Vorlesung 9.2.2010

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@@ -2085,8 +2085,88 @@ Klar: Ein Isomorphismus ist auch Epimorphismus und Monomorphismus.
    \item Ist $\varphi \psi = 0$ für einen Morphismus $\psi$ von $X$ nach $A$, so existiert $\psi': X \to K$ mit $\mu \psi' = \psi$
   \end{enumerate}
 
-  Dualisieren ergibt Kokern "`cok"' $\varphi$ ($\varphi: B \to A$), ($\cC  \lsub{R}{\Mod}, coker \varphi = A / \im \varphi)$
+  Dualisieren ergibt Kokern $\chi = \coker \varphi$ ($\varphi: A \to B$), $\chi: B \to C, \chi \varphi = 0$ ($\cC  \lsub{R}{\Mod}, \coker \varphi = B / \im \varphi)$ \\
+  $ \forall \rho: B \to C, \rho \varphi = 0: \exists \rho': \rho' \chi = \rho$.
 
 \end{enumerate}
 
+\section{Natürliche Transformationen}
+
+Definition: Seien $\cC, \cD$ Kategorien und $F, G$ Funktoren von $\cC$ nach $\cD$. Eine natürliche Transformation von $F$ nach $G$ ist eine Familie $(t_X)_{X \in \Obj(\cC)}$
+von Morphismen $t_X: F(X) \to G(X)$, so dass das folgende Diagramm für jeden Morphismus $f: X \to Y$ in $\cC$ kommutiert ($G(f)t_X = t_YF(f)$):
+\begin{diagram}
+F(X) & \rTo^{t_X} & G(X)\\
+\dTo^{F(f)} & ~~~~~~~~~ & \dTo_{G(f)} \\
+F(Y) & \rTo^{t_Y} & G(Y)
+\end{diagram}
+Wir schreiben kurz: $t: F \to G$ und nennen $t$ auch "`Morphismus vn $F$ nach $G$"'.
+
+$F, G, H$ Funktoren von $\cC \to \cD, t: F \to G, u: G \to $ natürliche Transformationen, so wird durch $(u \circ t)_X = u_X \circ t_X$ eine natürliche Transformation $u \circ t: F \to H$ definiert.
+\begin{diagram}
+F(X) & \rTo^{t_X} & G(X) & \rTo^{u_X} & H(X) \\
+\dTo^{F(f)} & ~~~~~~~~~ & \dTo_{G(f)} & ~~~~~~~~~ & \dTo_{H(f)} \\
+F(Y) & \rTo^{t_Y} & G(Y) & \rTo^{u_Y} & H(Y)
+\end{diagram}
+
+Klar: $\id_F = (\id_{F(X)})_{X \in \Obj(\cC)}$ ist natürliche Transformation. \\
+Und: $u \circ (t \circ s) = (u \circ t) \circ s$
+
+"`Kategorie"' der Funktoren von $\cC$ nach $\cD$: \\
+Sind $\cC$ und $\cD$ kleine Kategorien, so funktioniert das.
+
+Sind alle $t_X (X \in \Obj(\cC))$ Isomorphismen, so heißt $t$ "`natürliche Äquivalenz"' und wir schreiben $F \cong G$. \\
+Klar: Dann wird durch $t^{-1} = (t_X^{-1})_{X \in \Obj(\cC)}$ ein Morphismus $t^{-1}: G \to F$ definiert mit $t t^{-1} = \id_G, t^{-1} t = \id_F$.
+
+Definition: Seien $\cC, \cD$ Kategorien. Dann heißen $\cC$ und $\cD$ \underline{äquivalent}, falls es Funktoren $F: \cC \to \cD, G: \cD \to \cC$ gibt mit:
+$G \circ F \cong \id_{\cC}, F \circ G \cong \id_{\cD}$ \\
+Das heißt: Für $X, Y \in \cC, f : X \to Y$ gilt:
+\begin{diagram}
+GF(X) & \rTo^{t_X}_{\tilde{}} & X \\
+\dTo^{GF(f)} & & \dTo_{f} \\
+GF(Y) & \rTo^{t_Y}_{\tilde{}} & Y
+\end{diagram}
+$ \forall X \in \Obj(\cC) \exists$ Isomorphismus $t_X: GF(X) \to X$ so dass $\forall f: X \to Y$ Morphismus in $\cC$ gilt: $f t_X = t_Y GF(f)$ (analog für $FG$) \\
+Wir schreiben $\cC \cong \cD$
+
+Beispiele:
+\begin{enumerate}
+ \item Sei $\cC_0$ Skelett von $\cC, F: \cC_0 \rInto \cC$ natürliche Einbettung, $G: \cC \to \cC_0: X \rTo^{\varphi_X}_{\tilde{}} Y \in \cC_0$, wobei $Y$ das eindeutig bestimmte Objekt von $\cC_0$ isomorph zu $X$ ist,
+  und für $f: X_1 \to X_2$ sei $Gf = \varphi_{X_1} f \varphi^{-1}_{X_2} (\varphi_{X_1}(X_1) = Y_1, \varphi_{X_2}(X_2) = Y_2$ \\
+  $\cC \cong \cC_0$
+ \item $K$ Körper, $\cV_K$ Kategorie der endlich dimensionalen Vektorräume über $K = \lsub{K}{\underline{\Mod}}$.
+ Für $V \in \lsub{K}{\underline{\Mod}}$ sei: \\
+ $\iota_V: V \to V^{\ast \ast}: v \mapsto \lambda \alpha . \alpha(v)$
+\begin{diagram}
+V & \rTo^{\iota_V} & V^{\ast \ast} \\
+\dTo^{f} & & \dTo_{f^{\ast \ast}} \\
+W & \rTo^{\iota_W} & W^{\ast \ast}
+\end{diagram}
+  ${}^{\ast \ast}$ ist Funktor von $\lsub{K}{\underline{\Mod}}$ nach $\lsub{K}{\underline{\Mod}}$. \\
+  $(\iota_V)_{V \in \lsub{K}{\underline{\Mod}}}$ ist natürliche Transformation von $\id_V$ nach ${}^{\ast \ast}$ \\
+  $f^{\ast \ast} \iota_V(v) = f^{\ast \ast} (\lambda \alpha. \alpha(v)) = f^{\ast} (v) = \lambda \beta . \beta(f(v))$
+\end{enumerate}
+
+Satz: (Yoneda Lemma) Sei $F: \cC \to \cS$ Funktor, $A \in \Obj(\cC)$ und $\tau: \cC(A, -) \to F$ natürliche Transformation. \\
+Dann wird durch $\tau \mapsto \tau_A(1_A)$ eine Bijektion zwischen der Klasse $[\C(A, -), F]$ der natürlichen Transformationen von $\cC(A, -)$ nach $F$ und der Menge $F(A)$ definiert.
+Insbesondere ist $[\cC(A, -), F]$ Menge. \\
+Beweis: Sei $\varphi: A \to B$ Morphismus in $\cC$: ($\varphi_{\ast} := \cC(A, \varphi) = \lambda \alpha . \varphi \circ \alpha$)
+\begin{diagram}
+\cC(A, A) & \rTo^{\tau_A} & FA \\
+\dTo^{\varphi_{\ast}} & & \dTo_{F(\varphi)} \\
+\cC(A, B) & \rTo{\tau_B} & FB
+\end{diagram}
+ist kommutativ, da $\tau$ natürliche Transformation ist. Also ist $\tau_B(\varphi_{\ast}(1_A)) = \tau_B(\varphi 1_A) = \tau_B(\varphi) = (F \varphi)(\tau_A(1_A))$. Also ist
+$\tau_B$ vollständig durch $\tau_A(1_A)$ bestimmt. \\
+Dies zeigt, dass die Zuordnung $\tau \mapsto \tau_A(1_A) \in F(A)$ injektiv ist. \\
+($\tau_A(1_A) = \tilde{\tau}_A(1_A) \Rightarrow \tau_B(\varphi) = \tilde{\tau}_B(\varphi) \forall B \Rightarrow \tau = \tilde{\tau}$)
+
+Sei $\kappa \in F(A)$. Wir definieren $\tau_B(\varphi) = (F\varphi)(\kappa)$ \\
+Wir zeigen: $\tau = (\tau_B)_{B \in \Obj(\cC)}$ ist natürliche Transformation von $\cC(A, -)$ nach $F$ mit $\tau_A(1_A) = \kappa$:
+\begin{diagram}
+\cC(A, B_1) & \rTo^{\tau_{B_1}} & FB_1 \\
+\dTo^{\theta_{\ast}} & & \dTo_{F \theta} \\
+\cC(A, B_2) & \rTo^{\tau_{B_2}} & FB_2
+\end{diagram}
+$\theta: B_1 \to B_2$ in $\cC, \theta_{\ast}(\mu) = \theta \circ \mu : A \to B_2$
+
 \end{document}

standard.tex

@@ -53,6 +53,7 @@
 \providecommand{\cS}[0]{\mathcal{S}}
 \providecommand{\cT}[0]{\mathcal{T}}
 \providecommand{\cU}[0]{\mathcal{U}}
+\providecommand{\cV}[0]{\mathcal{V}}
 
 \providecommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
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@@ -109,6 +110,7 @@
 \DeclareMathOperator{\Obj}{Obj}
 \DeclareMathOperator{\Ab}{Ab}
 \DeclareMathOperator{\opp}{opp}
+\DeclareMathOperator{\coker}{coker}
 
 
 \DeclareMathOperator{\Reid}{Reid}