Vorlesung 26.1.2010

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@@ -1714,4 +1714,106 @@ $\Rightarrow \chi_M = \nu_1 \chi_1 + \ldots + \nu_r \chi_r$.
 
 Es gilt: Ist $M \ncong N$ und $M, N \in \lsub{\C G}{\Mod}$ endlich erzeugt $\Rightarrow \chi_M \neq \chi_N$.
 
+6.1.7 Satz: Zwei endliche erzeugte $\C G$-Moduln sind isomorph $\Leftrightarrow$ ihre Charakter stimmen überein. \\
+Beweis: Sind $S_1, \ldots, S_r$ die verschiedenen irreduziblen $\C G$-Moduln mit Charakteren $\chi_1, \ldots, \chi_r, M, N \in \lsub{\C G}{\Mod}$.
+Sei $M = S_1^{\oplus \mu_1} \oplus \ldots \oplus S_r^{\oplus \mu_r}, N = S_1^{\oplus \nu_1} \oplus \ldots \oplus S_r^{\oplus \nu_r}$, so ist
+$\chi_M = \sum\limits_{i=1}^r \mu_i \chi_i, \chi_N = \sum\limits_{i=1}^r \nu_i \chi_i$ \\
+$M \cong N \Leftrightarrow \mu_i = \nu_i \forall i = 1, \ldots, r \Leftrightarrow \chi_M = \chi_N$ \qed
+
+Bemerkung: Es gibt keinen kanonischen Weg, aus  dem Charakter eines $\C G$-Moduls $M$ den Modul $M$ selbst zu bestimmen.
+
+Erinnerung: $U, V \in \lsub{\C G}{\Mod} \Rightarrow U \otimes_\C V, \Hom_\C(U, V), U^\ast = \Hom_\C(U, \C)$ sind $\C G$-Moduln.
+
+6.1.8 Satz: $U, V \in \lsub{\C G}{\Mod}$. Dann gilt:
+\begin{enumerate}[i)]
+ \item $\chi_{U \times V}= \chi_U \cdot \chi_V  (\chi_{U \otimes V}(g) = \chi_U(g) \cdot \chi_V(g))$
+ \item $\chi_{U^\ast} = \overline{\chi_U} (\chi_{U^\ast}(g) = \overline{\chi_U(g)}$
+ \item $\chi_{\Hom_\C(U, V)} = \overline{\chi_U} \cdot \chi_V$
+\end{enumerate}
+Beweis:
+\begin{enumerate}[i)]
+ \item Sei $g \in G$. Sei $(u_1, \ldots, u_m)$ und $(v_1, \ldots, v_n)$ Basen von $U$ bzw. $V$ aus Eigenvektoren von $g$ auf $U$ bzw. $V$.
+   D.h. $\exists \mu_1, \ldots, \mu_m, \nu_1, \ldots, \nu_n \in \C: g u_i = \mu_i u_i$ und $g v_j = \nu_j v_j \forall 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n$. \\
+   Dies geht nach 6.1.4, da die Operation von $G$ auf $U$ bzw. $V$ diagonalisierbar ist. \\
+   LAAG: Die $( u_i \otimes v_j \mid 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n )$ ist Basis von $U \otimes V$ \\
+   $g(u_i \otimes v_i) = (g u_i) \otimes (g v_j) = (\mu_i u_i) \otimes (\nu_j v_j) = \mu_i \nu_j (u_i \otimes v_j)$ \\
+   Es folgt: $\chi_{U \otimes V}(g) = \sum\limits_{i,j} \mu_i \nu_j = (\sum\limits_{i=1}^m \mu_i) (\sum\limits_{j=1}^n \nu_j) = \chi_U(g) \chi_V(g)$
+ \item $g \in G, (u_1, \ldots, u_m)$ Basis aus Eigenvektoren von $g$ auf $U$, $g u_i = \mu_i u_i, \mu_i \in \C, 1\leq i \leq m$. \\
+   Sei $(u_1^\ast, \ldots, u_m^\ast)$ Basis von $U^\ast$, d.h. $u_i^\ast(u_j) = \delta_{ij}$.
+   $\Rightarrow (g u_i^\ast)(u_j) = u_i^\ast(g^{-1} u_j) \mathop{=}\limits^\text{6.1.4} u_i^\ast (\mu_j u_j) = \overline{\mu_j} \delta_{ij}$ \\
+   $\Rightarrow g u_i^\ast = \overline{\mu_i} u_i^\ast$, d.h. $u_i^\ast$ ist Eigenvektor von Operation von $g$ auf $U^\ast$ mit Eigenwerten $\overline{\mu_i}$. \\
+   Also ist $\chi_{U^\ast}(g) = \sum\limits_{i=1}^m \overline{\mu_i} = \overline{\sum\limits_{i=1}^m \mu_i} = \overline{\chi_U(g)}$. \\
+ \item Nach 5.3.4 (?) ist $\Hom_\C(U, V) \cong U^\ast \otimes V$ als $\C G$-Modul. Die Behauptung folgt aus i) und ii). \qed
+\end{enumerate}
+
+Bemerkung: $\set{\Char \text{ von } G} \subseteq \C^G = \C$-Algebra und darin sind die irreduziblen Charaketere $(\chi_1, \ldots, \chi_r)$ linear unabhängig.
+So ist $<\chi_1, \ldots, \chi_r>_{\C\text{-Aufspann}}$ $r$-dimensionaler Unterraum von $\C^G$. \\
+Abelsche Gruppe, freier $\Z$-Modul: $\set{ \sum\limits_{i=1}^r \mu_i \chi_i \mid \mu_i \in \Z} \subseteq <\chi_1, \ldots, \chi_r>$. \\
+Klassenfunktionen der Form $\sum\limits_{i=1}^r \mu_i \chi_i$ mit $\mu_i \in \Z$ heißen "`virtuelle"' Charaktere.
+
+6.1.9 Korrolar: Der Raum der virtuellen Charaktere ist ein Ring. \\
+Beweis: Nach 6.1.8 ist das Produkt zweier Charaktere wieder ein Charakter, d.h. ganzzahlige Linearkombination der $\chi_1, \ldots, \chi_r$. Also ist auch das Produkt
+zweier virtueller Charaktere wieder ein virtueller Charakter. \qed
+
+Definition: Eine Klassenfunktion auf $G$ ist eine Abbildung $f: G \rightarrow \C$ mit $f(g) = f(h)$ falls $g, h$ konjugiert (also $g \sim_G h$). \\
+Klar: Summe, lineare Vielfache und Produkte vo Klassenfunktionen sind Klassenfunktionen. \\
+Also: $< \chi_1, \ldots, \chi_r >_\C \subseteq \set{\text{Klassenfunktionen auf } G} \leq \C^G$
+
+6.1.10 $<\chi_1, \ldots, \chi_r>_\C$ ist die $\C$-Algebra der Klassenfunktionen.auf $G$. \\
+Beweis: Seien $C_1, \ldots, C_r$ die Konjugationsklassen von $G$, $1 \leq i, j \leq r$. Sei $\psi_i: G \rightarrow \C$ definiert durch: \\
+$\psi_i(g) = \left\{\matr{1 & \text{für }  g \in C_i \\ 0 & \text{sonst}}\right.$ \\
+Sei $f: G \rightarrow \C$ Klassenfunktion mit $f(g) = \lambda_i$ für $g \in C_i$
+$ \Rightarrow f = \sum\limits_{i=1}^r \lambda_i \psi_i \Rightarrow f \in < \psi_1, \ldots, \psi_r>_\C$ \\
+Trivial: $\psi_1, \ldots, \psi_r$ linear unabhängig $ \Rightarrow \dim_\C \set{\text{Klassenfunktionen auf } \C} = r$ \\
+$\Rightarrow $ Behauptung. \qed
+
+Definition: $\Cl(G) := \C$-Vektorraum der Klassenfunktionen auf $G$. \\
+Auf $\Cl(G)$ definieren wir ein inneres Produkt $( \cdot, \cdot )$ durch: $(\alpha, \beta \in \Cl(G))$ \\
+$(\alpha, \beta) = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} \alpha(g) \overline{\beta(g)} \in \C$ \\
+Wir haben: \\
+$ ~~~~ (\alpha, \alpha) = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} \alpha(g) \overline{\alpha(g)} = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} \abs{\alpha(g)}^2 = 0
+\Leftrightarrow \alpha(g) = 0 \forall g \in G \Leftrightarrow \alpha = 0$. \\
+$ ~~~~ (\alpha, \beta) = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} \alpha(g) \overline{\beta(g)} = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} \overline{\beta(g) \overline{\alpha(g)}} = \overline{(\beta, \alpha)}$ \\
+$ ~~~~ (\lambda \alpha, \beta) = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} (\lambda \alpha)(g) \overline{\beta(g)} = \frac{\lambda}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} \alpha(g) \overline{\beta(g)} = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} \alpha(g) \overline{(\overline{\lambda}\beta)(g)} = (\alpha, \overline{\lambda} \beta)$ \\
+$ ~~~~ (\alpha_1 + \alpha_2, \beta)
+%   = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} (\alpha_1 + \alpha_2)(g) \overline{\beta(g)}
+  = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} \alpha_1(g) \overline{\beta(g)} + \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} \alpha_2(g) \overline{\beta(g)} = (\alpha_1, \beta) + (\alpha_2, \beta)$.
+
+Also ist $(\cdot, \cdot)$ wirklich ein Skalarprodukt auf $\Cl()G)$.
+
+Erinnerung: $U \in \lsub{\C G}{\underline{\Mod}}$ endlich erzeugt. Dann ist $U^G = \set{u \in U \mid gu = u \forall g \in G}$ ist der eindeutig
+bestinmmte größte Untermodul von $U$, auf dem $G$ trivial operiert. \\
+$ U = S_1^{\oplus \mu_1} \oplus \ldots \oplus S_r^{\oplus \mu_r}, S_1 = $ trivialer $\C G$-Modul. \\
+$\Rightarrow U^G = S_1^{\oplus \mu_1}, \mu_1 = \dim_\C U^G$
+
+Beobachtung: $U^G = $ simultae Eigenraum $\forall g \in G$ zum Eigenwert 1 = $\bigcap\limits_{g \in G}$ Eigenraum von $g$ zum Eigenwert $1$.
+
+6.1.11 Lemma: Sei $U \in \lsub{\C G}{\underline{\Mod}}$ endlich erzeugt, dann ist $\dim_\C U^G = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} \chi_U(g) ( = \chi_U(\frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} g = \chi_U(T))$. \\
+Beweis: Sei $a = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} g \in \C G$. Sei $h \in G \Rightarrow ha = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} h g = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} g = a = ah$ \\
+$\Rightarrow a^2 = (\frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} g) a = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} (g a) = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} a = a, a $ ist Idempotent von $\C G$. \\
+$(\C G = M_{1 \times 1}(\C) \oplus M_{f_2 \times f_2}(\C) \oplus \ldots \oplus M_{f_r \times f_r}(\C); a = ( 1, 0, \ldots, 0 )$. \\
+Sei $\rho: \C G \rightarrow \End_\C(U)$ die zu $U \in \lsub{\C G}{\underline{\Mod}}$ gehörende Darstellung von $\lsup{\C}G$ und sei $T = \rho(a)$. \\
+Dann gilt $T^2 = (\rho(a))^2 = \rho(a^2) = \rho(a) = T$, d.h. $T$ erfüllt das Polynom $X^2 - X \in \C[X] \Rightarrow 0$ und $1$ sind die einzigen möglichen Eigenwerte von $T$ und $T$ ist diagonalisierbar.
+
+Sei $U_1 \subseteq U$ der Eigenraum von $T$ zum Eigenwert $1$. \\
+$u \in U_1 \Rightarrow g(u) = g(a \cdot u) = (g a)(u) = a u = u$ \\
+$\Rightarrow U_1 \leq U^G$ \\
+Sei $u \in U^G$, dann ist $\abs{G} a u = (\sum\limits_{g \in G} g) u = \sum\limits_{g \in G} (gu) = \sum\limits_{g \in G} u = \abs{G} u \Rightarrow au = u \Rightarrow u \in U_1$ \\
+Also ist $U_1 = U^G$. Die Spur $\tr(T)$ von $T$ auf $U$ ist $\dim_\C(U_1)$
+
+6.1.12 Erinnerung: Sind $U, V \in \lsub{\C G}{\underline{\Mod}}$ endlich erzeugt. Dann ist $\Hom_\C(U, V) = U^\ast \otimes V \in \lsub{\C G}{\underline{\Mod}}$ und es
+ist $\Hom_{\C G}(U, V) = (\Hom_\C(U, v))^G$.
+
+6.1.13 Korrolar: Seien $U, v \in \lsub{\C G}{\underline{\Mod}}$. Dann ist $(\chi_V, \chi_U) = \dim_\C \Hom_{\C G}(U, V)$ \\
+Beweis: $\dim_\C \Hom_{\C G}(U, V) \mathop{=}\limits^\text{6.1.12} \dim_\C (\Hom_\C(U, V))^G \mathop{=}\limits^\text{6.1.11} = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} \chi_{\Hom_\C(U,V)}(g)$ \\
+$ \mathop{=}\limits^\text{6.1.8} \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} (\overline{\chi_{U}(g)} \chi_V(g)) = (\chi_V, \chi_U)$ \qed
+
+Bemerkung: $\Hom_{\C G}(S_1^{\oplus \nu_1} \oplus \ldots \oplus S_r^{\oplus \nu_r}, S_1^{\oplus \mu_r} \oplus \ldots \oplus S_r^{\oplus \mu_r})
+ = \bigoplus\limits_{i=1}^r \Hom_{\C G}(S_i^{\oplus \nu_i}, S_i^{\oplus \mu_i})
+ \cong M_{\mu_i \times \nu_i}(\C) $ \\
+ $ \dim = \sum \mu_i \nu_i$
+
+6.1.14 Korrolar: $\chi_1, \ldots, \chi_r$ ist eine Orthonormalbasis von $\Cl(G)$.
+Beweis: 6.1.13 impliziert, dass $(\chi_i, \chi_j) = \delta_{ij}$. \qed.
+
 \end{document}

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@@ -95,6 +95,8 @@
 \DeclareMathOperator{\Ind}{Ind}
 \DeclareMathOperator{\Irr}{Irr}
 \DeclareMathOperator{\tr}{tr} % Spur
+\DeclareMathOperator{\Cl}{Cl}
+
 
 \DeclareMathOperator{\Reid}{Reid}
 \DeclareMathOperator{\Liid}{Liid}