@ -2217,13 +2217,85 @@ so: $\eta(g \circ h \circ Ff) = Gg \circ \eta(h) \circ f$
Beispiel: $ A, B $ $ \Lambda $ -Algebren, $ \lsub { A } { L } \in \lsub { A } { \Mod } , \lsub { B } { M } _ A \in \lsub { B } { \Mod } _ A, \lsub { B } { N } \in \lsub { B } { \Mod } $ \\
$ F: \lsub { A } { \Mod } \to \lsub { B } { \Mod } : L \mapsto \lsub { B } { M } \otimes _ A L $ \\
$ G: \lsub { B } { \Mod } \to \lsub { A } { \Mod } : \lsub { B } { N } \mapsto \Hom _ B ( \lsub { B } { \Mod } _ A, \lsub { B } { N } ) = \Hom _ B ( \lsub { B _ M } , - ) ( B _ N ) $ \\
$ G: \lsub { B } { \Mod } \to \lsub { A } { \Mod } : \lsub { B } { N } \mapsto \Hom _ B ( \lsub { B } { M } _ A, \lsub { B } { N } ) $ \\
$ ( G = \Hom _ B ( M, - ) , F = \lsub { B } { M } \otimes _ A - ) $ \\
$ F $ ist linksadjungiert zu $ G $ ("`Tensorfunktor ist linksadjungiert zum Homfunktor"')
$ \tau _ { L,N } : \Hom _ A ( L, \Hom _ B ( M, N ) ) \mathop { \to } \limits _ { \tilde { } } \Hom _ B ( M \otimes _ A L, N ) , \tau = ( \tau _ { L,N } ) $
Sei $ B \subseteq A $ Unterring, $ A $ als $ \lsub { B } { A } _ A $ Modul, $ L \in \lsub { A } { \Mod } , \lsub { B } { A } _ A \otimes _ A L = Res _ B ^ A ( L ) , N \in \lsub { B } { \Mod } , \lsub { A } { A } \otimes _ B N = Ind _ B ^ A ( N ) $ \\
$ \Hom _ A ( Ind _ B ^ A ( N ) , L ) \cong \Hom _ B ( N, Res _ B ^ A ( L ) ) $
Sei $ f: L \to \Hom _ B ( M, N ) $ gegeben: $ f: l \mapsto f _ l, f _ l: M \to N $ $ B $ -linear. \\
$ \tau $ ist gegeben durch: $ \tau f ( m \otimes l ) = f _ l ( m ) $ \\
Definiere $ \hat { \tau f } ( M \times L ) \to N $ durch $ \hat { \tau f } ( m, l ) = f _ l ( m ) $ \\
\begin { enumerate} [1)]
\item $ \hat { \tau f } $ ist bilinear und $ A $ -balanced, denn: \\
$ \hat { \tau f } ( m _ 1 + m _ 2 , l ) = f _ l ( m _ 1 + m _ 2 ) = f _ l ( m _ 1 ) + f _ l ( m _ 2 ) = \hat { \tau f } ( m _ 1 , l ) + \hat { \tau f } ( m _ 2 , L ) $ \\
$ \hat { \tau f } ( m, l _ 1 + l _ 2 ) = f _ { l _ 1 + l _ 2 } ( m ) = ( f _ { l _ 1 } + f _ { l _ 2 } ) ( m ) = f _ { l _ 1 } ( m ) + f _ { l _ 2 } ( m ) = \hat { \tau f } ( m, l _ 1 ) + \hat { \tau f } ( m, l _ 2 ) $ \\
$ \hat { \tau f } ( m \cdot a, l ) = f _ l ( ma ) = ( af _ l ) ( m ) = f _ { al } ( m ) = \hat { \tau f } ( m, al ) $ \\
Also ist $ \tau f \in \Hom ( M \otimes _ A L, N ) $ (univ. Eigenschaft von Tensorprodukten)
\item $ \tau f $ ist $ B $ -linear: \\
$ ( \tau f ) ( b ( m \otimes l ) ) = f _ l ( bm ) = b f _ l ( m ) = b \cdot \tau f ( m \otimes l ) $ \\
Also ist $ \tau f \in \Hom _ B ( M \otimes _ A L, N ) $
\item $ \tau $ ist Homomorphismus von abelschen Gruppen: \\
$ \tau ( f _ 1 + f _ 2 ) ( m \otimes l ) = ( ( f _ 1 + f _ 2 ) ( l ) ) ( m ) = ( f _ 1 ( l ) + f _ 2 ( l ) ) ( m ) = f _ 1 ( l ) ( m ) + f _ 2 ( l ) ( m ) = \tau ( f _ 1 ) ( m \otimes l ) = \tau ( f _ 2 ) ( m \otimes l ) $
\item Definiere $ \lambda : \Hom _ B ( M \otimes _ A L, N ) \to \Hom _ A ( L, \Hom _ B ( M, N ) ) $ durch: \\
Sei $ g: M \otimes _ A L \to N $ $ B $ -linear: \\
$ ( ( \lambda g ) ( l ) ) ( m ) = g ( m \otimes l ) $ wohldefinierte Abbildung. offensichtlich ist $ ( \lambda g ) ( l ) \in \Hom _ B ( M, N ) $ und $ \lambda g \in \Hom _ A ( L, \Hom _ B ( M, N ) ) $ : \\
$ ( \lambda g ) ( l _ 1 + l _ 2 ) ( m ) = g ( m \otimes ( l _ 1 + l _ 2 ) ) = g ( m \otimes l _ 1 + m \otimes l _ 2 ) = g ( m \otimes l _ 1 ) + g ( m \otimes l _ 2 ) = ( \lambda g ) ( l _ 1 ) ( m ) + ( \lambda g ) ( l _ 2 ) ( m ) $ \\
$ ( \lambda g ) ( al ) ( m ) = g ( m \otimes ( al ) ) = g ( ma \otimes l ) = ( \lambda g ) ( l ) ( ma ) = ( a \cdot ( \lambda g ) ( l ) ) ( m ) $ \\
$ \lambda $ ist Homomorphismus von ableschen Gruppen: \\
$ ( \lambda ( g _ 1 + g _ 2 ) ) ( l ) ( m ) = ( g _ 1 + g _ 2 ) ( m \otimes l ) = g _ 1 ( m \otimes l ) + g _ 2 ( m \otimes l ) = \lambda g _ 1 ( l ) ( m ) + \lambda g _ 2 ( l ) ( m ) = ( \lambda g _ 1 + \lambda g _ 2 ) ( l ) ( m ) $
\item $ \tau \circ \lambda = \id $ , denn: Sei $ g \in \Hom _ B ( M \otimes _ A L, N ) $ \\
$ ( \tau ( \lambda ( g ) ) ) ( m \otimes l ) = ( \lambda ( g ) ( l ) ) ( m ) = g ( m \otimes l ) \Rightarrow ( \tau \circ \lambda ) ( g ) = g $
\item $ \lambda \circ \tau = \id $ , denn: Sei $ f \in L \to \Hom _ B ( M, N ) $ $ A $ -linear. \\
$ ( \lambda ( \tau ( f ) ) ) ( l ) ( m ) = ( \tau f ) ( m \otimes l ) = f ( l ) ( m ) \Rightarrow ( \lambda \circ \tau ) ( f ) = f $ .
Also ist $ \tau $ ein Isomorphismus abelscher Gruppen.
\item Natürlichkeit: $ i \in \set { 1 , 2 } , L _ i \in \lsub { A } { \Mod } , N _ i \in \lsub { B } { \Mod } , f: L _ 1 \to L _ 2 $ $ A $ -linear, $ g: N _ 1 \to N _ 2 $ $ B $ -linear.
\begin { diagram}
\Hom _ A(L_ 2, \Hom _ B(M, N_ 1)) & \rTo ^ { \tau } & \Hom _ B(M \otimes _ A L_ 2, N_ 1) \\
\dTo ^ { \Hom _ A(f, \Hom _ B(M, g))} & ~~~~~~~~~~~~ & \dTo _ { \Hom _ B(\id _ M \otimes f, g)} \\
\Hom _ A(L_ 1, \Hom _ B(M, N_ 2)) & \rTo ^ { \tau } & \Hom _ B(M \otimes _ A L_ 1, N_ 2) \\
\end { diagram}
ist kommutativ, da: Sei $ h \in \Hom _ A ( L _ 2 , \Hom _ B ( M, N _ 1 ) ) $ \\
$ \tau ( \Hom _ A ( f, \Hom _ B ( M, g ) ) ( h ) ) ( m \otimes l ) = ( \Hom _ A ( f, \Hom _ B ( M, g ) ) ( h ) ) ( l ) ( m ) = ( g \circ h \circ f ) ( l ) ( m ) $ \\
$ ( \Hom _ B ( \id _ M \otimes f, g ) ( \tau h ) ) ( m \otimes l ) = ( g \circ ( \tau h ) \circ ( \id _ M \otimes f ) ) ( m \otimes l ) = ( g \circ \tau h ) ( ( \id _ M \otimes f ) ( m \otimes l ) )
= (g \circ \tau h)(m \otimes f(l)) = g (h(f(l))(m)) = (g \circ h \circ f)(l)(m)$ \qed
\end { enumerate}
% Sei $ B \subseteq A $ Unterring, $ A $ als $ \lsub { B } { A } _ A $ Modul, $ L \in \lsub { A } { \Mod } , \lsub { B } { A } _ A \otimes _ A L = Res _ B ^ A ( L ) , N \in \lsub { B } { \Mod } , \lsub { A } { A } \otimes _ B N = Ind _ B ^ A ( N ) $ \\
% $ \Hom _ A ( Ind _ B ^ A ( N ) , L ) \cong \Hom _ B ( N, Res _ B ^ A ( L ) ) $
Spezialfall: $ A \subseteq B $ Ringe (Algebren), $ \lsub { B } { M } _ A = \lsub { B } { B } _ A \Rightarrow \lsub { B } { M } _ A \otimes - = \Ind _ A ^ B $ \\
$ \Hom _ B ( \lsub { B } { B } _ A, - ) $ ist der Restriktionsfunktor $ \Res _ A ^ B $ , denn für $ N \in \lsub { B } { \Mod } $ ist $ \Hom _ B ( \lsub { B } { B } _ A, N ) \cong N $ als $ A $ -Modul (natürliche Transformation $ \Hom _ B ( B, - ) \to \Res _ A ^ B $
durch $ \Hom _ B ( \lsub { B } { B } _ A, N ) \ni f \mapsto f ( 1 ) \in N $ $ ( f + g ) ( 1 ) = f ( 1 ) + g ( 1 ) , ( af ) ( 1 ) = f ( a ) = a \cdot f ( 1 ) $ \\
$ N \ni n \mapsto h _ n, h _ n ( b ) = b \cdot n $ \\
$ h _ { f ( 1 ) } ( b ) = b \cdot f ( 1 ) = f ( b ) \Rightarrow h _ { f ( 1 ) } = f $ und $ h _ n ( 1 ) = 1 \cdot n = n $ , damit sind diese Abbildungen invers zueinander und damit bijektiv. \\
Natürlichkeit: $ N _ 1 , N _ 2 \in \lsub { B } { \Mod } , \alpha : N _ 1 \to N _ 2 $ $ B $ -linear, $ \epsilon _ i ( f ) = f ( 1 ) $
\begin { diagram}
\Hom _ B(B, N_ 1) & \rTo ^ { \epsilon _ 1} & N_ 1 \\
\dTo ^ { \alpha _ { \ast } } & ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ & \dTo _ { \alpha } \\
\Hom _ B(B, N_ 2) & \rTo ^ { \epsilon _ 2} & N_ 2 \\
\end { diagram}
kommutiert, da $ \epsilon _ 2 \alpha _ { \ast } ( f ) = \epsilon _ 2 ( \alpha \circ f ) = \alpha \circ f ( 1 ) = \alpha ( f ( 1 ) ) = ( \alpha \circ \epsilon _ 1 ) ( f ) $
Satz: Seien $ A \subseteq B $ Ringe (mit derselben $ 1 $ ). Dann ist $ \Ind _ A ^ B $ linksadjungiert zur $ \Res _ A ^ B $ , d.h. für $ L \in \lsub { A } { \Mod } , B \in \lsub { B } { \Mod } $ gibt es einen natürlichen Isomorphismus (von abelschen Gruppen, $ A $ -Moduln, ...)
$$ \Hom _ B ( B \otimes _ A L, N ) \longrightarrow \Hom _ A ( L, \Res _ A ^ B N ) $$
Ein Homomorphismus $ f: B \otimes _ A L \to N $ ist vollständig durch die Bilder $ f ( 1 _ B \otimes l ) $ für $ l \in L $ bestimmt.
Gruppen: $ H \leq G, K $ Körper, $ M \in \lsub { KH } { \Mod } $ . \\
$ \Ind _ H ^ G ( H ) = KG \otimes _ H M = \bigoplus \limits _ { g \in G \without H } ( g \otimes _ H ) M $ \\
$ f: \Ind _ H ^ G ( M ) \to N, f _ { \mid _ { 1 \otimes _ H M } } $
$ \Res _ H ^ G \Ind _ H ^ G M = \bigoplus \limits _ { d \in H \\ without G / H } \Ind _ { H \cap \lsup { d } { H } } ^ H \Res _ { H \cap \lsup { d } { H } } ^ H M $ \\
$ \End _ { KG } ( \Ind _ H ^ G ( M ) ) = \Hom _ { KG } ( \Ind _ H ^ G M, \Ind _ H ^ G M ) \cong \Hom _ { KH } ( M, \Res _ H ^ G \Ind _ H ^ G M ) $ \\
$ = \bigoplus \limits _ { d \in H \\ without G / H } \Hom _ { KH } ( M, \Ind \Res M )
= \bigoplus \limits _ d \Hom _ { K(H \cap \lsup { d} { H} )} (\Res _ { H \cap \lsup { d} { H} } ^ H, \Res _ { H \cap \lsup { d} { H} } ^ H)$
\end { document}