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Vorlesung 3.11.

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Stefan Bühler 10 years ago
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@@ -131,7 +131,6 @@ Beachte: Sei $N \leq G$. Dann ist $N \trianglelefteq G \Leftrightarrow c_g(N) =
\begin{definition}
Sei $H < G$. Dann ist $H$ charakteristisch in $G$, falls $\varphi(H) = H \forall \varphi \in Aut(G)$.\\
Klar: $H$ char. in $G \Rightarrow H \trianglelefteq G$. \\
Und: $H \mathop{\leq}\limits_\text{char.} N \mathop{\leq}\limits_\text{char.} G \Rightarrow H \mathop{\leq}\limits_\text{char.} G$
\end{definition}

Beispiel: \\
@@ -139,5 +138,244 @@ $Z(G)$ ist char. in $G$: \\
$\forall z \in Z(G), g \in G: \varphi(g)\varphi(z) = \varphi(gz) = \varphi(zg) = \varphi(z)\varphi(g) $ \\
$\Rightarrow \varphi(z)G = G \varphi(z) $ \\
$\Rightarrow \varphi(z) \in Z(G)$
\ \\

\begin{satz} % 1.2.3
% Und: $H \mathop{\leq}\limits_\text{char.} N \mathop{\leq}\limits_\text{char.} G \Rightarrow H \mathop{\leq}\limits_\text{char.} G$
Seien $K \leq H \leq G$, $K$ charakteristisch in $H$, $H$ char. in $G$. Dann ist
$K$ char. in $G$.
\end{satz}

\begin{bew} % 1.2.4
Sei $\varphi \in \Aut(G)$. Zu zeigen: $\varphi(K) = K$. \\
$\varphi \in \Aut(G) \Rightarrow_{\text{H char. in G}} \varphi(H)( = H \Rightarrow_{\mid_H} \in \Aut(H) \Rightarrow \varphi(K) = \varphi_{\mid_K} = K$, da $K$ char. in $H$ ist.
Also ist $K$ char. in $G$.
\end{bew}

\begin{bem}
Sei $S \subseteq G$ mit $S^{-1} = S$ und $\varphi(S) = \set{\varphi(s) \mid s \in S} = S$ für alle $\varphi in \Aut(G)$ ($\Inn(G)$). Dann ist $<S> \leq G$ char. (normal) in $G$.
\end{bem}


\begin{definition}
Sei $G$ Gruppe, $a, b \in G$. Dann ist $[a,b] = aba^{-1}b^{-1}$ der Kommutator von $a$ und $b$ ($[a,b]ba = aba^{-1}b^{-1}ba = ab$). \\
Die Untergruppe $G' := < [a,b] \mid a, b \in G > \leq G$ heißt Kommutatoruntergruppe von $G$.
\end{definition}

\begin{satz} % 1.2.5
Sei $G$ Gruppe. Dann ist $G'$ char. in $G$ (weil $\varphi[a,b] = [\varphi[a], \varphi[b]] \forall \varphi \in \Aut(G)$ ebenfalls Kommutator ist, und $[a,b]^{-1} = [b, a]$). \\
$G'$ ist der kleinste Normalteiler von $G$, so dass $G / G'$ abelsch ist (d.h. ist $N \trianglelefteq G, G/N$ abelsch $\Rightarrow N \supseteq G'$).
\end{satz}

\begin{bew}
Siehe Algebra. ($\pi: G \rightarrow G/N: g \mapsto gN, \pi[a,b] = [\pi(a), \pi(b)] = \ldots d G/N = N$),
\end{bew}

\begin{definition}
Seien $N, H \leq G, N \trianglelefteq G, G = NH = HN, H \cap N = \set{1}$. dann heißt $G$ (internes) semidirektes Produkt von $N$ mit $H$. Wir schreiben $G = N \rtimes H$.
\end{definition}

Beobachtungen: % 1.2.6
\begin{enumerate}[a)]
\item $ G/N = NH / N \cong H /_{N \cap H} \cong H$. Also ist $G/N \cong H$. Daher ist $\abs{G} = \abs{N}\abs{G/N} = \abs{N} abs{H} = \abs{N \times H} $
\item $G = N \cdot H \Rightarrow \forall x \in G \exists n \in N \exists h \in H: x = n \cdot h $. Diese Darstellung ist eindeutig: denn seien $n_1,n_2 \in N, h_1,h_2 \in H$ und sei $n_1 h_1 = n_2 h_2$,
so folgt $n_2^{-1} n_1 = h_2 h_1^{-1} \in N \cap H \Rightarrow n_2^{-1} n_1 = h_2 h_1^{-1} = 1 \Rightarrow n_1 = n_2, h_1 = h_2 $
\item Allgemein gilt: $H, N \trianglelefteq G, H \cap N = \set{1} \Rightarrow hn = nh \forall n \in N, h \in H$, denn seien
$h \in H, n \in N \Rightarrow [n, h] = nhn^{-1}h^{-1} = \mathop{(nhn^{-1})}\limits_{\in H \trianglelefteq G}h^{-1} \in H \cap N = \set{1} $ (die Klammerung analog für $N$) \\
Daher: Ist $G = N \rtimes H$ und zusätzlich $H \trianglelefteq G \Rightarrow G = H \times N$ (da $n_1 h_1 n_2 h_2 = n_1 n_2 h_1 h_2$)
\item $G = N \rtimes H, x = n_1 h_1, y = n_2 h_2 \in G \Rightarrow x \cdot y = n_1 h_1 n_2 h_2 = n_1 \mathop{(h_1 n_2 h_1^{-1})}\limits_{\in N \trianglelefteq G} h_1 h_2 = (n_1 \lsup{h_1}n_2) (h_1 h_2) = n' h' $ die eindeutige Darstellung vom Produkt $ x \cdot y $ als Produkt eines Elementes aus $N$ mit einem Element aus $H$. \\
Die Abb. $\varphi: H \rightarrow \Aut(N): h \mapsto \varphi(h) = \lambda n . \lsup{h}{n} = \varphi_n = {c_n}_{\mid_N} \in \Aut(N)$ ist Gruppenhomomorphismus. \\
\item Multiplikation in $G$ wird vollständig auf die Multiplikation in $N$ und Multiplikation in $H$ und auf $\varphi$ zurückgeführt: $n_1 h_1 n_2 h_2 = n_1 \varphi_{h_1}(n_2) h_1 h_2 $
\item Ist $\varphi: H \rightarrow \Aut(N)$ der triviale Homomorphismus, so ist $\varphi_n = {c_n}_{\mid_N} = id_N$ für alle $h \in H$, d.h. $\varphi_h(n) = h n h^{-1} = n \Leftrightarrow hn = nh$. Dann ist $H \trianglelefteq G und G \cong H \times N$. \\
Daher: Ist $\varphi : H \rightarrow \Aut(N)$ \underline{nicht} tirivial, so kann $G$ nicht abelsch sein. ($\varphi(h) = \varphi_h \neq id_N, h\in H, \Rightarrow n \in N: \varphi_h(n) = hnh^{-1} \neq n \Rightarrow hn \neq hn$)
\end{enumerate}

\begin{definition}
Seien $H, N$ Gruppen, und sei $\varphi: H \rightarrow \Aut(N): j \mapsto \varphi(h) = \varphi_h \in \Aut(N) $ ein Homomorphismus. \\
Wir definieren das (äußere) semidirekte Produkt $G = N \rtimes H$ wie folgt: \\
Als \underline{Menge} ist $G$ einfach das kartesische Produkt $N \times H$. \\
Sei $n_1,n_2 \in N, h_1, h_2 \in H:$ \\
$(n_1, h_1) \cdot (n_2, h_2) := (n_1 \cdot \varphi_{h_1}(n_2), h_1 \cdot h_2)$ \\
\end{definition}

\begin{satz} % 1.2.7
Mit obiger Multiplikation wird $G = N \times H$ zur Gruppe $N \rtimes H$ mit Einselement $1_G = (1_N, 1_H)$ und Inverser $(n, h)^{-1} = (\varphi_{h^{-1}}(n^{-1}), h^{-1})$ \\
Seien $\tilde{N} = N \times \set{1_H} \subseteq N \times H $ und $\tilde{H} = \set{1_N} \times H \subseteq N \times H$. \\
Dann ist $\tilde{N} \trianglelefteq G, H \leq G, \tilde{N} \cong N, \tilde{H} \cong H$ und $G = \tilde{N} \rtimes \tilde{H}$ (intern).
Für $\tilde{h} = (1_N, h) \in \tilde{H}, \tilde{n} = (n, 1_H) \in \tilde{N}, h \in H, n \in N$ ist $\tilde{h}^{-1} \tilde{n} \tilde{h} = (\varphi_h(n), 1_H)$, d.h. ${c_{\tilde{n}^{-1}}}_{\mid_{\tilde{N}}} \leftrightarrow \varphi_h \in \Aut(N)$
\end{satz}

\begin{bew}
Übung.
\end{bew}

\begin{bem}
Sind $\varphi, \psi$ verschiedene Homomorphismen von $H \rightarrow \Aut(N)$, so können $N \rtimes_\varphi H, N \rtimes_\psi H$ isomorph oder nicht isomorph sein.
\end{bem}

\begin{bsp}
$C_n (\cong (\Z /_{n\Z}, +)) = N, H = C_2 = \set{1, h}$ \\
$\varphi: H \in \Aut(C_n)$ durch $\varphi(1) = id_{C_n}, \varphi_h(x) = x^{-1} $ \\
Die Gruppe $D_{2n} := C_n \rtimes_\varphi C_2$ heißt \underline{Diedergruppe} der Ordnung $2n$. \\
$D_{2n}$ ist die Gruppe der Symmetrien eines regelmäßigen $n$-Ecks; $C_n \trianglelefteq D_{2n}$ ist die Gruppe der Rotationen, $C_2 = D_{2n} /_{C_n}$ sind die Spiegelungen. \\
$D_{2n} = < x, y \mid x^n = y^2 = 1, yxy = x^{-1} >$
\end{bsp}

\chapter{Operationen von Gruppen auf Mengen}

Im folgenden sei: $G = $ Gruppe, $X = $ Menge, $\sigma_X = \set{ f : X \rightarrow X \mid f \text{bij. Abb.}} = $ "`symmetrische Gruppe auf X"'.

\begin{definition}
Eine (Links-)Operation von $G$ auf $X$ ist eine (externe) Verknüpfung
$$G \times X \rightarrow X: (g,x) \mapsto gx$$
so dass gilt:
\begin{enumerate}[i)]
\item $1_G \cdot x = x \forall x \in X$
\item $(gh) \cdot x = g \cdot (h \cdot x)$
\end{enumerate}
Wir sagen: "`$G$ operiert auf $X$"' (durch Permutationen) oder kurz: "`$X$ ist $G$-Menge"'. (Analog: Rechtsoperation: $X \times G \rightarrow X$)
\end{definition}

\begin{bem}
Ist $X$ $G$-Menge, $\sigma_X$ = symmetrischeGrupe auf $X$, so wird durch $\lambda: G \rightarrow \sigma_X: g \mapsto \lambda_g \in \sigma_X$ ein Gruppenhomomorphismus
$\lambda$ definiert, wobei $\lambda_g: X \rightarrow X: x \mapsto g \cdot x$; denn: \\
Sei $g \in G: \lambda_g \lambda_{g^{-1}} : x \mapsto g (g^{-1} x) = (g g^{-1}) x = 1_G x = x \forall x \in X$, also ist $\lambda_g$ bijektiv und $\in \sigma_X$. \\
Seien $g, h \in G \Rightarrow \lambda_g \circ \lambda_h (x) = \lambda_g (\lambda_h(x)) = g \cdot (h \cdot x) = (g \cdot h) \cdot x = \lambda_{gh}(x) \forall x \in X \Rightarrow \lambda_g \lambda_h = \lambda_{gh}$, d.h. $\lambda$ ist Homomorphismus. \\
\underline{Umgekehrt:} Sei $\varphi: G \rightarrow \sigma_X$ homomorph. Dann wird durch $g \cdot x := (\varphi(g))(x)$ eine Operation von $G$ auf $X$ definiert, mit $\lambda = \varphi$ (Beweis: Übung). \\
$\lambda$ heißt "`die zur $G$-Menge $X$ gehörende \underline{Darstellung} von $G$"'. \\
\underline{Also:} Das Konzept der $G$-Mengen $X$ ist äquivalent zum Konzept der Homomorphismen $G \rightarrow \sigma_X$. \\
(Im Falle der Rechtsoperation: Entweder op $\sigma_X$ auch von rechts, oder die zug. Darst. $\rho: G \rightarrow \sigma_X$ ist ein Antihomomorphismus)
\end{bem}

{\it Beispiele:} (Running Gag) % 1.3.1
\begin{enumerate}[1.)]
\item $\sigma_X$ operiert auf $X$ mit Darstellung $id_{\sigma_X} : \sigma_X \rightarrow \sigma_X: \pi \mapsto \pi \in \sigma_X, \pi x = \pi(x) \forall x \in X$
\item $G$ operiert auf der Menge $G$ durch Linkstranslation $ g \cdot h = g h$. \\
\underline{Darstellung:} $\lambda G \rightarrow \sigma_G: g \mapsto \lambda_g; \lambda_g: h \mapsto gh \forall h \in G$ \\
($\abs{\sigma_G} = \abs{G} !$)
\item $G$ operiert auf $G$ durch Konjugation: \\
$$ g \cdot h = \lsup{g}{h} = g h g^{-1} [ = c_g(h) ] $$
\item Sei $H \leq G$, $G = \bigcup\limits^{.}_{i \in I} g_i H$ \\
Wir definieren eine Operation von $G$ auf der \underline{Menge} $G / H$ der Nebenklassen von $H$ in $G$ durch: $g (g_i H) = g_j H$ (bzw. auf $I: g \dot i = j$) \\
(Linkstranslation auf $G/H$, Rechtsnebenklassen $H \without G$ durch Rechtstranslation) \\
Spezialfall: $H = (I) \Rightarrow $ Operation von $G$ auf $G / H = G / (I) = G$ aus 2.)
\end{enumerate}

4.) ist die Mutter aller $G$-Operationen auf Mengen.
\begin{definition}
Eine Operation von $G$ auf $X$ heißt \underline{treu}, falls gilt: Ist $gx = x \forall x \in X \Rightarrow g = 1$.
Offensichtlich heißt dies für die zugehörige Darstellung $\varphi: G \rightarrow \sigma_X$, dass $\varphi$ injektiv ist;
denn $gx = x \forall x \in X \Leftrightarrow (\varphi(g))(x) = x \forall x \in X \Leftrightarrow \varphi(g) = id_X \Leftrightarrow g \in \ker \varphi$ \\
So: $\ker \varphi = \set{g \in G \mid gx = x \forall x \in X }.$
\end{definition}

{\it Beispiele:} % aus 1.3.1
1.), 2.) treu, da $g \cdot h = h \forall h \in G \Leftrightarrow g = 1$ \\
3.) (i.A.) nicht treu. Genauer: $\ker \varphi = \ker c_? = \set{g \in G \mid c_g = id_G } = \set{g \in G \mid c_g(h) = h \forall h \in G } = \set{g \in G \mid g hg^{-1} = h \forall h \in G} = Z(G)$ Zentrum von $G$.

\underline{Klar:} $X$ treue $G$-Menge, so enthält $\sigma_X$ durch die zugehörige Darstellung $\varphi: G \rightarrow \sigma_X$ eine zu $G$ isomorphe Untergruppe.

\begin{definition}
Seien $X, Y$ $G$-Mengen. Eine Abbildung $\varphi: X \rightarrow Y$ heißt $G$-Homomorphismus (auch $G$-equivariant) falls gilt: \\
$\forall x \in X, g \in G: \varphi(g, x) = g \varphi(x)$ \\
\underline{Wie üblich}: Epi-, Mono- und Isomorphismen. \\
Komposition (und Inversen falls bijektiv) sind wieder Homomorphismen. \\
Isosätze etc. \\
Also: Kategorie der $G$-Mengen.
\end{definition}

\underline{Übersetzung für Darstellungen}:\\
Seien $\varphi: G \rightarrow \sigma_X, \psi: G \rightarrow \sigma_Y$ ($X, Y$ Mengen) Darstellungen. \\
Ein Morphismus von $\varphi$ nach $\psi$ ist eine Mengenabbildung $f: X \rightarrow Y$, so dass $\forall g \in G$ das folgende Diagramm kommutiert:
\begin{diagram}
X & \rTo^{f} & Y \\
\dTo^{\varphi(g)} & & \dTo_{\psi(g)} \\
X & \rTo^{f} & Y
\end{diagram}

d.h. $f \circ \varphi(g) = \psi(g) \circ f \Leftrightarrow \psi(g) \circ f \circ \varphi(g)^{-1} = f \forall g \in G$

Dies macht die Klasse der (Permutations-) Darstellungen zu einer Kategorie. Diese ist isomoprh zur Kategorie der $G$-Mengen (Beweis: Übung).

\underline{Ziel:} Klassifikation von $G$-Mengen.

\begin{definition}
$X, Y$ $G-$ Mengen:
\begin{enumerate}[a)]
\item Die disjunkte Vereinigung $X \mathop{\cup}\limits^{\cdot} Y$ wird zur $G$-Menge durch $g \cdot z = \left\{ \matr{gx & \text{für } z = x \in X \\ gy & \text{für } z = y \in Y} \right. $ \\
("`direkte Summe"', "`Koprodukt"' in Kategorie der $G$-Mengen)
\item Das kartesische Produkt $X \times Y$ wird zu $G$-Menge durch $g \cdot (x,y) = (gx, gy) \forall x \in X, y \in Y, g \in G$
\item $\sigma_X$ wird $G$-Menge durch $gZ = \set{gz \mid z \in Z}$ für $Z \subseteq X$
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition} % 1.3.3
Sei $X$ eine $G$-Menge, $x \in X$. Die \underline{Bahn} (Orbit) $Gx (\lsup{G}x)$ ist $\set{gx \mid g \in G} \subseteq X$, und der Stabilisator $Stab_G(x)$ in $G$ von $x$ ist $\set{g \in G \mid gx = x} \subseteq G$. \\
Für $S \subseteq G$ ist der $Stab_G(X) = \set{g \in G \mid gs \in S \forall s \in S }$ \\
Der \underline{Punktstabilisator} von $S$ in $G$ ist $PStab_G(S) = \set{g \ in G | gs = s \forall s \in S} = \bigcap\limits_{s \in S} Stab_G(s)$ \\
\underline{Klar:}
\begin{enumerate}
\item $Stab_G(x), Stab_G(S), PStab_G(S)$ sind Untergruppen von $G$.
\item Die Einschränkung von der $G$-Operation auf die Bahn $Gx$ macht die Bahn $Gx$ von $x$ zur $G$-Menge. \\
Wir definieren eine Äquivalenzrelation $\sim_G$ auf $X$ durch $x \sim_G y \Leftrightarrow \exists g \in G: y = gx$ \\
Die Äquivalenzklasse von $x \in X$ ist die Bahn $Gx$. \\
Konsequenz: $X$ ist die direkte Summe der Bahnen von $G$ auf $X$.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}
$G$ operiert (einfach) \underline{transitiv} auf $X$, falls nur eine Bahn existiert, d.h. $\forall x, y \in X: \exists g \in G: x = g y$.
\end{definition}

{\it Beispiele:} von 1.3.1
\begin{enumerate}[A)]
\item Bahnen:
\begin{enumerate}[1.)]
\item $G$ ist die einzige Bahn.
\item $\forall h_1, h_2 \in G \exists g \in G: h_2 = g h_1: g := h_2 h_1^{-1}$, also: $G$ ist die einzige Bahn.
\item $g \sim_G h \Leftrightarrow \exists x in G: h = x g x^{-1} \Leftrightarrow g$ und $h$ sind konjugiert $\Leftrightarrow$ Bahnen sind Konjugationsklassen.
\item Eine Bahn. $g,h \in G \Rightarrow \exists x \in G: h = xg \Rightarrow hH = xgH$
\end{enumerate}
\item Stabilisatoren:
\begin{enumerate}[1.)]
\item $x \in X: Stab_{\sigma_X}(x) = \set{ \pi \in \sigma_X \mid \pi(x) = x } = \sigma_{X \without \set{x}}$, z.Bsp. $Stab_{\sigma_n}(n) = \sigma_{n-1}$ \\
$Stab_{\sigma_n}(\set{1, \ldots, i}) = \set{ \pi \in \sigma_n | 1 \leq \pi(j) \leq i \forall 1 \leq j \leq i } = \sigma_{\set{1, \ldots, i}} \times \sigma_{\set{i+1, \ldots, n}}$
\item $h \in G: Stab_G(h) = \set{g \in G \mid gh = h} = \set{ 1 }$
\item $h \in G: Stab_G(h) = \set{g \in G \mid \lsup{g}{h} = h} = \set{g \in G \mid ghg^{-1} = h} = \set{g \in G \mid gh = hg } = $ Zentralisator von $h$ in $G$.
\item Spezialfall $Stab_G(1 \cdot H) = \set{ g \in G \mid gH = H} = H$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{lemma}
Sei $X$ $G$-Menge, $x \in X, g \in G$: Dann ist $Stab_G(gx) = g \cdot Stab_G(x() \cdot g^{-1}$ ("`konjugierte Untergruppe"')
\end{lemma}
\begin{bew}
"`$\supseteq$"' Sei $h = gfg^{-1} \in $ rechte Seite $\Rightarrow h(gx) = gfg^{-1}gx = gfx = gx \Rightarrow h \in $ linke Seite.
"`$\subseteq$"' Sei $h \in Stab_G(gx)$, d.h. $h(gx) = gx \Rightarrow g^{-1}hgx = x \Rightarrow g^{-1} h x = f \in Stab_G(x) \Rightarrow h = g f g^{-1} \in g Stab_G(x) g^{-1}$
\end{bew}

{\it Beispiele:} von 1.3.1, Stabilisator für 4.): \\
$ Stab_G(xH) = x H x^{-1} $

Neues Beispiel für 1.3.1:
\begin{enumerate}
\item[5.)] Sei $X = \set{H \leq G}$. Dann operiert $G$ auf $X$ durch Konjugation $lsup{g}{H} = g H g^{-1}$ \\
$Stab_G(H) = \set{g \in G \mid g H g^{-1} = H } = N_G(H)$ der \underline{Normalisator} von $H$ in $G$ (die größte Untergruppe von $G$ in der $H$ normal ist, $H \trianglelefteq N_G(H) \leq G$)
\end{enumerate}

\begin{bem}
Bahnen sind in 5.) Konjugationsklassen von Untergruppen. \\
Beachte: $\abs{c_g(H)} = \abs{gHg^{-1}} = \abs{H}$
\end{bem}

\begin{satz} % 1.3.5
Jede $G$-Menge ist (eindeutig) disjunkte Vereinigung (direkte Summe) von transitiven $G$-Mengen, nämlich der Bahnen von $G$ auf der Menge.
\end{satz}

\begin{satz} % 1.3.6
Sei $X$ transitive $G$-Menge und $x \in X, H = Stab_G(x)$. Dann ist $X \cong G / H$ aus 1.3.1 Beispiel 4.)
\end{satz}



\end{document}

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