Man kann das freie Produkt $G \ast H$ über den Gruppen G und H als Wörter über dem Alphabet $G \cup H$ definieren. \\
Das freie Produkt hat folgende universelle Eigenschaft: \\
Sei $\varphi: G \times H \to A$, $G, H, A$ Gruppen, $\varphi_{\mid G \times\set{1_H}}$ und $\varphi_{\mid\set{1_G}\times H}$ jeweils ein Gruppenhomomorphismus, $i: (g,h)\mapsto gh$: \\
Sei $\varphi: G \times H \to A$, $G, H, A$ Gruppen, $\varphi_{\mid_{G \times\set{1_H}}}$ und $\varphi_{\mid_{\set{1_G}\times H}}$ jeweils ein Gruppenhomomorphismus, $i: (g,h)\mapsto gh$: \\
\item Die endlichen einfachenGruppen sind (durchweg?) von 2 Elementen erzeugt.
\item Sei $G$ Gruppe. Wähle $X = G$, nach universeller Eigenschat $\exists!$ Epimorphismus $\F G \twoheadrightarrow G$ mit Kern $N \Rightarrow G =\F G / N$
\end{enumerate}
~
\begin{definition}
Seien $G, H$ Gruppen. Das direkte Produkt $G \times H$ ist das kartesische Produkt mit komponentenweiser Multiplikation.
Seien $G, H$ Gruppen. Das direkte Produkt $G \times H$ ist das kartesische Produkt mit komponentenweiser Multiplikation. \\
$ G \cong\tilde{G} := G \times\set{1_H}\trianglelefteq G \times H \trianglerighteq\set{1_G}\times H =: \tilde{H}\cong H $\\
$ forall g \in\tilde{G}, h \in\tilde{H}: gh = hg \Rightarrow\tilde{G}\tilde{H}=\tilde{H}\tilde{G}= G \times H, \tilde{G}\cap\tilde{H}=\set{1_{G \times HJ}}$\\
$\Rightarrow$ Wir müssen nicht zwischen exterem und internem Produkt unterscheiden. \\
$\abs{G \times H}=\abs{G}\abs{H}$
\end{definition}
Betrachte $H, N \leq G, N \trianglelefteq G \Rightarrow HN = NH, HN \leq G$\\
Sei zusätzlich $HN = G, H \cap N =\set{1}$\\
Sei $n \in N$. Wegen $nHn^{-1}= H$ ist $c_n: H \rightarrow H: h \mapsto\lsup n h = n h n^{-1}$ ein Automorphismus von $H$. \\
$n \mapsto c_n$ ist Gruppenhomomorphismus $N \rightarrow\Aut(H)$.
~
\begin{satz}
Sei $g \in G, c_g: G \rightarrow G: h \mapsto\lsup g h$ Automorphismus von G. Die Menge $\Inn(G) :=\set{ c_g \mid g \in G}\subseteq\Aut(G)$ ist Normalteiler von $\Aut(G)$. \\
$\Out(G) :=\Aut(G)/\Inn(G)$ (Gruppe der äußeren Automorphismen von G) \\
Die Abbildung $c: G \rightarrow Aut(G): g \mapsto c_g$ ist Gruppenhomomorphismus mit Bild $\Inn(G)$ (klar) und $\ker c = Z(G) :=\set{g \in G \mid gh = hg \forall h \in G}$\\
Also ist $G / Z(G)\cong\Inn(G)$
\end{satz}
\begin{bew}
Sei $g, h_1, h_2\in G$\\
$c_g(h_1 h_2)= g h_1 h_2 g^{-1}= g h_1 g^{-1} g h_2 g^{-1}= c_g(h_1) c_g(h_2)$\\
$c_{g^{-1}}\circ c_g (h)= g^{-1} g h g^{-1} g =1 h 1^{-1}= c_1(h)= id_H $\\
Also ist $c_g$ bijektiv und daher Automorphismus von $G$.
$c: g \rightarrow\Aut(G)$ ist Homomorphismus: \\
$c_{g_1}\circ c_{g_2}(h)= g_1 g_2 h g_2^{-1} g_1^{-1}= g_1 g_2 h (g_1 g_2)^{-1}= c_{g_1 g_2}(h)$\\
\begin{align*}
c_g = id_G &\Leftrightarrow c_g(h) = h \forall h \\
&\Leftrightarrow g h g^{-1} = h \forall h \\
&\Leftrightarrow g h = h g \forall h \\
&\Leftrightarrow g \in Z(G) \\
&\Rightarrow\ker c = Z(G)
\end{align*}
Da $\im c =\Inn(G)$ ist $\Inn(G)\leq\Aut(G)$. \\
Sei $\varphi\in\Aut(G), g \in G$: Zu zeigen: $\varphi\Inn(G)\varphi^{-1}=\Inn(G)\Leftrightarrow\varphi c_g \varphi^{-1}\in\Inn(G)\forall g, \varphi$\\
$(\varphi c_g \varphi^{-1})(h)=\varphi(g \varphi^{-1}(h) g^{-1})=\varphi(g) h \varphi^{-1}(g)=\varphi(g) h \varphi(g)^{-1}= c_{\varphi(g)}(h)\forall h \in G$\\