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Vorlesung 5.1.2010=

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Stefan Bühler 9 years ago
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@@ -1987,7 +1987,7 @@ Beispiel:
\item $\cR_1$ ist keine volle Unterkategorie von $\cR$.
\end{enumerate}

\chapter{Funktoren}
\section{Funktoren}

Funktoren = "`Morphishmen von Kategorien"'

@@ -2007,9 +2007,86 @@ Beispiele:
\item Die Einbettung einer Unterkategorie $U$ von $\cC$ in $\cC$ ist Funktor.
\item Die Identität $1: \cC \to \cC$ ist Funktor.
\item $A: G \to Ab: G \mapsto G/G', G' = [G, G]$ ($f: G \to H$ Gruppenhomomorphismus $\Rightarrow f(G') \subseteq H' \Rightarrow \exists A(f) = \hat{f}: G/G' \to H/H': gG' \mapsto f(g)H'$). $A$ = Abelisierungsfunktor.
\item Sei $M$ Mene, $\cF(M) = $ freie abelsche Gruppe mit Basis $M$.
\begin{diagram}
M & \rInto^{i_M} & \cF(M) \\
\dTo^f & \rdTo^{i_N \circ f} & \dTo_{\exists! \widehat{i_N \circ f}} \\
N & \rInto^{i_N} & \cF(N)
\end{diagram}
mit $\widehat{i_N \circ f} \circ i_M = i \circ f$ (universelle Eigenschaft von $\cF(M)$). \\
$\cF(f) = \widehat{i_N \circ f}$ \\
$\cF: \cS(M, N) \to Ab(\cF(M), \cF(N))$ \\
Analog: $\cF: \cS \to V_K = $ Kategorie der $K$-Vektorräume ($K$ = Körper); $\cF$ ist Funktor von $\cS$ in $Ab$ (bzw. $V_K$)
\item "`$\Hom$-Funktor"': $\cC = \lsub{A}{\Mod}$ ($A = $ Ring, $K$-Algebra, $\Lambda$-Algebra). Sei $M \in \lsub{A}{\Mod}$ fest gewählt, $X \in \lsub{A}{\Mod}$ beliebig.
Dann ist $\Hom_A(M, X)$ abelsche Gruppe ($K$-Vektorraum, $\Lambda$-Modul) und $\Hom_A(M, -): \lsub{A}{\Mod} \to Ab(V_K, \lsub{\Lambda}{\Mod}): X \mapsto \Hom_A(M, X)$ ist Abbildung. \\
Seien $X, Y \in \lsub{A}{\Mod}, f: X \to Y$ sei $A$-linear. Dann wird durch $\Hom_A(M, f): \Hom_A(M, X) \to \Hom_A(M, Y): h \mapsto f \circ h$ (Homomorphismus von abelschen Gruppen ($K$-VR, $\Lambda$-Moduln)) \\
$G := \Hom_A(M, -)$ ist wirklich Funktor! Denn:
\begin{enumerate}[i)]
\item $G(\id_X) = \id_{G(X)}$ ($\Hom_A(M, \id_X) = \id_{\Hom_A(M, X)}$)
\item Seien $f: X \to Y, g: Y \to Z$ $A$-linear. Zu zeigen: $G(g \circ f) = G(g) \circ G(f)$. \\
Also $\forall h \in G(X): G(g \circ f)(h) = (g \circ f) \circ h = g \circ (f \circ h) = g \circ (G(f)(h)) = G(g)(G(f)(h)) = (G(g) \circ G(f))(h)$
\end{enumerate}
Also ist $\Hom_A(M, -)$ Funktor von $\lsub{A}{\Mod}$ nach $Ab (V_K, \lsub{\Lambda}{\Mod})$
\end{enumerate}

Lemma: Seien $\cC_1, \cC_2, \cC_3$ Kategorien. $F: \cC_1 \to \cC_2, G: \cC_2 \to \cC_3$ Funktoren. Dann wird durch
$$G \circ F: \cC_1 \to \cC_3: X \mapsto G(F(X)), f \mapsto G(F(f)) ~~~ \forall X, Y \in \Obj(\cC_1), f \in \cC_1(X, Y)$$
ein Funktor von $\cC_1$ nach $\cC_3$ definiert. \\
Beweis: einfach

Definition: $\cC, \cD$ Kategorien. Ein Funktor $F: \cC \to \cD$ heißt \underline{Isomorphismus}, falls es einen Funktor $G$ von $\cD \to \cC$ gibt mit $G \circ F = \id_{\cC}$ und $F \circ G = \id_{\cD}$. \\
Also: $X \in \cC$, so ist $G(F(X)) = X$ usw.

Allgemeine $\Hom$-Funktion: \\
$\cC:$ Kategorie, $M \in \Obj(C)$ \\
$\cC(M, -): \cC \to \cS: X \mapsto \cC(M, X), f \mapsto f \circ ? ~~ (f: X \to Y)$ ist (w.o.) Funktor \\
$\cC(-, M): \cC \to \cS: X \mapsto \cC(X, M), f \mapsto ? \circ f ~~ (f: X \to Y)$ \\
Es gilt $\cC(f \circ g, M) = \cC(g, M) \circ \cC(f, M)$.

Ein kontravarianter Funktor von $\cC \to \cD$ ist eine Abbildung $F: \Obj(\cC) \to \Obj(\cD)$ und $F_{X,Y}: \cC(X, Y) \to \cD(F(Y), F(X))$ mit
\begin{enumerate}
\item $F(\id_X) = \id_{F(X)}, X \in \Obj(\cC)$
\item $F(f \circ g) = F(g) \circ F(f), f, g$ Morphismen von $\cC$.
\end{enumerate}

Klar: $G, F$ kontravariante Funktoren, so ist $ \circ F$ kovarianter Funktor.

Definition: Sei $\cC$ Kategorie. Dann wird die "`opposite"' Kategorie $\cC^{\opp}$ wie folgt definiert: \\
$\Obj(\cC^{\opp}) = \Obj(\cC); \cC^{\opp}(X, Y) = \cC(Y, X), ~~~ X, Y \in \Obj(\cC)$ \\
$\id: \cC \to \cC^{\opp}$ ist kontravarianter Funktor.

$F: \cC \to \cD$ Funktor kovariant $\rightarrow F: \cC \to \cD^{\opp}$ kontravariant.

Beispiele:
\begin{enumerate}
\item Sei $\mu: B \to C$ ein Morphismus in der Kategorie $\cC$. Dann heißt $\mu$ \underline{Monomorphismus} $\Leftrightarrow \forall \alpha, \beta: A \to C$ Morphismen in $\cC: (\mu \alpha = \mu \beta \Rightarrow \alpha = \beta)$ \\
$\mu: C \to B, \alpha, \beta: B \to A: \alpha \mu = \beta \mu \Rightarrow \alpha = \beta$ heißt analog Epimorphismus.

Vorsicht: In $\cR_1$ ist $\Z \rInto \Q$ ein Epimorphismus.

In $\lsub{A}{\Mod}$ gilt: $\alpha$ ist Epimorphismus $\Leftrightarrow \alpha $ surjektiv, Monomorphismus $\Leftrightarrow \alpha$ injektiv. \\
Klar: Ein Isomorphismus ist auch Epimorphismus und Monomorphismus.

\item Ein $0$-Objekt einer Kategorie $\cC$ ist ein Object $O \in \Obj(\cC)$ so dass gilt:
\begin{enumerate}
\item $\abs{\cC(O, X)} = 1 \forall X \in \Obj(\cC)$ ($\cC(O, O) = \set{\id_O}$, initiales Objekt)
\item $\abs{cC(X, O)} = 1 \forall X \in \Obj(\cC)$ (finales Objekt)
\end{enumerate}
Eindeutig bis auf Isomorphie. \\
$\cC(0, X) = \set{0} = \set{0_{0, X}}, \cC(X, 0) = \set{0} = \set{0_{X,0}}$ \\
$0_{0, Y} \circ 0_{X, 0}: X \to Y$ heißt $0$-Morphismus ($O_{X,Y}$)

Sei $\cC$ Kategorie mit $0$-Objekt $O$. Sei $\varphi: A \to B$ Morphismus in $\cC$.
Wir definieren den Kern wie folgt: \\
$\ker \varphi$ ist ein Morphismus $\mu: K \to A$ so dass gilt:
\begin{enumerate}
\item $\varphi \mu = 0$
\item Ist $\varphi \psi = 0$ für einen Morphismus $\psi$ von $X$ nach $A$, so existiert $\psi': X \to K$ mit $\mu \psi' = \psi$
\end{enumerate}

Dualisieren ergibt Kokern "`cok"' $\varphi$ ($\varphi: B \to A$), ($\cC \lsub{R}{\Mod}, coker \varphi = A / \im \varphi)$

\end{enumerate}

\end{document}

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\providecommand{\Z}[0]{\mathbb{Z}}
\providecommand{\F}[0]{\mathbb{F}}
\providecommand{\cO}[0]{\mathcal{O}}
\providecommand{\cA}[0]{\mathcal{A}}
\providecommand{\cB}[0]{\mathcal{B}}
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\DeclareMathOperator{\Cl}{Cl}
\DeclareMathOperator{\Inf}{Inf} % Inflation Funktor
\DeclareMathOperator{\Obj}{Obj}
\DeclareMathOperator{\Ab}{Ab}
\DeclareMathOperator{\opp}{opp}


\DeclareMathOperator{\Reid}{Reid}

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