Stefan Bühler
13 years ago
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\input{standard} |
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\usepackage{tikz} |
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% \usetikzlibrary{automata} |
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\usepackage[small,nohug,heads=vee]{diagrams} |
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% \diagramstyle[labelstyle=\scriptstyle] |
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\subject{Mitschrieb der Vorlesung} |
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\title{Darstellungstheorie I} |
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\author{Wintersemester 2009/10 \\ Prof. Dr. Richard Dipper} |
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\publishers{Mitgeschrieben von Stefan Bühler} |
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\providecommand{\F}[1]{\mathcal{F}_{#1}} |
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\newcommand{\lsup}[2]{\ensuremath{\sideset{^{#1}}{}{\mathop{#2}}}} |
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\begin{document} |
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\maketitle |
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\tableofcontents |
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\chapter{Unknown} |
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\chapter{Gruppenkonstruktionen und Automorphismen} |
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\begin{definition} |
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Sei $X$ eine Menge. Die Freie Gruppe $\F X$ über X wird wie folgt konstruiert: \\ |
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Ein Wort in $\F X$ besteht aus einer endlichen Folge |
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$$ x_1^{\varepsilon_1} x_2^{\varepsilon_2} \ldots x_k^{\varepsilon_k}, k \leq 0, \varepsilon_i \in \set{-1, 1}, x_i \in X $$ |
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Das leere Wort ($k = 0$) wird als $1$ notiert. \\ |
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Ist für ein $1 \leq i < k$ in einem Wort $x_i = x_{i+1}$ und $\varepsilon_i = - \varepsilon_{i+1}$, so können wir dieses Wort verkürzen, in dem wir |
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$x_i^{\varepsilon_i} x_{i+1}^{\varepsilon_{i+1}}$ entfernen. \\ |
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Wörter, die nicht mehr verkürzt werden können, heißen unverkürzbar. \\ |
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Der transitive, symmetrische und reflexive Abschluss des "`Kürzens"' definiert eine Äquivalenzrelation; $\F X$ ist als die Gruppe mit der Menge der |
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Äquivalenzklassen dieser Relation definiert, wobei die Multiplikation durch Konkatenation der Vertreter definiert wird. \\ |
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Zwei Wörter sind also äquivalent, wenn man durch Kürzen und Erweitern des einen Wortes das andere erhält. \\ |
||||
$\F X$ ist Gruppe mit folgender universeller Eigenschaft: \\ |
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\parbox{5cm}{ |
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\begin{diagram} |
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X & \rInto^{i} & \F X \\ |
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& \rdTo_{\forall f} & \dDashto_{\exists ! \hat{f}} \\ |
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& & G |
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\end{diagram} |
||||
}, so dass $\hat{f} \circ i = f$ und $\hat{f}$ Gruppenhomomorphismus. |
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\end{definition} |
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\begin{definition} |
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Man kann das freie Produkt $G \ast H$ über den Gruppen G und H als Wörter über dem Alphabet $G \cup H$ definieren. \\ |
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Das freie Produkt hat folgende universelle Eigenschaft: \\ |
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Sei $\varphi: G \times H \to A$, $G, H, A$ Gruppen, $\varphi_{\mid G \times \set{1_H}}$ und $\varphi_{\mid \set{1_G} \times H}$ jeweils ein Gruppenhomomorphismus, $i: (g,h) \mapsto gh$: \\ |
||||
\parbox{5cm}{ |
||||
\begin{diagram} |
||||
G \times H & \rInto^{i} & G \ast H \\ |
||||
& \rdTo_{\forall\varphi} & \dDashto_{\exists ! \hat{\varphi}} \\ |
||||
& & A |
||||
\end{diagram} |
||||
}, so dass $\hat{\varphi} \circ i = \varphi$ und $\hat{\varphi}$ Gruppenhomomorphismus. |
||||
\end{definition} |
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||||
\begin{definition} |
||||
Gruppen mit Erzeugenden und Relationen: $X$ eine Menge, $S \subseteq \F X$ "`Relationen"'. \\ |
||||
% Dann ist $N := < \sideset{^{\F X}}{}{\mathop{S}} >$ |
||||
Dann ist $N := < \lsup{\F X}{S} >$ die normale Hülle von $S$. \\ |
||||
$G = \F X / N$ die Gruppe, die von $X$ mit den Relationen $S$ erzeugt wird; $G := < X \mid S >$. |
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\end{definition} |
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Beispiele: |
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\begin{enumerate}[i)] |
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\item Sei $n \in \N, C_n = \set{ 1, g, \ldots, g^{n-1} } = < x | x^n = 1 >$ \\ |
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Bem: $\abs{X} \leq 1 \Leftrightarrow \F X $ ist kommutativ; $\F X \cong \Z \Leftrightarrow \abs{X} = 1$ |
||||
\item $\sigma_n = < \set{s_i \mid 1 \leq i < n} \mid s_i s_j = s_j s_i \text{ für } \abs{i-j} \leq 2, s_i^2 = 1, s_i s_{i+1} s_i = s_{i+1} s_i s_{i+1} > $ |
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Beachte: \\ |
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$ T \leq S \leq \F X \Rightarrow U := < \lsup{\F X}T > \leq < \lsup{\F X}S > =: V $ \\ |
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$ \mathop{\Longrightarrow}{\text{1. Iso Satz}} \exists \text{ Epimorphismus } \F X / U \twoheadrightarrow \F X / v $ |
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\item Die endlichen einfachenGruppen sind (durchweg?) von 2 Elementen erzeugt. |
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\item Sei $G$ Gruppe. Wähle $X = G$, nach universeller Eigenschat $\exists !$ Epimorphismus $\F G \twoheadrightarrow G$ mit Kern $N \Rightarrow G = \F G / N$ |
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\end{enumerate} |
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\begin{definition} |
||||
Seien $G, H$ Gruppen. Das direkte Produkt $G \times H$ ist das kartesische Produkt mit komponentenweiser Multiplikation. |
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\end{definition} |
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\end{document} |
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\documentclass[DIV14,12pt,a4paper,pagesize,headsepline]{scrreprt} |
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\setlength\parindent{0pt} |
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\usepackage[automark]{scrpage2} |
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\renewcommand*{\chapterformat}[0]{% |
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\makebox[0pt][r]{\thechapter\autodot\enskip}} |
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\usepackage[normalem]{ulem} |
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% \usepackage{sectsty} |
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\usepackage{enumerate} |
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\usepackage{ae} |
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\usepackage[T1]{fontenc} |
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% \usepackage[latin1]{inputenc} |
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% \usepackage{ucs} |
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\usepackage[utf8x]{inputenc} |
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\usepackage{ngerman} |
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\usepackage{listings} |
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\usepackage[normalem]{ulem} |
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\makeatletter |
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\providecommand{\pmatr}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} |
||||
\providecommand{\matr}[1]{\begin{matrix}#1\end{matrix}} |
||||
\providecommand{\wrap}[1]{\langle#1\rangle} |
||||
\providecommand{\affin}[0]{\mathbb{A}} |
||||
\providecommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}} |
||||
\providecommand{\proj}[0]{\mathbb{P}} |
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\providecommand{\projh}[1]{\wrap{#1}_\text{proj}} |
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\providecommand{\without}[0]{\backslash} |
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\providecommand{\withoutnull}[0]{\without \set{0}} |
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\providecommand{\Los}[0]{\mathbb{L}} |
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\providecommand{\Q}[0]{\mathbb{Q}} |
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\providecommand{\R}[0]{\mathbb{R}} |
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\providecommand{\C}[0]{\mathbb{C}} |
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\providecommand{\cO}[0]{\mathcal{O}} |
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\providecommand{\norm}[1]{\lVert#1\rVert} |
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\providecommand{\ceil}[1]{\lceil#1\rceil} |
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\def\partname\@empty |
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\def\thechapter{\Roman{chapter}} |
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\renewcommand\thechapter{\Roman{chapter}} |
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\def\thesection{Aufgabe \arabic{section}} |
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\renewcommand\thesection{Aufgabe \arabic{section}} |
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\def\thesubsection{\alph{subsection})} |
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\renewcommand\thesubsection{\alph{subsection})} |
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\chead{\leftmark} |
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\makeatother |
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\usepackage{graphicx} %Paket für Grafikeinbindung |
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\usepackage{amssymb} |
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\usepackage[sumlimits,intlimits,namelimits]{amsmath} |
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\usepackage{amsthm} % erweiterte Theorem-Umgebungen |
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\usepackage{amscd} |
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\DeclareMathOperator{\Kern}{Kern} |
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\DeclareMathOperator{\Bild}{Bild} |
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\DeclareMathOperator{\id}{id} |
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\DeclareMathOperator{\grad}{grad} |
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\DeclareMathOperator{\rang}{rang} |
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\DeclareMathOperator{\Bil}{Bil} |
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\DeclareMathOperator{\Char}{char} |
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\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom} |
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%% |
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%% Index-Erstellung |
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%% |
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%\usepackage{makeidx} |
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%\makeindex % damit eine Indexdatei angelegt wird |
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%% |
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%% XY-Pic für Diagramme etc |
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%% |
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\usepackage[all]{xy} % Das Paket mit allem, was man so braucht |
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%\UseComputerModernTips % Pfeilspitzen wie im normalen Mathe-Modus |
||||
%\CompileMatrices % Damit geht es etwas schneller. |
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\usepackage{mathrsfs} % gibt den Befehl "\mathscr{}" für schöne |
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% Mathe-Skript-Buchstaben |
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%Satz/Lemma/... Definitionen |
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\newtheoremstyle{mystyle}% name |
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{3pt}% Space above |
||||
{3pt}% Space below |
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{}% Body font |
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{}% Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent) |
||||
{\bfseries}% Thm head font |
||||
{:}% Punctuation after thm head |
||||
{ }% Space after thm head: " " = normal interword space; |
||||
% \newline = linebreak |
||||
{}% Thm head spec (can be left empty, meaning `normal') |
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\theoremstyle{mystyle} |
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\newtheorem{tsatz}{Satz}[section] |
||||
\newtheorem{tdefinition}[tsatz]{Definition} |
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\newtheorem{tlemma}[tsatz]{Lemma} |
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\newtheorem{tprop}[tsatz]{Proposition} |
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\newtheorem{tkorr}[tsatz]{Korrolar} |
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\makeatletter |
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||||
\def\thetsatz{\arabic{chapter}\ifnum\value{section}>0 .\arabic{section}\fi .\arabic{tsatz}} |
||||
\renewcommand\thetsatz{\arabic{chapter}\ifnum\value{section}>0 .\arabic{section}\fi .\arabic{tsatz}} |
||||
\newenvironment{satz}[1][]{\begin{tsatz}[#1]\hypertarget{satz.\thetsatz}{}}{\end{tsatz}} |
||||
\newenvironment{definition}[1][]{\begin{tdefinition}[#1]\hypertarget{satz.\thetsatz}{}}{\end{tdefinition}} |
||||
\newenvironment{lemma}[1][]{\begin{tlemma}[#1]\hypertarget{satz.\thetsatz}{}}{\end{tlemma}} |
||||
\newenvironment{prop}[1][]{\begin{tprop}[#1]\hypertarget{satz.\thetsatz}{}}{\end{tprop}} |
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\newenvironment{korr}[1][]{\begin{tkorr}[#1]\hypertarget{satz.\thetsatz}{}}{\end{tkorr}} |
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\providecommand{\hl}{\hyperlink} |
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\providecommand{\tocsection}[1]{\section*{#1}\addcontentsline{toc}{section}{#1}} |
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||||
\providecommand{\Rightarrowstar}[0]{\mathop{\Longrightarrow}\limits^{*}} |
||||
\providecommand{\Rightarrowleq}[1]{\mathop{\Longrightarrow}\limits^{\leq{#1}}} |
||||
\providecommand{\Leftrightarrowstar}[0]{\mathop{\Longleftrightarrow}\limits^{*}} |
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\makeatother |
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\theoremstyle{remark} |
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\newtheorem*{bem}{Bemerkung} |
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\newtheorem*{bsp}{Beispiel} |
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\newenvironment{bew}{\begin{proof}[Beweis]}{\end{proof}} |
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\usepackage[colorlinks]{hyperref} |
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\pagestyle{scrheadings} |
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Reference in new issue