Vorlesung 27.10.2009 fertig

skript.tex

@@ -48,7 +48,7 @@ X & \rInto^{i}         & \F X \\
 \begin{definition}
 Man kann das freie Produkt $G \ast H$ über den Gruppen G und H als Wörter über dem Alphabet $G \cup H$ definieren. \\
 Das freie Produkt hat folgende universelle Eigenschaft: \\
-Sei $\varphi: G \times H \to A$, $G, H, A$ Gruppen, $\varphi_{\mid G \times \set{1_H}}$ und $\varphi_{\mid \set{1_G} \times H}$ jeweils ein Gruppenhomomorphismus, $i: (g,h) \mapsto gh$: \\
+Sei $\varphi: G \times H \to A$, $G, H, A$ Gruppen, $\varphi_{\mid_{G \times \set{1_H}}}$ und $\varphi_{\mid_{\set{1_G} \times H}}$ jeweils ein Gruppenhomomorphismus, $i: (g,h) \mapsto gh$: \\
 \parbox{5cm}{
 \begin{diagram}
 G \times H & \rInto^{i}         & G \ast H \\
@@ -79,11 +79,65 @@ $ \mathop{\Longrightarrow}{\text{1. Iso Satz}} \exists \text{ Epimorphismus } \F
  \item Die endlichen einfachenGruppen sind (durchweg?) von 2 Elementen erzeugt.
  \item Sei $G$ Gruppe. Wähle $X = G$, nach universeller Eigenschat $\exists !$ Epimorphismus $\F G \twoheadrightarrow G$ mit Kern $N \Rightarrow G = \F G / N$
 \end{enumerate}
+~
 
 \begin{definition}
-Seien $G, H$ Gruppen. Das direkte Produkt $G \times H$ ist das kartesische Produkt mit komponentenweiser Multiplikation.
+Seien $G, H$ Gruppen. Das direkte Produkt $G \times H$ ist das kartesische Produkt mit komponentenweiser Multiplikation. \\
+$ G \cong \tilde{G} := G \times \set{1_H} \trianglelefteq G \times H \trianglerighteq \set{1_G} \times H =: \tilde{H} \cong H $ \\
+$ forall g \in \tilde{G}, h \in \tilde{H}: gh = hg \Rightarrow \tilde{G}\tilde{H} = \tilde{H}\tilde{G} = G \times H, \tilde{G} \cap \tilde{H} = \set{1_{G \times HJ}} $ \\
+$ \Rightarrow $ Wir müssen nicht zwischen exterem und internem Produkt unterscheiden. \\
+$ \abs{G \times H} = \abs{G} \abs{H} $
 \end{definition}
 
+Betrachte $H, N \leq G, N \trianglelefteq G \Rightarrow HN = NH, HN \leq G$ \\
+Sei zusätzlich $HN = G, H \cap N = \set{1}$ \\
+Sei $n \in N$. Wegen $nHn^{-1} = H$ ist $c_n: H \rightarrow H: h \mapsto \lsup n h = n h n^{-1}$ ein Automorphismus von $H$. \\
+$n \mapsto c_n$ ist Gruppenhomomorphismus $N \rightarrow \Aut(H)$.
+~
 
+\begin{satz}
+Sei $g \in G, c_g: G \rightarrow G: h \mapsto \lsup g h$ Automorphismus von G. Die Menge $\Inn(G) := \set{ c_g \mid g \in G} \subseteq \Aut(G) $ ist Normalteiler von $\Aut(G)$. \\
+$\Out(G) := \Aut(G) / \Inn(G)$ (Gruppe der äußeren Automorphismen von G) \\
+Die Abbildung $c: G \rightarrow Aut(G): g \mapsto c_g$ ist Gruppenhomomorphismus mit Bild $\Inn(G)$ (klar) und $\ker c = Z(G) := \set{g \in G \mid gh = hg \forall h \in G} $ \\
+Also ist $G / Z(G) \cong \Inn(G)$
+\end{satz}
+
+\begin{bew}
+Sei $g, h_1, h_2 \in G$ \\
+$c_g(h_1 h_2) = g h_1 h_2 g^{-1} = g h_1 g^{-1} g h_2 g^{-1} = c_g(h_1) c_g(h_2)$ \\
+$c_{g^{-1}} \circ c_g (h) = g^{-1} g h g^{-1} g = 1 h 1^{-1} = c_1(h) = id_H $ \\
+Also ist $c_g$ bijektiv und daher Automorphismus von $G$.
+
+$c: g \rightarrow \Aut(G)$ ist Homomorphismus: \\
+$c_{g_1} \circ c_{g_2} (h) = g_1 g_2 h g_2^{-1} g_1^{-1} = g_1 g_2 h (g_1 g_2)^{-1} = c_{g_1 g_2} (h) $ \\
+\begin{align*}
+c_g = id_G & \Leftrightarrow c_g(h) = h \forall h \\
+           & \Leftrightarrow g h g^{-1} = h \forall h \\
+           & \Leftrightarrow g h = h g \forall h \\
+           & \Leftrightarrow g \in Z(G) \\
+           & \Rightarrow \ker c = Z(G)
+\end{align*}
+
+Da $\im c = \Inn(G)$ ist $\Inn(G) \leq \Aut(G)$. \\
+Sei $\varphi \in \Aut(G), g \in G$: Zu zeigen: $\varphi \Inn(G) \varphi^{-1} = \Inn(G) \Leftrightarrow \varphi c_g \varphi^{-1} \in \Inn(G) \forall g, \varphi$ \\
+$(\varphi c_g \varphi^{-1})(h) = \varphi(g \varphi^{-1}(h) g^{-1}) = \varphi(g) h \varphi^{-1}(g) = \varphi(g) h \varphi(g)^{-1} = c_{\varphi(g)}(h) \forall h \in G$ \\
+$ \Rightarrow \varphi c_g \varphi^{-1} = c_{\varphi(g)} \in \Inn(G)$ \\
+Also ist $\Inn(G) \trianglelefteq \Aut(G)$
+\end{bew}
+
+Beachte: Sei $N \leq G$. Dann ist $N \trianglelefteq G \Leftrightarrow c_g(N) = N \forall g \in G$ \\
+($\Rightarrow {c_g}_{\mid_N} \in \Aut(N)$. $c_g$ ist $\in \Inn(N) \Leftrightarrow \exists n \in N: c_g = c_n$)
+
+\begin{definition}
+Sei $H < G$. Dann ist $H$ charakteristisch in $G$, falls $\varphi(H) = H \forall \varphi \in Aut(G)$.\\
+Klar: $H$ char. in $G \Rightarrow H \trianglelefteq G$. \\
+Und: $H \mathop{\leq}\limits_\text{char.} N \mathop{\leq}\limits_\text{char.} G \Rightarrow H \mathop{\leq}\limits_\text{char.} G$
+\end{definition}
+
+Beispiel: \\
+$Z(G)$ ist char. in $G$: \\
+$\forall z \in Z(G), g \in G: \varphi(g)\varphi(z) = \varphi(gz) = \varphi(zg) = \varphi(z)\varphi(g) $ \\
+$\Rightarrow \varphi(z)G = G \varphi(z) $ \\
+$\Rightarrow \varphi(z) \in Z(G)$
 
 \end{document}

standard.tex

@@ -1,5 +1,6 @@
 \documentclass[DIV14,12pt,a4paper,pagesize,headsepline]{scrreprt}
 \setlength\parindent{0pt}
+\addtolength{\parskip}{\baselineskip}
 
 \usepackage[automark]{scrpage2}
 
@@ -67,12 +68,16 @@
 
 \DeclareMathOperator{\Kern}{Kern}
 \DeclareMathOperator{\Bild}{Bild}
+\DeclareMathOperator{\im}{im}
 \DeclareMathOperator{\id}{id}
 \DeclareMathOperator{\grad}{grad}
 \DeclareMathOperator{\rang}{rang}
 \DeclareMathOperator{\Bil}{Bil}
 \DeclareMathOperator{\Char}{char}
 \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
+\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
+\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
+\DeclareMathOperator{\Out}{Out}
 
 
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