Initial commit

skript.tex

@@ -0,0 +1,89 @@
+\input{standard}
+
+\usepackage{tikz}
+% \usetikzlibrary{automata}
+
+\usepackage[small,nohug,heads=vee]{diagrams}
+% \diagramstyle[labelstyle=\scriptstyle]
+
+\subject{Mitschrieb der Vorlesung}
+\title{Darstellungstheorie I}
+\author{Wintersemester 2009/10 \\ Prof. Dr. Richard Dipper}
+\publishers{Mitgeschrieben von Stefan Bühler}
+
+\providecommand{\F}[1]{\mathcal{F}_{#1}}
+\newcommand{\lsup}[2]{\ensuremath{\sideset{^{#1}}{}{\mathop{#2}}}}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+\tableofcontents
+
+\chapter{Unknown}
+
+\chapter{Gruppenkonstruktionen und Automorphismen}
+
+\begin{definition}
+Sei $X$ eine Menge. Die Freie Gruppe $\F X$ über X wird wie folgt konstruiert: \\
+Ein Wort in $\F X$ besteht aus einer endlichen Folge
+$$ x_1^{\varepsilon_1} x_2^{\varepsilon_2} \ldots x_k^{\varepsilon_k}, k \leq 0, \varepsilon_i \in \set{-1, 1}, x_i \in X $$
+Das leere Wort ($k = 0$) wird als $1$ notiert. \\
+Ist für ein $1 \leq i < k$ in einem Wort $x_i = x_{i+1}$ und $\varepsilon_i = - \varepsilon_{i+1}$, so können wir dieses Wort verkürzen, in dem wir
+$x_i^{\varepsilon_i} x_{i+1}^{\varepsilon_{i+1}}$ entfernen. \\
+Wörter, die nicht mehr verkürzt werden können, heißen unverkürzbar. \\
+Der transitive, symmetrische und reflexive Abschluss des "`Kürzens"' definiert eine Äquivalenzrelation; $\F X$ ist als die Gruppe mit der Menge der
+Äquivalenzklassen dieser Relation definiert, wobei die Multiplikation durch Konkatenation der Vertreter definiert wird. \\
+Zwei Wörter sind also äquivalent, wenn man durch Kürzen und Erweitern des einen Wortes das andere erhält. \\
+$\F X$ ist Gruppe mit folgender universeller Eigenschaft: \\
+\parbox{5cm}{
+\begin{diagram}
+X & \rInto^{i}         & \F X \\
+  & \rdTo_{\forall f}  & \dDashto_{\exists ! \hat{f}} \\
+  &                    & G
+\end{diagram}
+}, so dass $\hat{f} \circ i = f$ und $\hat{f}$ Gruppenhomomorphismus.
+
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+Man kann das freie Produkt $G \ast H$ über den Gruppen G und H als Wörter über dem Alphabet $G \cup H$ definieren. \\
+Das freie Produkt hat folgende universelle Eigenschaft: \\
+Sei $\varphi: G \times H \to A$, $G, H, A$ Gruppen, $\varphi_{\mid G \times \set{1_H}}$ und $\varphi_{\mid \set{1_G} \times H}$ jeweils ein Gruppenhomomorphismus, $i: (g,h) \mapsto gh$: \\
+\parbox{5cm}{
+\begin{diagram}
+G \times H & \rInto^{i}         & G \ast H \\
+  & \rdTo_{\forall\varphi}    & \dDashto_{\exists ! \hat{\varphi}} \\
+  &                    & A
+\end{diagram}
+}, so dass $\hat{\varphi} \circ i = \varphi$ und $\hat{\varphi}$ Gruppenhomomorphismus.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+Gruppen mit Erzeugenden und Relationen: $X$ eine Menge, $S \subseteq \F X$ "`Relationen"'. \\
+% Dann ist $N := < \sideset{^{\F X}}{}{\mathop{S}} >$
+Dann ist $N := < \lsup{\F X}{S} >$ die normale Hülle von $S$. \\
+$G = \F X / N$ die Gruppe, die von $X$ mit den Relationen $S$ erzeugt wird; $G := < X \mid S >$.
+\end{definition}
+
+
+Beispiele:
+\begin{enumerate}[i)]
+ \item Sei $n \in \N, C_n = \set{ 1, g, \ldots, g^{n-1} } = < x | x^n = 1 >$ \\
+   Bem: $\abs{X} \leq 1 \Leftrightarrow \F X $ ist kommutativ; $\F X \cong \Z \Leftrightarrow \abs{X} = 1$
+ \item $\sigma_n = < \set{s_i \mid 1 \leq i < n} \mid s_i s_j = s_j s_i \text{ für } \abs{i-j} \leq 2, s_i^2 = 1, s_i s_{i+1} s_i = s_{i+1} s_i s_{i+1} > $
+
+Beachte: \\
+$ T \leq S \leq \F X \Rightarrow U := < \lsup{\F X}T > \leq < \lsup{\F X}S > =: V $ \\
+$ \mathop{\Longrightarrow}{\text{1. Iso Satz}} \exists \text{ Epimorphismus } \F X / U \twoheadrightarrow \F X / v $
+
+ \item Die endlichen einfachenGruppen sind (durchweg?) von 2 Elementen erzeugt.
+ \item Sei $G$ Gruppe. Wähle $X = G$, nach universeller Eigenschat $\exists !$ Epimorphismus $\F G \twoheadrightarrow G$ mit Kern $N \Rightarrow G = \F G / N$
+\end{enumerate}
+
+\begin{definition}
+Seien $G, H$ Gruppen. Das direkte Produkt $G \times H$ ist das kartesische Produkt mit komponentenweiser Multiplikation.
+\end{definition}
+
+
+
+\end{document}

standard.tex

@@ -0,0 +1,144 @@
+\documentclass[DIV14,12pt,a4paper,pagesize,headsepline]{scrreprt}
+\setlength\parindent{0pt}
+
+\usepackage[automark]{scrpage2}
+
+\renewcommand*{\chapterformat}[0]{%
+  \makebox[0pt][r]{\thechapter\autodot\enskip}}
+
+\usepackage[normalem]{ulem}
+% \usepackage{sectsty}
+
+\usepackage{enumerate}
+
+\usepackage{ae}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+% \usepackage[latin1]{inputenc}
+% \usepackage{ucs}
+\usepackage[utf8x]{inputenc}
+\usepackage{ngerman}
+
+\usepackage{listings}
+\usepackage[normalem]{ulem}
+
+\makeatletter
+\providecommand{\pmatr}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
+\providecommand{\matr}[1]{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
+\providecommand{\wrap}[1]{\langle#1\rangle}
+\providecommand{\affin}[0]{\mathbb{A}}
+\providecommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}}
+\providecommand{\proj}[0]{\mathbb{P}}
+\providecommand{\projh}[1]{\wrap{#1}_\text{proj}}
+\providecommand{\without}[0]{\backslash}
+\providecommand{\withoutnull}[0]{\without \set{0}}
+
+\providecommand{\Los}[0]{\mathbb{L}}
+\providecommand{\Q}[0]{\mathbb{Q}}
+\providecommand{\R}[0]{\mathbb{R}}
+\providecommand{\C}[0]{\mathbb{C}}
+\providecommand{\N}[0]{\mathbb{N}}
+\providecommand{\Z}[0]{\mathbb{Z}}
+\providecommand{\cO}[0]{\mathcal{O}}
+
+\providecommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
+\providecommand{\norm}[1]{\lVert#1\rVert}
+\providecommand{\ceil}[1]{\lceil#1\rceil}
+
+\def\partname\@empty
+
+\def\thechapter{\Roman{chapter}}
+\renewcommand\thechapter{\Roman{chapter}}
+
+\def\thesection{Aufgabe \arabic{section}}
+\renewcommand\thesection{Aufgabe \arabic{section}}
+\def\thesubsection{\alph{subsection})}
+\renewcommand\thesubsection{\alph{subsection})}
+
+\chead{\leftmark}
+
+\makeatother
+
+\usepackage{graphicx}						%Paket für Grafikeinbindung
+
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage[sumlimits,intlimits,namelimits]{amsmath}
+\usepackage{amsthm}   % erweiterte Theorem-Umgebungen
+\usepackage{amscd}
+
+\DeclareMathOperator{\Kern}{Kern}
+\DeclareMathOperator{\Bild}{Bild}
+\DeclareMathOperator{\id}{id}
+\DeclareMathOperator{\grad}{grad}
+\DeclareMathOperator{\rang}{rang}
+\DeclareMathOperator{\Bil}{Bil}
+\DeclareMathOperator{\Char}{char}
+\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
+
+
+%%
+%% Index-Erstellung
+%%
+%\usepackage{makeidx}
+%\makeindex            % damit eine Indexdatei angelegt wird
+
+%%
+%% XY-Pic für Diagramme etc
+%%
+\usepackage[all]{xy}      % Das Paket mit allem, was man so braucht
+%\UseComputerModernTips    % Pfeilspitzen wie im normalen Mathe-Modus
+%\CompileMatrices          % Damit geht es etwas schneller.
+
+
+\usepackage{mathrsfs}  % gibt den Befehl "\mathscr{}" für schöne
+                       % Mathe-Skript-Buchstaben 
+
+
+%Satz/Lemma/... Definitionen
+
+\newtheoremstyle{mystyle}% name
+  {3pt}%      Space above
+  {3pt}%      Space below
+  {}%         Body font
+  {}%         Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
+  {\bfseries}% Thm head font
+   {:}%        Punctuation after thm head
+   { }%     Space after thm head: " " = normal interword space;
+         %       \newline = linebreak
+  {}%         Thm head spec (can be left empty, meaning `normal')
+
+\theoremstyle{mystyle}
+\newtheorem{tsatz}{Satz}[section]
+\newtheorem{tdefinition}[tsatz]{Definition}
+\newtheorem{tlemma}[tsatz]{Lemma}
+\newtheorem{tprop}[tsatz]{Proposition}
+\newtheorem{tkorr}[tsatz]{Korrolar}
+
+\makeatletter
+
+\def\thetsatz{\arabic{chapter}\ifnum\value{section}>0 .\arabic{section}\fi .\arabic{tsatz}}
+\renewcommand\thetsatz{\arabic{chapter}\ifnum\value{section}>0 .\arabic{section}\fi .\arabic{tsatz}}
+\newenvironment{satz}[1][]{\begin{tsatz}[#1]\hypertarget{satz.\thetsatz}{}}{\end{tsatz}}
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+\theoremstyle{remark}
+\newtheorem*{bem}{Bemerkung}
+\newtheorem*{bsp}{Beispiel}
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+\newenvironment{bew}{\begin{proof}[Beweis]}{\end{proof}}
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+\usepackage[colorlinks]{hyperref}
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+\pagestyle{scrheadings}