6.2.12 Satz: Sei $N \trianglelefteq G$. Dann können die irreduziblen Charaktere von $G/N$ aus denen von $G$ ausgerechnet werden. \\
Beweis: Jeder irreduzible $G/N$-Modul ist durch Inflation irreduzibler $G$-Modul. \\
($M \in\lsub{K (G/N)}{\Mod}$ irreduzibel $\Leftrightarrow\forall0\neq m \in M: K(G/N) m = M \Leftrightarrow M \in\lsub{KG}{\Mod}$ irreduzibel) \\
So ist $\Irr_K(G/N)=\set{\chi_i \mid\chi_i(n)=\chi_i(1)\forall n \in N}$
Vorsicht: Man kann aus Charaktertafel von $G$ nicht die Größe der Konjugationsklassen von $G/N$ ablesen.
Klar: Sei $g \in N, C = g^G \Rightarrow\set{ hN \mid h \in C }$ ist Konjugationsklasse von $G/N$.
6.2.13 Korrolar: Man kann aus der Charaktertafel von $G$ direkt ablesen, ob $G$ nilpotent ist oder nicht.
% Kapitel 7
\chapter{Exkurs in die Kategorientheorie}
\section{Kategorien}
1.1.1 Definition: Eine Kategorie $\cC$ besteht aus
\begin{enumerate}[(1)]
\item Einer Klasse $\Obj(\cC)$ von Objekten von $\cC$$(A, B, C, \ldots)$
\item Für $A, B \in\Obj(\cC)$ eine Menge $\cC(A,B)$ von Morphismen von $A$ nach $B$.
\item Für $A, B, C \in\Obj(\cC)$ eine Kompositionsregel $\cC(A,B)\times\cC(B, C)\to\cC(A, C): (f,g)\mapsto f \circ g = fg$,
so dass gilt:
\begin{enumerate}[K1:]
\item$\cC(A_1, B_1)\cap\cC(A_2, B_2)\neq0\Rightarrow A_1= A_2$ und $B_1= B_2$
\item$A, B, C, D \in\Obj(\cC), f \in\cC(A, B), g \in\cC(B, C), h \in\cC(C, D): f(gh)=(fg)h$
\item$\forall A \in\Obj(\cC)$ gibt es ein $1_A \in\cC(A, A)$ mit $1_A f = f, g 1_A = g \forall B, C \in\Obj(\cC)$ und $f \in\cC(A, B), g \in\cC(C, A)$\\
(Automität: $1_A$ ist eindeutig)
\end{enumerate}
\end{enumerate}
1.1.2 Beispiele:
\begin{enumerate}[1.)]
\item$\cS=$ Kategorie der Mengen
\item$\cT=$ Kategorie der topologischen Räume, Morphismen = stetige Abbildungen ($\cT_1$ = Kategorie der punktierten topologischen Räume)
\item$G =$ Kategorie der Gruppen, Morphismen = Gruppenhomomorphismen
\item$Ab$ = Kategorie der abgelschen Gruppen
\item$K =$ Körper, $V_K$ = Kategorie der $K$-Vektorräume, Morphismen = $K$-lineare Abbildungen
\item$\cR=$ Kategorie der Ringe
\item$\cR_1=$ Kategorie der Ringe mit Einselement.
\item$\Lambda=$ Ring $\ni1$ (oder Algebra), $\lsub{A}{\Mod}$ und $\Mod_A$ sind Kategorien
\item$(M, \leq)$ geordnete Menge: Bilde Kategorie $\cM$ mit \begin{enumerate}[a)]
\item$\Obj(cM)= M$ (also ist $cM$ "`klein"', d.h. $\Obj(cM)$ ist eine Menge)
\item$m, n \in M$ bestehe aus $cM(m, n)$ aus genau einem Element wenn $m \leq n$, sonst sei $\cM(m, n)=\emptyset$
\end{enumerate}
\item$L =$ Ring $\ni1$, $\cL=$ Kategorie mit $\Obj(\cL)=\set{L}, \cL(L, L)= L, (a,b)\mapsto ab \in L$
\item Sei $A =$ Algebra $\ni1$, bilde Kategorie der Kettenkomplexe $\cK(A), \Obj(\cK(A))$ bstehen aus Komplexen
aus $A$-Moduln $M_i \in\lsub{A}{\Mod}(i \in\N)$ und $A$-Modulhomomorphismen $f_i : M_i \to M_{i+1}$ so, dass $f_{i+1} f_i =0$ ist, d.h. $\im f_i \subseteq\ker f_{i+1}$\\
sind Folgen von $A$-Modulhomomorphismen $(\alpha_1, \alpha_2, \ldots)$ so, dass alle Diagramme kommutieren, i.e. $\alpha_{i+1} f_i = g_i \alpha_i$
\item$\cT_h =$ Kategorie der topologischen Räume, mit Morphishmen = Homotopieklassen stetiger Abbildungen
\end{enumerate}
Definition: $\cC=$ Kategorie, $A, B \in\Obj(\cC)$, $f: A \to B$ Morphismus. $f$ heißt invertierbar (Isomorphismus), falls es ein $g : B \to A$ gibt mit $gf =1_B$ und $fg =1_A$. \\
Notation: $g = f^{-1}$\\
Klar: $f^{-1}$ ist eindeutig bestimmt, $f, g$ invertierbar $\Rightarrow(f \circ g)$ invertierbar und $(f \circ g)^{-1}= f^{-1}\circ g^{-1}$\\
$A \cong B$ falls ein Isomorphismus $f : A \to B$ existiert.
Definition: $\cC$ Kategorie. Eine Teilklasse $\Obj(\cU)$ von $\Obj(\cC)$ mit Morphishmenmengen $\cU(A, B)\subseteq\cC(A, B)$ für $A, B \in\Obj(\cU)\subseteq\Obj(\cC)$ heißt
Unterkategorie, falls $1_a \in\cU(A, A)\forall A \in\Obj(\cU)$, und $fg \in\cU(A, C)\forall f \in\cU(A, B), g \in\cU(B, C)$. \\
$\cU$ heißte volle Unterkategorie falls $\cU(A, B)=\cC(A, B)\forall A, B \in\Obj(\cU)$
Beispiel:
\begin{enumerate}[i)]
\item Die Kategorie der $\lsub{A}{\underline{\Mod}}$ ist volle Unterkategorie von $\lsub{A}{\Mod}$.
\item Sei $\cC$ Kategorie. Isomorph zu sein ist Äquivalenzrelation auf $\Obj(\cC)$. \\
Wähle aus jeder Äquivalenzklasse genau ein Objekt aus. \\
$\cS(\cC)=$ volle Unterkategorie von $\cC$ mit $\Obj(\cS)$ = Vertreter von Isomorphieklassen von $\Obj(\cC)$
("`Skelett von $\cC$"') \\
Oft $\cS(\cC)$ ist kleine Kategorie, etwa für $\cC=\lsub{A}{\Mod}$
\item$\cR_1$ ist keine volle Unterkategorie von $\cR$.
\end{enumerate}
\chapter{Funktoren}
Funktoren = "`Morphishmen von Kategorien"'
Definition: Seien $\cC, \cD$ Kategorien. Ein kovarianter Funktor $F: \cC\to\cD$ besteht aus einer Abbildung $F: \Obj(\cC)\to\Obj(\cD)$ zusammen mit Abbildungen
$F_{x,y} : \cC(X, Y)\to\cD(F(X), F(Y))$ für alle $X, Y \in\Obj(\cC)$ so dass gilt:
\begin{enumerate}[F1:]
\item$\forall X \in\Obj(\cC): F_{X,X}(1_X)=1_{F(X)}$
\item für $f \in\cC(A, B), g \in\cC(B, C)$ ist $F_{A,C}(fg)= F_{A,B}(f) F_{B,C}(g)$.
\end{enumerate}
Beispiele:
\begin{enumerate}
\item Vergissfunktoren: \\
$V: Ab \to\cS: $ abelsche Gruppe $\mapsto$ Menge, Homomorphismus $\mapsto$ Abbildung. \\
$V: V_K \to Ab:$
$K$-Algebra $A, V: \lsub{A}{\Mod}\to V_K$
\item Die Einbettung einer Unterkategorie $U$ von $\cC$ in $\cC$ ist Funktor.
\item Die Identität $1: \cC\to\cC$ ist Funktor.
\item$A: G \to Ab: G \mapsto G/G', G' =[G, G]$ ($f: G \to H$ Gruppenhomomorphismus $\Rightarrow f(G')\subseteq H' \Rightarrow\exists A(f)=\hat{f}: G/G' \to H/H': gG' \mapsto f(g)H'$). $A$ = Abelisierungsfunktor.
Stefan Bühler
11 years ago