@ -373,9 +373,143 @@ Jede $G$-Menge ist (eindeutig) disjunkte Vereinigung (direkte Summe) von transit
\end{satz}
\begin{satz}% 1.3.6
Sei $X$ transitive $G$-Menge und $x \in X, H = Stab_G(x)$. Dann ist $X \cong G / H$aus 1.3.1 Beispiel 4.)
Sei $X$ transitive $G$-Menge und $x \in X, H = Stab_G(x)$. Dann ist $X \cong G / H$($= G$-Menge der Nebenklassen von $H$ in $G$ durch Linkstranslation, siehe Beispiel 4. aus 1.3.1)
\end{satz}
\begin{bew}
Definiere $\varphi: G/H \rightarrow X: gH \mapsto g x$ für $g \in G$.
\begin{enumerate}[1.)]
\item$\varphi$ ist wohldefiniert: Denn sei $gH = fH \Rightarrow f^{-1}g \in H \Rightarrow f^{-1}gx = x$, da $H = Stab_G(x)$ ist $\Rightarrow gx = fx$
\item Umgekehrt gehts auch: Sei $fx = gx$ ($f, g \in G$) $\Rightarrow x = f^{-1}gx \Rightarrow f^{-1}g \in H \Rightarrow gH = fH$ Also ist $\varphi$ injektiv.
\item Wegen $G \cdot x = X$ ist $\varphi$ surjektiv.
\item Seien $a, g \in G:$ Dann ist $a \varphi(gH)= a(gx)=(ag)x =\varphi(agH)$, also ist $\varphi$ ein Isomorphismus von $G$-Mengen.
\end{enumerate}
\end{bew}
\begin{korr}% 1.3.7
$\abs{X}=\abs{G/H}=\left[G : H \right]$\\
\underline{Allgemein}: Sei $X$$G$-Menge, $x \in X \Rightarrow\abs{Gx}=\abs{G : Sta_G(x)}$ (Bahngleichung)
\end{korr}
Wir haben jetzt is aus Isomorphie alle $G$-Mengen konstruiert, nämlich als disjunkte Vereinigunge (direkte Summen) von $G$-Mengen der Form $G/H$ mit $H \leq G$. \\
\underline{Frage:} Sind $H, K \leq G$. Wann ist $G/H \cong G/K$ als $G$-Menge (unter Linkstranslation)?
\begin{lemma}% 1.3.8
Seien $X, Y$$G$-Mengen, $\varphi:X \rightarrow Y$ Homomorphismus, und sei $x \in X$. Dann ist $\Stab_G(x)\leq\Stab_G(\varphi(x)$\\
Insbesondere: ist $\varphi$ ein Isomorphismus, so ist $\Stab_G(x)=\Stab_G(\varphi(x))$.
\end{lemma}
\begin{bew}
$g \in G: gx = x \Rightarrow g (\varphi(x))=\varphi(gx)=\varphi(x)\Rightarrow g \in\Stab_G(\varphi(x))$
\end{bew}
\begin{satz}% 1.3.9
Seien $H, K \leq G$. Dann ist $G/H \cong G/K \Leftrightarrow H \mathop{=}_G K$ (d.h. $\exists g \in G: gKg^{-1}= H$).
\end{satz}
\underline{Bemerkung:} 1.3.6 + 1.3.9 liefert die Klassifikation der $G$-Mengen.
\begin{bew}
Sei $\varphi: G/H \rightarrow G/K$ ein Isomorphismus von $G$-Mengen,
$(\exists x \in G): varphi(1\cdot H)= xK \Rightarrow\Stab_G(1\cdot H)= H =\Stab_G(xK)= x\Stab_G(1\cdot K) x^{-1}= xKx^{-1}$. Also ist $H =_G K$. \\
Umgekehrt ist $H =_G K$, etwa $K = x H x^{-1}$. Dann ist (nach 1.3.4) $K =\Stab_G(xH)$, und $G/K \cong G/H$ nach 1.3.6
\end{bew}
\begin{definition}
Sei $k \in\N, X$$G$-Menge. Dan heißt $X$$k$-fach transitiv ($k$-trans.) falls gilt: Sind $x_1, \ldots, x_k \in X$ und $y_1, \ldots, y_k \in X$ jeweils beliebige aber paarweise verschieden, so gibt es $g \in G: y_i = g x_i \forall1\leq i \leq k$\\
(Klar: $G$ operiert auf $X^{\times k}= X \times\ldots\times X$ k-trans. $\Leftrightarrow G$ operiert auf $\set{(x_1, \ldots, x_k)\in X^{\times k}\mid x_i \text{ paarweise verschieden}}$ transitiv. 1-transitiv = transitiv)
\end{definition}
\begin{satz}% 1.3.10
Sei $X$ 2-transitive $G$-Menge, $x \in X$. Dann ist $\Stab_G(x)$ maximale Untergrupe von $G$.
\end{satz}
\begin{bew}
2-transitiv $\Rightarrow X$ ist transitiv $\Rightarrow X \cong G/H$ für $H =\Stab_G(X)$. Angenommen, $H$ st nicht maximal in $G$. Sei $H < K < G, g \in G, g \notin K, k \in K, k \notin H$.
Dann ist $kH \neq H, gH \neq H$. Wir hben also zwei Paare $(H, kH)$ und $(H, gH)$. 2-transitiv $\Rightarrow\exists f \in G: f \cdot(1 H)=(1 H), f (k H)= g H \Rightarrow f \in H \Rightarrow fk \in K
\Rightarrow\exists h \in H: fk = gh \Rightarrow K = f k K = g h K = g K \Rightarrow g \in K$ Widerspruch!
\end{bew}
\begin{definition}
Eine transitive $G$-Menge X heißt primitiv $\Leftrightarrow\forall x \in X: \Stab_G(x)$ maximale Untergruppe von $G$ ist.
Eine transitive $G$-Menge $X$ ist primitiv $\Leftrightarrow$ wenn gilt: Sei $Y \subsetneq X, \abs{Y}\geq2$. Dann gibt es für alle $g \in G$ Elemente $y,z \in Y$ mit $gy \in Y, gz \notin Y$.
Sei $X = G/K$ eine $G$-Menge. Durch Einschränken ist $G/K$ auch $H$-Menge. \\
Sei $H_K$ die Bahn von $K =1\cdot K$ unter dieser $H$-Operation. \\
Klar: $H_K =\set{hK \mid h \in H}, H K =\mathop{\cup}\limits_{h \in H} h K$. \\
Also ist $HK$ die Vereinigung von $K$-Nebenklassen von $G$ mit Vertretern aus $H$. \\
Also ist $\abs{HK}=\abs{\lsup{H}{K}}\cdot\abs{K}$. Nach 1.3.7 ist $\abs{\lsup{H}{K}}=\abs{H : \Stab_H(K)}$\\
$\Stab_H(K)=\set{h \in H \mid hK = K}= K \cap H$. \\
Also ist $\abs{HK}=\abs{K}\cdot\abs{\lsup{H}{K}}=\abs{K}\cdot\abs{H : \Stab_H(K)}=\abs{K}\cdot\abs{H : (H \cap K)}=\abs{K}\cdot\frac{\abs{H}}{\abs{H \cap K}}$
\end{bew}
\underline{Konjugationsop:}$\abs{G}= n \in\N, 1= g_1, g_2, \ldots, g_k$ seien Vertreter der Konjugationsklassen von $G$. \\
$\cC_i :=\lsup{G}{g_i}=\set{g g_i g^{-1}\mid g \in G}$ Bahn \\
$C_i =\Stab_G(g_i)= C_G(g_i)=\set{h \in G \mid h g_i = g_i h}\leq G$\\
\begin{satz}% 1.3.13
\underline{Klassengleichung:} Sei $\abs{G}= n$. \\
$ n =1+\sum_{i=2}^{k}\abs{G : C_i}=\abs{Z(G)}+\sum\limits_{i=1,\ldots,k, g_i \notin Z(G)}\abs{G : C_i}$
\end{satz}
\begin{bew}
Ohne Einschränkung: $Z(G)=\set{g_1, \ldots, g_l}, 1\leq l \leq k \Rightarrow C_i = G \forall i =1, \ldots, l, \cC_i =\set{g_i}$\\
Mit 1.3.7 $\mathop{\Rightarrow}\limits_{i=1, \ldots, k}\abs{\lsup{G}{g_i}}=\abs{\cC_i}=[G:C_i]=[G:\Stab_G(g_i)]$
\end{bew}
\begin{definition}
Sei $G$ endliche Gruppe, $G^1=[G, G]$. Definiere $D^{i}(G)(i \in\N)$ durch
\begin{enumerate}
\item$D^1(G)= G^1$
\item$i > 1: D^i(G)=[D^{i-1}(G), D^{i-1}(G)]$
\end{enumerate}
Klar: $D^i(G)\trianglelefteq D^{i-1}(G)$ und $D^{i-1}(G)/D^i(G)$ abelsch. \\
$G$ heißt auflösbar, falls $D^k(G)=(1)$ für ein $k \in\N\Leftrightarrow\exists(1)= N_1\leq N_2\ldots\leq N_m = G$ mit $N_i \trianglelefteq N_{i+1}$ und $N_{i+1}/N_i$ abelsch (zyklisch, zyklisc von Primzahlordnung nach Korrespondenzsatz). \\
Kann man zusätzlich $N_i$ so wählen, dass $N_i \trianglelefteq G$ ist, so heißt $G$ Überauflösbar ("`supersolvable"'). \\
Stefan Bühler
12 years ago