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Vorlesung 9.2.2010

master
Stefan Bühler 9 years ago
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@@ -2075,7 +2075,7 @@ Klar: Ein Isomorphismus ist auch Epimorphismus und Monomorphismus.
Eindeutig bis auf Isomorphie. \\
$\cC(0, X) = \set{0} = \set{0_{0, X}}, \cC(X, 0) = \set{0} = \set{0_{X,0}}$ \\
$0_{0, Y} \circ 0_{X, 0}: X \to Y$ heißt $0$-Morphismus ($O_{X,Y}$)

Sei $\cC$ Kategorie mit $0$-Objekt $O$. Sei $\varphi: A \to B$ Morphismus in $\cC$.
Wir definieren den Kern wie folgt: \\
@@ -2085,8 +2085,88 @@ Klar: Ein Isomorphismus ist auch Epimorphismus und Monomorphismus.
\item Ist $\varphi \psi = 0$ für einen Morphismus $\psi$ von $X$ nach $A$, so existiert $\psi': X \to K$ mit $\mu \psi' = \psi$
\end{enumerate}

Dualisieren ergibt Kokern "`cok"' $\varphi$ ($\varphi: B \to A$), ($\cC \lsub{R}{\Mod}, coker \varphi = A / \im \varphi)$
Dualisieren ergibt Kokern $\chi = \coker \varphi$ ($\varphi: A \to B$), $\chi: B \to C, \chi \varphi = 0$ ($\cC \lsub{R}{\Mod}, \coker \varphi = B / \im \varphi)$ \\
$ \forall \rho: B \to C, \rho \varphi = 0: \exists \rho': \rho' \chi = \rho$.

\end{enumerate}

\section{Natürliche Transformationen}

Definition: Seien $\cC, \cD$ Kategorien und $F, G$ Funktoren von $\cC$ nach $\cD$. Eine natürliche Transformation von $F$ nach $G$ ist eine Familie $(t_X)_{X \in \Obj(\cC)}$
von Morphismen $t_X: F(X) \to G(X)$, so dass das folgende Diagramm für jeden Morphismus $f: X \to Y$ in $\cC$ kommutiert ($G(f)t_X = t_YF(f)$):
\begin{diagram}
F(X) & \rTo^{t_X} & G(X)\\
\dTo^{F(f)} & ~~~~~~~~~ & \dTo_{G(f)} \\
F(Y) & \rTo^{t_Y} & G(Y)
\end{diagram}
Wir schreiben kurz: $t: F \to G$ und nennen $t$ auch "`Morphismus vn $F$ nach $G$"'.

$F, G, H$ Funktoren von $\cC \to \cD, t: F \to G, u: G \to $ natürliche Transformationen, so wird durch $(u \circ t)_X = u_X \circ t_X$ eine natürliche Transformation $u \circ t: F \to H$ definiert.
\begin{diagram}
F(X) & \rTo^{t_X} & G(X) & \rTo^{u_X} & H(X) \\
\dTo^{F(f)} & ~~~~~~~~~ & \dTo_{G(f)} & ~~~~~~~~~ & \dTo_{H(f)} \\
F(Y) & \rTo^{t_Y} & G(Y) & \rTo^{u_Y} & H(Y)
\end{diagram}

Klar: $\id_F = (\id_{F(X)})_{X \in \Obj(\cC)}$ ist natürliche Transformation. \\
Und: $u \circ (t \circ s) = (u \circ t) \circ s$

"`Kategorie"' der Funktoren von $\cC$ nach $\cD$: \\
Sind $\cC$ und $\cD$ kleine Kategorien, so funktioniert das.

Sind alle $t_X (X \in \Obj(\cC))$ Isomorphismen, so heißt $t$ "`natürliche Äquivalenz"' und wir schreiben $F \cong G$. \\
Klar: Dann wird durch $t^{-1} = (t_X^{-1})_{X \in \Obj(\cC)}$ ein Morphismus $t^{-1}: G \to F$ definiert mit $t t^{-1} = \id_G, t^{-1} t = \id_F$.

Definition: Seien $\cC, \cD$ Kategorien. Dann heißen $\cC$ und $\cD$ \underline{äquivalent}, falls es Funktoren $F: \cC \to \cD, G: \cD \to \cC$ gibt mit:
$G \circ F \cong \id_{\cC}, F \circ G \cong \id_{\cD}$ \\
Das heißt: Für $X, Y \in \cC, f : X \to Y$ gilt:
\begin{diagram}
GF(X) & \rTo^{t_X}_{\tilde{}} & X \\
\dTo^{GF(f)} & & \dTo_{f} \\
GF(Y) & \rTo^{t_Y}_{\tilde{}} & Y
\end{diagram}
$ \forall X \in \Obj(\cC) \exists$ Isomorphismus $t_X: GF(X) \to X$ so dass $\forall f: X \to Y$ Morphismus in $\cC$ gilt: $f t_X = t_Y GF(f)$ (analog für $FG$) \\
Wir schreiben $\cC \cong \cD$

Beispiele:
\begin{enumerate}
\item Sei $\cC_0$ Skelett von $\cC, F: \cC_0 \rInto \cC$ natürliche Einbettung, $G: \cC \to \cC_0: X \rTo^{\varphi_X}_{\tilde{}} Y \in \cC_0$, wobei $Y$ das eindeutig bestimmte Objekt von $\cC_0$ isomorph zu $X$ ist,
und für $f: X_1 \to X_2$ sei $Gf = \varphi_{X_1} f \varphi^{-1}_{X_2} (\varphi_{X_1}(X_1) = Y_1, \varphi_{X_2}(X_2) = Y_2$ \\
$\cC \cong \cC_0$
\item $K$ Körper, $\cV_K$ Kategorie der endlich dimensionalen Vektorräume über $K = \lsub{K}{\underline{\Mod}}$.
Für $V \in \lsub{K}{\underline{\Mod}}$ sei: \\
$\iota_V: V \to V^{\ast \ast}: v \mapsto \lambda \alpha . \alpha(v)$
\begin{diagram}
V & \rTo^{\iota_V} & V^{\ast \ast} \\
\dTo^{f} & & \dTo_{f^{\ast \ast}} \\
W & \rTo^{\iota_W} & W^{\ast \ast}
\end{diagram}
${}^{\ast \ast}$ ist Funktor von $\lsub{K}{\underline{\Mod}}$ nach $\lsub{K}{\underline{\Mod}}$. \\
$(\iota_V)_{V \in \lsub{K}{\underline{\Mod}}}$ ist natürliche Transformation von $\id_V$ nach ${}^{\ast \ast}$ \\
$f^{\ast \ast} \iota_V(v) = f^{\ast \ast} (\lambda \alpha. \alpha(v)) = f^{\ast} (v) = \lambda \beta . \beta(f(v))$
\end{enumerate}

Satz: (Yoneda Lemma) Sei $F: \cC \to \cS$ Funktor, $A \in \Obj(\cC)$ und $\tau: \cC(A, -) \to F$ natürliche Transformation. \\
Dann wird durch $\tau \mapsto \tau_A(1_A)$ eine Bijektion zwischen der Klasse $[\C(A, -), F]$ der natürlichen Transformationen von $\cC(A, -)$ nach $F$ und der Menge $F(A)$ definiert.
Insbesondere ist $[\cC(A, -), F]$ Menge. \\
Beweis: Sei $\varphi: A \to B$ Morphismus in $\cC$: ($\varphi_{\ast} := \cC(A, \varphi) = \lambda \alpha . \varphi \circ \alpha$)
\begin{diagram}
\cC(A, A) & \rTo^{\tau_A} & FA \\
\dTo^{\varphi_{\ast}} & & \dTo_{F(\varphi)} \\
\cC(A, B) & \rTo{\tau_B} & FB
\end{diagram}
ist kommutativ, da $\tau$ natürliche Transformation ist. Also ist $\tau_B(\varphi_{\ast}(1_A)) = \tau_B(\varphi 1_A) = \tau_B(\varphi) = (F \varphi)(\tau_A(1_A))$. Also ist
$\tau_B$ vollständig durch $\tau_A(1_A)$ bestimmt. \\
Dies zeigt, dass die Zuordnung $\tau \mapsto \tau_A(1_A) \in F(A)$ injektiv ist. \\
($\tau_A(1_A) = \tilde{\tau}_A(1_A) \Rightarrow \tau_B(\varphi) = \tilde{\tau}_B(\varphi) \forall B \Rightarrow \tau = \tilde{\tau}$)

Sei $\kappa \in F(A)$. Wir definieren $\tau_B(\varphi) = (F\varphi)(\kappa)$ \\
Wir zeigen: $\tau = (\tau_B)_{B \in \Obj(\cC)}$ ist natürliche Transformation von $\cC(A, -)$ nach $F$ mit $\tau_A(1_A) = \kappa$:
\begin{diagram}
\cC(A, B_1) & \rTo^{\tau_{B_1}} & FB_1 \\
\dTo^{\theta_{\ast}} & & \dTo_{F \theta} \\
\cC(A, B_2) & \rTo^{\tau_{B_2}} & FB_2
\end{diagram}
$\theta: B_1 \to B_2$ in $\cC, \theta_{\ast}(\mu) = \theta \circ \mu : A \to B_2$

\end{document}

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\providecommand{\cS}[0]{\mathcal{S}}
\providecommand{\cT}[0]{\mathcal{T}}
\providecommand{\cU}[0]{\mathcal{U}}
\providecommand{\cV}[0]{\mathcal{V}}

\providecommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\providecommand{\norm}[1]{\lVert#1\rVert}
@@ -109,6 +110,7 @@
\DeclareMathOperator{\Obj}{Obj}
\DeclareMathOperator{\Ab}{Ab}
\DeclareMathOperator{\opp}{opp}
\DeclareMathOperator{\coker}{coker}


\DeclareMathOperator{\Reid}{Reid}

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