Sei $\varphi: G \times H \to A$, $G, H, A$ Gruppen, $\varphi_{\mid_{G \times\set{1_H}}}$ und $\varphi_{\mid_{\set{1_G}\times H}}$ jeweils ein Gruppenhomomorphismus, $i: (g,h)\mapsto gh$: \\
$ T \leq S \leq\F X \Rightarrow U := < \lsup{\F X}T > \leq < \lsup{\F X}S > =: V $\\
$\mathop{\Longrightarrow}{\text{1. Iso Satz}}\exists\text{ Epimorphismus }\F X / U \twoheadrightarrow\F X / v $
\item Die endlichen einfachenGruppen sind (durchweg?) von 2 Elementen erzeugt.
\item Sei $G$ Gruppe. Wähle $X = G$, nach universeller Eigenschat $\exists!$ Epimorphismus $\F G \twoheadrightarrow G$ mit Kern $N \Rightarrow G =\F G / N$
Betrachte $H, N \leq G, N \trianglelefteq G \Rightarrow HN = NH, HN \leq G$\\
Sei zusätzlich $HN = G, H \cap N =\set{1}$\\
Sei $n \in N$. Wegen $nHn^{-1}= H$ ist $c_n: H \rightarrow H: h \mapsto\lsup n h = n h n^{-1}$ ein Automorphismus von $H$. \\
$n \mapsto c_n$ ist Gruppenhomomorphismus $N \rightarrow\Aut(H)$.
~
\begin{satz}
Sei $g \in G, c_g: G \rightarrow G: h \mapsto\lsup g h$ Automorphismus von G. Die Menge $\Inn(G) :=\set{ c_g \mid g \in G}\subseteq\Aut(G)$ ist Normalteiler von $\Aut(G)$. \\
$\Out(G) :=\Aut(G)/\Inn(G)$ (Gruppe der äußeren Automorphismen von G) \\
Die Abbildung $c: G \rightarrow Aut(G): g \mapsto c_g$ ist Gruppenhomomorphismus mit Bild $\Inn(G)$ (klar) und $\ker c = Z(G) :=\set{g \in G \mid gh = hg \forall h \in G}$\\
Also ist $G / Z(G)\cong\Inn(G)$
\end{satz}
\begin{bew}
Sei $g, h_1, h_2\in G$\\
$c_g(h_1 h_2)= g h_1 h_2 g^{-1}= g h_1 g^{-1} g h_2 g^{-1}= c_g(h_1) c_g(h_2)$\\
$c_{g^{-1}}\circ c_g (h)= g^{-1} g h g^{-1} g =1 h 1^{-1}= c_1(h)= id_H $\\
Also ist $c_g$ bijektiv und daher Automorphismus von $G$.
$c: g \rightarrow\Aut(G)$ ist Homomorphismus: \\
$c_{g_1}\circ c_{g_2}(h)= g_1 g_2 h g_2^{-1} g_1^{-1}= g_1 g_2 h (g_1 g_2)^{-1}= c_{g_1 g_2}(h)$\\
\begin{align*}
c_g = id_G &\Leftrightarrow c_g(h) = h \forall h \\
&\Leftrightarrow g h g^{-1} = h \forall h \\
&\Leftrightarrow g h = h g \forall h \\
&\Leftrightarrow g \in Z(G) \\
&\Rightarrow\ker c = Z(G)
\end{align*}
Da $\im c =\Inn(G)$ ist $\Inn(G)\leq\Aut(G)$. \\
Sei $\varphi\in\Aut(G), g \in G$: Zu zeigen: $\varphi\Inn(G)\varphi^{-1}=\Inn(G)\Leftrightarrow\varphi c_g \varphi^{-1}\in\Inn(G)\forall g, \varphi$\\
$(\varphi c_g \varphi^{-1})(h)=\varphi(g \varphi^{-1}(h) g^{-1})=\varphi(g) h \varphi^{-1}(g)=\varphi(g) h \varphi(g)^{-1}= c_{\varphi(g)}(h)\forall h \in G$\\
% Und: $H \mathop{\leq}\limits_\text{char.} N \mathop{\leq}\limits_\text{char.} G \Rightarrow H \mathop{\leq}\limits_\text{char.} G$
Seien $K \leq H \leq G$, $K$ charakteristisch in $H$, $H$ char. in $G$. Dann ist
$K$ char. in $G$.
\end{satz}
\begin{bew}% 1.2.4
Sei $\varphi\in\Aut(G)$. Zu zeigen: $\varphi(K)= K$. \\
$\varphi\in\Aut(G)\Rightarrow_{\text{H char. in G}}\varphi(H)(= H \Rightarrow_{\mid_H}\in\Aut(H)\Rightarrow\varphi(K)=\varphi_{\mid_K}= K$, da $K$ char. in $H$ ist.
Also ist $K$ char. in $G$.
\end{bew}
\begin{bem}
Sei $S \subseteq G$ mit $S^{-1}= S$ und $\varphi(S)=\set{\varphi(s)\mid s \in S}= S$ für alle $\varphi in \Aut(G)$ ($\Inn(G)$). Dann ist $<S> \leq G$ char. (normal) in $G$.
\end{bem}
\begin{definition}
Sei $G$ Gruppe, $a, b \in G$. Dann ist $[a,b]= aba^{-1}b^{-1}$ der Kommutator von $a$ und $b$ ($[a,b]ba = aba^{-1}b^{-1}ba = ab$). \\
Die Untergruppe $G' := < [a,b]\mid a, b \in G > \leq G$ heißt Kommutatoruntergruppe von $G$.
\end{definition}
\begin{satz}% 1.2.5
Sei $G$ Gruppe. Dann ist $G'$ char. in $G$ (weil $\varphi[a,b]=[\varphi[a], \varphi[b]]\forall\varphi\in\Aut(G)$ ebenfalls Kommutator ist, und $[a,b]^{-1}=[b, a]$). \\
$G'$ ist der kleinste Normalteiler von $G$, so dass $G / G'$ abelsch ist (d.h. ist $N \trianglelefteq G, G/N$ abelsch $\Rightarrow N \supseteq G'$).
\end{satz}
\begin{bew}
Siehe Algebra. ($\pi: G \rightarrow G/N: g \mapsto gN, \pi[a,b]=[\pi(a), \pi(b)]=\ldots d G/N = N$),
\end{bew}
\begin{definition}
Seien $N, H \leq G, N \trianglelefteq G, G = NH = HN, H \cap N =\set{1}$. dann heißt $G$ (internes) semidirektes Produkt von $N$ mit $H$. Wir schreiben $G = N \rtimes H$.
\end{definition}
Beobachtungen: % 1.2.6
\begin{enumerate}[a)]
\item$ G/N = NH / N \cong H /_{N \cap H}\cong H$. Also ist $G/N \cong H$. Daher ist $\abs{G}=\abs{N}\abs{G/N}=\abs{N} abs{H}=\abs{N \times H}$
\item$G = N \cdot H \Rightarrow\forall x \in G \exists n \in N \exists h \in H: x = n \cdot h $. Diese Darstellung ist eindeutig: denn seien $n_1,n_2\in N, h_1,h_2\in H$ und sei $n_1 h_1= n_2 h_2$,
so folgt $n_2^{-1} n_1= h_2 h_1^{-1}\in N \cap H \Rightarrow n_2^{-1} n_1= h_2 h_1^{-1}=1\Rightarrow n_1= n_2, h_1= h_2$
\item Allgemein gilt: $H, N \trianglelefteq G, H \cap N =\set{1}\Rightarrow hn = nh \forall n \in N, h \in H$, denn seien
$h \in H, n \in N \Rightarrow[n, h]= nhn^{-1}h^{-1}=\mathop{(nhn^{-1})}\limits_{\in H \trianglelefteq G}h^{-1}\in H \cap N =\set{1}$ (die Klammerung analog für $N$) \\
Daher: Ist $G = N \rtimes H$ und zusätzlich $H \trianglelefteq G \Rightarrow G = H \times N$ (da $n_1 h_1 n_2 h_2= n_1 n_2 h_1 h_2$)
\item$G = N \rtimes H, x = n_1 h_1, y = n_2 h_2\in G \Rightarrow x \cdot y = n_1 h_1 n_2 h_2= n_1\mathop{(h_1 n_2 h_1^{-1})}\limits_{\in N \trianglelefteq G} h_1 h_2=(n_1\lsup{h_1}n_2)(h_1 h_2)= n' h' $ die eindeutige Darstellung vom Produkt $ x \cdot y $ als Produkt eines Elementes aus $N$ mit einem Element aus $H$. \\
Die Abb. $\varphi: H \rightarrow\Aut(N): h \mapsto\varphi(h)=\lambda n . \lsup{h}{n}=\varphi_n ={c_n}_{\mid_N}\in\Aut(N)$ ist Gruppenhomomorphismus. \\
\item Multiplikation in $G$ wird vollständig auf die Multiplikation in $N$ und Multiplikation in $H$ und auf $\varphi$ zurückgeführt: $n_1 h_1 n_2 h_2= n_1\varphi_{h_1}(n_2) h_1 h_2$
\item Ist $\varphi: H \rightarrow\Aut(N)$ der triviale Homomorphismus, so ist $\varphi_n ={c_n}_{\mid_N}= id_N$ für alle $h \in H$, d.h. $\varphi_h(n)= h n h^{-1}= n \Leftrightarrow hn = nh$. Dann ist $H \trianglelefteq G und G \cong H \times N$. \\
Daher: Ist $\varphi : H \rightarrow\Aut(N)$\underline{nicht} tirivial, so kann $G$ nicht abelsch sein. ($\varphi(h)=\varphi_h \neq id_N, h\in H, \Rightarrow n \in N: \varphi_h(n)= hnh^{-1}\neq n \Rightarrow hn \neq hn$)
\end{enumerate}
\begin{definition}
Seien $H, N$ Gruppen, und sei $\varphi: H \rightarrow\Aut(N): j \mapsto\varphi(h)=\varphi_h \in\Aut(N)$ ein Homomorphismus. \\
Wir definieren das (äußere) semidirekte Produkt $G = N \rtimes H$ wie folgt: \\
Als \underline{Menge} ist $G$ einfach das kartesische Produkt $N \times H$. \\
Mit obiger Multiplikation wird $G = N \times H$ zur Gruppe $N \rtimes H$ mit Einselement $1_G =(1_N, 1_H)$ und Inverser $(n, h)^{-1}=(\varphi_{h^{-1}}(n^{-1}), h^{-1})$\\
Seien $\tilde{N}= N \times\set{1_H}\subseteq N \times H $ und $\tilde{H}=\set{1_N}\times H \subseteq N \times H$. \\
Dann ist $\tilde{N}\trianglelefteq G, H \leq G, \tilde{N}\cong N, \tilde{H}\cong H$ und $G =\tilde{N}\rtimes\tilde{H}$ (intern).
Für $\tilde{h}=(1_N, h)\in\tilde{H}, \tilde{n}=(n, 1_H)\in\tilde{N}, h \in H, n \in N$ ist $\tilde{h}^{-1}\tilde{n}\tilde{h}=(\varphi_h(n), 1_H)$, d.h. ${c_{\tilde{n}^{-1}}}_{\mid_{\tilde{N}}}\leftrightarrow\varphi_h \in\Aut(N)$
\end{satz}
\begin{bew}
Übung.
\end{bew}
\begin{bem}
Sind $\varphi, \psi$ verschiedene Homomorphismen von $H \rightarrow\Aut(N)$, so können $N \rtimes_\varphi H, N \rtimes_\psi H$ isomorph oder nicht isomorph sein.
\end{bem}
\begin{bsp}
$C_n (\cong(\Z/_{n\Z}, +))= N, H = C_2=\set{1, h}$\\
$\varphi: H \in\Aut(C_n)$ durch $\varphi(1)= id_{C_n}, \varphi_h(x)= x^{-1}$\\
Die Gruppe $D_{2n} := C_n \rtimes_\varphi C_2$ heißt \underline{Diedergruppe} der Ordnung $2n$. \\
$D_{2n}$ ist die Gruppe der Symmetrien eines regelmäßigen $n$-Ecks; $C_n \trianglelefteq D_{2n}$ ist die Gruppe der Rotationen, $C_2= D_{2n}/_{C_n}$ sind die Spiegelungen. \\
$D_{2n}= < x, y \mid x^n = y^2=1, yxy = x^{-1} >$
\end{bsp}
\chapter{Operationen von Gruppen auf Mengen}
Im folgenden sei: $G =$ Gruppe, $X =$ Menge, $\sigma_X =\set{ f : X \rightarrow X \mid f \text{bij. Abb.}}=$ "`symmetrische Gruppe auf X"'.
\begin{definition}
Eine (Links-)Operation von $G$ auf $X$ ist eine (externe) Verknüpfung
$$G \times X \rightarrow X: (g,x)\mapsto gx$$
so dass gilt:
\begin{enumerate}[i)]
\item$1_G \cdot x = x \forall x \in X$
\item$(gh)\cdot x = g \cdot(h \cdot x)$
\end{enumerate}
Wir sagen: "`$G$ operiert auf $X$"' (durch Permutationen) oder kurz: "`$X$ ist $G$-Menge"'. (Analog: Rechtsoperation: $X \times G \rightarrow X$)
\end{definition}
\begin{bem}
Ist $X$$G$-Menge, $\sigma_X$ = symmetrischeGrupe auf $X$, so wird durch $\lambda: G \rightarrow\sigma_X: g \mapsto\lambda_g \in\sigma_X$ ein Gruppenhomomorphismus
$\lambda$ definiert, wobei $\lambda_g: X \rightarrow X: x \mapsto g \cdot x$; denn: \\
Sei $g \in G: \lambda_g \lambda_{g^{-1}} : x \mapsto g (g^{-1} x)=(g g^{-1}) x =1_G x = x \forall x \in X$, also ist $\lambda_g$ bijektiv und $\in\sigma_X$. \\
Seien $g, h \in G \Rightarrow\lambda_g \circ\lambda_h (x)=\lambda_g (\lambda_h(x))= g \cdot(h \cdot x)=(g \cdot h)\cdot x =\lambda_{gh}(x)\forall x \in X \Rightarrow\lambda_g \lambda_h =\lambda_{gh}$, d.h. $\lambda$ ist Homomorphismus. \\
\underline{Umgekehrt:} Sei $\varphi: G \rightarrow\sigma_X$ homomorph. Dann wird durch $g \cdot x :=(\varphi(g))(x)$ eine Operation von $G$ auf $X$ definiert, mit $\lambda=\varphi$ (Beweis: Übung). \\
$\lambda$ heißt "`die zur $G$-Menge $X$ gehörende \underline{Darstellung} von $G$"'. \\
\underline{Also:} Das Konzept der $G$-Mengen $X$ ist äquivalent zum Konzept der Homomorphismen $G \rightarrow\sigma_X$. \\
(Im Falle der Rechtsoperation: Entweder op $\sigma_X$ auch von rechts, oder die zug. Darst. $\rho: G \rightarrow\sigma_X$ ist ein Antihomomorphismus)
\end{bem}
{\it Beispiele:} (Running Gag) % 1.3.1
\begin{enumerate}[1.)]
\item$\sigma_X$ operiert auf $X$ mit Darstellung $id_{\sigma_X} : \sigma_X \rightarrow\sigma_X: \pi\mapsto\pi\in\sigma_X, \pi x =\pi(x)\forall x \in X$
\item$G$ operiert auf der Menge $G$ durch Linkstranslation $ g \cdot h = g h$. \\
\underline{Darstellung:}$\lambda G \rightarrow\sigma_G: g \mapsto\lambda_g; \lambda_g: h \mapsto gh \forall h \in G$\\
Wir definieren eine Operation von $G$ auf der \underline{Menge}$G / H$ der Nebenklassen von $H$ in $G$ durch: $g (g_i H)= g_j H$ (bzw. auf $I: g \dot i = j$) \\
(Linkstranslation auf $G/H$, Rechtsnebenklassen $H \without G$ durch Rechtstranslation) \\
Spezialfall: $H =(I)\Rightarrow$ Operation von $G$ auf $G / H = G /(I)= G$ aus 2.)
\end{enumerate}
4.) ist die Mutter aller $G$-Operationen auf Mengen.
\begin{definition}
Eine Operation von $G$ auf $X$ heißt \underline{treu}, falls gilt: Ist $gx = x \forall x \in X \Rightarrow g =1$.
Offensichtlich heißt dies für die zugehörige Darstellung $\varphi: G \rightarrow\sigma_X$, dass $\varphi$ injektiv ist;
denn $gx = x \forall x \in X \Leftrightarrow(\varphi(g))(x)= x \forall x \in X \Leftrightarrow\varphi(g)= id_X \Leftrightarrow g \in\ker\varphi$\\
So: $\ker\varphi=\set{g \in G \mid gx = x \forall x \in X }.$
\end{definition}
{\it Beispiele:}% aus 1.3.1
1.), 2.) treu, da $g \cdot h = h \forall h \in G \Leftrightarrow g =1$\\
3.) (i.A.) nicht treu. Genauer: $\ker\varphi=\ker c_? =\set{g \in G \mid c_g = id_G }=\set{g \in G \mid c_g(h)= h \forall h \in G }=\set{g \in G \mid g hg^{-1}= h \forall h \in G}= Z(G)$ Zentrum von $G$.
\underline{Klar:}$X$ treue $G$-Menge, so enthält $\sigma_X$ durch die zugehörige Darstellung $\varphi: G \rightarrow\sigma_X$ eine zu $G$ isomorphe Untergruppe.
\begin{definition}
Seien $X, Y$$G$-Mengen. Eine Abbildung $\varphi: X \rightarrow Y$ heißt $G$-Homomorphismus (auch $G$-equivariant) falls gilt: \\
$\forall x \in X, g \in G: \varphi(g, x)= g \varphi(x)$\\
\underline{Wie üblich}: Epi-, Mono- und Isomorphismen. \\
Komposition (und Inversen falls bijektiv) sind wieder Homomorphismen. \\
Isosätze etc. \\
Also: Kategorie der $G$-Mengen.
\end{definition}
\underline{Übersetzung für Darstellungen}:\\
Seien $\varphi: G \rightarrow\sigma_X, \psi: G \rightarrow\sigma_Y$ ($X, Y$ Mengen) Darstellungen. \\
Ein Morphismus von $\varphi$ nach $\psi$ ist eine Mengenabbildung $f: X \rightarrow Y$, so dass $\forall g \in G$ das folgende Diagramm kommutiert:
\begin{diagram}
X &\rTo^{f}& Y \\
\dTo^{\varphi(g)}&&\dTo_{\psi(g)}\\
X &\rTo^{f}& Y
\end{diagram}
d.h. $f \circ\varphi(g)=\psi(g)\circ f \Leftrightarrow\psi(g)\circ f \circ\varphi(g)^{-1}= f \forall g \in G$
Dies macht die Klasse der (Permutations-) Darstellungen zu einer Kategorie. Diese ist isomoprh zur Kategorie der $G$-Mengen (Beweis: Übung).
\underline{Ziel:} Klassifikation von $G$-Mengen.
\begin{definition}
$X, Y$$G-$ Mengen:
\begin{enumerate}[a)]
\item Die disjunkte Vereinigung $X \mathop{\cup}\limits^{\cdot} Y$ wird zur $G$-Menge durch $g \cdot z =\left\{\matr{gx &\text{für } z = x \in X \\ gy &\text{für } z = y \in Y}\right. $\\
("`direkte Summe"', "`Koprodukt"' in Kategorie der $G$-Mengen)
\item Das kartesische Produkt $X \times Y$ wird zu $G$-Menge durch $g \cdot(x,y)=(gx, gy)\forall x \in X, y \in Y, g \in G$
\item$\sigma_X$ wird $G$-Menge durch $gZ =\set{gz \mid z \in Z}$ für $Z \subseteq X$
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{definition}% 1.3.3
Sei $X$ eine $G$-Menge, $x \in X$. Die \underline{Bahn} (Orbit) $Gx (\lsup{G}x)$ ist $\set{gx \mid g \in G}\subseteq X$, und der Stabilisator $Stab_G(x)$ in $G$ von $x$ ist $\set{g \in G \mid gx = x}\subseteq G$. \\
Für $S \subseteq G$ ist der $Stab_G(X)=\set{g \in G \mid gs \in S \forall s \in S }$\\
Der \underline{Punktstabilisator} von $S$ in $G$ ist $PStab_G(S)=\set{g \ in G | gs = s \forall s \in S}=\bigcap\limits_{s \in S} Stab_G(s)$\\
\underline{Klar:}
\begin{enumerate}
\item$Stab_G(x), Stab_G(S), PStab_G(S)$ sind Untergruppen von $G$.
\item Die Einschränkung von der $G$-Operation auf die Bahn $Gx$ macht die Bahn $Gx$ von $x$ zur $G$-Menge. \\
Wir definieren eine Äquivalenzrelation $\sim_G$ auf $X$ durch $x \sim_G y \Leftrightarrow\exists g \in G: y = gx$\\
Die Äquivalenzklasse von $x \in X$ ist die Bahn $Gx$. \\
Konsequenz: $X$ ist die direkte Summe der Bahnen von $G$ auf $X$.
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{definition}
$G$ operiert (einfach) \underline{transitiv} auf $X$, falls nur eine Bahn existiert, d.h. $\forall x, y \in X: \exists g \in G: x = g y$.
\end{definition}
{\it Beispiele:} von 1.3.1
\begin{enumerate}[A)]
\item Bahnen:
\begin{enumerate}[1.)]
\item$G$ ist die einzige Bahn.
\item$\forall h_1, h_2\in G \exists g \in G: h_2= g h_1: g := h_2 h_1^{-1}$, also: $G$ ist die einzige Bahn.
\item$g \sim_G h \Leftrightarrow\exists x in G: h = x g x^{-1}\Leftrightarrow g$ und $h$ sind konjugiert $\Leftrightarrow$ Bahnen sind Konjugationsklassen.
\item Eine Bahn. $g,h \in G \Rightarrow\exists x \in G: h = xg \Rightarrow hH = xgH$
\end{enumerate}
\item Stabilisatoren:
\begin{enumerate}[1.)]
\item$x \in X: Stab_{\sigma_X}(x)=\set{\pi\in\sigma_X \mid\pi(x)= x }=\sigma_{X \without\set{x}}$, z.Bsp. $Stab_{\sigma_n}(n)=\sigma_{n-1}$\\
$Stab_{\sigma_n}(\set{1, \ldots, i})=\set{\pi\in\sigma_n | 1\leq\pi(j)\leq i \forall1\leq j \leq i }=\sigma_{\set{1, \ldots, i}}\times\sigma_{\set{i+1, \ldots, n}}$
\item$h \in G: Stab_G(h)=\set{g \in G \mid gh = h}=\set{1}$
\item$h \in G: Stab_G(h)=\set{g \in G \mid\lsup{g}{h}= h}=\set{g \in G \mid ghg^{-1}= h}=\set{g \in G \mid gh = hg }=$ Zentralisator von $h$ in $G$.
\item Spezialfall $Stab_G(1\cdot H)=\set{ g \in G \mid gH = H}= H$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{lemma}
Sei $X$$G$-Menge, $x \in X, g \in G$: Dann ist $Stab_G(gx)= g \cdot Stab_G(x()\cdot g^{-1}$ ("`konjugierte Untergruppe"')
\end{lemma}
\begin{bew}
"`$\supseteq$"' Sei $h = gfg^{-1}\in$ rechte Seite $\Rightarrow h(gx)= gfg^{-1}gx = gfx = gx \Rightarrow h \in$ linke Seite.
"`$\subseteq$"' Sei $h \in Stab_G(gx)$, d.h. $h(gx)= gx \Rightarrow g^{-1}hgx = x \Rightarrow g^{-1} h x = f \in Stab_G(x)\Rightarrow h = g f g^{-1}\in g Stab_G(x) g^{-1}$
\end{bew}
{\it Beispiele:} von 1.3.1, Stabilisator für 4.): \\
$ Stab_G(xH)= x H x^{-1}$
Neues Beispiel für 1.3.1:
\begin{enumerate}
\item[5.)] Sei $X =\set{H \leq G}$. Dann operiert $G$ auf $X$ durch Konjugation $lsup{g}{H}= g H g^{-1}$\\
$Stab_G(H)=\set{g \in G \mid g H g^{-1}= H }= N_G(H)$ der \underline{Normalisator} von $H$ in $G$ (die größte Untergruppe von $G$ in der $H$ normal ist, $H \trianglelefteq N_G(H)\leq G$)
\end{enumerate}
\begin{bem}
Bahnen sind in 5.) Konjugationsklassen von Untergruppen. \\
Beachte: $\abs{c_g(H)}=\abs{gHg^{-1}}=\abs{H}$
\end{bem}
\begin{satz}% 1.3.5
Jede $G$-Menge ist (eindeutig) disjunkte Vereinigung (direkte Summe) von transitiven $G$-Mengen, nämlich der Bahnen von $G$ auf der Menge.
\end{satz}
\begin{satz}% 1.3.6
Sei $X$ transitive $G$-Menge und $x \in X, H = Stab_G(x)$. Dann ist $X \cong G / H$ aus 1.3.1 Beispiel 4.)