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  1. \chapter{Potentialstufen und Potentialtöpfe}
  2. \section{Einschub: Wahrscheinlichkeitsstrom}
  3. \begin{equation}
  4. \rho(x,t) = \psi(x,t) \psi^*(x,t)
  5. \end{equation}
  6. ist die Wahrscheinlichkeit das Teilchen am Ort x zu messen.
  7. \begin{align}
  8. \partial_t \rho(x,t) &= \psi^*(x,t)~\partial_t \psi(x,t) + \psi(x,t)~\partial_t \psi^*(x,t)\\
  9. &= \psi^*(x,t) \left( \frac{1}{i \hbar} \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \partial_x^2 - V(x)\right) \psi(x,t) \right) +
  10. \psi^*(x,t) \left( -\frac{1}{i \hbar} \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \partial_x^2 + V(x)\right) \psi(x,t) \right)\\
  11. &= -\frac{1}{\hbar} \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \psi^*(x,t)~\partial_x^2\psi(x,t) + \frac{\hbar^2}{2m} \psi(x,t)~\partial_x^2\psi^*(x,t) \right)\\
  12. &= \frac{i \hbar}{2m} \partial_x \left( \psi^*~\partial_x \psi - \psi~\partial_x \psi^* \right) \equiv -\partial_x j(x,t)
  13. \end{align}
  14. mit
  15. \begin{equation}
  16. j(x,t) \equiv \frac{\hbar}{m} \im{\psi^*(x,t)~\partial_x \psi(x,t)}
  17. \end{equation}
  18. der Wahscheinlichkeitsstromdichte (``Kontinuitätsgleichung''; gilt für jede Erhaltungsgröße).
  19. \paragraph*{Beispiel: Ebene Welle}
  20. \begin{align}
  21. \psi(x,t) &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} e^{\frac{i p_0}{\hbar}x - \omega t}\\
  22. j(x,t) &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \frac{\hbar}{m} \im{\frac{i p}{\hbar}}%\\
  23. % &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \frac{p}{}
  24. \end{align}
  25. \section{Streuung an der Potentialstufe}
  26. \begin{figure}[H] \centering
  27. \includegraphics{pdf/II/03-02-00.pdf}
  28. \end{figure}
  29. \paragraph*{klassisch}
  30. \subparagraph*{Fall 1} $E > V_0$
  31. \begin{align}
  32. x < 0:~ & p(x < 0) = \sqrt{2m E}\\
  33. x > 0:~ & p(x > 0) = \sqrt{2m (E - V_0)}
  34. \end{align}
  35. Teilchen passiert die Potentialstufe, verliert Impuls
  36. \subparagraph*{Fall 2} $E < V_0$
  37. \begin{equation}
  38. p(x < 0) = \sqrt{2m E}
  39. \end{equation}
  40. Teilchen wird reflektiert
  41. \paragraph*{quantal}
  42. \subparagraph*{Fall 1} $E > 0$\\
  43. stationäre SG:
  44. \begin{equation}
  45. \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \diffPs{x}^2 V(x) \right) \phi(x) = E \phi(x)
  46. \end{equation}
  47. links: $x < 0$
  48. \begin{equation}
  49. \diffPs{x}^2 \phi(x) = -k^2 \phi(x)
  50. \end{equation}
  51. mit
  52. \begin{equation}
  53. k = \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}}
  54. \end{equation}
  55. Lösung:
  56. \begin{equation}
  57. \phi(x) = A e^{i k x} + B e^{-i k x}
  58. \end{equation}
  59. rechts: $x > 0$
  60. \begin{equation}
  61. \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \diffPs{x}^2 + V_0 \right) \phi(x) = E \phi(x)
  62. \end{equation}
  63. Lösung:
  64. \begin{equation}
  65. \phi(x) = C e^{i q x} + D e^{-i q x}
  66. \end{equation}
  67. mit
  68. \begin{equation}
  69. q = \sqrt{\frac{2m (E - V_0)}{\hbar^2}}
  70. \end{equation}
  71. Randbedinung bei $x = 0$
  72. \begin{align}
  73. \phi(-\varepsilon) &= \phi(+\varepsilon)\\
  74. \diffPs{x} \phi(-\varepsilon) &= \diffPs{x} \phi(+\varepsilon)\\
  75. \rightarrow A + B &= C + D\\
  76. i k (A - B) &= i q (C - D)\\[15pt]
  77. \inlinematrix{1 & 1 \\ i k & -i k} \inlinematrix{A \\ B} &= \inlinematrix{1 & 1 \\ i q & -i q} \inlinematrix{C \\ D}\\
  78. \inlinematrix{A \\ B} &= \frac{1}{2k} \inlinematrix{k+q & k-q \\ k-q & k+q} \inlinematrix{C \\ D}
  79. \end{align}
  80. $\rightarrow$ Randbedingung einer von links laufenden Welle\\
  81. $\Rightarrow$ keine Komponente einer von rechts einlaufenden Welle für $x > 0$ erlaubt!\\
  82. $\Rightarrow$ $D \equiv 0$\\
  83. o.B.d.A.: $A = 1$
  84. \begin{align}
  85. A &= \frac{k + q}{2k} C ~ \rightarrow C = \frac{2k}{k+q}\\
  86. B &= \frac{k - q}{2k} C ~ \rightarrow B = \frac{k - q}{k + q}
  87. \end{align}
  88. Strom links: $x < 0$
  89. \begin{align}
  90. j(x < 0) &= \frac{\hbar}{m} \im{\diffPs{x}\phi ~ \phi^*}\\
  91. &= \frac{\hbar}{m} \im{i k \left(A e^{i k x} - B e^{-i k x} \right) \left(A^* e^{- i k x} + B^* e^{i k x}\right)}\\
  92. &= \frac{\hbar}{m} \im{ik \left( A A^* - B B^*\right) + ik \left( A B^* e^{2 i k x} - A^* B e^{-2 i k x} \right)}\\
  93. &= \frac{\hbar}{m} k \left( 1 - \left( \frac{k - q}{k + q} \right)^2 \right) \equiv j_I - j_R
  94. \end{align}
  95. mit
  96. \begin{align}
  97. j_I &= \frac{\hbar k}{m} &\text{einfallend}\\
  98. j_R &= \frac{\hbar}{m} k \left( \frac{k - q}{k + q} \right)^2 \equiv R j_I &\text{reflectiert}
  99. \end{align}
  100. Strom rechts: $x > 0$
  101. \begin{align}
  102. j(x > 0) &= \frac{\hbar}{m} \im{\diffPs{x} \phi(x > 0) \phi(x > 0)}\\
  103. &= \frac{\hbar}{m} q C^2\\
  104. &= \frac{\hbar}{m} q \sbk{\frac{2k}{k + q}}^2\\
  105. &\equiv j_T \equiv T j_I
  106. \end{align}
  107. mit dem Reflexionskoeffizient
  108. \begin{equation}
  109. R \equiv \frac{j_R}{j_I} = \left(\frac{k - q}{k + q}\right)^2
  110. \end{equation}
  111. und dem Transmissionskoeffizient
  112. \begin{equation}
  113. T \equiv \frac{j_T}{j_I} = \frac{q}{k} \left( \frac{2k}{k + q} \right)^2
  114. \end{equation}
  115. für die gilt:
  116. \begin{equation}
  117. \boxed{R + T = 1}
  118. \end{equation}
  119. \begin{figure}[H] \centering
  120. \includegraphics{pdf/II/03-02-01.pdf}
  121. \end{figure}
  122. Zusammenfassung:\\
  123. Auch für $E > V_0$ wird ein Teil reflektiert!
  124. \subparagraph*{Fall 2} $0 < E < V_0$\\
  125. links: wie oben\\[15pt]
  126. rechts:
  127. \begin{align}
  128. \diffPs{x}^2 \phi(x) &= 2m \frac{V_0 - E}{\hbar^2} \phi(x)\\
  129. \phi(x) &= C e^{-\kappa x} + D e^{\kappa x}
  130. \end{align}
  131. mit
  132. \begin{equation}
  133. \kappa \equiv \sqrt{\frac{2m (V_0 - E)}{\hbar^2}}; ~ D \stackrel{!}{=} 0 \text{ (explodiert für } x \rightarrow +\infty \text{)}
  134. \end{equation}
  135. Stetigkeit:
  136. \begin{align}
  137. A + B &= C\\[15pt]
  138. \diffPs{x} \phi(x) \cdot i k (A - B) &= -C \kappa\\[15pt]
  139. A &= 1\\
  140. \rightarrow C &= \frac{2k}{k + i \kappa}\\
  141. B &= \frac{k - i \kappa}{k + i \kappa}
  142. \end{align}
  143. transmittierter Strom:
  144. \begin{align}
  145. j_T = j(x > 0) &= \frac{\hbar}{m} \im{\diffPs{x}\phi(x > 0) ~ \phi^*(x > 0)}\\
  146. &= \frac{\hbar}{m} \im{\frac{(-\kappa) 2 k}{k + i\kappa} \cdot \frac{2k}{k i \kappa} e^{-2 \kappa x}}\\
  147. &=0\\[15pt]
  148. j_R &= j_I
  149. \end{align}
  150. Wellenfunktion für $x > 0$
  151. \begin{align}
  152. \phi(x) &= C e^{-\kappa x}\\[15pt]
  153. \rho(x) &= \abs{\phi(x)}^2 = C C^* e^{-2 \kappa x} \neq 0
  154. \end{align}
  155. \begin{figure}[H] \centering
  156. \includegraphics{pdf/II/03-02-02.pdf}
  157. \caption{das Teilchen dringt in die Potentialstufe ein}
  158. \end{figure}
  159. \section{Potentialtopf}
  160. \begin{figure}[H] \centering
  161. \includegraphics{pdf/II/03-03-00.pdf}
  162. \caption{gebundene Zustände $0 > E > -\abs{V_0}$}
  163. \end{figure}
  164. \paragraph*{symmetrische Lösung}
  165. \begin{align}
  166. \abs{x} < a: ~ \phi(x) &= A \cos(q x)\\
  167. q &= \frac{2m (E + \abs{V_0})}{\hbar^3}\\
  168. \abs{x} > a: ~ \phi(x) &= B e^{-\kappa \abs{x}}\\
  169. \kappa^2 &= \frac{2m}{\hbar^2} \abs{E}
  170. \end{align}
  171. Stetigkeit:
  172. \begin{align}
  173. A \cos(q a) &= B e^{-\kappa a} \label{eqn00}\\
  174. \text{von } \diffPs{x}\phi(0) ~ \rightarrow -A q \sin(q a) &= -\kappa B e^{-\kappa a} \label{eqn01}
  175. \end{align}
  176. teile \ref{eqn01} durch \ref{eqn00}:
  177. \begin{equation}
  178. \tan(q a) = \frac{\kappa}{q} = \frac{\sqrt{\frac{2m a^2 \abs{V_0}}{\hbar^2} - (q a)^2}}{q a}
  179. \end{equation}
  180. \begin{figure}[H] \centering
  181. \includegraphics{pdf/II/03-03-01.pdf}
  182. \end{figure}
  183. \begin{itemize}
  184. \item endlich viele diskrete $q$-Werte d.h. $E$-Werte mit Lösung
  185. \item es gibt mindestens eine Lösung
  186. \end{itemize}
  187. für $\frac{2m a^2 \abs{V_0}}{\hbar^2} < \pi^2$ existiert nur eine Lösung
  188. \subparagraph*{Grundzustand $\phi_0$}
  189. \begin{figure}[H] \centering
  190. \includegraphics{pdf/II/03-03-02.pdf}
  191. \end{figure}
  192. \begin{equation}
  193. \phi_0(x) = \left\lbrace \begin{array}{ll} A \cos(q_0) & \abs{x} < a\\ B e^{-\kappa x} & \abs{x} \geq a \end{array} \right.
  194. \end{equation}
  195. $A$, $B$ über Stetigkeit und Normierung berechnen
  196. \paragraph*{asymmetrische Lösung}
  197. \begin{align}
  198. \abs{x} < a: ~ \phi(x) &= A \sin(q x)\\
  199. \abs{x} > a: ~ \phi(x) &= \sign(x) e^{-\abs{\kappa} x}
  200. \end{align}
  201. wie oben:
  202. \begin{equation}
  203. \tan(q a) = -\frac{q a}{\sqrt{\frac{2 m a^2 \abs{V_0}}{\hbar^2} - q a}}
  204. \end{equation}
  205. gibt es nur falls $\frac{2 m a^2 \abs{V_0}}{\hbar^2} > \frac{\pi^2}{4}$
  206. \subparagraph*{Spektrum}
  207. \begin{figure}[H] \centering
  208. \includegraphics{pdf/II/03-03-03.pdf}
  209. \end{figure}