@ -2155,7 +2155,7 @@ Beweis: Sei $\varphi: A \to B$ Morphismus in $\cC$: ($\varphi_{\ast} := \cC(A, \
\dTo^{\varphi_{\ast}}&&\dTo_{F(\varphi)}\\
\cC(A, B) &\rTo{\tau_B}& FB
\end{diagram}
ist kommutativ, da $\tau$ natürliche Transformation ist. Also ist $\tau_B(\varphi_{\ast}(1_A))=\tau_B(\varphi1_A)=\tau_B(\varphi)=(F \varphi)(\tau_A(1_A))$. Also ist
ist kommutativ, da $\tau$ natürliche Transformation ist. Also ist $\tau_B(\varphi_{\ast}(1_A))=\tau_B(\varphi\circ1_A)=\tau_B(\varphi)=(F(\varphi))(\tau_A(1_A))$. Also ist
$\tau_B$ vollständig durch $\tau_A(1_A)$ bestimmt. \\
Dies zeigt, dass die Zuordnung $\tau\mapsto\tau_A(1_A)\in F(A)$ injektiv ist. \\
($\tau_A(1_A)=\tilde{\tau}_A(1_A)\Rightarrow\tau_B(\varphi)=\tilde{\tau}_B(\varphi)\forall B \Rightarrow\tau=\tilde{\tau}$)
@ -2167,6 +2167,63 @@ Wir zeigen: $\tau = (\tau_B)_{B \in \Obj(\cC)}$ ist natürliche Transformation v
\dTo^{\theta_{\ast}}&&\dTo_{F \theta}\\
\cC(A, B_2) &\rTo^{\tau_{B_2}}& FB_2
\end{diagram}
$\theta: B_1\to B_2$ in $\cC, \theta_{\ast}(\mu)=\theta\circ\mu : A \to B_2$
$\theta: B_1\to B_2$ in $\cC, \theta_{\ast}(\mu)=\theta\circ\mu : A \to B_2$\\
Sei $\varphi: A \to B_1$ in $\cC$. Dann gilt: $\tau_{B_2}\theta_{\ast}(\varphi)=\tau_{B_2}(\theta\circ\varphi)= F(\theta\varphi)(\kappa)= F(\theta)F(\varphi)(\kappa)= F(\theta)(\tau_{B_1}(\varphi))$. \\
Also ist $\tau_{\kappa} :=\tau$ natürliche Transformation. \\
Ist $\tau\mapsto\psi\in\cC(A', A)$ und $\tau' \mapsto\psi' \in\cC(A'', A')$ unter der Yoneda Abbildung, so ist $\tau' \tau\mapsto\psi\psi' \in\cC(A'', A)$ unter der Yoneda Abbilddung.
Insbesondere ist $\tau$ natürliche Äquivalenz $\Leftrightarrow\psi\in\cC(A', A)$ Isomorphismus ist.
$\cF=\cD(-, -)\circ(F \times\id_{\cD}): \cC^{\opp}\times D \to\cS: (X, Y)\mapsto\cD(F(X), Y)$\\
$\cG=\cC(-, -)\circ(\id_{\cC}\times G): \cC^{\opp}\times D \to\cS: (X, Y)\mapsto\cC(X, G(Y))$ sind Bifunktoren.
Auf Abbildungen $f: X_1\to X_2$ in $\cC, g: Y_1\to Y_2$ in $\cD$: $\cF(f, g)=\cD(Ff, g) : \cD(F X_2, Y_1)\to\cD(F X_1, Y_2), \cD(Ff, g)(h)= g h F(f)$
Definition: $F$ heißt linksadjungiert zu $G$ und $G$ rechtsadjungiert zu $F$, falls es eine natürliche Äquivalenz $\eta=(\eta_{X, Y})_{X \in\cC, Y \in\cD}$ von $\cF$ nach $\cG$ gibt.
\underline{Klartext}\\
$X \in\Obj(\cC), Y \in\Obj(\cD)$. Dann ist $\eta_{X,y}$ eine Bijektion zwischen $\cD(FX, Y)$ und $\cC(X, GY)$\\
"`Natürlichkeit"' von $\eta=(\eta_{X,Y})_{X,Y}$: Sind $X_1, X_2\in\Obj(\cC), Y_1, Y_2\in\Obj(\cD), f: X_1\to X_2$ in $\cC, g: Y_1\to Y_2$ in $\cD$, so ist die folgenden Diagramme kommutativ:
Sei $B \subseteq A$ Unterring, $A$ als $\lsub{B}{A}_A$ Modul, $L \in\lsub{A}{\Mod}, \lsub{B}{A}_A \otimes_A L = Res_B^A(L), N \in\lsub{B}{\Mod}, \lsub{A}{A}\otimes_B N = Ind_B^A(N)$\\