$\Rightarrow g u_i^\ast=\overline{\mu_i} u_i^\ast$, d.h. $u_i^\ast$ ist Eigenvektor von Operation von $g$ auf $U^\ast$ mit Eigenwerten $\overline{\mu_i}$. \\
Also ist $\chi_{U^\ast}(g)=\sum\limits_{i=1}^m \overline{\mu_i}=\overline{\sum\limits_{i=1}^m \mu_i}=\overline{\chi_U(g)}$. \\
\item Nach 5.3.4 (?) ist $\Hom_\C(U, V)\cong U^\ast\otimes V$ als $\C G$-Modul. Die Behauptung folgt aus i) und ii). \qed
\end{enumerate}
Bemerkung: $\set{\Char\text{ von } G}\subseteq\C^G =\C$-Algebra und darin sind die irreduziblen Charaketere $(\chi_1, \ldots, \chi_r)$ linear unabhängig.
So ist $<\chi_1, \ldots, \chi_r>_{\C\text{-Aufspann}}$$r$-dimensionaler Unterraum von $\C^G$. \\
Klassenfunktionen der Form $\sum\limits_{i=1}^r \mu_i \chi_i$ mit $\mu_i \in\Z$ heißen "`virtuelle"' Charaktere.
6.1.9 Korrolar: Der Raum der virtuellen Charaktere ist ein Ring. \\
Beweis: Nach 6.1.8 ist das Produkt zweier Charaktere wieder ein Charakter, d.h. ganzzahlige Linearkombination der $\chi_1, \ldots, \chi_r$. Also ist auch das Produkt
zweier virtueller Charaktere wieder ein virtueller Charakter. \qed
Definition: Eine Klassenfunktion auf $G$ ist eine Abbildung $f: G \rightarrow\C$ mit $f(g)= f(h)$ falls $g, h$ konjugiert (also $g \sim_G h$). \\
Klar: Summe, lineare Vielfache und Produkte vo Klassenfunktionen sind Klassenfunktionen. \\
Also: $< \chi_1, \ldots, \chi_r >_\C\subseteq\set{\text{Klassenfunktionen auf } G}\leq\C^G$
6.1.10 $<\chi_1, \ldots, \chi_r>_\C$ ist die $\C$-Algebra der Klassenfunktionen.auf $G$. \\
Beweis: Seien $C_1, \ldots, C_r$ die Konjugationsklassen von $G$, $1\leq i, j \leq r$. Sei $\psi_i: G \rightarrow\C$ definiert durch: \\
$\psi_i(g)=\left\{\matr{1&\text{für } g \in C_i \\0&\text{sonst}}\right.$\\
Sei $f: G \rightarrow\C$ Klassenfunktion mit $f(g)=\lambda_i$ für $g \in C_i$
$\Rightarrow f =\sum\limits_{i=1}^r \lambda_i \psi_i \Rightarrow f \in < \psi_1, \ldots, \psi_r>_\C$\\
Trivial: $\psi_1, \ldots, \psi_r$ linear unabhängig $\Rightarrow\dim_\C\set{\text{Klassenfunktionen auf }\C}= r$\\
$\Rightarrow$ Behauptung. \qed
Definition: $\Cl(G) :=\C$-Vektorraum der Klassenfunktionen auf $G$. \\
Auf $\Cl(G)$ definieren wir ein inneres Produkt $(\cdot, \cdot)$ durch: $(\alpha, \beta\in\Cl(G))$\\
Beobachtung: $U^G =$ simultae Eigenraum $\forall g \in G$ zum Eigenwert 1 = $\bigcap\limits_{g \in G}$ Eigenraum von $g$ zum Eigenwert $1$.
6.1.11 Lemma: Sei $U \in\lsub{\C G}{\underline{\Mod}}$ endlich erzeugt, dann ist $\dim_\C U^G =\frac{1}{\abs{G}}\sum\limits_{g \in G}\chi_U(g)(=\chi_U(\frac{1}{\abs{G}}\sum\limits_{g \in G} g =\chi_U(T))$. \\
Beweis: Sei $a =\frac{1}{\abs{G}}\sum\limits_{g \in G} g \in\C G$. Sei $h \in G \Rightarrow ha =\frac{1}{\abs{G}}\sum\limits_{g \in G} h g =\frac{1}{\abs{G}}\sum\limits_{g \in G} g = a = ah$\\
$\Rightarrow a^2=(\frac{1}{\abs{G}}\sum\limits_{g \in G} g) a =\frac{1}{\abs{G}}\sum\limits_{g \in G}(g a)=\frac{1}{\abs{G}}\sum\limits_{g \in G} a = a, a $ ist Idempotent von $\C G$. \\
$(\C G = M_{1\times1}(\C)\oplus M_{f_2\times f_2}(\C)\oplus\ldots\oplus M_{f_r \times f_r}(\C); a =(1, 0, \ldots, 0)$. \\
Sei $\rho: \C G \rightarrow\End_\C(U)$ die zu $U \in\lsub{\C G}{\underline{\Mod}}$ gehörende Darstellung von $\lsup{\C}G$ und sei $T =\rho(a)$. \\
Dann gilt $T^2=(\rho(a))^2=\rho(a^2)=\rho(a)= T$, d.h. $T$ erfüllt das Polynom $X^2- X \in\C[X]\Rightarrow0$ und $1$ sind die einzigen möglichen Eigenwerte von $T$ und $T$ ist diagonalisierbar.
Sei $U_1\subseteq U$ der Eigenraum von $T$ zum Eigenwert $1$. \\
$u \in U_1\Rightarrow g(u)= g(a \cdot u)=(g a)(u)= a u = u$\\
$\Rightarrow U_1\leq U^G$\\
Sei $u \in U^G$, dann ist $\abs{G} a u =(\sum\limits_{g \in G} g) u =\sum\limits_{g \in G}(gu)=\sum\limits_{g \in G} u =\abs{G} u \Rightarrow au = u \Rightarrow u \in U_1$\\
Also ist $U_1= U^G$. Die Spur $\tr(T)$ von $T$ auf $U$ ist $\dim_\C(U_1)$
6.1.12 Erinnerung: Sind $U, V \in\lsub{\C G}{\underline{\Mod}}$ endlich erzeugt. Dann ist $\Hom_\C(U, V)= U^\ast\otimes V \in\lsub{\C G}{\underline{\Mod}}$ und es
ist $\Hom_{\C G}(U, V)=(\Hom_\C(U, v))^G$.
6.1.13 Korrolar: Seien $U, v \in\lsub{\C G}{\underline{\Mod}}$. Dann ist $(\chi_V, \chi_U)=\dim_\C\Hom_{\C G}(U, V)$\\