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\chapter{Notationen}
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\section{Dirac-Notation}
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\chapter{Lineare Algebra}
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\section{Gruppentheorie}
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\subsection{Abbildungen}
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\subsubsection*{Kommutator:}
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\begin{equation} [A,B] = AB - BA \end{equation}
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Der Kommutator von g und h ist genau dann gleich dem neutralen Element, wenn g und h kommutieren. \\
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Sei $a$, $b$ und $c$ Elemente einer assoziativen Algebra und $\lambda$ ein Skalar (Element des Grundkörpers).
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\begin{enumerate}
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\item Alternierend (antisymmetrisch):
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\begin{equation} [a,b]=-[b,a] \end{equation}
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\item Linear:
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\begin{equation} [\lambda a+b,c]=\lambda [a,c] + [b,c] \end{equation}
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\item Jacobi-Identität:
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\begin{equation} [a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0 \end{equation}
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\item Leibnizregel(Produktregel):
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\begin{equation} [a,bc] = [a,b]c+b[a,c] \end{equation}
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\end{enumerate}
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Aufgrund der Eigenschaften 1, 2 und 3 wird jede assoziative Algebra $A$ mit dem Kommutator als Lie-Klammer zu einer Lie-Algebra, die teilweise mit $A^-$ bezeichnet wird. \\
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Eigenschaft 4 bedeutet, daß die Abbildung $b\mapsto [a,b]$ eine Derivation ist.
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\subsubsection*{Levi-Civita-Symbol:}
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\begin{math}
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\varepsilon_{12\dots n} = 1 \\
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\varepsilon_{ij\dots u\dots v\dots} = -\varepsilon_{ij\dots v\dots u\dots}\\
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\varepsilon_{ij\dots u\dots u\dots} = 0 \\
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\levicivita{i,j,k} =
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\begin{cases}
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+1, & \mbox{falls }(i,j,k,\dots) \mbox{ eine gerade Permutation von } (1,2,3,\dots) \mbox{ ist,} \\
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-1, & \mbox{falls }(i,j,k,\dots) \mbox{ eine ungerade Permutation von } (1,2,3,\dots) \mbox{ ist,} \\
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0, & \mbox{wenn mindestens zwei Indizes gleich sind.}
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\end{cases} \\
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(\vec{a} \times \vec{b})_i = \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \levicivita{ijk} a_j b_k \\
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\vec{a} \times \vec{b} = \levicivita{ijk} a_j b_k \vec{e_i} = \levicivita{ijk} a_i b_j \vec{e_k} \\
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\det A = \levicivita{i_1 i_2 \dots i_n} A_{1i_1} A_{2i_2} \dots A_{ni_n}
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\end{math}
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\subsubsection*{Kronecker-Delta}
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$\krondelta{i,j}= \begin{cases} 1 & \mbox{falls } i=j \\ 0 & \mbox{falls } i \neq j \end{cases}$ \\
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Die $n\times n$-Einheitsmatrix kann als $(\krondelta{ij})_{i,j\in\{1,\ldots,n\}}$ geschrieben werden.
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\subsubsection*{Reihenentwicklungen}
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\begin{align}
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exp(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} {\frac{x^n}{n!}} \\
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sin (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
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cos (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}
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\end{align}
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\section{\hypertarget{trans_ft}{Fourier-Transformation}}
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\subsection*{Fourier-Reihe}
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\subsubsection*{Definitionen:}
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\subsubsection*{Eigenschaften:}
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\subsection*{Fourier-Reihe (kontinuierlich):}
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\subsubsection*{Definitionen:}
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\subsubsection*{Eigenschaften:}
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\subsection*{kontinuierliche Fourier-Transformation:}
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Die kontinuierliche Fourier-Transformation ist eine Form der Fourier-Transformation, die es erlaubt, kontinuierliche, aperiodische Vorgänge in ein kontinuierliches Spektrum zu zerlegen.
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Oft wird diese Transformation auch einfach als Fourier-Transformation bezeichnet.
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\subsubsection*{Definition:}
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\begin{equation}
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\mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \integrinf{f(t) e^{-\i \omega t}}{t}
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\end{equation}
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Rücktransformation (Fouriersynthese)
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\begin{equation}
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\mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\} = f(t)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \integrinf{F(\omega) e^{\i \omega t}}{\omega}
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\end{equation}
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Hierbei ist $F(\omega)$ das kontinuierliche Spektrum, das die Amplitude jeder Frequenz $\omega$ aus den reelle Zahlen angibt.
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\subsubsection*{Eigenschaften:}
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\section{Lineare Algebra}
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\subsection{Operatoren}
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\subsubsection*{hermitesche Operatoren}
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\subsubsection*{unitäre Operatoren}
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\subsection*{Matrizen-Operationen}
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\subsubsection*{Spur}
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\subsubsection*{Determinatante}
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\subsubsection*{\hypertarget{fs_linalg_mtrx_inv}{Inversion}}
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\begin{math}
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A^{-1} = \inlinematrix{a & b \\ c & d}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \inlinematrix{d & -b \\ -c & a}
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\end{math}
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