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\chapter{Quanten-Kinematik des Spin 1/2 Systems}
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\paragraph{Idee} Kombination der Prinzipien und Experimente führt auf $\hilbert$ und die konkreten Formen der Zustände und Operatoren.
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\section{Hilbertraum und $\sigma_z$-Darstellung}
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\begin{itemize}
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\item immer nur $\pm 1$ als Messwert $\rightarrow$ $\dim(\hilbert) = 2$
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\item wähle als Basis $\set{\ket{1}, \ket{2}} = \set{\ket{z+}, \ket{z-}} = \set{\inlinematrix{1\\ 0}, \inlinematrix{0\\ 1}}$ die Eigenvektoren des zu ``Spin in z-Richtung'', $\sigma_z$, gehörenden Operatoren:
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\begin{align}
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\sigma_z \ket{z+} &= (+1) \ket{z+}\\
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\sigma_z \ket{z-} &= (-1) \ket{z-}
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\end{align}
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zugehörige Bra: $\bra{z+} \cequiv (1, 0)$ und $\bra{z-} \cequiv (0, 1)$
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\begin{equation}
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\sigma_z \cequiv \inlinematrix{1 & 0 \\ 0 & -1}
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\end{equation}
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\item beliebiger Zustand $\psi = c_1 \ket{z+} + c_2 \ket{z-}$ mit normierung $\braket{\psi}{\psi} = 1 \Rightarrow c_1 c_1^* + c_2 c_2^* = 1$
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\end{itemize}
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\subsection*{Ex. 1}
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\begin{figure}[H] \centering
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\includegraphics{pdf/I/04-01-00.pdf}
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\end{figure}
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\begin{align}
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\prob{\left. \sigma_z \cequiv +1 \right| \ket{\psi_0} = \ket{z+}} &= \abs{\braket{z+}{\psi_0}}^2\\
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&= \abs{\braket{z+}{z+}}^2 = 1\\
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\prob{\left. \sigma_z \cequiv -1 \right| \ket{\psi_0} = \ket{z-}} &= \abs{\braket{z-}{\psi_0}}^2\\
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&= \abs{\braket{z-}{z+}}^2 = 0
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\end{align}
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\section{Spin-Operatoren}
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\paragraph{Frage}
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Welcher Operator $\sigma_z$ entspricht der physikalischen Größe Spin in n-Richtung?
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\paragraph{Wir wissen}
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(1) $\sigma_n \cequiv 2 \times 2$ Matrix, hermitesch, $\inlinematrix{a & b \\ b^* & d}$ (2) mit Eigenwetren $\pm 1$: $\tr \sigma_n = 0$, $\det \sigma_n = 1$
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\begin{equation}
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\rightarrow \sigma_n = \inlinematrix{a & b \\ b^* & -a}
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\end{equation}
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\begin{align}
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\det \sigma_n = -a^2-bb^* &= -1\\
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\rightarrow a^2+bb^* &= 1
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\end{align}
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\paragraph{Ansatz}
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\begin{equation}
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\sigma_n = \inlinematrix{\cos \beta & e^{-i \alpha} \sin \beta \\ e^{i \alpha} \sin \beta & -\cos \beta} \text{ mit } \alpha = \alpha (n), \beta = \beta (n)
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\end{equation}
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\[
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(\alpha (n=z) = 0; \beta (n=z) = 0)
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\]
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\paragraph{Eigenvektoren}
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\begin{equation}
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\sigma_n \underbrace{{\inlinematrix{\cos \frac{\beta}{2} \\ e^{i \alpha} \sin \frac{\beta}{2}}}}_{\equiv \ket{n+}} = +1 \inlinematrix{\cos \frac{\beta}{2} \\ e^{i \alpha} \sin \frac{\beta}{2}} \text{ (Phase ist Konvention)}
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\end{equation}
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\begin{equation}
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\rightarrow \sigma_n \ket{n+} = \ket{n+}
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\end{equation}
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\begin{equation}
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\sigma \inlinematrix{\cos \frac{\beta}{2} \\ e^{-i \alpha} \sin \frac{\beta}{2}} = (-1) \inlinematrix{\cos \frac{\beta}{2} \\ e^{-i \alpha} \sin \frac{\beta}{2}} \equiv (-1) \ket{n-}
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\end{equation}
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\paragraph{Form von $\sigma_x$}
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\begin{equation}
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\ket{x+} = \inlinematrix{\cos \frac{\beta_x}{2} \\ e^{i \alpha_x} \sin \frac{\beta_x}{2}}
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\end{equation}
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\subsection*{Ex. 2a}
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\begin{figure}[H] \centering
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\includegraphics{pdf/I/04-02-00.pdf}
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\end{figure}
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\begin{align}
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\prob{\left. \sigma_x \cequiv +1 \right| \ket{\psi_0} = \ket{z+}} \stackrel{Ex}{=} \frac{1}{2} &=\stackrel{P2b}{=} \abs{\braket{x+}{z+}}^2\\
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&= \abs{(\cos \frac{\beta_x}{2}, e^{-i \alpha_x} \sin \frac{\beta_x}{2}) \inlinematrix{1 \\ 0}}^2\\
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&= \cos^2 \frac{\beta_x}{2}
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\end{align}
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\begin{equation}
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\rightarrow \beta_x = \frac{\pi}{2}
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\end{equation}
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\begin{equation}
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\Rightarrow \sigma_x = \inlinematrix{0 & e^{-i \alpha_x} \\ e^{i \alpha_x} & 0}
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\end{equation}
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\subsection*{Ex. 2b}
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analog zu Ex. 2a:
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\begin{equation}
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\Rightarrow \sigma_y = \inlinematrix{0 & e^{-i \alpha_y} \\ e^{i \alpha_y} & 0}
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\end{equation}
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\subsection*{Ex. 2c}
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\begin{figure}[H] \centering
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\includegraphics{pdf/I/04-02-01.pdf}
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\end{figure}
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\begin{align}
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\prob{\left. \sigma \cequiv +1 \right| \ket{x+}} \stackrel{Ex}{=} \frac{1}{2} &\stackrel{P2b}{=} \abs{\braket{y+}{x+}}^2\\
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&= \abs{(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-i \alpha_y}) \inlinematrix{\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i \alpha_x}}}^2\\
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&= \abs{\frac{1}{2} (1 + e^{i(\alpha_x - \alpha_y)})}^2\\
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&= \frac{1}{4} \abs{1 + \underbrace{e^{i(\alpha_x - \alpha_y)}}_{\stackrel{!}{=}\pm i}}^2
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\end{align}
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\begin{equation}
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\rightarrow \alpha_x - \alpha_y = \pm \frac{\pi}{2}
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\end{equation}
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Konvention: $\alpha_x = 0;$ $\alpha_x = \frac{\pi}{2}$
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\section*{Zusammenfassung}
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% \begin{displaymath}
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% \begin{array}{lllr}
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% \sigma_z = \inlinematrix{1 & 0 \\ 0 & -1} & \ket{z+} = \inlinematrix{1 \\ 0} & \ket{z-} = \inlinematrix{0 \\ 1} & \refstepcounter{equation}(\theequation)\\
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% \sigma_x = \inlinematrix{0 & 1 \\ 1 & 0} & \ket{x+} = \frac{1}{\sqrt{2}}\inlinematrix{1 \\ 1} & \ket{x-} = \frac{1}{\sqrt{2}}\inlinematrix{1 \\ -1}\\
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% \sigma_y = \inlinematrix{0 & -i \\ i & 0} & \ket{y+} = \frac{1}{\sqrt{2}}\inlinematrix{1 \\ i} & \ket{y-}= \frac{1}{\sqrt{2}}\inlinematrix{1 \\ -i}
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% \end{array}
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% \end{displaymath}
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\begin{align}
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\sigma_z &= \inlinematrix{1 & 0 \\ 0 & -1} & \ket{z+} &= \inlinematrix{1 \\ 0} & \ket{z-} &= \inlinematrix{0 \\ 1}\\
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\sigma_x &= \inlinematrix{0 & 1 \\ 1 & 0} & \ket{x+} &= \frac{1}{\sqrt{2}}\inlinematrix{1 \\ 1} & \ket{x-} &= \frac{1}{\sqrt{2}}\inlinematrix{1 \\ -1}\\
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\sigma_y &= \inlinematrix{0 & -i \\ i & 0} & \ket{y+} &= \frac{1}{\sqrt{2}}\inlinematrix{1 \\ i} & \ket{y-} &= \frac{1}{\sqrt{2}}\inlinematrix{1 \\ -i}
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\end{align}
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\section*{Paulimatrizen}
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\begin{equation}
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\sigma_i \sigma_j = \delta_{i,j} + i \sum_k \epsilon_{i,j,k} \sigma_k
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\end{equation}
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\begin{align}
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\rightarrow \sigma_\alpha^2 &= \one\\
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\sigma_x \sigma_y &= i \sigma_z \text{ etc. cyclisch}\\
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\left[ \sigma_i, \sigma_j \right] &= 2i \epsilon_{i,j,k} \sigma_k
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\end{align}
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\section*{Allgemeine Form von $\sigma_n$}
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\begin{figure}[H] \centering
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\includegraphics{pdf/I/04-05-00.pdf}
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\end{figure}
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\begin{equation}
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\vec{n} = \inlinematrix{n_x\\ n_y\\ n_z} = \inlinematrix{\sin \theta \cos \phi\\ \sin \theta \sin \phi\\ \cos \theta}
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\end{equation}\\
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Die Wahrscheinlichkeiten
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\begin{equation}
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\prob{\left. \sigma_z \cequiv +1 \right| \ket{n+}} = p_{z+}(n)
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\end{equation}
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bilden nun die Erwartungswerte:
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\begin{align}
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< \sigma_x >_\ket{n+} &= \dirac{n+}{\sigma_x}{n+} \left(= p_{x+}(n) - p_{x-}(n) \right)\\
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< \sigma_y >_\ket{n+} &= \dirac{n+}{\sigma_y}{n+}\\
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< \sigma_z >_\ket{n+} &= \dirac{n+}{\sigma_z}{n+}
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\end{align}\\
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Fasse die Erwartungswerte zu einem Vektor zusammen:
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\begin{equation}
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< \vec(\sigma) >_\ket{n+} = \inlinematrix{< \sigma_x >\\ < \sigma_y >\\ < \sigma_z >}
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\end{equation}\\
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Es gilt (experimentell oder aus Rotationsinvarianz):
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\begin{equation}
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< \vec{\sigma} >_\ket{n+} = \vec{n}
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\end{equation}\\
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Konkret:
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\begin{align}
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\dirac{n+}{\sigma_x}{n+} &= \left( \cos \frac{\beta}{2}, e^{-i \alpha} \sin \frac{\beta}{2} \right) \inlinematrix{0 & 1 \\ 1 & 0} \inlinematrix{\cos \frac{\beta}{2} \\ e^{i \alpha} \sin \frac{\beta}{2}}\\
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&= \left( e^{i \alpha} + e^{-i \alpha} \right) \sin \frac{\beta}{2} \cos \frac{\beta}{2}\\
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&= 2 \cos \alpha \frac{1}{2} \sin \beta\\
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&= \cos \alpha \sin \beta\\
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&\stackrel{!}{=} \sin \theta \cos \phi\\[15pt]
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\dirac{n+}{\sigma_y}{n+} &= ... = \sin \alpha \sin \beta\\
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&\stackrel{!}{=} \sin \theta \sin \phi\\[15pt]
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\dirac{n+}{\sigma_z}{n+} &= ... = \cos \beta\\
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&\stackrel{!}{=} \cos \theta\\[15pt]
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\rightarrow \beta &= 0\\
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\alpha &= \phi
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\end{align}
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\subsection*{zu Ex 4}
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\begin{figure}[H] \centering
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\includegraphics{pdf/I/04-05-01.pdf}
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\end{figure}
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In den 2. SG,z:
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\begin{align}
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\ket{\psi} &= \left( \ket{x+} \braket{x+}{z+} + \ket{x-} \braket{x-}{z+} \right)\\
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&= \frac{1}{\sqrt{2}} \inlinematrix{1\\ 1} \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \inlinematrix{1\\ -1} \frac{1}{\sqrt{2}}\\
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&= \inlinematrix{1\\ 0}\\
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&= \ket{z+}
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\end{align}
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d.h. bei Nichtmessung (von $\sigma_z$) gilt die Superposition der Zustände mit den Wahrscheinlichkeitsamplituden.
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\section{Quantenkryptographie}
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\paragraph{Ziel} Abhörsichere Versendung von Codes
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\paragraph{Situation} Alice (A) sendet Bob (B) eine Nachricht. Eve (E) versucht heimlich abzuhören ohne dass A und B das merken.
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\paragraph{Vorgehensweise} Bennett-Bassard Protokoll (binär $1,0 \cequiv \ket{+}, \ket{-}$)
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%TODO: darstellung der basiswahl etc.
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\begin{itemize}
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\item A wählt für sich zufällig für jedes Bit eine $x$ oder $z$ Basis.
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\item B wählt eine zufällige Basis und misst.
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\item B sendet A seine Basenwahlsequenz öffentlich.
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\item A identifiziert die Bits (genauer: deren Nummer) bei denen sie beide zufällig dieselbe Basis hatten und sendet B öffentlich die Positionen. Beide streichen die anderen Bits.
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\item B sendet A öffentlich Position und Ergebnis einer Untermenge der verbl. Bits.: $(2 \rightarrow 0)$, $(4 \rightarrow 1)$, $(8 \rightarrow 0)$
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\item Alice überprüft die Resultate
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\begin{itemize}
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\item[Fall 1] $100\%$ übereinstimmung $\Rightarrow$ E war nicht dazwischen
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\item[Fall 2] $25\%$ Fehler: E hat abgehört
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\end{itemize}
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Falls E abhört muss sie für jedes Bit eine Basis wählen, zu $50\%$ wählt sie eine andere Basis als A, zu weiteren $50\%$ misst B dann das falsche Bit.
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\item Die restlichen Bits stehen nun als Verschlüsselung zur Verfügung.
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\end{itemize}
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