Vorlesung 16.02.2010

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@@ -2217,13 +2217,85 @@ so: $\eta(g \circ h \circ Ff) = Gg \circ \eta(h) \circ f$
 
 Beispiel: $A, B$ $\Lambda$-Algebren, $\lsub{A}{L} \in \lsub{A}{\Mod}, \lsub{B}{M}_A \in \lsub{B}{\Mod}_A, \lsub{B}{N} \in \lsub{B}{\Mod}$ \\
 $F: \lsub{A}{\Mod} \to \lsub{B}{\Mod}: L \mapsto \lsub{B}{M} \otimes_A L$ \\
-$G: \lsub{B}{\Mod} \to \lsub{A}{\Mod}: \lsub{B}{N} \mapsto \Hom_B(\lsub{B}{\Mod}_A, \lsub{B}{N}) = \Hom_B(\lsub{B_M}, -)(B_N)$ \\
+$G: \lsub{B}{\Mod} \to \lsub{A}{\Mod}: \lsub{B}{N} \mapsto \Hom_B(\lsub{B}{M}_A, \lsub{B}{N})$ \\
+$(G = \Hom_B(M, -), F = \lsub{B}{M} \otimes_A -)$ \\
 $F$ ist linksadjungiert zu $G$ ("`Tensorfunktor ist linksadjungiert zum Homfunktor"')
 
 $\tau_{L,N}: \Hom_A(L, \Hom_B(M, N)) \mathop{\to}\limits_{\tilde{}} \Hom_B(M \otimes_A L, N), \tau = (\tau_{L,N})$
 
-Sei $B \subseteq A$ Unterring, $A$ als $\lsub{B}{A}_A$ Modul, $L \in \lsub{A}{\Mod}, \lsub{B}{A}_A \otimes_A L = Res_B^A(L), N \in \lsub{B}{\Mod}, \lsub{A}{A} \otimes_B N = Ind_B^A(N)$ \\
-$\Hom_A(Ind_B^A(N), L) \cong \Hom_B(N, Res_B^A(L))$
+Sei $f: L \to \Hom_B(M, N)$ gegeben: $f: l \mapsto f_l, f_l: M \to N$ $B$-linear. \\
+$\tau$ ist gegeben durch: $\tau f (m \otimes l) = f_l(m)$ \\
+Definiere $\hat{\tau f}(M \times L) \to N$ durch $\hat{\tau f}(m, l) = f_l(m)$ \\
+
+\begin{enumerate}[1)]
+\item $\hat{\tau f}$ ist bilinear und $A$-balanced, denn: \\
+$\hat{\tau f}(m_1 + m_2, l) = f_l(m_1 + m_2) = f_l(m_1) + f_l(m_2) = \hat{\tau f}(m_1, l) + \hat{\tau f}(m_2, L)$ \\
+$\hat{\tau f}(m, l_1 + l_2) = f_{l_1+l_2}(m) = (f_{l_1} + f_{l_2})(m) = f_{l_1}(m) + f_{l_2}(m) = \hat{\tau f}(m, l_1) + \hat{\tau f}(m, l_2)$ \\
+$\hat{\tau f}(m \cdot a, l) = f_l(ma) = (af_l)(m) = f_{al}(m) = \hat{\tau f}(m, al)$ \\
+Also ist $\tau f \in \Hom(M \otimes_A L, N)$ (univ. Eigenschaft von Tensorprodukten)
+
+\item $\tau f$ ist $B$-linear: \\
+$(\tau f)(b (m \otimes l)) = f_l(bm) = b f_l(m) = b \cdot \tau f(m \otimes l)$ \\
+Also ist $\tau f \in \Hom_B(M \otimes_A L, N)$
+
+\item $\tau$ ist Homomorphismus von abelschen Gruppen: \\
+$\tau(f_1 + f_2)(m \otimes l) = ((f_1 + f_2)(l))(m) = (f_1(l) + f_2(l))(m) = f_1(l)(m) + f_2(l)(m) = \tau(f_1)(m \otimes l) = \tau(f_2)(m \otimes l)$
+
+\item Definiere $\lambda: \Hom_B(M \otimes_A L, N) \to \Hom_A(L, \Hom_B(M, N))$ durch: \\
+Sei $g: M \otimes_A L \to N$ $B$-linear: \\
+$((\lambda g)(l))(m) = g(m \otimes l)$ wohldefinierte Abbildung. offensichtlich ist $(\lambda g)(l) \in \Hom_B(M, N)$ und $\lambda g \in \Hom_A(L, \Hom_B(M, N))$: \\
+$(\lambda g)(l_1 + l_2)(m) = g(m \otimes (l_1 + l_2)) = g(m \otimes l_1 + m \otimes l_2) = g(m \otimes l_1) + g(m \otimes l_2) = (\lambda g)(l_1)(m) + (\lambda g)(l_2)(m)$ \\
+$(\lambda g)(al)(m) = g(m \otimes (al)) = g(ma \otimes l) = (\lambda g)(l)(ma) = (a \cdot (\lambda g)(l))(m)$ \\
+$\lambda$ ist Homomorphismus von ableschen Gruppen: \\
+$(\lambda (g_1 + g_2))(l)(m) = (g_1 + g_2)(m \otimes l) = g_1(m \otimes l) + g_2(m \otimes l) = \lambda g_1 (l)(m) + \lambda g_2 (l)(m) = (\lambda g_1 + \lambda g_2)(l)(m)$
+
+\item $\tau \circ \lambda = \id$, denn: Sei $g \in \Hom_B(M \otimes_A L, N)$ \\
+$(\tau (\lambda (g)))(m \otimes l) = (\lambda(g)(l))(m) = g(m \otimes l) \Rightarrow (\tau \circ \lambda)(g) = g$
+\item $\lambda \circ \tau = \id$, denn: Sei $f \in L \to \Hom_B(M, N)$ $A$-linear. \\
+$(\lambda (\tau (f)))(l)(m) = (\tau f)(m \otimes l) = f(l)(m) \Rightarrow (\lambda \circ \tau)(f) = f$.
+
+Also ist $\tau$ ein Isomorphismus abelscher Gruppen.
+
+\item Natürlichkeit: $i \in \set{1,2}, L_i \in \lsub{A}{\Mod}, N_i \in \lsub{B}{\Mod}, f: L_1 \to L_2$ $A$-linear, $g: N_1 \to N_2$ $B$-linear.
+\begin{diagram}
+\Hom_A(L_2, \Hom_B(M, N_1)) & \rTo^{\tau} & \Hom_B(M \otimes_A L_2, N_1) \\
+\dTo^{\Hom_A(f, \Hom_B(M, g))} & ~~~~~~~~~~~~ & \dTo_{\Hom_B(\id_M \otimes f, g)} \\
+\Hom_A(L_1, \Hom_B(M, N_2)) & \rTo^{\tau} & \Hom_B(M \otimes_A L_1, N_2) \\
+\end{diagram}
+ist kommutativ, da: Sei $h \in \Hom_A(L_2, \Hom_B(M, N_1))$ \\
+$\tau( \Hom_A(f, \Hom_B(M, g))(h) )(m \otimes l) = (\Hom_A(f, \Hom_B(M, g))(h))(l)(m) = (g \circ h \circ f)(l)(m)$ \\
+$ (\Hom_B(\id_M \otimes f, g)(\tau h))(m \otimes l) = (g \circ (\tau h) \circ (\id_M \otimes f))(m \otimes l) = (g \circ \tau h)( (\id_M \otimes f)(m \otimes l) )
+  = (g \circ \tau h)(m \otimes f(l)) = g (h(f(l))(m)) = (g \circ h \circ f)(l)(m)$ \qed
+\end{enumerate}
+
+% Sei $B \subseteq A$ Unterring, $A$ als $\lsub{B}{A}_A$ Modul, $L \in \lsub{A}{\Mod}, \lsub{B}{A}_A \otimes_A L = Res_B^A(L), N \in \lsub{B}{\Mod}, \lsub{A}{A} \otimes_B N = Ind_B^A(N)$ \\
+% $\Hom_A(Ind_B^A(N), L) \cong \Hom_B(N, Res_B^A(L))$
+
+Spezialfall: $A \subseteq B$ Ringe (Algebren), $\lsub{B}{M}_A = \lsub{B}{B}_A \Rightarrow \lsub{B}{M}_A \otimes - = \Ind_A^B$ \\
+$\Hom_B(\lsub{B}{B}_A, -)$ ist der Restriktionsfunktor $\Res_A^B$, denn für $N \in \lsub{B}{\Mod}$ ist $\Hom_B(\lsub{B}{B}_A, N) \cong N$ als $A$-Modul (natürliche Transformation $\Hom_B(B, -) \to \Res_A^B$
+durch $\Hom_B(\lsub{B}{B}_A, N) \ni f \mapsto f(1) \in N$ $(f+g)(1) = f(1) + g(1), (af)(1) = f(a) = a \cdot f(1)$ \\
+$N \ni n \mapsto h_n, h_n(b) = b \cdot n$ \\
+$h_{f(1)}(b) = b \cdot f(1) = f(b) \Rightarrow h_{f(1)} = f$ und $h_n(1) = 1 \cdot n = n$, damit sind diese Abbildungen invers zueinander und damit bijektiv. \\
+Natürlichkeit: $N_1, N_2 \in \lsub{B}{\Mod}, \alpha: N_1 \to N_2$ $B$-linear, $\epsilon_i(f) = f(1)$
+\begin{diagram}
+\Hom_B(B, N_1) & \rTo^{\epsilon_1} & N_1 \\
+\dTo^{\alpha_{\ast}} & ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ & \dTo_{\alpha} \\
+\Hom_B(B, N_2) & \rTo^{\epsilon_2} & N_2 \\
+\end{diagram}
+kommutiert, da $\epsilon_2 \alpha_{\ast}(f) = \epsilon_2 (\alpha \circ f) = \alpha \circ f(1) = \alpha(f(1)) = (\alpha \circ \epsilon_1)(f)$
+
+Satz: Seien $A \subseteq B$ Ringe (mit derselben $1$). Dann ist $\Ind_A^B$ linksadjungiert zur $\Res_A^B$, d.h. für $L \in \lsub{A}{\Mod}, B \in \lsub{B}{\Mod}$ gibt es einen natürlichen Isomorphismus (von abelschen Gruppen, $A$-Moduln, ...)
+$$ \Hom_B(B \otimes_A L, N) \longrightarrow \Hom_A(L, \Res_A^B N) $$
+Ein Homomorphismus $f: B \otimes_A L \to N$ ist vollständig durch die Bilder $f(1_B \otimes l)$ für $l \in L$ bestimmt.
+
+Gruppen: $H \leq G, K$ Körper, $M \in \lsub{KH}{\Mod}$. \\
+$\Ind_H^G(H) = KG \otimes_H M = \bigoplus\limits_{g \in G \without H} (g \otimes_H) M$ \\
+$f: \Ind_H^G(M) \to N, f_{\mid_{1\otimes_H M}}$
+
+$\Res_H^G \Ind_H^G M = \bigoplus\limits_{d \in H \\without G / H} \Ind_{H \cap \lsup{d}{H}}^H \Res_{H \cap \lsup{d}{H}}^H M$ \\
+$\End_{KG}(\Ind_H^G(M)) = \Hom_{KG}(\Ind_H^G M, \Ind_H^G M) \cong \Hom_{KH}(M, \Res_H^G \Ind_H^G M) $ \\
+$= \bigoplus\limits_{d \in H \\without G / H} \Hom_{KH}(M, \Ind \Res M)
+ = \bigoplus\limits_d \Hom_{K(H \cap \lsup{d}{H})}(\Res_{H \cap \lsup{d}{H}}^H, \Res_{H \cap \lsup{d}{H}}^H)$
 
 \end{document}
 

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 \DeclareMathOperator{\Syl}{Syl}
 \DeclareMathOperator{\Mod}{mod}
 \DeclareMathOperator{\Ind}{Ind}
+\DeclareMathOperator{\Res}{Res}
 \DeclareMathOperator{\Irr}{Irr}
 \DeclareMathOperator{\tr}{tr} % Spur
 \DeclareMathOperator{\Cl}{Cl}