-Algebra: $<S>_A =\bigcap_{I \trianglelefteq A, S \subseteq I} I =$ kleinstes Ideal von $A$, das $S$ als Teilmenge enthält $=\sum_{s\in S} AsA$ ) \\
$\dim_K (\ker\rho)=\abs{G}-1$\\
Das Ideal $< g-1\mid g \in G>_{\text{Ideal}}$ heißt \underline{Augmentationsideal} von $G$ und wird mit $\Omega KG$ bezeichnet.
\item Sei $H \leq G$, $\lsub{H}{K}$ triviale $KH$-Modul, $G =\bigcup\limits_{i \in I}^{\bullet} g_i H, \set{g_i \mid i \in I}$ Vertretersystem von $H$-Linksnebenklassen in $G$. \\
$G$ operiert auf $G \without H =\set{ g_i \mid i \in I}$ durch Linkstranslation: Für $g \in G, i \in I$ gibt es genau ein $j \in I$ und $h \in H: g g_i = g_j h$\\
$g \cdot g_i \Rightarrow g_j$ ist Permutationsdarstellung. \\
Sei $V$ der $K$-Vektorraum mit Basis $g_i, i \in I$. Dann wird $V$ zum $KG$-Modul nach ii). \\
$\varphi: KG \otimes_{KH} K \Rightarrow V: \sum_{i \in I}\alpha_i g_i \otimes1_k \mapsto\sum_{i \in I}\alpha_i g_i$,
d.h. Permutationsmodul von der $G$-Menge $G \without H$ ist $KG \otimes_{KH} K =\Ind_{KH}^{KG}(\lsub{H}{K})$
Umgekehrt: Ist $\Omega$ eine $G$-Menge und ohne Einschränkung transitiv (disjunkte Vereinigung von Orbits $\leftrightarrow$ direkte Summe der zugehörigen Permutationsmodule). \\
Sei $\Omega=(\omega_1, \ldots, \omega_k), H =\Stab_G(\omega_1)$. Dan ist der Permutationsmodul nach ii) isomorph zu $KG \otimes_{KH} K =\Ind_H^G(\lsub{H}{K})$.
\item Sei $V \in\lsub{KG}{\Mod}, V^\ast=\Hom_K(V, K)$. Dann wird $V^\ast$ zum $KG$-Modul durch $ f \in V^\ast, g \in G, v \in V: (gf)(v) := f(g^{-1} v)$. \\
D.h. für fast alle $\lambda_g =0$: $((\sum\lambda_g g) f)(v)=\sum\lambda_g f (g^{-1} v)\in K$
\end{enumerate}
5.2.4 Lemma: Sei $A, B, C, D, \ldots$$K$-Algebren, $\lsub{A}{M_B}\in\lsub{A}{\Mod_B}, \lsub{A}{N_C}\in\lsub{A}{\Mod_C}$. Dann wird $F :=\Hom_A(\lsub{A}{M_B}, \lsub{A}{N_C})\in\lsub{B}{\Mod_C}$ durch: \\
$~~(bf)(m) := f(mb), (fc)(m) := f(m)c$\\
Analog: Ist $M \in\lsub{A}{\Mod_B}, N \in\lsub{C}{\Mod_B}\Rightarrow F :=\Hom_B(\lsub{A}{M_B}, \lsub{C}{N_B})\in\lsub{C}{\Mod_A}$ durch: \\
$~~(cfa)(m) := c \cdot f(am)$\\
Beweis: $bf$ ist wohldefinierte Abbildung von $M \rightarrow N$. Zu zeigen: $bf$ ist $A$-linear:\\
$ ~~(bf)(m_1+ m_2)= f((m_1+m_2)b)= f (m_1 b + m_2 b)= f(m_1 b)+ f(m_2 b)=(bf)(m_1)+(bf)(m_2)$\\
$ ~~(bf)(am)= f((am)b)= f(a(mb))= a \cdot f(mb)= a \cdot(bf)(m)$\\
5.2.5 Lemma: Sei $A$$K$-Algebra, $\iota: A \rightarrow$ Antihomomorphismus von $K$-Algebren, d.h. $\iota$ ist $K$-linear, $\iota(a_1 a_2)=\iota(a_2)\iota(a_1)$. \\
Sei $V \in\lsub{A}{\Mod}$. Dann wird $V \in\Mod_A$ durch $v . a =\iota(a) v$\\
Beweis: $v . (a_1+ a_2)=\iota(a_1+ a_2)v =\iota(a_1)v +\iota(a_2)v = v . a_1+ v . a_2$ und \\
$ ~~ v . (a_1 a_2)=\iota(a_1 a_2) v =\iota(a_2)\iota(a_1) v =\iota(a_2)(va_1)=(va_1) . a_2$ usw. \qed
5.2.6 Lemma: Sei $G$ Gruppe. Dan induziert $g \mapsto g^{-1}$ einen Antihomomorphismus von $KG$ in $KG$ ($\sum\lambda_g g \mapsto\sum\lambda_g g^{-1}$).
5.2.7 Korrolar: $V \in\lsub{KG}{\Mod}$. Dann wird $V^\ast=\Hom_K(V, K)$ zum $KG$-Modul durch $(gf)(v) := f(g^{-1} v)$.
5.2.8 Korrolar: Seien $V, W \in\lsub{KG}{\Mod}$. Dann wird $\Hom_K(V, W)$ zum $KG$-Modul durch $(g.f)(v) := gf(g^{-1} v)$\\