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Vorlesung 2.1.2010

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Stefan Bühler 9 years ago
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@@ -1901,4 +1901,115 @@ Also ist $N = \bigcap\limits_{i \in I} K_i$

6.2.8 Korrolar: Charaktertafel löst die Frage, ob $G$ auflösbar oder nicht auflösbar ist.

Definition: Sei $\chi$ Charakter von $G$. $Z_{\chi} = \set{x \in G \mid \abs{\chi(X)} = \chi(1) } \supseteq K_{\chi}$

6.2.9 Lemma: $Z_x \leq G$. Ist $\chi = \chi_i$ irreduzibel, so ist $Z_\chi / K_\chi = Z(G / K_\chi)$

6.2.10 Korrolar: Ist $G$ nicht abelsch und einfach, dann ist $Z_i = Z_{\chi_i} = (1)$ für $i = 2, \ldots, r$.

6.2.11 Satz: $Z(G) = \bigcap\limits_{i=1}^r Z_i, Z_i = Z_{\chi_i}$

6.2.12 Satz: Sei $N \trianglelefteq G$. Dann können die irreduziblen Charaktere von $G/N$ aus denen von $G$ ausgerechnet werden. \\
Beweis: Jeder irreduzible $G/N$-Modul ist durch Inflation irreduzibler $G$-Modul. \\
($M \in \lsub{K (G/N)}{\Mod}$ irreduzibel $\Leftrightarrow \forall 0 \neq m \in M: K(G/N) m = M \Leftrightarrow M \in \lsub{KG}{\Mod}$ irreduzibel) \\
So ist $\Irr_K(G/N) = \set{ \chi_i \mid \chi_i(n) = \chi_i(1) \forall n \in N}$

Vorsicht: Man kann aus Charaktertafel von $G$ nicht die Größe der Konjugationsklassen von $G/N$ ablesen.

Klar: Sei $g \in N, C = g^G \Rightarrow \set{ hN \mid h \in C }$ ist Konjugationsklasse von $G/N$.

6.2.13 Korrolar: Man kann aus der Charaktertafel von $G$ direkt ablesen, ob $G$ nilpotent ist oder nicht.

% Kapitel 7
\chapter{Exkurs in die Kategorientheorie}

\section{Kategorien}

1.1.1 Definition: Eine Kategorie $\cC$ besteht aus
\begin{enumerate}[(1)]
\item Einer Klasse $\Obj(\cC)$ von Objekten von $\cC$ $(A, B, C, \ldots)$
\item Für $A, B \in \Obj(\cC)$ eine Menge $\cC(A,B)$ von Morphismen von $A$ nach $B$.
\item Für $A, B, C \in \Obj(\cC)$ eine Kompositionsregel $\cC(A,B) \times \cC(B, C) \to \cC(A, C): (f,g) \mapsto f \circ g = fg$,
so dass gilt:
\begin{enumerate}[K1:]
\item $\cC(A_1, B_1) \cap \cC(A_2, B_2) \neq 0 \Rightarrow A_1 = A_2$ und $B_1 = B_2$
\item $A, B, C, D \in \Obj(\cC), f \in \cC(A, B), g \in \cC(B, C), h \in \cC(C, D): f(gh) = (fg)h$
\item $\forall A \in \Obj(\cC)$ gibt es ein $1_A \in \cC(A, A)$ mit $1_A f = f, g 1_A = g \forall B, C \in \Obj(\cC)$ und $f \in \cC(A, B), g \in \cC(C, A)$ \\
(Automität: $1_A$ ist eindeutig)
\end{enumerate}
\end{enumerate}

1.1.2 Beispiele:
\begin{enumerate}[1.)]
\item $\cS = $ Kategorie der Mengen
\item $\cT = $ Kategorie der topologischen Räume, Morphismen = stetige Abbildungen ($\cT_1$ = Kategorie der punktierten topologischen Räume)
\item $G = $ Kategorie der Gruppen, Morphismen = Gruppenhomomorphismen
\item $Ab$ = Kategorie der abgelschen Gruppen
\item $K = $ Körper, $V_K$ = Kategorie der $K$-Vektorräume, Morphismen = $K$-lineare Abbildungen
\item $\cR = $ Kategorie der Ringe
\item $\cR_1 = $ Kategorie der Ringe mit Einselement.
\item $\Lambda = $ Ring $\ni 1$ (oder Algebra), $\lsub{A}{\Mod}$ und $\Mod_A$ sind Kategorien
\item $(M, \leq)$ geordnete Menge: Bilde Kategorie $\cM$ mit \begin{enumerate}[a)]
\item $\Obj(cM) = M$ (also ist $cM$ "`klein"', d.h. $\Obj(cM)$ ist eine Menge)
\item $m, n \in M$ bestehe aus $cM(m, n)$ aus genau einem Element wenn $m \leq n$, sonst sei $\cM(m, n) = \emptyset$
\end{enumerate}
\item $L = $ Ring $\ni 1$, $\cL =$ Kategorie mit $\Obj(\cL) = \set{L}, \cL(L, L) = L, (a,b) \mapsto ab \in L$
\item Sei $A = $ Algebra $\ni 1$, bilde Kategorie der Kettenkomplexe $\cK(A), \Obj(\cK(A))$ bstehen aus Komplexen
$M_1 \mathop{\to}\limits^{f_1} M_2 \mathop{\to}\limits^{f_2} M_3 \to \ldots \to M_i \to \ldots$
aus $A$-Moduln $M_i \in \lsub{A}{\Mod} (i \in \N)$ und $A$-Modulhomomorphismen $f_i : M_i \to M_{i+1}$ so, dass $f_{i+1} f_i = 0$ ist, d.h. $\im f_i \subseteq \ker f_{i+1}$ \\
Morphismen von: \\
\begin{diagram}
M_1 & \rTo^{f_1} & M_2 & \rTo & M_3 & \rTo \ldots \\
\dTo^{\alpha_1} & & \dTo^{\alpha_2} & & \dTo^{\alpha_3} & \ldots \\
N_1 & \rTo^{g_1} & N_2 & \rTo & N_3 & \rTo \ldots \\
\end{diagram}
sind Folgen von $A$-Modulhomomorphismen $(\alpha_1, \alpha_2, \ldots)$ so, dass alle Diagramme kommutieren, i.e. $\alpha_{i+1} f_i = g_i \alpha_i$
\item $\cT_h = $ Kategorie der topologischen Räume, mit Morphishmen = Homotopieklassen stetiger Abbildungen
\end{enumerate}

Definition: $\cC = $ Kategorie, $A, B \in \Obj(\cC)$, $f: A \to B$ Morphismus. $f$ heißt invertierbar (Isomorphismus), falls es ein $g : B \to A$ gibt mit $gf = 1_B$ und $fg = 1_A$. \\
Notation: $g = f^{-1}$ \\
Klar: $f^{-1}$ ist eindeutig bestimmt, $f, g$ invertierbar $\Rightarrow (f \circ g) $ invertierbar und $(f \circ g)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$ \\
$A \cong B$ falls ein Isomorphismus $f : A \to B$ existiert.

Definition: $\cC$ Kategorie. Eine Teilklasse $\Obj(\cU)$ von $\Obj(\cC)$ mit Morphishmenmengen $\cU(A, B) \subseteq \cC(A, B)$ für $A, B \in \Obj(\cU) \subseteq \Obj(\cC)$ heißt
Unterkategorie, falls $1_a \in \cU(A, A) \forall A \in \Obj(\cU)$, und $fg \in \cU(A, C) \forall f \in \cU(A, B), g \in \cU(B, C)$. \\
$\cU$ heißte volle Unterkategorie falls $\cU(A, B) = \cC(A, B) \forall A, B \in \Obj(\cU)$

Beispiel:
\begin{enumerate}[i)]
\item Die Kategorie der $\lsub{A}{\underline{\Mod}}$ ist volle Unterkategorie von $\lsub{A}{\Mod}$.
\item Sei $\cC$ Kategorie. Isomorph zu sein ist Äquivalenzrelation auf $\Obj(\cC)$. \\
Wähle aus jeder Äquivalenzklasse genau ein Objekt aus. \\
$\cS(\cC) = $ volle Unterkategorie von $\cC$ mit $\Obj(\cS)$ = Vertreter von Isomorphieklassen von $\Obj(\cC)$
("`Skelett von $\cC$"') \\
Oft $\cS(\cC)$ ist kleine Kategorie, etwa für $\cC = \lsub{A}{\Mod}$
\item $\cR_1$ ist keine volle Unterkategorie von $\cR$.
\end{enumerate}

\chapter{Funktoren}

Funktoren = "`Morphishmen von Kategorien"'

Definition: Seien $\cC, \cD$ Kategorien. Ein kovarianter Funktor $F: \cC \to \cD$ besteht aus einer Abbildung $F: \Obj(\cC) \to \Obj(\cD)$ zusammen mit Abbildungen
$F_{x,y} : \cC(X, Y) \to \cD(F(X), F(Y))$ für alle $X, Y \in \Obj(\cC)$ so dass gilt:
\begin{enumerate}[F1:]
\item $\forall X \in \Obj(\cC): F_{X,X}(1_X) = 1_{F(X)}$
\item für $f \in \cC(A, B), g \in \cC(B, C)$ ist $F_{A,C}(fg) = F_{A,B}(f) F_{B,C}(g)$.
\end{enumerate}

Beispiele:
\begin{enumerate}
\item Vergissfunktoren: \\
$V: Ab \to \cS: $ abelsche Gruppe $\mapsto$ Menge, Homomorphismus $\mapsto$ Abbildung. \\
$V: V_K \to Ab:$
$K$-Algebra $A, V: \lsub{A}{\Mod} \to V_K$
\item Die Einbettung einer Unterkategorie $U$ von $\cC$ in $\cC$ ist Funktor.
\item Die Identität $1: \cC \to \cC$ ist Funktor.
\item $A: G \to Ab: G \mapsto G/G', G' = [G, G]$ ($f: G \to H$ Gruppenhomomorphismus $\Rightarrow f(G') \subseteq H' \Rightarrow \exists A(f) = \hat{f}: G/G' \to H/H': gG' \mapsto f(g)H'$). $A$ = Abelisierungsfunktor.
\end{enumerate}




\end{document}

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\providecommand{\F}[0]{\mathbb{F}}
\providecommand{\cO}[0]{\mathcal{O}}
\providecommand{\cC}[0]{\mathcal{C}}
\providecommand{\cD}[0]{\mathcal{D}}
\providecommand{\cB}[0]{\mathcal{B}}
\providecommand{\cA}[0]{\mathcal{A}}
\providecommand{\cR}[0]{\mathcal{R}}
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\providecommand{\cK}[0]{\mathcal{K}}
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\providecommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\providecommand{\norm}[1]{\lVert#1\rVert}
@@ -97,6 +105,7 @@
\DeclareMathOperator{\tr}{tr} % Spur
\DeclareMathOperator{\Cl}{Cl}
\DeclareMathOperator{\Inf}{Inf} % Inflation Funktor
\DeclareMathOperator{\Obj}{Obj}


\DeclareMathOperator{\Reid}{Reid}

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