$0_{0, Y}\circ0_{X, 0}: X \to Y$ heißt $0$-Morphismus ($O_{X,Y}$)
Sei $\cC$ Kategorie mit $0$-Objekt $O$. Sei $\varphi: A \to B$ Morphismus in $\cC$.
Wir definieren den Kern wie folgt: \\
@ -2085,8 +2085,88 @@ Klar: Ein Isomorphismus ist auch Epimorphismus und Monomorphismus.
\item Ist $\varphi\psi=0$ für einen Morphismus $\psi$ von $X$ nach $A$, so existiert $\psi': X \to K$ mit $\mu\psi' =\psi$
\end{enumerate}
Dualisieren ergibt Kokern "`cok"' $\varphi$ ($\varphi: B \to A$), ($\cC\lsub{R}{\Mod}, coker \varphi= A /\im\varphi)$
Dualisieren ergibt Kokern $\chi=\coker\varphi$ ($\varphi: A \to B$), $\chi: B \to C, \chi\varphi=0$ ($\cC\lsub{R}{\Mod}, \coker\varphi= B /\im\varphi)$\\
$\forall\rho: B \to C, \rho\varphi=0: \exists\rho': \rho' \chi=\rho$.
\end{enumerate}
\section{Natürliche Transformationen}
Definition: Seien $\cC, \cD$ Kategorien und $F, G$ Funktoren von $\cC$ nach $\cD$. Eine natürliche Transformation von $F$ nach $G$ ist eine Familie $(t_X)_{X \in\Obj(\cC)}$
von Morphismen $t_X: F(X)\to G(X)$, so dass das folgende Diagramm für jeden Morphismus $f: X \to Y$ in $\cC$ kommutiert ($G(f)t_X = t_YF(f)$):
\begin{diagram}
F(X) &\rTo^{t_X}& G(X)\\
\dTo^{F(f)}& ~~~~~~~~~ &\dTo_{G(f)}\\
F(Y) &\rTo^{t_Y}& G(Y)
\end{diagram}
Wir schreiben kurz: $t: F \to G$ und nennen $t$ auch "`Morphismus vn $F$ nach $G$"'.
$F, G, H$ Funktoren von $\cC\to\cD, t: F \to G, u: G \to$ natürliche Transformationen, so wird durch $(u \circ t)_X = u_X \circ t_X$ eine natürliche Transformation $u \circ t: F \to H$ definiert.
Klar: $\id_F =(\id_{F(X)})_{X \in\Obj(\cC)}$ ist natürliche Transformation. \\
Und: $u \circ(t \circ s)=(u \circ t)\circ s$
"`Kategorie"' der Funktoren von $\cC$ nach $\cD$: \\
Sind $\cC$ und $\cD$ kleine Kategorien, so funktioniert das.
Sind alle $t_X (X \in\Obj(\cC))$ Isomorphismen, so heißt $t$ "`natürliche Äquivalenz"' und wir schreiben $F \cong G$. \\
Klar: Dann wird durch $t^{-1}=(t_X^{-1})_{X \in\Obj(\cC)}$ ein Morphismus $t^{-1}: G \to F$ definiert mit $t t^{-1}=\id_G, t^{-1} t =\id_F$.
Definition: Seien $\cC, \cD$ Kategorien. Dann heißen $\cC$ und $\cD$\underline{äquivalent}, falls es Funktoren $F: \cC\to\cD, G: \cD\to\cC$ gibt mit:
$G \circ F \cong\id_{\cC}, F \circ G \cong\id_{\cD}$\\
Das heißt: Für $X, Y \in\cC, f : X \to Y$ gilt:
\begin{diagram}
GF(X) &\rTo^{t_X}_{\tilde{}}& X \\
\dTo^{GF(f)}&&\dTo_{f}\\
GF(Y) &\rTo^{t_Y}_{\tilde{}}& Y
\end{diagram}
$\forall X \in\Obj(\cC)\exists$ Isomorphismus $t_X: GF(X)\to X$ so dass $\forall f: X \to Y$ Morphismus in $\cC$ gilt: $f t_X = t_Y GF(f)$ (analog für $FG$) \\
Wir schreiben $\cC\cong\cD$
Beispiele:
\begin{enumerate}
\item Sei $\cC_0$ Skelett von $\cC, F: \cC_0\rInto\cC$ natürliche Einbettung, $G: \cC\to\cC_0: X \rTo^{\varphi_X}_{\tilde{}} Y \in\cC_0$, wobei $Y$ das eindeutig bestimmte Objekt von $\cC_0$ isomorph zu $X$ ist,
und für $f: X_1\to X_2$ sei $Gf =\varphi_{X_1} f \varphi^{-1}_{X_2}(\varphi_{X_1}(X_1)= Y_1, \varphi_{X_2}(X_2)= Y_2$\\
$\cC\cong\cC_0$
\item$K$ Körper, $\cV_K$ Kategorie der endlich dimensionalen Vektorräume über $K =\lsub{K}{\underline{\Mod}}$.
Für $V \in\lsub{K}{\underline{\Mod}}$ sei: \\
$\iota_V: V \to V^{\ast\ast}: v \mapsto\lambda\alpha . \alpha(v)$
\begin{diagram}
V &\rTo^{\iota_V}& V^{\ast\ast}\\
\dTo^{f}&&\dTo_{f^{\ast\ast}}\\
W &\rTo^{\iota_W}& W^{\ast\ast}
\end{diagram}
${}^{\ast\ast}$ ist Funktor von $\lsub{K}{\underline{\Mod}}$ nach $\lsub{K}{\underline{\Mod}}$. \\
$(\iota_V)_{V \in\lsub{K}{\underline{\Mod}}}$ ist natürliche Transformation von $\id_V$ nach ${}^{\ast\ast}$\\
Satz: (Yoneda Lemma) Sei $F: \cC\to\cS$ Funktor, $A \in\Obj(\cC)$ und $\tau: \cC(A, -)\to F$ natürliche Transformation. \\
Dann wird durch $\tau\mapsto\tau_A(1_A)$ eine Bijektion zwischen der Klasse $[\C(A, -), F]$ der natürlichen Transformationen von $\cC(A, -)$ nach $F$ und der Menge $F(A)$ definiert.
Insbesondere ist $[\cC(A, -), F]$ Menge. \\
Beweis: Sei $\varphi: A \to B$ Morphismus in $\cC$: ($\varphi_{\ast} :=\cC(A, \varphi)=\lambda\alpha . \varphi\circ\alpha$)
\begin{diagram}
\cC(A, A) &\rTo^{\tau_A}& FA \\
\dTo^{\varphi_{\ast}}&&\dTo_{F(\varphi)}\\
\cC(A, B) &\rTo{\tau_B}& FB
\end{diagram}
ist kommutativ, da $\tau$ natürliche Transformation ist. Also ist $\tau_B(\varphi_{\ast}(1_A))=\tau_B(\varphi1_A)=\tau_B(\varphi)=(F \varphi)(\tau_A(1_A))$. Also ist
$\tau_B$ vollständig durch $\tau_A(1_A)$ bestimmt. \\
Dies zeigt, dass die Zuordnung $\tau\mapsto\tau_A(1_A)\in F(A)$ injektiv ist. \\
($\tau_A(1_A)=\tilde{\tau}_A(1_A)\Rightarrow\tau_B(\varphi)=\tilde{\tau}_B(\varphi)\forall B \Rightarrow\tau=\tilde{\tau}$)
Sei $\kappa\in F(A)$. Wir definieren $\tau_B(\varphi)=(F\varphi)(\kappa)$\\
Wir zeigen: $\tau=(\tau_B)_{B \in\Obj(\cC)}$ ist natürliche Transformation von $\cC(A, -)$ nach $F$ mit $\tau_A(1_A)=\kappa$:
\begin{diagram}
\cC(A, B_1) &\rTo^{\tau_{B_1}}& FB_1 \\
\dTo^{\theta_{\ast}}&&\dTo_{F \theta}\\
\cC(A, B_2) &\rTo^{\tau_{B_2}}& FB_2
\end{diagram}
$\theta: B_1\to B_2$ in $\cC, \theta_{\ast}(\mu)=\theta\circ\mu : A \to B_2$
Stefan Bühler
11 years ago