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Vorlesung 12.2.2010

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Stefan Bühler 9 years ago
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@@ -2155,7 +2155,7 @@ Beweis: Sei $\varphi: A \to B$ Morphismus in $\cC$: ($\varphi_{\ast} := \cC(A, \
\dTo^{\varphi_{\ast}} & & \dTo_{F(\varphi)} \\
\cC(A, B) & \rTo{\tau_B} & FB
\end{diagram}
ist kommutativ, da $\tau$ natürliche Transformation ist. Also ist $\tau_B(\varphi_{\ast}(1_A)) = \tau_B(\varphi 1_A) = \tau_B(\varphi) = (F \varphi)(\tau_A(1_A))$. Also ist
ist kommutativ, da $\tau$ natürliche Transformation ist. Also ist $\tau_B(\varphi_{\ast}(1_A)) = \tau_B(\varphi \circ 1_A) = \tau_B(\varphi) = (F(\varphi))(\tau_A(1_A))$. Also ist
$\tau_B$ vollständig durch $\tau_A(1_A)$ bestimmt. \\
Dies zeigt, dass die Zuordnung $\tau \mapsto \tau_A(1_A) \in F(A)$ injektiv ist. \\
($\tau_A(1_A) = \tilde{\tau}_A(1_A) \Rightarrow \tau_B(\varphi) = \tilde{\tau}_B(\varphi) \forall B \Rightarrow \tau = \tilde{\tau}$)
@@ -2167,6 +2167,63 @@ Wir zeigen: $\tau = (\tau_B)_{B \in \Obj(\cC)}$ ist natürliche Transformation v
\dTo^{\theta_{\ast}} & & \dTo_{F \theta} \\
\cC(A, B_2) & \rTo^{\tau_{B_2}} & FB_2
\end{diagram}
$\theta: B_1 \to B_2$ in $\cC, \theta_{\ast}(\mu) = \theta \circ \mu : A \to B_2$
$\theta: B_1 \to B_2$ in $\cC, \theta_{\ast}(\mu) = \theta \circ \mu : A \to B_2$ \\
Sei $\varphi: A \to B_1$ in $\cC$. Dann gilt: $\tau_{B_2} \theta_{\ast}(\varphi) = \tau_{B_2} (\theta \circ \varphi) = F(\theta \varphi)(\kappa) = F(\theta)F(\varphi)(\kappa) = F(\theta)(\tau_{B_1}(\varphi))$. \\
Also ist $\tau_{\kappa} := \tau$ natürliche Transformation. \\
Klar ist: $(\tau_{\kappa})_A(1_A) = F(1_A)(\kappa) = 1_{F_A}(\kappa) = \kappa$ \\
Also sind $\tau \mapsto \tau_A(1_A)$ und $\kappa \mapsto \tau_K$ invers zueinander. \qed

Korrolar (Spezialfall): $A, A' \in \Obj(\cC), F = \cC(A', -)$. \\
Dann ist $\cC(A', A) = F(A) \cong [ \cC(A, -), \cC(A', -) ]$, der Isomorphismus ist gegeben durch \\
$\psi \mapsto \psi^{\ast} $ (für $\psi: A' \to A$ ist $\psi^{\ast} : \cC(A, -) \to \cC(A', -), \psi^{\ast}(\varphi) = \varphi \circ \psi$) \\
Beweis: $[\cC(A, -), F] \cong F(A), \kappa = \psi, \tau_B(\varphi) = (F(\varphi))(\psi) = \cC(A', \varphi)(\psi) = \varphi \circ \psi = \psi^{\ast}(\varphi)$ \qed

Satz: Sei $A, A', A'' \in \Obj(\cC), \tau: \cC(A, -) \to \cC(A', -), \tau': \cC(A', -) \to \cC(A'', -)$ natürliche Transformationen. \\
Ist $\tau \mapsto \psi \in \cC(A', A)$ und $\tau' \mapsto \psi' \in \cC(A'', A')$ unter der Yoneda Abbildung, so ist $\tau' \tau \mapsto \psi \psi' \in \cC(A'', A)$ unter der Yoneda Abbilddung.
Insbesondere ist $\tau$ natürliche Äquivalenz $\Leftrightarrow \psi \in \cC(A', A)$ Isomorphismus ist.

\section{Adjungierte Funktoren}

Seien $\cC, \cD$ Kategorien, $F: \cC \to \cD, G: \cD \to \cC$ Funktoren. \\
$\cF = \cD(-, -) \circ (F \times \id_{\cD}): \cC^{\opp} \times D \to \cS: (X, Y) \mapsto \cD(F(X), Y)$ \\
$\cG = \cC(-, -) \circ (\id_{\cC} \times G): \cC^{\opp} \times D \to \cS: (X, Y) \mapsto \cC(X, G(Y))$ sind Bifunktoren.

Auf Abbildungen $f: X_1 \to X_2$ in $\cC, g: Y_1 \to Y_2$ in $\cD$: $\cF(f, g) = \cD(Ff, g) : \cD(F X_2, Y_1) \to \cD(F X_1, Y_2), \cD(Ff, g)(h) = g h F(f)$

Definition: $F$ heißt linksadjungiert zu $G$ und $G$ rechtsadjungiert zu $F$, falls es eine natürliche Äquivalenz $\eta = (\eta_{X, Y})_{X \in \cC, Y \in \cD}$ von $\cF$ nach $\cG$ gibt.

\underline{Klartext} \\
$X \in \Obj(\cC), Y \in \Obj(\cD)$. Dann ist $\eta_{X,y}$ eine Bijektion zwischen $\cD(FX, Y)$ und $\cC(X, GY)$ \\
"`Natürlichkeit"' von $\eta = (\eta_{X,Y})_{X,Y}$: Sind $X_1, X_2 \in \Obj(\cC), Y_1, Y_2 \in \Obj(\cD), f: X_1 \to X_2$ in $\cC, g: Y_1 \to Y_2$ in $\cD$, so ist die folgenden Diagramme kommutativ:
\begin{diagram}
\cD(FX_1, Y_1) & \rTo^{\eta_{X_1, Y_1}~~} & \cC(X_1, GY_1) \\
\uTo^{Ff^{\ast}} & & \uTo_{f^{\ast}} \\
\cD(FX_2, Y_1) & \rTo^{\eta_{X_2, Y_1}~~} & \cC(X_2, GY_1) \\
\end{diagram}

\begin{diagram}
\cD(FX_1, Y_1) & \rTo^{\eta_{X_1, Y_1}~~} & \cC(X_1, GY_1) \\
\dTo^{g_{\ast}} & & \dTo_{(G(g))_{\ast}} \\
\cD(FX_1, Y_2) & \rTo^{\eta_{X_1, Y_2}~~} & \cC(X_1, GY_2) \\
\end{diagram}

In einem Diagram:
\begin{diagram}
\cD(FX_2, Y_1) & \rTo^{\eta_{X_2, Y_1}~~} & \cC(X_2, GY_1) \\
\dTo^{\cD(Ff,g)} & & \dTo_{\cC(f, Gg)} \\
\cD(FX_1, Y_2) & \rTo^{\eta_{X_1, Y_2}~~} & \cC(X_1, GY_2) \\
\end{diagram}
so: $\eta(g \circ h \circ Ff) = Gg \circ \eta(h) \circ f$

Beispiel: $A, B$ $\Lambda$-Algebren, $\lsub{A}{L} \in \lsub{A}{\Mod}, \lsub{B}{M}_A \in \lsub{B}{\Mod}_A, \lsub{B}{N} \in \lsub{B}{\Mod}$ \\
$F: \lsub{A}{\Mod} \to \lsub{B}{\Mod}: L \mapsto \lsub{B}{M} \otimes_A L$ \\
$G: \lsub{B}{\Mod} \to \lsub{A}{\Mod}: \lsub{B}{N} \mapsto \Hom_B(\lsub{B}{\Mod}_A, \lsub{B}{N}) = \Hom_B(\lsub{B_M}, -)(B_N)$ \\
$F$ ist linksadjungiert zu $G$ ("`Tensorfunktor ist linksadjungiert zum Homfunktor"')

$\tau_{L,N}: \Hom_A(L, \Hom_B(M, N)) \mathop{\to}\limits_{\tilde{}} \Hom_B(M \otimes_A L, N), \tau = (\tau_{L,N})$

Sei $B \subseteq A$ Unterring, $A$ als $\lsub{B}{A}_A$ Modul, $L \in \lsub{A}{\Mod}, \lsub{B}{A}_A \otimes_A L = Res_B^A(L), N \in \lsub{B}{\Mod}, \lsub{A}{A} \otimes_B N = Ind_B^A(N)$ \\
$\Hom_A(Ind_B^A(N), L) \cong \Hom_B(N, Res_B^A(L))$

\end{document}


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\providecommand{\cC}[0]{\mathcal{C}}
\providecommand{\cD}[0]{\mathcal{D}}
\providecommand{\cF}[0]{\mathcal{F}}
\providecommand{\cG}[0]{\mathcal{G}}
\providecommand{\cR}[0]{\mathcal{R}}
\providecommand{\cM}[0]{\mathcal{M}}
\providecommand{\cL}[0]{\mathcal{L}}

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