Dann sind $C, D \in\GL_n(F)$. Sei $\epsilon=\det D /\det C =\det(DC^{-1}), A =\pmatr{\epsilon&0\\0&1_{n-1}}, \det A =\epsilon, B = DA^{-1}C^{-1}$, so ist $Bc_1=\epsilon^{-1}d_1, Bc_i = d_i $ für $i > 2$\\
$BFc_i = FBc_i = Fd_i $ für alle $i$. Klar: $\det B =1$, d.h. $B \in\SL_n(F)$\qed.
Missing: 27.11.2009 \\
$\abs{G}= p^a m, p \nmid m, \abs{G}_p = p^a, \abs{G}_{p'}= m $
$\Syl_p(G)\equiv1\mod p $
Beweis: $X =\set{A \subseteq G \mid\abs{A}=\abs{G}_p = p^a }$$G$-Menge \\
Bemerkung: $P \in\Syl_p(G)\Rightarrow P \in X$\\
$ A \in X$ so gibt es ein $g \in G: g \cdot A \ni1$\\
$\abs{X}=\pmatr{p^a \cdot m \\ p^a}=\sum_{O \in\text{$G$-Bahnen von $X$}}\abs{O}$\\
Sei $A \in X, A \in O =$ Orbit von $X$so, dass $1\in A$. Sei $P =\Stab_G(A)\leq G$. Dann ist $P \subseteq P \cdot A = A \Rightarrow\abs{P}\leq\abs{A}= p^a $\\
1.3.7 $\Rightarrow\abs{O}=\abs{G:P}$. \\
Angenommen $p$ teilt nicht $\abs{G:P}$, so ist $\abs{G}_p$ Teiler von $\abs{P}$. Also ist $\abs{G}_p =\abs{P}= p^a$ und $P \in\Syl_p(G)$ und $\abs{O}= m$. \\
Sei umgekehrt $P \in\Syl_p(G)$. Dann ist die $G$-Menge $G/P =\cup g_i P$ mit $\abs{g_i P}=\abs{P}= p^a$, d.h. $G/P$ ist ein Orbit $O$ in $X$: $\abs{O}=\abs{G:P}= m$\\
Klar: $\Stab_G(1\cdot P)= P$\\
Auf diese Weise erhalten wir eine Bijektion zwischen der Menge der $G$-Bahnen in $X' :=\set{A \in X \mid p \nmid\abs{G \cdot A}}$\\
Also ist $X' =$ Vereinigung aller Bahnen $O$ von $X$ mit $p \nmid\abs{O}$\\
$X \without X' =$ Vereinigung aller Bahnen $O$ von $X$ mit $p \mid\abs{0}$ und daher $p \mid\abs{X \without X'}=\abs{X}-\abs{X'}$\\
Also $\abs{X}\equiv\abs{X'}\mod p$\\
Sei $r =\abs{\Syl_p(G)}=$ Anzahl der $p$-Sylow Untergruppen von $G$ = $\abs{\set{\text{Bahnen $O$ von $X$ mit $O \subseteq X'$}}}$. \\
Es gilt dann: $r \cdot m =\abs{X'}\equiv_p \abs{X}\equiv_p \pmatr{p^a m \\ p^a}$\\
$ p \nmid m \Rightarrow r \mod p$ ist nur von $\abs{G}$ und nicht von $G$ selbst abhängig. Das heißt je zwei Gruppen $G$ und $H$ mit $\abs{G}=\abs{H}$ haben $\mod p$ dieselbe Anzahl von $p$-Sylowgruppen. \\
Sei $G = C_{p^a m}$, dann ist $r \equiv1\mod p$, also ist $\abs{\Syl_p(G)}\equiv1\mod p$ für alle $G$ mit $G = p^a m$. Insbesondere ist $r \neq0$, d.h. $G$ besitzt mindestens eine $p$-Sylow Untergruppe. \\
Dies zeigt 1) und 4).
Sei nun $P \in\Syl_p(G), G$ Gruppe der Ordnung $p^a m, p^a =\abs{G}_p, Q \leq G $$p$-Gruppe. \\
$Y =\set{gPg^{-1}\mid g\in G}$. $Q$ operiert auf $Y$ durch Konjugation: \\
$\lsup{x}{(yPy^{-1})}= xyP (xy)^{-1}\in Y$ für $x \in X$.
Sei $O$ ein $Q$-Orbit von $Y$, $P_1\in O$. Dann ist $\abs{O}=\abs{Q : \Stab_Q(P_1)}=$ Potenz von p (möglicherweise $p^0$). \\
Aber $\abs{Y}=\abs{G : N_G(P)}$ Teiler von $m$ (1.3.15) $\Rightarrow p \nmid\abs{Y}$.Also muss es eine $Q$-Bahn $O$ in $Y$ geben mit $p \nmid\abs{O}\Rightarrow\exists Q$-Bahn $O$ in $Y$ mit $\abs{O}= p^0=1\Rightarrow O =\set{P_1}$. Dann ist also $xP_1 x^{-1}= P_1\forall x \in Q$. Daher ist $Q P_1= P_1 Q$ und mit (1.1.4) ist $Q P_1\leq G$\\
Klar ist: $\abs{P_1}\leq\abs{Q P_1}$. Nach 1.3.12 ist $\abs{Q P_1}=\frac{\abs{Q}\abs{P_1}}{\abs{Q \cap p_1}}=\abs{P_1}\abs{Q: Q\cap P_1}$. Also ist $QP_1$ eine $p$-Untergruppe von $G$. \\
Also ist wegen $\abs{P_1}\leq\abs{QP_1}$ die Ordnung $\abs{Q \cdot P_1}$ von $QP_1$ gleich $P_1= p^a$ und daher $\abs{Q \cap P_1}=\abs{Q}\Rightarrow Q \subseteq P_1\in\Syl_p(G)$. Dies zeigt 3).
Seien $Q, P \in\Syl_p(G)\Rightarrow$ (nach vorigem Schritt) $\exists g \in G: Q \leq gPg^{-1}$. Wegen $\abs{Q}=\abs{P}= p^a$ ist $Q = gPg^{-1}$. \qed
2. Beweis für Existenz von $p$-Sylowuntergruppen:
Induktion über $\abs{G}$\\
$\abs{G}=1$ trivial \\
$p \nmid\abs{G}$ trivial \\
$\abs{G}= p^a m$ mit $p \nmid m > 1$, und sei die Behauptung beweisen für alle Gruppen $\abs{H}$ mit $\abs{H} < \abs{G}$. \\
Besitzt $G$ eie echte Untergruppe $H$ mit $p \nmid[G : H]$, so ist jede $p$-Sylowgruppe von $H$ eine $p$-Sylowgruppe von $G$ und wir sind fertig. \\
Ohne Einschränkung gelte $H \lneq G \Rightarrow p \mid[G : H]$\\
Klassengleichung 1.3.13: \\
$\abs{G}=\abs{Z(G)}+\sum\limits_{i=1}^l [G : C_G(g_i)]$ mit $\set{g_1, \ldots, g_l}$ Repräsentanten von Konjugationsklassen von $G$ der Größe $> 1$. \\
Für $1\leq i \leq l$ ist $C_G(g_i)\lneq G$ und daher $p \mid[G : C_G(g_i)]$\\
Also teilt $p \mid Z(G)=$ abelsche Gruppe. Also ist $\abs{Z(G)} > 1$. \\
$\Rightarrow G$ besitzt eine normale Untergruppe $N$ ($\leq Z(G)$) der Ordnung $p$. $\abs{G/N}= p^{a-1}m < p^am \Rightarrow\exists\overline{P}\in\Syl_p(G/N)$\\
Sei $P =$ volles Urbild von $\overline{P}$ in $G \Rightarrow N \trianglelefteq P, P/N =\overline{P}\Rightarrow\abs{P}= p^a \Rightarrow P \in\Syl_p(G)$.
Korrolar: Sei $\abs{G}= p^a m, p^a =\abs{G}_p$. Dann gibt es für $1\leq b \leq a$ eine Untergruppe $H$ von $G$ mit $\abs{H}= p^b$ (Weil $P \in\Syl_p(G)$ eine $p$-Gruppe, daher nilpotent und damit auflösbar ist. Wir können $H \leq P$ wählen!).
3.1.3 Korrolar: $\abs{\Syl_p(G)}$ ist Teiler von $\abs{G}_{p'}=\frac{\abs{G}}{\abs{G}_p}$ ($\abs{G}= p^a m, p \nmid m$) \\
Beweis: $G$ operiert auf $\Syl_p(G)$ per Konjugation transitiv. Also ist $P \in\Syl_p(G)$, so ist $\abs{\Syl_p(G)}=[G : \Stab_G(P)]$. Wegen $P \trianglelefteq N_G(P)\leq G$ ist daher $\abs{\Syl_p(G)}$ Teiler von $m$.
3.1.4 Korrolar: (Cauchy's Theorem) $G$ hat ein Element der Ordnung $p$ ($p \mid\abs{G}$) \\
3.1.5 Satz: Sei $N \trianglelefteq G (N \neq G)$, und sei $P \in\Syl_p(G)$. Dann ist $PN/N \in\Syl_p(G/N)$ und $P \cap N \in\Syl_p(N)$. \\
Beweis: $[G/N : PN/N]=[G : PN]$ wegen 3. Isosatz. $PN/N \cong P/(P\cup N)\Rightarrow PN/N$ ist Gruppe. \\
$p \nmid[G:P]=\abs{G}_{p'}\Rightarrow[G : PN]$ ist Teiler von $m$, wird nicht von $p$ geteilt. \\
$\Rightarrow PN/N \in\Syl_p(G/N)$. \\
Nach 1.3.12 ist $[PN : P]=\frac{\abs{P}\cdot\abs{N}}{\abs{P \cap N}\abs{P}}=\frac{\abs{N}}{\abs{P \cap N}}\Rightarrow$ (nach oben) $P \cap N$ ist $p$-Untergruppe von $N$ mit $[N : P \cap N]$ wird nicht von $p$ geteilt. Also ist $P \cap N \in\Syl_p(N)$. \qed\\
Vorsicht: $H \leq G \nRightarrow H \cap P \in\Syl_p(H)$ für $P \in\Syl_p(G)$
3.1.6 Satz: Sei $H \leq G, P \in\Syl_p(G)$. Dann gibt es $g \in G$ so, dass $g P g^{-1}\cap H \in\Syl_p(H)$ ist. \\
Beweis: Sei $Q \in\Syl_p(H)\Rightarrow\exists P' \in\Syl_p(G)$ mit $Q \subseteq P' \Rightarrow\exists g \in G$ mit $P' = gPg^{-1}\cap H \supseteq Q$\\
Stefan Bühler
12 years ago