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vorlesung 24.11.2009

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@@ -822,5 +822,82 @@ Zu zeigen: $H = P_{\mu}$. \\
Übung: Allgemeiner Fall.
\end{bew}

\chapter{Die spezielle und projektive lineare Gruppen} % 2.3

\underline{Ziel:} $\PSL_n(F)$ ist einfach, falls $n > 2$ oder $n = 2$ und $F \neq \GF(2)$ oder $\GF(3)$ ist.

2.3.1 Erinnerung: $\det : \GL_n(F) -> F^\ast: g \mapsto \det g$ ist Gruppenhomomorphismus mit Kern $\SL_n(F) \trianglelefteq G, \SL_n(f) = \set{g \in \GL_n(F) \mid \det g = 1}$. \\
\underline{Klar:} $\det$ ist surjektiv \\
Isosätze: $q - 1 = \frac{\abs{\GL_n(q)}}{\abs{\SL_n(q)}} \Rightarrow \abs{SL_n(q)} = \prod\limits_{k=1}^n \frac{q^k - q^{k-1}}{q-1} = \prod\limits_{k=1}^{n-1} \frac{q^k+1-q^k)
= q^{\frac{n(n+1)}{2}} (q^n-1)(q^{n-1}-1})\ldots(q^2-1)$ \\

2.3.2 Satz: $\SL_n(F)$ wird von den Wurzeluntergruppen (d.h. von den Transvektionen) in $G$ erzeugt. \\
Beweis: Für $1 \leq i, j \leq n, i \neq j$, und f+r $\alpha \in F$ ist $x_{ij}(\alpha) \in \SL_n(F)$ nach 2.1.4. \\
In 2.1.5 haben wir gezeigt: Ist $g = (\alpha_{ij}) \in \SL_n(F) \subseteq G$, so gibt es ein $u \in U$ (Produkt von Transvektionen) so, dsas gilt: Für $1 \leq i \leq n$ gibt es
eine eindeutig bestimmte Zeile $k_i$ in $ug$ so, dass der $i$-te Eintrag in dieser Zeile der erste von 0 verschiedene ist. Die Abbildung $\pi:i \mapsto k_i$ ist Element von $\sigma_n = W$. \\
Wir können diese Zeilen nach 2.1.11 durch ein Produkt $\tilde{\pi}$ von Transvektionen $\tilde{(i,j)} = x_{ij} (1) x_{ji}(-1) x_{ij}(1)$ ( $(i,j) \in \sigma_n$ Transposition) bis aufs Vorzeichen ordnen.
( $\tilde{(i,j)} = diag (1, \ldots, 1, -1, 1, \ldots, 1) \cdot (i,j)$).
Daraus folgt: durch ein Produkt $b \in \SL_n(F)$ von Transvektionen wird $b \cdot g$ eine obere Dreiecksmatrix $\tilde{g}$. \\
Also $bg = \tilde{g} = \pmatr{ \lambda_1 & & A \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n}$. Beachte: $\det \tilde{g} = \det b \cdot \det g = 1$, d.h. $\tilde{g} \in \SL_n(F)$. \\
$\Rightarrow \det \tilde{g} = \lambda_1 \cdot \ldots \cdot \lambda_n = 1$.

Beachte: Seien $\alpha, \beta, \gamma \in F$ mit $\alpha \gamma \neq 0$. \\
$x_{21}(-1)x_{12}(1-\gamma^{-1})x_{21}(y) \cdot \pmatr{\alpha & \beta \\ 0 & \gamma} = \pmatr{1 & 0 \\ -1 & 1}\pmatr{1 & 1-\gamma^{-1} \\ 0 & 1}\pmatr{1 & 0 \\ \gamma & 1}\pmatr{\alpha & \beta \\ 0 & \gamma}$ \\
$ = \pmatr{1 & 1 - \gamma^{-1} \\ -1 & \gamma^{-1}} \pmatr{\alpha & \beta \\ \alpha\gamma & \gamma\beta + \gamma}
= \pmatr{\alpha + \alpha\gamma - \alpha & \beta + \gamma\beta+\gamma-\beta-1 \\ -\alpha + \alpha & -\beta + \beta + 1}
= \pmatr{\alpha\gamma & \gamma\beta-\beta-1 \\ 0 & 1}$

Auf alle Zeilen von $\tilde{g}$ anwenden.

$ \Rightarrow $ Man kann $\tilde{g}$ durch Premultiplikation mit einem Produkt von Transvektionen auf die Gestalt $\tilde{g}' = \pmatr{\lambda_1 \cdot \ldots \cdot \lambda_n & & & \ast \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & 1} = \pmatr{1 & & \ast \\ & \ddots & \\ 0 & & 1} \in U$ bringen. Jedes Element von $U$ ist aber Produkt von Transvektionen (elementare Zeilenoperationen: $\tilde{g}' \rightsquigarrow 1$). Also ist $\tilde{g}'$ Produkt von Transvektionen. Also ist $g$ Produkt von Transvektionen.

2.3.3 Satz: Die Wurzeluntergruppen $X_{ij}, 1 \leq i, j \leq n, i \neq j,$ sind in $\SL_n(F)$ konjugiert. \\
Beweis: Seien $1 \leq i, j \leq n, 1 \leq k, l \leq n, i \neq j, k \neq l$. \\
$\sigma_n$ ist $n$-fach transitiv auf $\set{1, \ldots, n}$, also zweifach transitiv $\Rightarrow \exists w \in W = \sigma_n: w(i) = k, w(j) = l$. \\
Haben gesehen: $w X_{ij} w^{-1} = X_{w(i),w(j)} = X_{kl}$. Ist $w$ gerade Permutation, d.h. $\sign w = \det w = 1 \Rightarrow w \in \SL_n(F)$ und wir sind fertig. \\
Sei also $\sign w = \det w = -1$ und $\alpha in F$. Sei $d = d^{-1} = \pmatr{-1 & & & 0 \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & 1} \in \GL_n(F)$. Dann ist $\det (dw) = \det d \cdot \det w = - \det w = 1$, d.h. $dw \in \SL_n(F)$. \\
$dw X_{ij} (dw)^{-1} = d (w X_{ij} w^{-1}) d = d X_{kl} d = d (E + \alpha e_{kl}) d = dEd + \alpha d e_{kl} d = \left\{\matr{X_{kl}(\alpha) & \text{für } k,l \neq 1 \\ X_{kl}(-\alpha) & \text{sonst}, (k \neq l)}\right.$ \\
In jedem Fall ist $(dw) X_{ij} (dw)^{-1} = X_{kl}$.

Definition: Sei $Z = \set{ \alpha E \mid \alpha \in F^\ast }, E = 1$. Dann ist $Z \leq G, G \subseteq Z(G) = $ Zentrum von $G$. \\
2.3.4 Satz: $Z = Z(G)$ und $Z \cap \SL_n(F) = Z(\SL_n(F))$. \\
Es genügt zu zeigen: Jedes Element von $\GL_n(F)$ (bew. $\SL_N(F)$), das mit allen Transvektionen $x_{ij}(1)$ ($1 \leq i, j \leq n, i \neq j$) vertauscht, liegt schon in $Z$. \\
Sei $g = (\alpha_{ij}) = \sum_{i,j} \alpha_{ij} e_{ij} \in Z(G) \Rightarrow g \cdot x_{rs}(1) = x_{rs}(1) \cdot g \forall 1 \leq r, s \leq n, r \neq s
\Leftrightarrow g(E+e_{rs}) = (E + e_{rs})g \Leftrightarrow \sum_{ij} \alpha_{ij} e_{ij} e_{rs} = \sum_{kl} \alpha_{kl} e_{rs} e_{kl}
\Leftrightarrow \sigma_i \alpha_{ir} e_{is} = \sum_l \alpha_{sl} e_{rl} $ \\
d.h. $e_{is} = e_{rl} \Leftrightarrow i = r, l = s, \alpha_{rr} = \alpha_{ss}, r \neq s, \alpha_{ij} = 0$ sonst. \\
$ \Rightarrow g = \alpha \cdot E \in Z$. (Für $\SL_n(F): \alpha^n = \det \alpha E = 1$)

Definition: $\GL_n(F)/Z = \PGL_n(F) =$ "`projektive allgemeine lineare Gruppe"' \\
$\SL_n(F)/Z(\SL_n(F)) = \PSL_n(F) =$ "`projektive spezielle lineare Gruppe"' \\

2. Isosatz: $\PSL_n(F) \cong \SL_n(F) /(Z \cap \SL_n(F)) = Z \cdot \SL_n(F) / Z \leq \GL_n(F)/ Z = \PGL_n(F)$ \\
Für $F = \GF(q) = \mathcal(F)_q: \abs{\PGL_n(q)} = \frac{\GL_n(q)}{Z} = \frac{\GL_n(q)}{q-1} = \abs{\SL_n(q)}$

Bemerkung:
\begin{enumerate}[1)]
\item $\GL_n(F) = \SL_n(F) \rtimes \set{\pmatr{\alpha & & & 0 \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & 1} \mid \alpha \in F^\ast}$ \\
\item $F$ algebraisch abgeschlossen $\Rightarrow z := (\lsup{n}{\sqrt{\det g}}^{-1} E) \in Z, g \cdot z \in \SL_n(F)$, es folgt: $\PSL_n(F) \cong \PGL_n(F)$.
\item $\PSL_2(2) \cong \sigma_3 \trianglerighteq A_3$, da $\PSL_2(2) \cong GL_2(2)$ \\
$\PSL_2(3) \cong A_4 \trianglerighteq V_4 \cong G_2 \times G_2$
\end{enumerate}

2.3.6 Lemma: Sei $n \geq 2$; und $\abs{F} \neq 2, 3$ für $n = 2$. Dann ist jede Tranvektion $x_{ij}(\alpha)$ ($1 \leq i,j\leq n, i \neq j, \alpha \in F)$ ein Kommutator von Elementen in $\SL_n(f)$. \\
Beweis: Ist $ n > 2 $, dann ist $x_{ij}(\alpha) = [x_{ij}(\alpha), x_{kj}(\alpha) ]$ mit $1 \leq k \leq n, k \neq i, k \neq j$. \\
Sei $n = 2, \beta, \gamma \in F$ mit $\beta \neq 0$. \\
$[\pmatr{\beta & 0 \\ 0 & \beta^{-1}}, \pmatr{1 & \gamma \\ 0 & 1}] = \pmatr{1 & (\beta^2 -1)\gamma \\ 0 & 1}$ \\
$\Rightarrow x_{12}(\alpha) $ ist Kommutator dieser Elemente aus $\SL_2(F)$, falls es $\beta, \gamma \in F$ mit $\beta \neq 0$ gibt, so dass $\alpha = (\beta^2-1)\gamma$ ist. \\
Sei $\abs{F} > 3$, dann gibt es immer ein $\beta \in F^\ast$ mit $\beta^2 \neq 1$ und $\gamma = \alpha (\beta^2-1)^{-1}$. \\
$x_{21}(\alpha)$ ähnlich bzw. ist konjugiert in $\SL_2(F)$ zu einem Element aus $X_{12}$.

2.3.7 Korrolar: Sei $n > 2$ oder $\abs{F} > 3$ für $n = 2$. Dann ist $\SL_n(F) = [\SL_n(F), \SL_n(F)]$.

2.3.8 Lemma: Sei $n \leq 2$ $\SL_n(F)$ operiert auf der $\set{Fv | 0 \neq v \in F^n}$ durch $g (Fv) := F (gv)$ (Kern ist das Zentrum). \\
Diese Operation ist 2-fach transitiv. \\
Beweis: Seien $c_1, c_2, d_1, d_2 \in F^n\without \set{0}$ und $c_1, c_2$ bzw. $d_1, d_2$ linear unabhängig, d.h. $Fc_1 \neq Fc_2, Fd_1 \neq Fd_2$. \\
Ergänze $c_1, c_2$ bzw. $d_1, d_2$ zu Basen $\tilde{C} = (c_1, c_2, \ldots, c_n)$ und $\tilde{D} = (d_1, d_2, \ldots, d_n)$ von $F^n$. Sei $C = m_{\id}(\xi, \tilde{C}) = m_f(\xi, \xi)$ mit $f(e_i) = c_i$. \\
$D = m_{\id}(\xi, \tilde{D}) = m_g(\xi, \xi)$ mit $g(e_i) = d_i$ \\
Dann sind $C, D \in \GL_n(F)$. Sei $\epsilon = \det D / \det C = \det (DC^{-1}), A = \pmatr{\epsilon & 0 \\ 0 & 1_{n-1}}, \det A = \epsilon, B = DA^{-1}C^{-1}$, so ist $Bc_1 = \epsilon^{-1}d_1, Bc_i = d_i $ für $i > 2$ \\
$BFc_i = FBc_i = Fd_i $ für alle $i$. Klar: $\det B = 1$, d.h. $B \in \SL_n(F)$ \qed.

\end{document}

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\DeclareMathOperator{\Out}{Out}
\DeclareMathOperator{\Stab}{Stab}
\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
\DeclareMathOperator{\PGL}{PGL}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
\DeclareMathOperator{\PSL}{PSL}
\DeclareMathOperator{\GF}{GF}

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