Dann ist $\Hom_A(M, X)$ abelsche Gruppe ($K$-Vektorraum, $\Lambda$-Modul) und $\Hom_A(M, -): \lsub{A}{\Mod}\to Ab(V_K, \lsub{\Lambda}{\Mod}): X \mapsto\Hom_A(M, X)$ ist Abbildung. \\
Seien $X, Y \in\lsub{A}{\Mod}, f: X \to Y$ sei $A$-linear. Dann wird durch $\Hom_A(M, f): \Hom_A(M, X)\to\Hom_A(M, Y): h \mapsto f \circ h$ (Homomorphismus von abelschen Gruppen ($K$-VR, $\Lambda$-Moduln)) \\
\item Seien $f: X \to Y, g: Y \to Z$$A$-linear. Zu zeigen: $G(g \circ f)= G(g)\circ G(f)$. \\
Also $\forall h \in G(X): G(g \circ f)(h)=(g \circ f)\circ h = g \circ(f \circ h)= g \circ(G(f)(h))= G(g)(G(f)(h))=(G(g)\circ G(f))(h)$
\end{enumerate}
Also ist $\Hom_A(M, -)$ Funktor von $\lsub{A}{\Mod}$ nach $Ab (V_K, \lsub{\Lambda}{\Mod})$
\end{enumerate}
Lemma: Seien $\cC_1, \cC_2, \cC_3$ Kategorien. $F: \cC_1\to\cC_2, G: \cC_2\to\cC_3$ Funktoren. Dann wird durch
$$G \circ F: \cC_1\to\cC_3: X \mapsto G(F(X)), f \mapsto G(F(f)) ~~~ \forall X, Y \in\Obj(\cC_1), f \in\cC_1(X, Y)$$
ein Funktor von $\cC_1$ nach $\cC_3$ definiert. \\
Beweis: einfach
Definition: $\cC, \cD$ Kategorien. Ein Funktor $F: \cC\to\cD$ heißt \underline{Isomorphismus}, falls es einen Funktor $G$ von $\cD\to\cC$ gibt mit $G \circ F =\id_{\cC}$ und $F \circ G =\id_{\cD}$. \\
Also: $X \in\cC$, so ist $G(F(X))= X$ usw.
Allgemeine $\Hom$-Funktion: \\
$\cC:$ Kategorie, $M \in\Obj(C)$\\
$\cC(M, -): \cC\to\cS: X \mapsto\cC(M, X), f \mapsto f \circ ? ~~ (f: X \to Y)$ ist (w.o.) Funktor \\
$\cC(-, M): \cC\to\cS: X \mapsto\cC(X, M), f \mapsto ? \circ f ~~ (f: X \to Y)$\\
Es gilt $\cC(f \circ g, M)=\cC(g, M)\circ\cC(f, M)$.
Ein kontravarianter Funktor von $\cC\to\cD$ ist eine Abbildung $F: \Obj(\cC)\to\Obj(\cD)$ und $F_{X,Y}: \cC(X, Y)\to\cD(F(Y), F(X))$ mit
\begin{enumerate}
\item$F(\id_X)=\id_{F(X)}, X \in\Obj(\cC)$
\item$F(f \circ g)= F(g)\circ F(f), f, g$ Morphismen von $\cC$.
\end{enumerate}
Klar: $G, F$ kontravariante Funktoren, so ist $\circ F$ kovarianter Funktor.
Definition: Sei $\cC$ Kategorie. Dann wird die "`opposite"' Kategorie $\cC^{\opp}$ wie folgt definiert: \\
$\Obj(\cC^{\opp})=\Obj(\cC); \cC^{\opp}(X, Y)=\cC(Y, X), ~~~ X, Y \in\Obj(\cC)$\\
$\id: \cC\to\cC^{\opp}$ ist kontravarianter Funktor.
\item Sei $\mu: B \to C$ ein Morphismus in der Kategorie $\cC$. Dann heißt $\mu$\underline{Monomorphismus}$\Leftrightarrow\forall\alpha, \beta: A \to C$ Morphismen in $\cC: (\mu\alpha=\mu\beta\Rightarrow\alpha=\beta)$\\
$\mu: C \to B, \alpha, \beta: B \to A: \alpha\mu=\beta\mu\Rightarrow\alpha=\beta$ heißt analog Epimorphismus.
Vorsicht: In $\cR_1$ ist $\Z\rInto\Q$ ein Epimorphismus.
In $\lsub{A}{\Mod}$ gilt: $\alpha$ ist Epimorphismus $\Leftrightarrow\alpha$ surjektiv, Monomorphismus $\Leftrightarrow\alpha$ injektiv. \\
Klar: Ein Isomorphismus ist auch Epimorphismus und Monomorphismus.
\item Ein $0$-Objekt einer Kategorie $\cC$ ist ein Object $O \in\Obj(\cC)$ so dass gilt:
\begin{enumerate}
\item$\abs{\cC(O, X)}=1\forall X \in\Obj(\cC)$ ($\cC(O, O)=\set{\id_O}$, initiales Objekt)
\item$\abs{cC(X, O)}=1\forall X \in\Obj(\cC)$ (finales Objekt)