Dann ist $\alpha, \beta)=\sum\limits_{i=1}^r \lambda_i \mu_i$
6.2.3 Korrolar: Sei $\alpha$ virtueller Charakter (Klassenfunktion) von $G$. Dann ist $\alpha=\sum\limits_{i=1}^r (\alpha, \chi_i)\chi_i$\\
Insbesondere ist $\alpha$ Charakter von $G \Leftrightarrow(\alpha, \chi_i)\in\Z_{\geq0}$ für $i =1, \ldots, r$ und $\neq0$ für mindestens ein $i$.
Sofort: Ist $\chi$ ein Charakter von $G$, so ist $\chi$ irreduzibel $\Leftrightarrow(\chi, \chi)=1$, also genau ein $\lambda_i =1$ und der Rest $0$.
6.2.4 Satz: Sei $\alpha$ linearer Charakter (i.e. $\alpha: G \rightarrow\C^\ast$ Homomorphismus) mit zugehörigem $\C G$-Modul $M$ ($M \cong\C$ als Vektorraum, $g \cdot m =\alpha(g)\cdot m$). \\
Sei $X \in\lsub{\C G}{\underline{\Mod}}$ mit Charakter $\chi$. Dann ist $\alpha\chi$ ebenfalls Charakter von $G$ (mit Modul $M \otimes_\C X$), und $\alpha\chi$ ist irreduzibel! \\
Beweis: $\alpha$ irreduzibel $\Rightarrow\alpha(g)$ Einheitswurzel $\forall g \in G$ da 1 = $\abs{\alpha(g)}=\alpha(g)\overline{\alpha(g)}\forall g \in G$. \\
Beweis: Sei $X =(\chi_i(g_j))_{ij}$ Charaktertafeln von $G$, $K = diag(k_1, \ldots, k_r)\in M_{r \times r}(\C)$. \\
Dann ist $ij$-Eintrag von $X \cdot K =\chi_i(g_j)\cdot k_j$ und wir erhalten als $ij$-Eintrag von $X K X^t$ den Wert $\sum\limits_{l=1}^r \chi_i(g_l) k_l \overline{\chi_j(g_l)}
Also ist $XK\overline{X}^t =\abs{G} E_{r \times r}$. \\
Allgemein: $A, B \in M_{r \times r}(K), A \cdot B =\lambda E_{r \times r}, 0\neq\lambda\in K \Rightarrow B = A^{-1}\lambda E =\lambda A^{-1}, BA = AB =\lambda E$\\
Also $K \overline{X}^t X =\abs{G} E_{r \times r}, (K \overline{X}^t X)_{ij}=\sum\limits_{l =1}^r k_j \overline{chi_l(g_j)}\chi_l(g_i)=\abs{G}\delta_{ij}$\qed.
$K$ = Körper, $N \trianglelefteq G, \eta: G \to G / N: g \mapsto gN$ natürliche Projektion, $g_1, \ldots, g_s$ Nebenklassenvertreter von $N$ in $G$. \\
Definiere $\hat{\eta}: KG \to K G/N: \sum\limits_{g \in G}\lambda_g g \mapsto\sum\limits_{g \in G}\lambda_g gN =\sum\limits_{i=1}^s (\sum\limits_{h \in g_i N}\lambda_h) g_i N$\\
Leichte Übung: $\hat{\eta}$ ist multiplikativ, d.h. ein $K$-Algebraepimorphismus ($\ker\hat{\eta}= < h -1\mid h \in N>_{\text{Ideal}}$) \\
Damit kann jeder $K G/N$-Modul zu einem $KG$-Modul gemacht werden.
Fast allgemein: Sei $A$ eine Algebra, $I \trianglelefteq A$ Ideal, $B = A/I$, $M \in\lsub{B}{\Mod}$. \\
Dann wird $M$ zum $A$-Modul durch $a \cdot m :=(a + I)m \forall a \in A, m \in M$.
Dann wird $M$ zum $A$-Modul durch $a \cdot m := f(a) m \forall a \in A, m \in M$. \\
Sind $M, N \lsub{B}{\Mod}, \beta: M \to N$ it $B$-linear, so ist $\beta$ auch $A$-linear. \\
Also ist die Abbildung, die jedem $B$-Modul dem entsprechenden $A$-Modul zuordnet, ein Funktor, genannt "`Inflation"' entlang $f$. \\
$\Inf_{B, f}^A, A \to B \to\End_\Lambda(M)$
Sei $\chi$ Charakter von $G$, $K_\chi=\set{ x \in G \mid\chi(x)=\chi(1)}$ der Kern von $\chi$. (6.1.4) \\
Dann ist $K_\chi\trianglelefteq G$. Für $\chi=\chi_i$ schreiben wir jetzt $K_i$ anstatt $K_{\chi_i}$.
6.2.6 Satz: Sei $N \trianglelefteq G$, dann gibt es eine Teilmenge $I \subseteq\set{1, \ldots, r}$ so, dass $N =\bigcap\limits_{i \in I} K_i$ ist. \\
Also: Die Normalteiler von $G$ sind extakt alle möglichen Schnitte der Kerne der irreduziblen Charakteren! \\
Beweis: $U =\C(G/N), \psi=$ Charakter $\lsub{\C U}{U}$ und $\chi$ sei der entsprechende Charakter von $G$. ($g (h N)=(gh) N$) \\
Sei $g \in G$: Dann ist $\chi(g)=\psi(gN)=\left\{\matr{\psi(1)=\abs{G/N}=\dim_\C U =\chi(1)&\text{für } g \in N \\0&\text{sonst}}\right.$, d.h. $N = K_\chi$. \\
Sei $\chi=\sum\limits_{i=1}^r \alpha_i \chi_i$, 6.1.4 $\Rightarrow\abs{\chi(g)}\leq\sum a_i \abs{\chi_i(g)}\leq\sum\alpha_i \abs{\chi_i(1)}=\chi(1)\forall g \in G$. \\
$\sum\alpha_i \chi_i(g)=\chi(g)=\chi(1)=\sum\alpha_i \chi_i(1)$, also $\chi(g)=\chi(1)\Leftrightarrow(\chi_i(g)=\chi_i(1)$ oder $\alpha_i =0)\forall i$
Sei $I =\set{1\leq i \leq r \mid\alpha_i \neq0}$\\
Also ist $N =\bigcap\limits_{i \in I} K_i$
6.2.7 Korrolar: $G$ einfach $\Leftrightarrow\forall1\neq g \in G \forall2\leq i \leq r: \chi_i(g)\neq\chi_i(1)$
6.2.8 Korrolar: Charaktertafel löst die Frage, ob $G$ auflösbar oder nicht auflösbar ist.