@ -621,8 +622,122 @@ Seien $\sigma, \pi \in \sigma_n$. Dann ist $E_\pi \cdot E_\sigma = (\sum_{i=1}^n
Also ist $\pi\mapsto E_\pi$ ein Isomorphismus von $\sigma_n$ in $W$, insbesondere ist $W \leq G$, $W$ heißt "`Weylgruppe"' von $G$.
\begin{satz}% 2.1.2 + 2.1.3
Die Menge $W$ der Permutationsmatrizen in $G$ ist Untergruppe von $G$ und isomoprh zu $\sigma_n$
Die Menge $W$ der Permutationsmatrizen in $G =\GL_n(F)$ ist Untergruppe von $G$ und isomorph zu $\sigma_n$. \\
\underline{Beachte:} Sei $\pi\in W \Rightarrow\det\pi=\sign\pi\in\set{-1, +1}$
\end{satz}
\begin{bem}
Ist $E_\pi$ Permutationsmatrix zu $\pi\in\sigma_n, M \in F^{n \times n}$, so entsteht $\pi\cdot M = E_\pi M$ aus $M$ durch entsprechende Zeilenpermutationen und $M \pi$ durch
entsprechende Spaltenpermutationen. \\
$\sigma_n$ operiert auf der natürlichen Basis $\xi\rightsquigarrow\xi_\pi=(e_{\pi(1)}, \ldots, e_{\pi(n)})$.
\end{bem}
\begin{definition}
Sei $1\leq i,j \leq n, i \neq j$, und sei $\alpha\in F$. Dan sei $x_{ij}(\alpha)\in F^{n \times n}$ die entsprechende Elementarmatrix $A =(\alpha_{st})$ mit
$\alpha_{st}=\left\{\matr{1&\text{für } s = t \\\alpha&\text{für } s = i, t = j \\0&\text{sonst}}\right.$\\
$x_{ij}(\alpha)=\pmatr{1&&\alpha\\&\ddots&\\&&1}, \alpha$ an Position $i,j$\\
Die Matrizen $x_{ij}(\alpha)$ und ihre $G$-konjugierten heißen Transvektionen. \\
\underline{Beachte:}$x_{ij}(\alpha)\cdot M$ entsteht aus $M$ durch Addition von Reihe (Saplte) $j$ mal $\alpha$ zu Zeile (Spalte) $i$ ($M \cdot x_{ij}(\alpha)$.
\end{definition}
\begin{lemma}% 2.1.4
Seien $\alpha, \beta\in F, i \neq j, \pi in W$
\begin{enumerate}[i)]
\item$\det(x_{ij}(\alpha))=1$, also ist $x_{ij}(\alpha)\in\Omega_n(F)\leq\GL_n(F)$.
\item Ist $\alpha\neq0$, so ist $x_{ij}(\alpha)\in B \Leftrightarrow i < j$. ($U \leq B$)
$\Rightarrow\pi x_{ij}(\alpha)\pi^{-1}=\pi(E +\alpha e_{ij})\pi^{-1}=\pi E \pi^{-1}+\alpha\pi e_{ij}\pi^{-1}= E +\alpha e_{\pi(i)\pi(j)}= x_{\pi(i)\pi(j)}(\alpha)$
\end{enumerate}
\end{bew}
\underline{Ziel:}$G =\bigcup\limits_{w \in W}^{\bullet} BwB$, insbesondere: es gibt $n!$ viele $B$-$B$-Doppelnebenklassen in $G$ ($U$-$B$-, $B$-$U$-). "`Bruhat-Zerlegung"'
\begin{lemma}% 2.1.5
Sei $M \in G$. Dann gibt es ein $b \in B (U)$ so, dass gilt: \\
Für $1\leq i \leq n$ gibt es eine eindeutig bestimmte Zeile $k_i$ in $b \cdot M$ so, dass der $i$-te Eintrag in dieser Zeile der erste von 0 verschiedene Eintrag in ihr ist,\\
und $\set{k_1, \ldots, k_n}=\set{1, \ldots, n}$; $i \mapsto k_i \in\sigma_n$.
\end{lemma}
\begin{bew}
Die 1. Spalte von $M$ kann nicht die 0-Spalte sein $\Rightarrow\exists k_1$ so, dass Eintrag $k_i$ in $M =(\alpha_{rs})$ ungleich 0 aber $\alpha_{r1}=0$ für $r > k_1$ ist. (Der letzte von 0 verschiedene Eintrag in der Spalte). \\
Durch elementare Zeilentransformationen ($x_{1,l}(\frac{-\alpha_{l,1}}{\alpha_{k_11}})$, $l < k_1$) aus $U$ kann man $M'$ erhalten, in der $k_i$ der einzige von 0 verschiedene Eintrag in der 1. Spalte ist. \\
Streiche 1. Spalte und $k_1$-te Zeile und arbeite induktiv weiter.
$w = x_{ji}(1)x_{ij}(-1)x_{ji}(1), w e_k =\left\{\matr{e_n &\text{für } k \neq i, k \neq j \\ e_j &\text{für } k = i \\- e_i &\text{für } k = j}\right.$