Vorlesung 13.11.2009
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@ -571,7 +571,8 @@ $F$ ist ein Körper, $n \in \N, G = \GL_n(F) \cong \Aut_F(V), v = F$-Vektorraum
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$G = \set{A \in F^{n \times n} \mid \det A \neq 0} = $ volle lineare Gruppe. \\
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$SL_n(F) = \set{A \in F^{n \times n} \mid \det A = 1} = $ spezielle lineare Gruppe. \\
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$Z(G) = \set{\alpha \cdot E_{n \times n} | 0 \neq \alpha \in F}$ \\
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$Z(\SL_n(F)) = Z(G) \cap \SL_n(G)$, da $G = \SL_n(F) \cdot \set{\pmatr{XXX}}, Z(\SL_n(F)) = \set{ \alpha \cdot 1_G \mid 0 \neq \alpha \in F, \alpha^n = 1}$ \\
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$Z(\SL_n(F)) = Z(G) \cap \SL_n(G)$, da $G = \SL_n(F) \cdot \set{\pmatr{\alpha & & & 0 \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & 1}}$ \\
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$ Z(\SL_n(F)) = \set{ \alpha \cdot 1_G \mid 0 \neq \alpha \in F, \alpha^n = 1}$ \\
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$\PSL_n(F) = \SL_n(F) / Z(\SL_n(F)) = $ "`projektive spezielle lineare Gruppe"' \\
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\underline{Ziel:} $\Gamma = \PSL_n(F), \Gamma \neq \PSL_n(\GF(q))$ für $n = 2, q = 2, 3$ und $n = 3, q = 2$, dann ist $\PSL_n(F)$ einfach.
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@ -580,7 +581,7 @@ $G = \GL_n(q), \SL_n(F) = \SL_n(q), \PSL_n(F) = \PSL_n(q)$ \\
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$\abs{G} = \prod\limits_{k=1}^{n} (q^n - q^{k-1}) = (q^n-1)(q^n-q)(q^n-q^2)\ldots = q^{\frac{n(n-)}{2}} (q^n-1)(q^{n-1}-1)\ldots(q-1)$
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$\abs{\SL_n(q)} = \frac{\abs{\GL_n(q)}}{q-1}, \abs{\PSL_n(q)} = \frac{\abs{\SL_n(q)}}{\abs{ \alpha \mid \alpha^n = 1 \in F}} $
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\chapter{Basics und ... Zerlegung}
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\chapter{Basics und Bruhat-Zerlegung}
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\begin{satz} % 2.1.1
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$\abs{\GL_n(q)} = $ oben (Algebra)
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@ -621,8 +622,122 @@ Seien $\sigma, \pi \in \sigma_n$. Dann ist $E_\pi \cdot E_\sigma = (\sum_{i=1}^n
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Also ist $\pi \mapsto E_\pi$ ein Isomorphismus von $\sigma_n$ in $W$, insbesondere ist $W \leq G$, $W$ heißt "`Weylgruppe"' von $G$.
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\begin{satz} % 2.1.2 + 2.1.3
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Die Menge $W$ der Permutationsmatrizen in $G$ ist Untergruppe von $G$ und isomoprh zu $\sigma_n$
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Die Menge $W$ der Permutationsmatrizen in $G = \GL_n(F)$ ist Untergruppe von $G$ und isomorph zu $\sigma_n$. \\
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\underline{Beachte:} Sei $\pi \in W \Rightarrow \det \pi = \sign \pi \in \set{-1, +1}$
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\end{satz}
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\begin{bem}
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Ist $E_\pi$ Permutationsmatrix zu $\pi \in \sigma_n, M \in F^{n \times n}$, so entsteht $\pi \cdot M = E_\pi M$ aus $M$ durch entsprechende Zeilenpermutationen und $M \pi$ durch
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entsprechende Spaltenpermutationen. \\
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$\sigma_n$ operiert auf der natürlichen Basis $\xi \rightsquigarrow \xi_\pi = (e_{\pi(1)}, \ldots, e_{\pi(n)})$.
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\end{bem}
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\begin{definition}
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Sei $1 \leq i,j \leq n, i \neq j$, und sei $\alpha \in F$. Dan sei $x_{ij}(\alpha) \in F^{n \times n}$ die entsprechende Elementarmatrix $A = (\alpha_{st})$ mit
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$\alpha_{st} = \left\{\matr{1 & \text{für } s = t \\ \alpha & \text{für } s = i, t = j \\ 0 & \text{sonst}}\right.$ \\
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$x_{ij}(\alpha) = \pmatr{1 & & \alpha \\ & \ddots & \\ & & 1}, \alpha$ an Position $i,j$ \\
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Die Matrizen $x_{ij}(\alpha)$ und ihre $G$-konjugierten heißen Transvektionen. \\
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\underline{Beachte:} $x_{ij}(\alpha) \cdot M$ entsteht aus $M$ durch Addition von Reihe (Saplte) $j$ mal $\alpha$ zu Zeile (Spalte) $i$ ($M \cdot x_{ij}(\alpha)$.
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\end{definition}
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\begin{lemma} % 2.1.4
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Seien $\alpha, \beta \in F, i \neq j, \pi in W$
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\begin{enumerate}[i)]
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\item $\det(x_{ij}(\alpha)) = 1$, also ist $x_{ij}(\alpha) \in \Omega_n(F) \leq \GL_n(F)$.
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\item Ist $\alpha \neq 0$, so ist $x_{ij}(\alpha) \in B \Leftrightarrow i < j$. ($U \leq B$)
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\item $x_{ij}(\alpha) x_{ij}(\beta) = x_{ij}(\alpha + \beta), x_{ij}(\alpha)^{-1} = x_{ij}(-\alpha)$.
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So ist $X_{ij} = \set{x_{ij}(\alpha) \mid \alpha \in F} \leq G$ die sogenannte Wurzeluntergruppe zur Wurzel $(j-i)$; $X_{ij} \cong (F, +)$
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\item Sind $i, j, k \in \set{1, \ldots, n}$ paarweise verschieden, so ist $[x_{ij}(\alpha), x_{jk}(\beta) ] = x_{ik}(\alpha \beta)$
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\item Ist $\pi \in \sigma_n$, so ist $\pi x_{ij}(\alpha) \pi^{-1} = x_{\pi(i)\pi(j)}(\alpha)$
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\item Bemerkung von oben.
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\end{enumerate}
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\end{lemma}
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\begin{bew}
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\begin{enumerate}
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\item[i),ii)] trivial.
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\item[iii)] Beachte: $x_{ij}(\alpha) = E + \alpha e_{ij}$ \\
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$(E + \alpha e_{ij})(E + \beta e_{ij}) = E + (\alpha + \beta) e_{ij} + \alpha \beta e_{ij} e_{ij} = E + (\alpha + \beta) e_{ij} = x_{ij}(\alpha + \beta)$. \\
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$\Rightarrow x_{ij}(\alpha) \cdot x_{ij}(-\alpha) = x_{ij}(0) = E = 1 \Rightarrow x_{ij}(\alpha)^{-1} = x_{ij}(-\alpha)$
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\item[iv)] $[x_{ij}(\alpha), x_{jk}(\beta)] = (E + \alpha e_{ij})(E + \beta e_{jk})(E - \alpha e_{ij})(E - \beta e_{jk}) $ \\
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$ = (E + \alpha e_{ij} + \beta e_{jk} + \alpha \beta e_{ik}) \cdot (E - \alpha e_{ij} - \beta e_{jk} + \alpha \beta e_{ik}) $ \\
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$ = E - \alpha e_{ij} - \beta e_{jk} + \alpha \beta e_{ik} + \alpha e_{ij} - 0 - \alpha \beta e_{ik} + 0 + \beta e_{jk} - 0 + 0 + \alpha \beta e_{ik} - 0 - 0 + 0 $ \\
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$ = E + \alpha \beta e_{ik} = x_{ik}(\alpha \cdot \beta) $
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\item[v)] Beachte: $\pi e_{ij} = e_{\pi(i)j}$ wegen vi). $e_{ij} \pi^{-1} = e_{i\pi(j)}$; denn $E_\pi = \sum\limits_{s=1}^n e_{\pi(s)s}$ \\
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$ \Rightarrow E_\pi e_{ij} = \sum\limits_{s=1}^n e_{\pi(s)s} e_{ij} = e_{\pi(s)j}, e_{ij} E_{\pi^{-1}} = \sum e_{ij} e_{\pi^{-1}(s)s} = e_{i \pi(j)}$ \\
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$ \Rightarrow \pi x_{ij}(\alpha) \pi^{-1} = \pi (E + \alpha e_{ij}) \pi^{-1} = \pi E \pi^{-1} + \alpha \pi e_{ij} \pi^{-1} = E + \alpha e_{\pi(i) \pi(j)} = x_{\pi(i)\pi(j)}(\alpha)$
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\end{enumerate}
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\end{bew}
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\underline{Ziel:} $G = \bigcup\limits_{w \in W}^{\bullet} BwB$, insbesondere: es gibt $n!$ viele $B$-$B$-Doppelnebenklassen in $G$ ($U$-$B$-, $B$-$U$-). "`Bruhat-Zerlegung"'
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\begin{lemma} % 2.1.5
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Sei $M \in G$. Dann gibt es ein $b \in B (U)$ so, dass gilt: \\
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Für $1 \leq i \leq n$ gibt es eine eindeutig bestimmte Zeile $k_i$ in $b \cdot M$ so, dass der $i$-te Eintrag in dieser Zeile der erste von 0 verschiedene Eintrag in ihr ist,\\
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und $\set{k_1, \ldots, k_n} = \set{1, \ldots, n}$; $i \mapsto k_i \in \sigma_n$.
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\end{lemma}
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\begin{bew}
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Die 1. Spalte von $M$ kann nicht die 0-Spalte sein $\Rightarrow \exists k_1$ so, dass Eintrag $k_i$ in $M = (\alpha_{rs})$ ungleich 0 aber $\alpha_{r1} = 0$ für $r > k_1$ ist. (Der letzte von 0 verschiedene Eintrag in der Spalte). \\
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Durch elementare Zeilentransformationen ($x_{1,l}(\frac{-\alpha_{l,1}}{\alpha_{k_1 1}})$, $l < k_1$) aus $U$ kann man $M'$ erhalten, in der $k_i$ der einzige von 0 verschiedene Eintrag in der 1. Spalte ist. \\
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Streiche 1. Spalte und $k_1$-te Zeile und arbeite induktiv weiter.
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\end{bew}
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\begin{satz} % 2.1.6
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$G = BWB = \bigcup\limits_{w \in W} BwB$ (bzw. $UwB$ oder $BwU$).
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\end{satz}
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\begin{bew}
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$M \in G, b \in B, k_i$ wie in 2.1.5 gewählt. Die Abbildung $i \mapsto k_i$ ist Permutation $\pi = \pi_M \in \sigma_n$. \\
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Sei $w = \pi^{-1}$. Dann ist $ wbM = \tilde{b} \in B \Rightarrow M = b^{-1} \pi \tilde{b} \in B \pi B$. \\
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\underline{Beachte:} 2.1.5 konstruiert $\pi_M$ für $M$.
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\end{bew}
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\begin{lemma} % 2.1.7
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Seien $w_1, w_2 \in W$ und $b \in B$, so dass $w_1 b w_2 \in B$ ist, dann ist $w_1^{-1} = w_2$.
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\end{lemma}
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\begin{bew}
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Sei $1 \leq j \leq n$ beliebig und sei $i = w_1^{-1}(j)$, also $w_1(i) = j$. \\
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Sei wieder $E = (e_1, \ldots, e_n)$ natürliche Basis von $F^n$,so ist $_1^{-1}(e_j) = e_i$. \\
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Dann ist Zeile $j$ von $w_1 b$ gleich Zeile $i$ von $b$. \\
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Sei $k = w_2^{-1}(i)$, d.h. $w_2(k) = i$, dann ist Spalte $k$ von $w_1 b w_2$ gleich Spalte $i$ von $w_1 b$. \\
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Es sei $\beta = (b)_{ii} \in F$.
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$\beta \neq 0$ ($b \in B$); $\beta$ ist auch $(w_1 b)_{ji}$ und $(w_1 b w_2)_{jk}$ (und immer noch $\neq 0$) \\
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$\Rightarrow j \leq k$, da $w_1 b w_2 \in B$ \\
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Wir haben $w_2^{-1}w_1^{-1}(j) = w_2^{-1}(i) = k \geq j \Rightarrow w_2^{-1} w_1^{-1} = 1 \Rightarrow w_1 = w_2^{-1}$
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\end{bew}
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\begin{korr} % 2.1.8
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Seien $w, w' \in W, w \neq w'$. Dann ist $BwB \cup Bw'B = \emptyset$, und daher $G = \bigcup\limits_{\pi \in W}^{\bullet} B \pi B$.
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\end{korr}
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\begin{bew}
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Sei $BwB \cap Bw'B \neq \emptyset \Rightarrow BwB = Bw'B \Rightarrow \exists b, b': w' = b w b' $ \\
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$ \Rightarrow w^{-1} b^{-1} w' = b' \in B \Rightarrow w^{-1} = (w')^{-1} \Rightarrow w = w'$
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\end{bew}
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\begin{bem} % 2.1.9
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In 2.1.5 wird das eindeutig bestimmte $w \in W$ für $M \in G$ konstruiert so, dass $M \in BwB$ ist.
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\end{bem}
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\begin{lemma} % 2.1.10
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Sei $b \in B$. Dann gibt es ein Produkt $t$ von Transvektionen so, dass $t \cdot b$ Diagonalmatrix ist, die dieselben Diagonaleinträge wie $b$ hat. \\
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Beweis klar.
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\end{lemma}
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\begin{satz} % 2.1.11
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$G$ wird von $T \leq G$ und der Menge der Transvektionen erzeugt.
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\end{satz}
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\begin{bew}
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Sei $H$ die Untergruppe von $G$, die von diesen Matrizen erzeugt wird. \\
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Zu zeigen: $ H = G $ \\
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Wegen 2.1.10 ist $B \leq H$, und daher genügt es wegen der Bruhat-Zerlegung 2.1.8 zu zeigen, dass $w \in H \forall w \in W$. \\
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Dafür genügt es zu zeigen: $\tau_{i,j} \in \sigma_n$ ist in $H$ enthalten: \\
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$E_{\tau_{i,j}} = \sum\limits_{s\neq i, s\neq j} e_ss + e_ij + e_ji = x_{ji}(1)x_{ij}(-1)x_{ji}(1) \cdot D, D$ Diagonalmatrix. \\
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$w = x_{ji}(1)x_{ij}(-1)x_{ji}(1), w e_k = \left\{\matr{e_n & \text{für } k \neq i, k \neq j \\ e_j & \text{für } k = i \\ - e_i & \text{für } k = j}\right.$
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\end{bew}
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\end{document}
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@ -85,6 +85,7 @@
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\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
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\DeclareMathOperator{\PSL}{PSL}
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\DeclareMathOperator{\GF}{GF}
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\DeclareMathOperator{\sign}{sign}
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