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\input{standard}
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\usepackage{tikz}
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% \usetikzlibrary{automata}
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\usepackage[small,nohug,heads=vee]{diagrams}
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% \diagramstyle[labelstyle=\scriptstyle]
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\subject{Mitschrieb der Vorlesung}
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\title{Darstellungstheorie I}
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\author{Wintersemester 2009/10 \\ Prof. Dr. Richard Dipper}
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\publishers{Mitgeschrieben von Stefan Bühler}
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\providecommand{\F}[1]{\mathcal{F}_{#1}}
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\newcommand{\lsup}[2]{\ensuremath{\sideset{^{#1}}{}{\mathop{#2}}}}
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\begin{document}
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\maketitle
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\tableofcontents
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\chapter{Unknown}
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\chapter{Gruppenkonstruktionen und Automorphismen}
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\begin{definition}
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Sei $X$ eine Menge. Die Freie Gruppe $\F X$ über X wird wie folgt konstruiert: \\
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Ein Wort in $\F X$ besteht aus einer endlichen Folge
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$$ x_1^{\varepsilon_1} x_2^{\varepsilon_2} \ldots x_k^{\varepsilon_k}, k \leq 0, \varepsilon_i \in \set{-1, 1}, x_i \in X $$
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Das leere Wort ($k = 0$) wird als $1$ notiert. \\
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Ist für ein $1 \leq i < k$ in einem Wort $x_i = x_{i+1}$ und $\varepsilon_i = - \varepsilon_{i+1}$, so können wir dieses Wort verkürzen, in dem wir
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$x_i^{\varepsilon_i} x_{i+1}^{\varepsilon_{i+1}}$ entfernen. \\
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Wörter, die nicht mehr verkürzt werden können, heißen unverkürzbar. \\
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Der transitive, symmetrische und reflexive Abschluss des "`Kürzens"' definiert eine Äquivalenzrelation; $\F X$ ist als die Gruppe mit der Menge der
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Äquivalenzklassen dieser Relation definiert, wobei die Multiplikation durch Konkatenation der Vertreter definiert wird. \\
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Zwei Wörter sind also äquivalent, wenn man durch Kürzen und Erweitern des einen Wortes das andere erhält. \\
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$\F X$ ist Gruppe mit folgender universeller Eigenschaft: \\
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\parbox{5cm}{
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\begin{diagram}
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X & \rInto^{i} & \F X \\
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& \rdTo_{\forall f} & \dDashto_{\exists ! \hat{f}} \\
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& & G
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\end{diagram}
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}, so dass $\hat{f} \circ i = f$ und $\hat{f}$ Gruppenhomomorphismus.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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Man kann das freie Produkt $G \ast H$ über den Gruppen G und H als Wörter über dem Alphabet $G \cup H$ definieren. \\
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Das freie Produkt hat folgende universelle Eigenschaft: \\
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Sei $\varphi: G \times H \to A$, $G, H, A$ Gruppen, $\varphi_{\mid G \times \set{1_H}}$ und $\varphi_{\mid \set{1_G} \times H}$ jeweils ein Gruppenhomomorphismus, $i: (g,h) \mapsto gh$: \\
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\parbox{5cm}{
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\begin{diagram}
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G \times H & \rInto^{i} & G \ast H \\
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& \rdTo_{\forall\varphi} & \dDashto_{\exists ! \hat{\varphi}} \\
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& & A
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\end{diagram}
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}, so dass $\hat{\varphi} \circ i = \varphi$ und $\hat{\varphi}$ Gruppenhomomorphismus.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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Gruppen mit Erzeugenden und Relationen: $X$ eine Menge, $S \subseteq \F X$ "`Relationen"'. \\
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% Dann ist $N := < \sideset{^{\F X}}{}{\mathop{S}} >$
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Dann ist $N := < \lsup{\F X}{S} >$ die normale Hülle von $S$. \\
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$G = \F X / N$ die Gruppe, die von $X$ mit den Relationen $S$ erzeugt wird; $G := < X \mid S >$.
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\end{definition}
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Beispiele:
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\begin{enumerate}[i)]
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\item Sei $n \in \N, C_n = \set{ 1, g, \ldots, g^{n-1} } = < x | x^n = 1 >$ \\
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Bem: $\abs{X} \leq 1 \Leftrightarrow \F X $ ist kommutativ; $\F X \cong \Z \Leftrightarrow \abs{X} = 1$
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\item $\sigma_n = < \set{s_i \mid 1 \leq i < n} \mid s_i s_j = s_j s_i \text{ für } \abs{i-j} \leq 2, s_i^2 = 1, s_i s_{i+1} s_i = s_{i+1} s_i s_{i+1} > $
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Beachte: \\
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$ T \leq S \leq \F X \Rightarrow U := < \lsup{\F X}T > \leq < \lsup{\F X}S > =: V $ \\
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$ \mathop{\Longrightarrow}{\text{1. Iso Satz}} \exists \text{ Epimorphismus } \F X / U \twoheadrightarrow \F X / v $
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\item Die endlichen einfachenGruppen sind (durchweg?) von 2 Elementen erzeugt.
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\item Sei $G$ Gruppe. Wähle $X = G$, nach universeller Eigenschat $\exists !$ Epimorphismus $\F G \twoheadrightarrow G$ mit Kern $N \Rightarrow G = \F G / N$
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\end{enumerate}
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\begin{definition}
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Seien $G, H$ Gruppen. Das direkte Produkt $G \times H$ ist das kartesische Produkt mit komponentenweiser Multiplikation.
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\end{definition}
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\end{document}
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\documentclass[DIV14,12pt,a4paper,pagesize,headsepline]{scrreprt}
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\setlength\parindent{0pt}
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\usepackage[automark]{scrpage2}
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\renewcommand*{\chapterformat}[0]{%
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\makebox[0pt][r]{\thechapter\autodot\enskip}}
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\usepackage[normalem]{ulem}
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% \usepackage{sectsty}
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\usepackage{enumerate}
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\usepackage{ae}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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% \usepackage[latin1]{inputenc}
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% \usepackage{ucs}
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\usepackage[utf8x]{inputenc}
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\usepackage{ngerman}
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\usepackage{listings}
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\usepackage[normalem]{ulem}
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\makeatletter
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\providecommand{\pmatr}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
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\providecommand{\matr}[1]{\begin{matrix}#1\end{matrix}}
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\providecommand{\wrap}[1]{\langle#1\rangle}
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\providecommand{\affin}[0]{\mathbb{A}}
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\providecommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}}
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\providecommand{\proj}[0]{\mathbb{P}}
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\providecommand{\projh}[1]{\wrap{#1}_\text{proj}}
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\providecommand{\without}[0]{\backslash}
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\providecommand{\withoutnull}[0]{\without \set{0}}
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\providecommand{\Los}[0]{\mathbb{L}}
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\providecommand{\Q}[0]{\mathbb{Q}}
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\providecommand{\R}[0]{\mathbb{R}}
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\providecommand{\C}[0]{\mathbb{C}}
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\providecommand{\N}[0]{\mathbb{N}}
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\providecommand{\Z}[0]{\mathbb{Z}}
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\providecommand{\cO}[0]{\mathcal{O}}
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\providecommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
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\providecommand{\norm}[1]{\lVert#1\rVert}
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\providecommand{\ceil}[1]{\lceil#1\rceil}
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\def\partname\@empty
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\def\thechapter{\Roman{chapter}}
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\renewcommand\thechapter{\Roman{chapter}}
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\def\thesection{Aufgabe \arabic{section}}
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\renewcommand\thesection{Aufgabe \arabic{section}}
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\def\thesubsection{\alph{subsection})}
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\renewcommand\thesubsection{\alph{subsection})}
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\chead{\leftmark}
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\makeatother
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\usepackage{graphicx} %Paket für Grafikeinbindung
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage[sumlimits,intlimits,namelimits]{amsmath}
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\usepackage{amsthm} % erweiterte Theorem-Umgebungen
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\usepackage{amscd}
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\DeclareMathOperator{\Kern}{Kern}
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\DeclareMathOperator{\Bild}{Bild}
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\DeclareMathOperator{\id}{id}
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\DeclareMathOperator{\grad}{grad}
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\DeclareMathOperator{\rang}{rang}
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\DeclareMathOperator{\Bil}{Bil}
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\DeclareMathOperator{\Char}{char}
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\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
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%% Index-Erstellung
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%\usepackage{makeidx}
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%\makeindex % damit eine Indexdatei angelegt wird
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%% XY-Pic für Diagramme etc
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\usepackage[all]{xy} % Das Paket mit allem, was man so braucht
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%\UseComputerModernTips % Pfeilspitzen wie im normalen Mathe-Modus
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%\CompileMatrices % Damit geht es etwas schneller.
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\usepackage{mathrsfs} % gibt den Befehl "\mathscr{}" für schöne
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% Mathe-Skript-Buchstaben
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%Satz/Lemma/... Definitionen
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\newtheoremstyle{mystyle}% name
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{3pt}% Space above
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{3pt}% Space below
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{}% Body font
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{}% Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
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{\bfseries}% Thm head font
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{:}% Punctuation after thm head
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{ }% Space after thm head: " " = normal interword space;
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% \newline = linebreak
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{}% Thm head spec (can be left empty, meaning `normal')
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\theoremstyle{mystyle}
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\newtheorem{tsatz}{Satz}[section]
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\newtheorem{tdefinition}[tsatz]{Definition}
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\newtheorem{tlemma}[tsatz]{Lemma}
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\newtheorem{tprop}[tsatz]{Proposition}
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\newtheorem{tkorr}[tsatz]{Korrolar}
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\makeatletter
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\def\thetsatz{\arabic{chapter}\ifnum\value{section}>0 .\arabic{section}\fi .\arabic{tsatz}}
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\renewcommand\thetsatz{\arabic{chapter}\ifnum\value{section}>0 .\arabic{section}\fi .\arabic{tsatz}}
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\newenvironment{satz}[1][]{\begin{tsatz}[#1]\hypertarget{satz.\thetsatz}{}}{\end{tsatz}}
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\newenvironment{definition}[1][]{\begin{tdefinition}[#1]\hypertarget{satz.\thetsatz}{}}{\end{tdefinition}}
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\newenvironment{lemma}[1][]{\begin{tlemma}[#1]\hypertarget{satz.\thetsatz}{}}{\end{tlemma}}
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\newenvironment{prop}[1][]{\begin{tprop}[#1]\hypertarget{satz.\thetsatz}{}}{\end{tprop}}
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\newenvironment{korr}[1][]{\begin{tkorr}[#1]\hypertarget{satz.\thetsatz}{}}{\end{tkorr}}
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\providecommand{\hl}{\hyperlink}
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\providecommand{\tocsection}[1]{\section*{#1}\addcontentsline{toc}{section}{#1}}
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\providecommand{\Rightarrowstar}[0]{\mathop{\Longrightarrow}\limits^{*}}
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\providecommand{\Rightarrowleq}[1]{\mathop{\Longrightarrow}\limits^{\leq{#1}}}
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\providecommand{\Leftrightarrowstar}[0]{\mathop{\Longleftrightarrow}\limits^{*}}
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\makeatother
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\theoremstyle{remark}
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\newtheorem*{bem}{Bemerkung}
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\newtheorem*{bsp}{Beispiel}
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\newenvironment{bew}{\begin{proof}[Beweis]}{\end{proof}}
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\usepackage[colorlinks]{hyperref}
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\pagestyle{scrheadings}
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