@ -1516,4 +1516,97 @@ Nach 5.2.12 ist $\pi = Tr_1^G(\tilde{\pi})$ $KG$-linear, $\pi(u) = \frac{1}{\abs
Sei $v \in V \leq U$. Dann ist $\pi(v)=\frac{1}{\abs{G}}\sum_g g \tilde{\pi}(g^{-1} v)=\frac{1}{\abs{G}}\sum_g g g^{-1} v =\frac{1}{\abs{G}}\sum_g v = v$. \\
$\Rightarrow U = V \oplus\ker\pi$
% -2 Vorlesungen
5.4.16 Theorem: Sei $\Delta$ Divisionsalgebra, $n \in\N$. Dann ist $\Delta^n$ (bis auf Isomorphie) der einzige einfache $A$-Modul, $A = M_{n \times n}(\Delta)$. \\
Es gilt: $\lsub{A}{A}=\bigoplus\limits_{n \text{ Kopien}}\Delta^n$\\
Beweis: Sei $0\neq x =(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)^t \in\Delta^n \Rightarrow\exists1\leq i \leq n: \alpha_i \neq0$. \\
$\alpha_i ^{-1} E_{ii} x = e_i \in\xi_n =$ natürliche Basis von $\Delta^n$\\
$\Rightarrow E_{ji} e_i = e_j $, also $ e_j \in A \cdot x \forall1\leq j \leq n \Rightarrow\Delta^n = A \cdot x$. \\
Also ist $\Delta^n$ einfach. \\
Sei für $1\leq i \leq n ~ S_i $ die Menge der Matrizen aus $A$, die 0 sind bis auf die $i.$ Spalte. \\
Dann ist $S_i \leq\lsub{A}{A}$. \\
$S_i E_{ij}= S_j.$$\varphi_{E_{ij}}=$ Rechtsmodul mit $E_{ij}$ ist $A$-Modul Isomorphismus von $S_i$ auf $S_j$. \\
$S_i \cong\Delta^n$. Also ist $\lsub{A}{A}\cong S_1\oplus\ldots\oplus S_n \cong\bigoplus\limits_{n \text{ Kopien}}\Delta^n$.
Definition: Eine $K$-Algebra $A$ heißt einfach ("`simple"'), falls $(0)$ und $A$ die einzigen Ideale von $A$ sind.
5.4.17 Lemma: Einfache Algebren sind halbeinfach (semisimple). \\
Beweis: Sei $A$ eine einfache Algebra, $\Sigma=$ Summe aller einfachen Untermoduln von $\lsub{A}{A}$. \\
Klar: $\Sigma$ ist Linksideal von $A$. Sei $S$ einfacher Untermodul von $\lsub{A}{A}$, und sei $a \in A$. \\
$\rho_a : S \rightarrow A: s \mapsto sa$ ist $A$-Modulhomomorphismu, und daher ist $S \cdot a =\im\rho_a =(0)$ oder $S \cdot a =$ einfacher $A$-Modul. \\
In beiden Fällen haben wir $Sa \subseteq\Sigma$, daher ist $\Sigma$ auch Rechtsideal von $A$, also ist $\Sigma$ Ideal von $A$. \\
$\lsub{A}{A}$ hat einfache Untermoduln ($\leq(0)$), daher ist $\Sigma\leq(0)$. Da $A$ einfach ist, ist $\Sigma= A$ und daher $A$ semisimple wegen Lemma 5.4.2 (Charakterisierung vo "`ss"')
und 5.4.13 (Algebra ss. $\Leftrightarrow\lsub{A}{A}$ ss.). \qed
5.4.18 Theorem: Sei $\Delta$ Divisionsalgebra und sei $n \in N$. Dann ist $A = M_{n \times n}(\Delta)$ einfache Algebra. \\
Beweis: Sei $(0)\neq J \trianglelefteq A$. Sei $0\neq a \in J \Rightarrow\exists\alpha_{ij}\in\Delta: a =\sum\alpha_{ij}E_{ij}(1\leq i,j \leq n)$. \\
$\exists1\leq r,s \leq n: \alpha_{rs}\neq0$. Sei $1\leq l, k \leq n$. Dann ist $J \ni b =\alpha_{rs}^{-1} E_{lr} a E_{sk}=\sum\alpha_{rs}^{-1} E_{lr}\alpha_{ij} E_{ij} E_{sk}
$\tilde{B_i}\cap\tilde{B_j}=(0) ~~ (i \neq j)$. \\
$\tilde{B_i}$ heißen "`Blöcke"' von $B$ (Blockideale).
5.4.19 Lemma: $B = B_1\oplus\ldots\oplus B_r$ ringdirekte Summe von Algebren $B_i$. Dann sind die zweiseitigen Ideale von $B$ genau die Mengen der Form
Beweis: Setze $J_i = J \cap B_i \trianglelefteq B$. Klar: $\sum\limits_{i=1}^r J_i =\bigoplus\limits_{i=1}^r JJ-i \subseteq J.$ Sei $b \in J, b = b_1+\ldots b_r$ mit $b_i \in B_i$
und $1= e_1+\ldots+ e_r, e_j =1_{B_j}$. \\
Dann ist $b cdot e_1= b_1 e_1+ b_2 e_1+\ldots+ b_r e_r = b_1\in J_1$, analog $b_i \in B_i \Rightarrow$ Behauptung.
5.4.20 Theorem: Sei $r \in\N, \Delta_i$ Divisionsalgebra über $K$ endlicher Dimension, $n_i \in N, B_i = M_{n_i \times n_i}(\Delta_i)\forall1\leq i \leq r$. \\
Sei $B = B_1\oplus\ldots\oplus B_r$ ringdirekte Summe. ($\dim_K B =\sum_{i=1}^r \dim_K(\Delta_i) n_i^2 < \infty).$ Dann ist $B$ semisimple, und es gibt exakt $r$ viele nicht isomorphe einfache $B$-Moduln,
und gneau $2^4$ zweiseitige Ideale von $B$, nämlich $\bigoplus_{j \in J} B_j$ mit $J \subseteq\set{1, \ldots, r}$ (Ideale), einfachen $B$-Moduln $S_1, \ldots, S_r$ mit $S_i \leq\lsub{B_i}{B_i}$ einfach. \\
Beweis: Ist $S \leq\lsub{B_i}{B_i}$ einfacher Untermodul, so ist auch $S$ ein einfacher $B$-Modul mit $b \cdot x =0\forall b \in B_j$ mit $j \neq i$. ($U \leq\lsub{B_i}{B_i}\leq_{\text{Liid}}\lsub{B}{B}$ immer). \\
Haben gesehen (5.4.16): $\forall1\leq i \leq r$ gibt es genau einen einfachen $B_i$-Modul $S_i$, $B_i \cong\bigoplus\limits_{n_i \text{ Kopien}} S_i$.
Insbesondere ist $\lsub{B}{B}$ (direkte) Summe einfacher Untermoduln, und daher nach 5.4.13 semisimple. Jeder einfache $B$-Modul ist daher isomorph zu einem $S_i$ mit $1\leq i \leq r$ (5.4.14). \\
Behauptung folgt sofort aus 5.4.18 und 5.4.19. \qed
5.4.21 Satz: Sei $0\neq e^2= e \in B \Rightarrow\End_B(Be)\cong eBe$.
5.4.22 Lemma:Sei $B$ Algebra. Dann ist $M_{n \times n}(B)^{op}\cong M_{n \times n}(B^{op})$. \\
Beweis Idee: $M_{n \times n}(B)^{op}\rightarrow M_{n \times n}(B^{op}): a \mapsto a^t$ ist Isomorphismus.
5.4.23 Theorem (Wedderburn): Eine $K$-Algebra $A$ ($\dim_K A < \infty$) ist semisimple $\Leftrightarrow A =\bigoplus\limits_{i=1}^r M_{n_i \times n_i}(\Delta_i)$ mit $\Delta_i$ = Divisionsalgebra über $K$ mit $\dim_K \Delta_i < \infty$. \\
Beweis: "`$\Leftarrow$"' ist 5.4.20. \\
Sei also $A$ semisimple. Sei $S_1, \ldots, S_r$ eine vollständige Menge paarweiser nicht isomorpher einfacher $A$-Moduln und sei $\Delta_i =\End_A(S_i)$ Schiefkörper ($\dim_K \Lambda_i = k$), $n_i =\dim_{\Delta_i}(S_i)$\\
Da $\lsub{A}{A}$ semisimple gibt es $v_1, \ldots, v_r \in\N: \lsub{A}{A}= S_1^{\oplus v_1}\oplus\ldots\oplus S_r^{\oplus v_r}$.\\
5.4.21 $\Rightarrow\End_A(\lsub{A}{A})=1\cdot A \cdot1\cong A$\\
$\Rightarrow(\hat{C_1}, \ldots, \hat{C_m})$ ist $\C$-Basis von $Z(\C G)\Rightarrow\dim_{\C}(Z(\C G))= m =$ Anzahl der Konjugationsklassen $= r =$ Anzahl der irreduziblen $\C G$-Moduln.