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\input{standard}
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\usepackage{tikz}
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% \usetikzlibrary{automata}
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\usepackage[small,nohug,heads=vee]{diagrams}
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% \diagramstyle[labelstyle=\scriptstyle]
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\subject{Mitschrieb der Vorlesung}
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\title{Darstellungstheorie I}
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\author{Wintersemester 2009/10 \\ Prof. Dr. Richard Dipper}
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\publishers{Mitgeschrieben von Stefan Bühler}
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\providecommand{\F}[1]{\mathcal{F}_{#1}}
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\newcommand{\lsup}[2]{\ensuremath{\sideset{^{#1}}{}{\mathop{#2}}}}
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\newcommand{\lsub}[2]{\ensuremath{\sideset{_{#1}}{}{\mathop{#2}}}}
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\begin{document}
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\maketitle
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\tableofcontents
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\chapter{Unknown}
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\section{Unknown}
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\section{Gruppenkonstruktionen und Automorphismen}
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\begin{definition}
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Sei $X$ eine Menge. Die Freie Gruppe $\F X$ über X wird wie folgt konstruiert: \\
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Ein Wort in $\F X$ besteht aus einer endlichen Folge
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$$ x_1^{\varepsilon_1} x_2^{\varepsilon_2} \ldots x_k^{\varepsilon_k}, k \leq 0, \varepsilon_i \in \set{-1, 1}, x_i \in X $$
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Das leere Wort ($k = 0$) wird als $1$ notiert. \\
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Ist für ein $1 \leq i < k$ in einem Wort $x_i = x_{i+1}$ und $\varepsilon_i = - \varepsilon_{i+1}$, so können wir dieses Wort verkürzen, in dem wir
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$x_i^{\varepsilon_i} x_{i+1}^{\varepsilon_{i+1}}$ entfernen. \\
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Wörter, die nicht mehr verkürzt werden können, heißen unverkürzbar. \\
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Der transitive, symmetrische und reflexive Abschluss des "`Kürzens"' definiert eine Äquivalenzrelation; $\F X$ ist als die Gruppe mit der Menge der
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Äquivalenzklassen dieser Relation definiert, wobei die Multiplikation durch Konkatenation der Vertreter definiert wird. \\
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Zwei Wörter sind also äquivalent, wenn man durch Kürzen und Erweitern des einen Wortes das andere erhält. \\
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$\F X$ ist Gruppe mit folgender universeller Eigenschaft: \\
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\parbox{5cm}{
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\begin{diagram}
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X & \rInto^{i} & \F X \\
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& \rdTo_{\forall f} & \dDashto_{\exists ! \hat{f}} \\
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& & G
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\end{diagram}
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}, so dass $\hat{f} \circ i = f$ und $\hat{f}$ Gruppenhomomorphismus.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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Man kann das freie Produkt $G \ast H$ über den Gruppen G und H als Wörter über dem Alphabet $G \cup H$ definieren. \\
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Das freie Produkt hat folgende universelle Eigenschaft: \\
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Sei $\varphi: G \times H \to A$, $G, H, A$ Gruppen, $\varphi_{\mid_{G \times \set{1_H}}}$ und $\varphi_{\mid_{\set{1_G} \times H}}$ jeweils ein Gruppenhomomorphismus, $i: (g,h) \mapsto gh$: \\
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\parbox{5cm}{
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\begin{diagram}
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G \times H & \rInto^{i} & G \ast H \\
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& \rdTo_{\forall\varphi} & \dDashto_{\exists ! \hat{\varphi}} \\
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& & A
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\end{diagram}
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}, so dass $\hat{\varphi} \circ i = \varphi$ und $\hat{\varphi}$ Gruppenhomomorphismus.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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Gruppen mit Erzeugenden und Relationen: $X$ eine Menge, $S \subseteq \F X$ "`Relationen"'. \\
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% Dann ist $N := < \sideset{^{\F X}}{}{\mathop{S}} >$
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Dann ist $N := < \lsup{\F X}{S} >$ die normale Hülle von $S$. \\
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$G = \F X / N$ die Gruppe, die von $X$ mit den Relationen $S$ erzeugt wird; $G := < X \mid S >$.
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\end{definition}
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Beispiele:
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\begin{enumerate}[i)]
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\item Sei $n \in \N, C_n = \set{ 1, g, \ldots, g^{n-1} } = < x | x^n = 1 >$ \\
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Bem: $\abs{X} \leq 1 \Leftrightarrow \F X $ ist kommutativ; $\F X \cong \Z \Leftrightarrow \abs{X} = 1$
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\item $\sigma_n = < \set{s_i \mid 1 \leq i < n} \mid s_i s_j = s_j s_i \text{ für } \abs{i-j} \leq 2, s_i^2 = 1, s_i s_{i+1} s_i = s_{i+1} s_i s_{i+1} > $
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Beachte: \\
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$ T \leq S \leq \F X \Rightarrow U := < \lsup{\F X}T > \leq < \lsup{\F X}S > =: V $ \\
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$ \mathop{\Longrightarrow}{\text{1. Iso Satz}} \exists \text{ Epimorphismus } \F X / U \twoheadrightarrow \F X / v $
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\item Die endlichen einfachenGruppen sind (durchweg?) von 2 Elementen erzeugt.
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\item Sei $G$ Gruppe. Wähle $X = G$, nach universeller Eigenschat $\exists !$ Epimorphismus $\F G \twoheadrightarrow G$ mit Kern $N \Rightarrow G = \F G / N$
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\end{enumerate}
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\begin{definition}
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Seien $G, H$ Gruppen. Das direkte Produkt $G \times H$ ist das kartesische Produkt mit komponentenweiser Multiplikation. \\
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$ G \cong \tilde{G} := G \times \set{1_H} \trianglelefteq G \times H \trianglerighteq \set{1_G} \times H =: \tilde{H} \cong H $ \\
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$ forall g \in \tilde{G}, h \in \tilde{H}: gh = hg \Rightarrow \tilde{G}\tilde{H} = \tilde{H}\tilde{G} = G \times H, \tilde{G} \cap \tilde{H} = \set{1_{G \times HJ}} $ \\
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$ \Rightarrow $ Wir müssen nicht zwischen exterem und internem Produkt unterscheiden. \\
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$ \abs{G \times H} = \abs{G} \abs{H} $
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\end{definition}
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Betrachte $H, N \leq G, N \trianglelefteq G \Rightarrow HN = NH, HN \leq G$ \\
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Sei zusätzlich $HN = G, H \cap N = \set{1}$ \\
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Sei $n \in N$. Wegen $nHn^{-1} = H$ ist $c_n: H \rightarrow H: h \mapsto \lsup n h = n h n^{-1}$ ein Automorphismus von $H$. \\
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$n \mapsto c_n$ ist Gruppenhomomorphismus $N \rightarrow \Aut(H)$.
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\begin{satz}
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Sei $g \in G, c_g: G \rightarrow G: h \mapsto \lsup g h$ Automorphismus von G. Die Menge $\Inn(G) := \set{ c_g \mid g \in G} \subseteq \Aut(G) $ ist Normalteiler von $\Aut(G)$. \\
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$\Out(G) := \Aut(G) / \Inn(G)$ (Gruppe der äußeren Automorphismen von G) \\
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Die Abbildung $c: G \rightarrow Aut(G): g \mapsto c_g$ ist Gruppenhomomorphismus mit Bild $\Inn(G)$ (klar) und $\ker c = Z(G) := \set{g \in G \mid gh = hg \forall h \in G} $ \\
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Also ist $G / Z(G) \cong \Inn(G)$
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\end{satz}
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\begin{bew}
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Sei $g, h_1, h_2 \in G$ \\
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$c_g(h_1 h_2) = g h_1 h_2 g^{-1} = g h_1 g^{-1} g h_2 g^{-1} = c_g(h_1) c_g(h_2)$ \\
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$c_{g^{-1}} \circ c_g (h) = g^{-1} g h g^{-1} g = 1 h 1^{-1} = c_1(h) = id_H $ \\
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Also ist $c_g$ bijektiv und daher Automorphismus von $G$.
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$c: g \rightarrow \Aut(G)$ ist Homomorphismus: \\
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$c_{g_1} \circ c_{g_2} (h) = g_1 g_2 h g_2^{-1} g_1^{-1} = g_1 g_2 h (g_1 g_2)^{-1} = c_{g_1 g_2} (h) $ \\
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\begin{align*}
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c_g = id_G & \Leftrightarrow c_g(h) = h \forall h \\
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& \Leftrightarrow g h g^{-1} = h \forall h \\
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& \Leftrightarrow g h = h g \forall h \\
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& \Leftrightarrow g \in Z(G) \\
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& \Rightarrow \ker c = Z(G)
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\end{align*}
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Da $\im c = \Inn(G)$ ist $\Inn(G) \leq \Aut(G)$. \\
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Sei $\varphi \in \Aut(G), g \in G$: Zu zeigen: $\varphi \Inn(G) \varphi^{-1} = \Inn(G) \Leftrightarrow \varphi c_g \varphi^{-1} \in \Inn(G) \forall g, \varphi$ \\
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$(\varphi c_g \varphi^{-1})(h) = \varphi(g \varphi^{-1}(h) g^{-1}) = \varphi(g) h \varphi^{-1}(g) = \varphi(g) h \varphi(g)^{-1} = c_{\varphi(g)}(h) \forall h \in G$ \\
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$ \Rightarrow \varphi c_g \varphi^{-1} = c_{\varphi(g)} \in \Inn(G)$ \\
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Also ist $\Inn(G) \trianglelefteq \Aut(G)$
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\end{bew}
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Beachte: Sei $N \leq G$. Dann ist $N \trianglelefteq G \Leftrightarrow c_g(N) = N \forall g \in G$ \\
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($\Rightarrow {c_g}_{\mid_N} \in \Aut(N)$. $c_g$ ist $\in \Inn(N) \Leftrightarrow \exists n \in N: c_g = c_n$)
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\begin{definition}
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Sei $H < G$. Dann ist $H$ charakteristisch in $G$, falls $\varphi(H) = H \forall \varphi \in Aut(G)$.\\
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Klar: $H$ char. in $G \Rightarrow H \trianglelefteq G$. \\
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\end{definition}
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Beispiel: \\
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$Z(G)$ ist char. in $G$: \\
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$\forall z \in Z(G), g \in G: \varphi(g)\varphi(z) = \varphi(gz) = \varphi(zg) = \varphi(z)\varphi(g) $ \\
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$\Rightarrow \varphi(z)G = G \varphi(z) $ \\
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$\Rightarrow \varphi(z) \in Z(G)$
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\ \\
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\begin{satz} % 1.2.3
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% Und: $H \mathop{\leq}\limits_\text{char.} N \mathop{\leq}\limits_\text{char.} G \Rightarrow H \mathop{\leq}\limits_\text{char.} G$
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Seien $K \leq H \leq G$, $K$ charakteristisch in $H$, $H$ char. in $G$. Dann ist
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$K$ char. in $G$.
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\end{satz}
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\begin{bew} % 1.2.4
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Sei $\varphi \in \Aut(G)$. Zu zeigen: $\varphi(K) = K$. \\
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$\varphi \in \Aut(G) \Rightarrow_{\text{H char. in G}} \varphi(H)( = H \Rightarrow_{\mid_H} \in \Aut(H) \Rightarrow \varphi(K) = \varphi_{\mid_K} = K$, da $K$ char. in $H$ ist.
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Also ist $K$ char. in $G$.
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\end{bew}
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\begin{bem}
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Sei $S \subseteq G$ mit $S^{-1} = S$ und $\varphi(S) = \set{\varphi(s) \mid s \in S} = S$ für alle $\varphi in \Aut(G)$ ($\Inn(G)$). Dann ist $<S> \leq G$ char. (normal) in $G$.
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\end{bem}
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\begin{definition}
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Sei $G$ Gruppe, $a, b \in G$. Dann ist $[a,b] = aba^{-1}b^{-1}$ der Kommutator von $a$ und $b$ ($[a,b]ba = aba^{-1}b^{-1}ba = ab$). \\
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Die Untergruppe $G' := < [a,b] \mid a, b \in G > \leq G$ heißt Kommutatoruntergruppe von $G$.
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\end{definition}
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\begin{satz} % 1.2.5
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Sei $G$ Gruppe. Dann ist $G'$ char. in $G$ (weil $\varphi[a,b] = [\varphi[a], \varphi[b]] \forall \varphi \in \Aut(G)$ ebenfalls Kommutator ist, und $[a,b]^{-1} = [b, a]$). \\
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$G'$ ist der kleinste Normalteiler von $G$, so dass $G / G'$ abelsch ist (d.h. ist $N \trianglelefteq G, G/N$ abelsch $\Rightarrow N \supseteq G'$).
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\end{satz}
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\begin{bew}
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Siehe Algebra. ($\pi: G \rightarrow G/N: g \mapsto gN, \pi[a,b] = [\pi(a), \pi(b)] = \ldots d G/N = N$),
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\end{bew}
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\begin{definition}
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Seien $N, H \leq G, N \trianglelefteq G, G = NH = HN, H \cap N = \set{1}$. dann heißt $G$ (internes) semidirektes Produkt von $N$ mit $H$. Wir schreiben $G = N \rtimes H$.
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\end{definition}
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Beobachtungen: % 1.2.6
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\begin{enumerate}[a)]
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\item $ G/N = NH / N \cong H /_{N \cap H} \cong H$. Also ist $G/N \cong H$. Daher ist $\abs{G} = \abs{N}\abs{G/N} = \abs{N} abs{H} = \abs{N \times H} $
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\item $G = N \cdot H \Rightarrow \forall x \in G \exists n \in N \exists h \in H: x = n \cdot h $. Diese Darstellung ist eindeutig: denn seien $n_1,n_2 \in N, h_1,h_2 \in H$ und sei $n_1 h_1 = n_2 h_2$,
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so folgt $n_2^{-1} n_1 = h_2 h_1^{-1} \in N \cap H \Rightarrow n_2^{-1} n_1 = h_2 h_1^{-1} = 1 \Rightarrow n_1 = n_2, h_1 = h_2 $
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\item Allgemein gilt: $H, N \trianglelefteq G, H \cap N = \set{1} \Rightarrow hn = nh \forall n \in N, h \in H$, denn seien
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$h \in H, n \in N \Rightarrow [n, h] = nhn^{-1}h^{-1} = \mathop{(nhn^{-1})}\limits_{\in H \trianglelefteq G}h^{-1} \in H \cap N = \set{1} $ (die Klammerung analog für $N$) \\
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Daher: Ist $G = N \rtimes H$ und zusätzlich $H \trianglelefteq G \Rightarrow G = H \times N$ (da $n_1 h_1 n_2 h_2 = n_1 n_2 h_1 h_2$)
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\item $G = N \rtimes H, x = n_1 h_1, y = n_2 h_2 \in G \Rightarrow x \cdot y = n_1 h_1 n_2 h_2 = n_1 \mathop{(h_1 n_2 h_1^{-1})}\limits_{\in N \trianglelefteq G} h_1 h_2 = (n_1 \lsup{h_1}n_2) (h_1 h_2) = n' h' $ die eindeutige Darstellung vom Produkt $ x \cdot y $ als Produkt eines Elementes aus $N$ mit einem Element aus $H$. \\
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Die Abb. $\varphi: H \rightarrow \Aut(N): h \mapsto \varphi(h) = \lambda n . \lsup{h}{n} = \varphi_n = {c_n}_{\mid_N} \in \Aut(N)$ ist Gruppenhomomorphismus. \\
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\item Multiplikation in $G$ wird vollständig auf die Multiplikation in $N$ und Multiplikation in $H$ und auf $\varphi$ zurückgeführt: $n_1 h_1 n_2 h_2 = n_1 \varphi_{h_1}(n_2) h_1 h_2 $
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\item Ist $\varphi: H \rightarrow \Aut(N)$ der triviale Homomorphismus, so ist $\varphi_n = {c_n}_{\mid_N} = id_N$ für alle $h \in H$, d.h. $\varphi_h(n) = h n h^{-1} = n \Leftrightarrow hn = nh$. Dann ist $H \trianglelefteq G und G \cong H \times N$. \\
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Daher: Ist $\varphi : H \rightarrow \Aut(N)$ \underline{nicht} tirivial, so kann $G$ nicht abelsch sein. ($\varphi(h) = \varphi_h \neq id_N, h\in H, \Rightarrow n \in N: \varphi_h(n) = hnh^{-1} \neq n \Rightarrow hn \neq hn$)
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\end{enumerate}
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\begin{definition}
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Seien $H, N$ Gruppen, und sei $\varphi: H \rightarrow \Aut(N): j \mapsto \varphi(h) = \varphi_h \in \Aut(N) $ ein Homomorphismus. \\
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Wir definieren das (äußere) semidirekte Produkt $G = N \rtimes H$ wie folgt: \\
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Als \underline{Menge} ist $G$ einfach das kartesische Produkt $N \times H$. \\
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Sei $n_1,n_2 \in N, h_1, h_2 \in H:$ \\
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$(n_1, h_1) \cdot (n_2, h_2) := (n_1 \cdot \varphi_{h_1}(n_2), h_1 \cdot h_2)$ \\
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\end{definition}
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\begin{satz} % 1.2.7
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Mit obiger Multiplikation wird $G = N \times H$ zur Gruppe $N \rtimes H$ mit Einselement $1_G = (1_N, 1_H)$ und Inverser $(n, h)^{-1} = (\varphi_{h^{-1}}(n^{-1}), h^{-1})$ \\
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Seien $\tilde{N} = N \times \set{1_H} \subseteq N \times H $ und $\tilde{H} = \set{1_N} \times H \subseteq N \times H$. \\
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Dann ist $\tilde{N} \trianglelefteq G, H \leq G, \tilde{N} \cong N, \tilde{H} \cong H$ und $G = \tilde{N} \rtimes \tilde{H}$ (intern).
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Für $\tilde{h} = (1_N, h) \in \tilde{H}, \tilde{n} = (n, 1_H) \in \tilde{N}, h \in H, n \in N$ ist $\tilde{h}^{-1} \tilde{n} \tilde{h} = (\varphi_h(n), 1_H)$, d.h. ${c_{\tilde{n}^{-1}}}_{\mid_{\tilde{N}}} \leftrightarrow \varphi_h \in \Aut(N)$
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\end{satz}
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\begin{bew}
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Übung.
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\end{bew}
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\begin{bem}
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Sind $\varphi, \psi$ verschiedene Homomorphismen von $H \rightarrow \Aut(N)$, so können $N \rtimes_\varphi H, N \rtimes_\psi H$ isomorph oder nicht isomorph sein.
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\end{bem}
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\begin{bsp}
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$C_n (\cong (\Z /_{n\Z}, +)) = N, H = C_2 = \set{1, h}$ \\
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$\varphi: H \in \Aut(C_n)$ durch $\varphi(1) = id_{C_n}, \varphi_h(x) = x^{-1} $ \\
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Die Gruppe $D_{2n} := C_n \rtimes_\varphi C_2$ heißt \underline{Diedergruppe} der Ordnung $2n$. \\
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$D_{2n}$ ist die Gruppe der Symmetrien eines regelmäßigen $n$-Ecks; $C_n \trianglelefteq D_{2n}$ ist die Gruppe der Rotationen, $C_2 = D_{2n} /_{C_n}$ sind die Spiegelungen. \\
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$D_{2n} = < x, y \mid x^n = y^2 = 1, yxy = x^{-1} >$
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\end{bsp}
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\section{Operationen von Gruppen auf Mengen}
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Im folgenden sei: $G = $ Gruppe, $X = $ Menge, $\sigma_X = \set{ f : X \rightarrow X \mid f \text{bij. Abb.}} = $ "`symmetrische Gruppe auf X"'.
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\begin{definition}
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Eine (Links-)Operation von $G$ auf $X$ ist eine (externe) Verknüpfung
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$$G \times X \rightarrow X: (g,x) \mapsto gx$$
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so dass gilt:
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\begin{enumerate}[i)]
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\item $1_G \cdot x = x \forall x \in X$
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\item $(gh) \cdot x = g \cdot (h \cdot x)$
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\end{enumerate}
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Wir sagen: "`$G$ operiert auf $X$"' (durch Permutationen) oder kurz: "`$X$ ist $G$-Menge"'. (Analog: Rechtsoperation: $X \times G \rightarrow X$)
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\end{definition}
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\begin{bem}
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Ist $X$ $G$-Menge, $\sigma_X$ = symmetrischeGrupe auf $X$, so wird durch $\lambda: G \rightarrow \sigma_X: g \mapsto \lambda_g \in \sigma_X$ ein Gruppenhomomorphismus
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$\lambda$ definiert, wobei $\lambda_g: X \rightarrow X: x \mapsto g \cdot x$; denn: \\
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Sei $g \in G: \lambda_g \lambda_{g^{-1}} : x \mapsto g (g^{-1} x) = (g g^{-1}) x = 1_G x = x \forall x \in X$, also ist $\lambda_g$ bijektiv und $\in \sigma_X$. \\
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Seien $g, h \in G \Rightarrow \lambda_g \circ \lambda_h (x) = \lambda_g (\lambda_h(x)) = g \cdot (h \cdot x) = (g \cdot h) \cdot x = \lambda_{gh}(x) \forall x \in X \Rightarrow \lambda_g \lambda_h = \lambda_{gh}$, d.h. $\lambda$ ist Homomorphismus. \\
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\underline{Umgekehrt:} Sei $\varphi: G \rightarrow \sigma_X$ homomorph. Dann wird durch $g \cdot x := (\varphi(g))(x)$ eine Operation von $G$ auf $X$ definiert, mit $\lambda = \varphi$ (Beweis: Übung). \\
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$\lambda$ heißt "`die zur $G$-Menge $X$ gehörende \underline{Darstellung} von $G$"'. \\
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\underline{Also:} Das Konzept der $G$-Mengen $X$ ist äquivalent zum Konzept der Homomorphismen $G \rightarrow \sigma_X$. \\
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(Im Falle der Rechtsoperation: Entweder op $\sigma_X$ auch von rechts, oder die zug. Darst. $\rho: G \rightarrow \sigma_X$ ist ein Antihomomorphismus)
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\end{bem}
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{\it Beispiele:} (Running Gag) % 1.3.1
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\begin{enumerate}[1.)]
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\item $\sigma_X$ operiert auf $X$ mit Darstellung $id_{\sigma_X} : \sigma_X \rightarrow \sigma_X: \pi \mapsto \pi \in \sigma_X, \pi x = \pi(x) \forall x \in X$
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|
\item $G$ operiert auf der Menge $G$ durch Linkstranslation $ g \cdot h = g h$. \\
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\underline{Darstellung:} $\lambda G \rightarrow \sigma_G: g \mapsto \lambda_g; \lambda_g: h \mapsto gh \forall h \in G$ \\
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($\abs{\sigma_G} = \abs{G} !$)
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\item $G$ operiert auf $G$ durch Konjugation: \\
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$$ g \cdot h = \lsup{g}{h} = g h g^{-1} [ = c_g(h) ] $$
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\item Sei $H \leq G$, $G = \bigcup\limits^{.}_{i \in I} g_i H$ \\
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Wir definieren eine Operation von $G$ auf der \underline{Menge} $G / H$ der Nebenklassen von $H$ in $G$ durch: $g (g_i H) = g_j H$ (bzw. auf $I: g \dot i = j$) \\
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(Linkstranslation auf $G/H$, Rechtsnebenklassen $H \without G$ durch Rechtstranslation) \\
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Spezialfall: $H = (I) \Rightarrow $ Operation von $G$ auf $G / H = G / (I) = G$ aus 2.)
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\end{enumerate}
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4.) ist die Mutter aller $G$-Operationen auf Mengen.
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\begin{definition}
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Eine Operation von $G$ auf $X$ heißt \underline{treu}, falls gilt: Ist $gx = x \forall x \in X \Rightarrow g = 1$.
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Offensichtlich heißt dies für die zugehörige Darstellung $\varphi: G \rightarrow \sigma_X$, dass $\varphi$ injektiv ist;
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denn $gx = x \forall x \in X \Leftrightarrow (\varphi(g))(x) = x \forall x \in X \Leftrightarrow \varphi(g) = id_X \Leftrightarrow g \in \ker \varphi$ \\
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So: $\ker \varphi = \set{g \in G \mid gx = x \forall x \in X }.$
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\end{definition}
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{\it Beispiele:} % aus 1.3.1
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1.), 2.) treu, da $g \cdot h = h \forall h \in G \Leftrightarrow g = 1$ \\
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3.) (i.A.) nicht treu. Genauer: $\ker \varphi = \ker c_? = \set{g \in G \mid c_g = id_G } = \set{g \in G \mid c_g(h) = h \forall h \in G } = \set{g \in G \mid g hg^{-1} = h \forall h \in G} = Z(G)$ Zentrum von $G$.
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\underline{Klar:} $X$ treue $G$-Menge, so enthält $\sigma_X$ durch die zugehörige Darstellung $\varphi: G \rightarrow \sigma_X$ eine zu $G$ isomorphe Untergruppe.
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\begin{definition}
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Seien $X, Y$ $G$-Mengen. Eine Abbildung $\varphi: X \rightarrow Y$ heißt $G$-Homomorphismus (auch $G$-equivariant) falls gilt: \\
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$\forall x \in X, g \in G: \varphi(g, x) = g \varphi(x)$ \\
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\underline{Wie üblich}: Epi-, Mono- und Isomorphismen. \\
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Komposition (und Inversen falls bijektiv) sind wieder Homomorphismen. \\
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Isosätze etc. \\
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Also: Kategorie der $G$-Mengen.
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\end{definition}
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\underline{Übersetzung für Darstellungen}:\\
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Seien $\varphi: G \rightarrow \sigma_X, \psi: G \rightarrow \sigma_Y$ ($X, Y$ Mengen) Darstellungen. \\
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Ein Morphismus von $\varphi$ nach $\psi$ ist eine Mengenabbildung $f: X \rightarrow Y$, so dass $\forall g \in G$ das folgende Diagramm kommutiert:
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\begin{diagram}
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X & \rTo^{f} & Y \\
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\dTo^{\varphi(g)} & & \dTo_{\psi(g)} \\
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X & \rTo^{f} & Y
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\end{diagram}
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d.h. $f \circ \varphi(g) = \psi(g) \circ f \Leftrightarrow \psi(g) \circ f \circ \varphi(g)^{-1} = f \forall g \in G$
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Dies macht die Klasse der (Permutations-) Darstellungen zu einer Kategorie. Diese ist isomoprh zur Kategorie der $G$-Mengen (Beweis: Übung).
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\underline{Ziel:} Klassifikation von $G$-Mengen.
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\begin{definition}
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$X, Y$ $G-$ Mengen:
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\begin{enumerate}[a)]
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\item Die disjunkte Vereinigung $X \mathop{\cup}\limits^{\cdot} Y$ wird zur $G$-Menge durch $g \cdot z = \left\{ \matr{gx & \text{für } z = x \in X \\ gy & \text{für } z = y \in Y} \right. $ \\
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("`direkte Summe"', "`Koprodukt"' in Kategorie der $G$-Mengen)
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\item Das kartesische Produkt $X \times Y$ wird zu $G$-Menge durch $g \cdot (x,y) = (gx, gy) \forall x \in X, y \in Y, g \in G$
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\item $\sigma_X$ wird $G$-Menge durch $gZ = \set{gz \mid z \in Z}$ für $Z \subseteq X$
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{definition} % 1.3.3
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Sei $X$ eine $G$-Menge, $x \in X$. Die \underline{Bahn} (Orbit) $Gx (\lsup{G}x)$ ist $\set{gx \mid g \in G} \subseteq X$, und der Stabilisator $Stab_G(x)$ in $G$ von $x$ ist $\set{g \in G \mid gx = x} \subseteq G$. \\
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Für $S \subseteq G$ ist der $Stab_G(X) = \set{g \in G \mid gs \in S \forall s \in S }$ \\
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Der \underline{Punktstabilisator} von $S$ in $G$ ist $PStab_G(S) = \set{g \ in G | gs = s \forall s \in S} = \bigcap\limits_{s \in S} Stab_G(s)$ \\
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\underline{Klar:}
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\begin{enumerate}
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\item $Stab_G(x), Stab_G(S), PStab_G(S)$ sind Untergruppen von $G$.
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\item Die Einschränkung von der $G$-Operation auf die Bahn $Gx$ macht die Bahn $Gx$ von $x$ zur $G$-Menge. \\
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Wir definieren eine Äquivalenzrelation $\sim_G$ auf $X$ durch $x \sim_G y \Leftrightarrow \exists g \in G: y = gx$ \\
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Die Äquivalenzklasse von $x \in X$ ist die Bahn $Gx$. \\
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Konsequenz: $X$ ist die direkte Summe der Bahnen von $G$ auf $X$.
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{definition}
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$G$ operiert (einfach) \underline{transitiv} auf $X$, falls nur eine Bahn existiert, d.h. $\forall x, y \in X: \exists g \in G: x = g y$.
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\end{definition}
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{\it Beispiele:} von 1.3.1
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\begin{enumerate}[A)]
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\item Bahnen:
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\begin{enumerate}[1.)]
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\item $G$ ist die einzige Bahn.
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\item $\forall h_1, h_2 \in G \exists g \in G: h_2 = g h_1: g := h_2 h_1^{-1}$, also: $G$ ist die einzige Bahn.
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\item $g \sim_G h \Leftrightarrow \exists x in G: h = x g x^{-1} \Leftrightarrow g$ und $h$ sind konjugiert $\Leftrightarrow$ Bahnen sind Konjugationsklassen.
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\item Eine Bahn. $g,h \in G \Rightarrow \exists x \in G: h = xg \Rightarrow hH = xgH$
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\end{enumerate}
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\item Stabilisatoren:
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\begin{enumerate}[1.)]
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\item $x \in X: Stab_{\sigma_X}(x) = \set{ \pi \in \sigma_X \mid \pi(x) = x } = \sigma_{X \without \set{x}}$, z.Bsp. $Stab_{\sigma_n}(n) = \sigma_{n-1}$ \\
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$Stab_{\sigma_n}(\set{1, \ldots, i}) = \set{ \pi \in \sigma_n | 1 \leq \pi(j) \leq i \forall 1 \leq j \leq i } = \sigma_{\set{1, \ldots, i}} \times \sigma_{\set{i+1, \ldots, n}}$
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\item $h \in G: Stab_G(h) = \set{g \in G \mid gh = h} = \set{ 1 }$
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\item $h \in G: Stab_G(h) = \set{g \in G \mid \lsup{g}{h} = h} = \set{g \in G \mid ghg^{-1} = h} = \set{g \in G \mid gh = hg } = $ Zentralisator von $h$ in $G$.
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\item Spezialfall $Stab_G(1 \cdot H) = \set{ g \in G \mid gH = H} = H$
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\begin{lemma}
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Sei $X$ $G$-Menge, $x \in X, g \in G$: Dann ist $Stab_G(gx) = g \cdot Stab_G(x() \cdot g^{-1}$ ("`konjugierte Untergruppe"')
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\end{lemma}
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\begin{bew}
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"`$\supseteq$"' Sei $h = gfg^{-1} \in $ rechte Seite $\Rightarrow h(gx) = gfg^{-1}gx = gfx = gx \Rightarrow h \in $ linke Seite.
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"`$\subseteq$"' Sei $h \in Stab_G(gx)$, d.h. $h(gx) = gx \Rightarrow g^{-1}hgx = x \Rightarrow g^{-1} h x = f \in Stab_G(x) \Rightarrow h = g f g^{-1} \in g Stab_G(x) g^{-1}$
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\end{bew}
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{\it Beispiele:} von 1.3.1, Stabilisator für 4.): \\
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$ Stab_G(xH) = x H x^{-1} $
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Neues Beispiel für 1.3.1:
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\begin{enumerate}
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\item[5.)] Sei $X = \set{H \leq G}$. Dann operiert $G$ auf $X$ durch Konjugation $lsup{g}{H} = g H g^{-1}$ \\
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$Stab_G(H) = \set{g \in G \mid g H g^{-1} = H } = N_G(H)$ der \underline{Normalisator} von $H$ in $G$ (die größte Untergruppe von $G$ in der $H$ normal ist, $H \trianglelefteq N_G(H) \leq G$)
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\end{enumerate}
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\begin{bem}
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Bahnen sind in 5.) Konjugationsklassen von Untergruppen. \\
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Beachte: $\abs{c_g(H)} = \abs{gHg^{-1}} = \abs{H}$
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\end{bem}
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\begin{satz} % 1.3.5
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Jede $G$-Menge ist (eindeutig) disjunkte Vereinigung (direkte Summe) von transitiven $G$-Mengen, nämlich der Bahnen von $G$ auf der Menge.
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\end{satz}
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\begin{satz} % 1.3.6
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Sei $X$ transitive $G$-Menge und $x \in X, H = Stab_G(x)$. Dann ist $X \cong G / H$ ($ = G$-Menge der Nebenklassen von $H$ in $G$ durch Linkstranslation, siehe Beispiel 4. aus 1.3.1)
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\end{satz}
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\begin{bew}
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Definiere $\varphi: G/H \rightarrow X: gH \mapsto g x$ für $g \in G$.
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\begin{enumerate}[1.)]
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\item $\varphi$ ist wohldefiniert: Denn sei $gH = fH \Rightarrow f^{-1}g \in H \Rightarrow f^{-1}gx = x$, da $H = Stab_G(x)$ ist $\Rightarrow gx = fx$
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\item Umgekehrt gehts auch: Sei $fx = gx$ ($f, g \in G$) $\Rightarrow x = f^{-1}gx \Rightarrow f^{-1}g \in H \Rightarrow gH = fH$ Also ist $\varphi$ injektiv.
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\item Wegen $G \cdot x = X$ ist $\varphi$ surjektiv.
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\item Seien $a, g \in G:$ Dann ist $a \varphi(gH) = a(gx) = (ag)x = \varphi(agH)$, also ist $\varphi$ ein Isomorphismus von $G$-Mengen.
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\end{enumerate}
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\end{bew}
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\begin{korr} % 1.3.7
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$\abs{X} = \abs{G/H} = \left[G : H \right] $ \\
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\underline{Allgemein}: Sei $X$ $G$-Menge, $x \in X \Rightarrow \abs{Gx} = \abs{G : Sta_G(x)}$ (Bahngleichung)
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\end{korr}
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Wir haben jetzt is aus Isomorphie alle $G$-Mengen konstruiert, nämlich als disjunkte Vereinigunge (direkte Summen) von $G$-Mengen der Form $G/H$ mit $H \leq G$. \\
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\underline{Frage:} Sind $H, K \leq G$. Wann ist $G/H \cong G/K$ als $G$-Menge (unter Linkstranslation)?
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\begin{lemma} % 1.3.8
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Seien $X, Y$ $G$-Mengen, $\varphi:X \rightarrow Y$ Homomorphismus, und sei $x \in X$. Dann ist $\Stab_G(x) \leq \Stab_G(\varphi(x)$ \\
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Insbesondere: ist $\varphi$ ein Isomorphismus, so ist $\Stab_G(x) = \Stab_G(\varphi(x))$.
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\end{lemma}
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\begin{bew}
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$g \in G: gx = x \Rightarrow g (\varphi(x)) = \varphi(gx) = \varphi(x) \Rightarrow g \in \Stab_G(\varphi(x))$
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\end{bew}
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\begin{satz} % 1.3.9
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Seien $H, K \leq G$. Dann ist $G/H \cong G/K \Leftrightarrow H \mathop{=}_G K$ (d.h. $\exists g \in G: gKg^{-1} = H$).
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\end{satz}
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\underline{Bemerkung:} 1.3.6 + 1.3.9 liefert die Klassifikation der $G$-Mengen.
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\begin{bew}
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Sei $\varphi: G/H \rightarrow G/K$ ein Isomorphismus von $G$-Mengen,
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$(\exists x \in G): varphi(1 \cdot H) = xK \Rightarrow \Stab_G(1 \cdot H) = H = \Stab_G(xK) = x\Stab_G(1\cdot K) x^{-1} = xKx^{-1}$. Also ist $H =_G K$. \\
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|
Umgekehrt ist $H =_G K$, etwa $K = x H x^{-1}$. Dann ist (nach 1.3.4) $K = \Stab_G(xH)$, und $G/K \cong G/H$ nach 1.3.6
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\end{bew}
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\begin{definition}
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Sei $k \in \N, X$ $G$-Menge. Dan heißt $X$ $k$-fach transitiv ($k$-trans.) falls gilt: Sind $x_1, \ldots, x_k \in X$ und $y_1, \ldots, y_k \in X$ jeweils beliebige aber paarweise verschieden, so gibt es $g \in G: y_i = g x_i \forall 1 \leq i \leq k$ \\
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(Klar: $G$ operiert auf $X^{\times k} = X \times \ldots \times X$ k-trans. $\Leftrightarrow G$ operiert auf $\set{ (x_1, \ldots, x_k) \in X^{\times k} \mid x_i \text{ paarweise verschieden}}$ transitiv. 1-transitiv = transitiv)
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\end{definition}
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\begin{satz} % 1.3.10
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Sei $X$ 2-transitive $G$-Menge, $x \in X$. Dann ist $\Stab_G(x)$ maximale Untergrupe von $G$.
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\end{satz}
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\begin{bew}
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2-transitiv $\Rightarrow X$ ist transitiv $\Rightarrow X \cong G/H$ für $H = \Stab_G(X)$. Angenommen, $H$ st nicht maximal in $G$. Sei $H < K < G, g \in G, g \notin K, k \in K, k \notin H$.
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Dann ist $kH \neq H, gH \neq H$. Wir hben also zwei Paare $(H, kH)$ und $(H, gH)$. 2-transitiv $\Rightarrow \exists f \in G: f \cdot (1 H) = (1 H), f (k H) = g H \Rightarrow f \in H \Rightarrow fk \in K
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\Rightarrow \exists h \in H: fk = gh \Rightarrow K = f k K = g h K = g K \Rightarrow g \in K$ Widerspruch!
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\end{bew}
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\begin{definition}
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Eine transitive $G$-Menge X heißt primitiv $\Leftrightarrow \forall x \in X: \Stab_G(x)$ maximale Untergruppe von $G$ ist.
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\end{definition}
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\begin{diagram}
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\text{2-transitiv} & \Rightarrow & \text{"`primitiv"'} & \Rightarrow & \text{transitiv} \\
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\Downarrow & & \Updownarrow & & \Updownarrow \\
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\text{Stab = max. Untergruppe} & & \text{Stab = max. Untergr.} & & \text{Stab = bel. Untergr.}
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\end{diagram}
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\begin{satz}
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Eine transitive $G$-Menge $X$ ist primitiv $\Leftrightarrow$ wenn gilt: Sei $Y \subsetneq X, \abs{Y} \geq 2$. Dann gibt es für alle $g \in G$ Elemente $y,z \in Y$ mit $gy \in Y, gz \notin Y$.
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\end{satz}
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\underline{Anwendungen:}
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\begin{satz} % 1.3.12
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Sei $G$ endlich, $H, K \leq G$. Es gilt:
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$$ \abs{H \cdot K} = \frac{\abs{H} \cdot \abs{K}}{\abs{H \cap K}} $$
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\end{satz}
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\begin{bew}
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Sei $X = G/K$ eine $G$-Menge. Durch Einschränken ist $G/K$ auch $H$-Menge. \\
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Sei $H_K$ die Bahn von $K = 1\cdot K$ unter dieser $H$-Operation. \\
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Klar: $H_K = \set{hK \mid h \in H}, H K = \mathop{\cup}\limits_{h \in H} h K$. \\
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Also ist $HK$ die Vereinigung von $K$-Nebenklassen von $G$ mit Vertretern aus $H$. \\
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Also ist $\abs{HK} = \abs{\lsup{H}{K}} \cdot \abs{K}$. Nach 1.3.7 ist $\abs{\lsup{H}{K}} = \abs{H : \Stab_H(K)}$ \\
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$\Stab_H(K) = \set{h \in H \mid hK = K} = K \cap H$. \\
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Also ist $\abs{HK} = \abs{K} \cdot \abs{\lsup{H}{K}} = \abs{K} \cdot \abs{H : \Stab_H(K)} = \abs{K} \cdot \abs{H : (H \cap K)} = \abs{K} \cdot \frac{\abs{H}}{\abs{H \cap K}}$
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\end{bew}
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\underline{Konjugationsop:} $\abs{G} = n \in \N, 1 = g_1, g_2, \ldots, g_k$ seien Vertreter der Konjugationsklassen von $G$. \\
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$\cC_i := \lsup{G}{g_i} = \set{g g_i g^{-1} \mid g \in G}$ Bahn \\
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$C_i = \Stab_G(g_i) = C_G(g_i) = \set{h \in G \mid h g_i = g_i h} \leq G$ \\
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\begin{satz} % 1.3.13
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\underline{Klassengleichung:} Sei $\abs{G} = n$. \\
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$ n = 1 + \sum_{i=2}^{k} \abs{G : C_i} = \abs{Z(G)} + \sum\limits_{i=1,\ldots,k, g_i \notin Z(G)} \abs{G : C_i} $
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\end{satz}
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\begin{bew}
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Ohne Einschränkung: $Z(G) = \set{g_1, \ldots, g_l}, 1 \leq l \leq k \Rightarrow C_i = G \forall i = 1, \ldots, l, \cC_i = \set{g_i}$ \\
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|
Mit 1.3.7 $\mathop{\Rightarrow}\limits_{i=1, \ldots, k} \abs{\lsup{G}{g_i}} = \abs{\cC_i} = [G:C_i] = [G:\Stab_G(g_i)]$
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\end{bew}
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\begin{definition}
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Sei $G$ endliche Gruppe, $G^1 = [G, G]$. Definiere $D^{i}(G) (i \in \N)$ durch
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\begin{enumerate}
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\item $D^1(G) = G^1$
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\item $i > 1: D^i(G) = [D^{i-1}(G), D^{i-1}(G)]$
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\end{enumerate}
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Klar: $D^i(G) \trianglelefteq D^{i-1}(G)$ und $D^{i-1}(G)/D^i(G)$ abelsch. \\
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$G$ heißt auflösbar, falls $D^k(G) = (1)$ für ein $k \in \N \Leftrightarrow \exists (1) = N_1 \leq N_2 \ldots \leq N_m = G$ mit $N_i \trianglelefteq N_{i+1}$ und $N_{i+1}/N_i$ abelsch (zyklisch, zyklisc von Primzahlordnung nach Korrespondenzsatz). \\
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Kann man zusätzlich $N_i$ so wählen, dass $N_i \trianglelefteq G$ ist, so heißt $G$ Überauflösbar ("`supersolvable"'). \\
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$N \trianglelefteq G$: mit $N$ auflösbar, $G/N$ auflösbar $\Leftrightarrow G$ auflösbar.
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|
\end{definition}
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Sei $Z_i(G)$ induktiv durch folgendes definiert:
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\begin{enumerate}[i)]
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\item $Z_1(G) = Z(G) \trianglelefteq G$ (charakteristisch)
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\item $Z_2(G)$ ist volles Urbild von $Z(G/Z(G))$ in $G$ unter natürlicher Projektion $G \rightarrow G/Z(G)$. \\
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Beachte: Nach Korrespondenzsatz (1.2.10) gilt: $Z_2(G) \trianglelefteq G$. \\
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($Z_2(G) = \set{g \in G \mid g Z(G) \in Z(G/Z(G)) }$)
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\item $i > 1: Z_i(G)$ ist volles Urbild von $Z(G/Z_{i-1})$ in $G, Z_i(G) \trianglelefteq G$.
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\end{enumerate}
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Haben: $(1) = Z_1(G) \trianglelefteq Z_2(G) \trianglelefteq \ldots \trianglelefteq Z_i(G) \trianglelefteq \ldots$ \\
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$Z_i(G) / Z_{i-1}(G)$ abelsch, $Z_i(G) \trianglelefteq G$. (Beweis: Übung) \\
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$G$ heißt nilpotent, falls $\exists k \in \N: Z_k(G) = G$. \\
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\underline{Beachte:} nilpotent $\Rightarrow$ überauflösbar $\Rightarrow$ auflösbar
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\begin{korr} % 1.3.14
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Sei $G$ eine $p$-Gruppe, $p$ Primzahl (d.h. $\exists t \in \N: \abs{G} = p^t$), Dann ist $\abs{Z(G)} > 1$. \\
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Insbesondere ist $G$ nilpotent.
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\end{korr}
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\begin{bew}
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$x \in G, x \notin Z(G) \Rightarrow C_G(x) \lneq G \Rightarrow [G : C_G(x)]$ wird von p geteilt. \\
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Klassengleichung: $\abs{G} = p^t = \abs{Z(G)} + \sum\limits_{i=l+1}^k \abs{G : C_G(g_i)}$ \\
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$p$ teilt $\abs{G : C_G(g_i)} \Rightarrow p $ teilt die Summe $\Rightarrow p $ teilt $ \abs{Z(G)}$. \\
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Rest: Übung.
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\end{bew}
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\begin{bem}
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Berühmte Ergebnisse:
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\begin{enumerate}[I)]
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\item Brunside's $pq$-Theorem: Seien $p, q$ Primzahlen, $\abs{G} = p^a \cdot q^b, a, b \in \N \Rightarrow G$ ist auflösbar.
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\item Feit-Thompson: Ist $2 \nmid \abs{G} \Rightarrow G$ ist auflösbar.
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\end{enumerate}
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\end{bem}
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\underline{Beachte:} Sei $H \leq G$. Dann ist $H \trianglelefteq G \Leftrightarrow H$ ist Vereinigung von (disjunkten) Konjugationsklassen von $G$; denn
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$gHg^{-1} = H \forall g \in G$ gilt genau dann, wenn $\forall h \in H, g \in G: c_g(h) = ghg^{-1} \in H$, d.h. $\lsup{G}{h} \subseteq H$. Daher ist
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$\abs{H} = \sum\limits_{g_i \in H} \abs{C_i} $ % i ) 1, \ldots, k
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\underline{Erinnerung:} Sei $H \leq G$. Dann ist $N_g(H) = \set{g \in G \mid gHg^{-1} = H} \leq G$ und $H \trianglelefteq N_G(H) = $ die eindeutig bestimmte größte Untergruppe von $N$,
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in der $H$ normal ist. $H \trianglelefteq G \Leftrightarrow N_G(H) = G$.
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\begin{satz} % 1.3.15
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Sei $\abs{G} = n < \infty$, und sei $H \leq G$. Sei $\mathcal{A} = \set{gHg^{-1} \mid g \in G}$. Dann ist $\abs{\mathcal{A}} = \abs{G : N_G(H)}$.
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\end{satz}
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\begin{bew}
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$G$ operiert auf $\sigma(G)$ ($\set{K \leq G}$) per Konjugation, und $\mathcal{A}$ ist gerade die Bahn $\lsup{G}{H}$ von $H$ unter dieser Operation.
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$N_G(H) = \Stab_G(H)$. So folgt die Behauptung aus 1.3.7.
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\end{bew}
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\begin{definition}
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$H, K \leq G, z \in G$. Dann heißt $HzK = \set{hzk \mid h \in H, k \in K}$ die $H$-$K$-Doppelnebenklasse von $z$. \\
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Definiere $\sim$ auf $G$ durch $, y \in G$, so ist $x \sim y \Leftrightarrow \exists h \in H, k \in K: y = hxk$
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\begin{enumerate}[i)]
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\item $ x = 1_H x 1_K \Rightarrow x \sim x \forall x \in G$
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\item $ y = hxk \Rightarrow x = h^{-1}yk^{-1} \Rightarrow$ Symmetrie
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\item $ y = h_1 x k_1, z = h_2 y k_2 \Rightarrow z = h_2 h_1 x k_1 k_2 \Rightarrow x \sim z$
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\end{enumerate}
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Also ist $G$ disjunkte Vereinigung der $H$-$K$-Doppelnebenklassen.
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\end{definition}
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\underline{Klar:} $HzK = \bigcup\limits_{h \in H} hzK = \bigcup\limits_{k \in K} Hzk$ ist (disjunkte) Vereinigung von $K$-Links- bzw $H$-Rechtsnebenklassen in $G$.
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\begin{satz} % 1.3.16
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Sei $\abs{G} = n < \infty, H, K \leq G$ und $ \in G$. Dann gilt: \\
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$$ \abs{HzK} = \frac{\abs{H} \cdot \abs{K}}{\abs{H \cap zKz^{-1}}} = \frac{\abs{H} \cdot \abs{K}}{\abs{z^{-1}Hz \cap K}} = [H : (H \cap zKz^{-1}] \cdot \abs{K} = \abs{H} \cdot [K : (z^{-1}Hz \cap K] $$
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Das kommt nicht von unefähr: Ist $h_1 = 1, h2, \ldots,h_l \in H$ ein Vertretersystem der Linksnebenklassen von $H \cap zKz^{-1}$ in $H$, d.h. $H = \mathop{\cup}\limits^{\bullet} h_i (H \cap zKz^{-1}$,
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so ist $HzK = \bigcup\limits_{j=1, \ldots, l}^{\bullet} h_i z K$. Analog $K = \bigcup\limits_{j=1, \ldots, m}^{\bullet} (z^{-1}Hz \cap K) \cdot k_j, HzK = \bigcup\limits_{j=1, \ldots, m}^{\bullet} Hz k_j $
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\end{satz}
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\underline{Beweisidee:} $h \in H \cap zKz^{-1} \Leftrightarrow \exists k \in K: h = zkz^{-1} \Leftrightarrow hzK = zkz^{-1}z K = zkK = zK \Rightarrow h_i (z^{-1}H \cap K) zK= h_i zK$, Details Übung.
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\begin{bew}
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\begin{enumerate}[a)]
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\item $\abs{HzK} = \abs{HzKz^{-1}} \mathop{=}\limits^{\text{1.3.12}} \frac{\abs{H} \cdot \abs{zKz^{-1}}}{\abs{H \cap zKz^{-1}}} = \frac{\abs{H} \cdot \abs{K}}{\abs{H \cap zKz^{-1}}} = \frac{\abs{H} \cdot \abs{K}}{\abs{z^{-1}Hz \cap K}}$
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\item 2. Beweis: $G$ operiert auf $G / K$ wie üblich, also auch $H$ durch Einschränkung. $HzK$ ist die Vereinigung der Nebenklassen, die in $\lsup{H}{zK}$ liegen. Daher ist $\abs{HzK} = \abs{K} \cdot $ Bahnlänge $\abs{\lsup{H}{zK}}$. Nun ist $\Stab_H(zK) = \set{h \in H \mid hzK = zK}$. Aber $hzK = zK \Leftrightarrow z^{-1}hz = k \in K \Leftrightarrow h = zkz^{-1}$ ist $\exists k \in K$. \\
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Also ist $\Stab_H(zK) = H \cap zKz^{-1} \mathop{\Rightarrow}\limits^{\text{1.3.7}} \abs{HzK} = \abs{K} [H : H \cap zKz^{-1}] = \frac{\abs{H}\cdot \abs{K}}{\abs{H \cap zKz^{-1}}}$
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\end{enumerate}
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\end{bew}
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% \part{Lineare Gruppen}
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$F$ ist ein Körper, $n \in \N, G = \GL_n(F) \cong \Aut_F(V), v = F$-Vektorraum mit $\dim_F(V) = n$ \\
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$G = \set{A \in F^{n \times n} \mid \det A \neq 0} = $ volle lineare Gruppe. \\
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$SL_n(F) = \set{A \in F^{n \times n} \mid \det A = 1} = $ spezielle lineare Gruppe. \\
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$Z(G) = \set{\alpha \cdot E_{n \times n} | 0 \neq \alpha \in F}$ \\
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$Z(\SL_n(F)) = Z(G) \cap \SL_n(G)$, da $G = \SL_n(F) \cdot \set{\pmatr{\alpha & & & 0 \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & 1}}$ \\
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$ Z(\SL_n(F)) = \set{ \alpha \cdot 1_G \mid 0 \neq \alpha \in F, \alpha^n = 1}$ \\
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$\PSL_n(F) = \SL_n(F) / Z(\SL_n(F)) = $ "`projektive spezielle lineare Gruppe"' \\
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\underline{Ziel:} $\Gamma = \PSL_n(F), \Gamma \neq \PSL_n(\GF(q))$ für $n = 2, q = 2, 3$ und $n = 3, q = 2$, dann ist $\PSL_n(F)$ einfach.
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\underline{Notation:} $\abs{F} = \GF(q) = \F_q$ Körper mit $q$ Elementen, $q = p^a, p$ Primzahl, $a \in N$. \\
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$G = \GL_n(q), \SL_n(F) = \SL_n(q), \PSL_n(F) = \PSL_n(q)$ \\
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$\abs{G} = \prod\limits_{k=1}^{n} (q^n - q^{k-1}) = (q^n-1)(q^n-q)(q^n-q^2)\ldots = q^{\frac{n(n-)}{2}} (q^n-1)(q^{n-1}-1)\ldots(q-1)$
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$\abs{\SL_n(q)} = \frac{\abs{\GL_n(q)}}{q-1}, \abs{\PSL_n(q)} = \frac{\abs{\SL_n(q)}}{\abs{ \alpha \mid \alpha^n = 1 \in F}} $
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\chapter{Basics und Bruhat-Zerlegung}
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\begin{satz} % 2.1.1
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$\abs{\GL_n(q)} = $ oben (Algebra)
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\end{satz}
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\begin{definition}
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$T := \set{ \text{Diagonalmatrizen in } G = diag(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) \mid 0 \neq \alpha_i \in \F_q}, \abs{T} = (q-1)^n$, Standard (Split) "`Torus"' \\
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$B := \set{ A = \text{obere Dreiecksmatrizen in } G \mid \det A = \prod \alpha_i \neq 0}$, Standard "`Boreluntergruppe"' von $G$ \\
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Klar: $T \leq B \leq G$ "`Borus"', "`Torel"'; $A \in B \Rightarrow A^{-1} \in B; X, Y \in B \Rightarrow XY \in B$, also $B \leq G$. \\
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$U = \set{ A \in B \mid \text{Diagonaleinträge von $A$ sind 1}} \leq B$ \\
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$A \in B, X \in U: AXA^{-1} \in U \Rightarrow U \trianglelefteq B$
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\end{definition}
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\underline{Klar:} $U \cap T = (1_G)$. \\
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Sei $A = \in B \Rightarrow A \cdot \pmatr{A_{11}^{-1} & & 0 \\ & \ddots & \\ & & A_{nn}^{-1}} \in U$ \\
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d.h. $Y \in T, A \cdot Y = X \Rightarrow A = X \cdot Y^{-1}$. Also ist $B = U \cdot T$.
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\begin{definition}
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\begin{enumerate}[i)]
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\item Eine Untergruppe von $G$, die konjugiert zu $B$ ist, heißt Boreluntergruppe von $G$.
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\item Sei $\xi = (e_1, \ldots, e_n)$ natürliche Basis von $\F_q^n$, Für $\pi \in \sigma_n$ sei $\xi_{\pi} = (e_{\pi(1)}, \ldots, e_{\pi(n)})$. \\
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Sei $E_{\pi} = m_{\id}(\xi, \xi_\pi) $ Basiswechselmatrix von $\xi$ nach $\xi_\pi$ \\
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Beispiel: $\pi = (2,3,1): E_\pi = \pmatr{0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0} = $ Permutationsmatrix zu $\pi$. \\
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Beachte: Matrix-Einheit: $e_{ij} = (\delta_{r s}) \in M_{n \times n}(\F_q) $ \\
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$E_\pi = \sum\limits_{i=1}^n e_{\pi(i)i}$
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{definition}
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Eine Permutationsmatrix $A \in M_{n \times n}(F)$ ist eine Matrix, die in jeder Spalte und Zeile genauen einen von 0 verschiedenen Eintrag hat, der 1 ist. \\
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Sei $A$ Permutationsmatrix. Definiere $\pi: \set{1, \ldots, n} \rightarrow \set{1, \ldots, n}$ durch $\pi(i) = j \Leftrightarrow A_{\pi(i)j} = 1$.
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\end{definition}
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Also ist $\pi \mapsto E_\pi$ eine Bijektion von $\sigma_n$ in $W := \set{\text{Permutationsmatrizen}}$.
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Seien $\sigma, \pi \in \sigma_n$. Dann ist $E_\pi \cdot E_\sigma = (\sum_{i=1}^n e_{\pi(i)i}) (\sum_{j=1}^n e_{\sigma(j)j}) = \sigma_{i,j} e_{\pi(i)i} e_{\sigma(j)j}
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= \sum_{j=1}^{n} e_{\pi\sigma(j)j} = E_{\pi \sigma}$. \\
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Also ist $\pi \mapsto E_\pi$ ein Isomorphismus von $\sigma_n$ in $W$, insbesondere ist $W \leq G$, $W$ heißt "`Weylgruppe"' von $G$.
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\begin{satz} % 2.1.2 + 2.1.3
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Die Menge $W$ der Permutationsmatrizen in $G = \GL_n(F)$ ist Untergruppe von $G$ und isomorph zu $\sigma_n$. \\
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\underline{Beachte:} Sei $\pi \in W \Rightarrow \det \pi = \sign \pi \in \set{-1, +1}$
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\end{satz}
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\begin{bem}
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Ist $E_\pi$ Permutationsmatrix zu $\pi \in \sigma_n, M \in F^{n \times n}$, so entsteht $\pi \cdot M = E_\pi M$ aus $M$ durch entsprechende Zeilenpermutationen und $M \pi$ durch
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entsprechende Spaltenpermutationen. \\
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$\sigma_n$ operiert auf der natürlichen Basis $\xi \rightsquigarrow \xi_\pi = (e_{\pi(1)}, \ldots, e_{\pi(n)})$.
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\end{bem}
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\begin{definition}
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Sei $1 \leq i,j \leq n, i \neq j$, und sei $\alpha \in F$. Dan sei $x_{ij}(\alpha) \in F^{n \times n}$ die entsprechende Elementarmatrix $A = (\alpha_{st})$ mit
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$\alpha_{st} = \left\{\matr{1 & \text{für } s = t \\ \alpha & \text{für } s = i, t = j \\ 0 & \text{sonst}}\right.$ \\
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$x_{ij}(\alpha) = \pmatr{1 & & \alpha \\ & \ddots & \\ & & 1}, \alpha$ an Position $i,j$ \\
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Die Matrizen $x_{ij}(\alpha)$ und ihre $G$-konjugierten heißen Transvektionen. \\
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\underline{Beachte:} $x_{ij}(\alpha) \cdot M$ entsteht aus $M$ durch Addition von Reihe (Saplte) $j$ mal $\alpha$ zu Zeile (Spalte) $i$ ($M \cdot x_{ij}(\alpha)$.
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\end{definition}
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\begin{lemma} % 2.1.4
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Seien $\alpha, \beta \in F, i \neq j, \pi in W$
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\begin{enumerate}[i)]
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\item $\det(x_{ij}(\alpha)) = 1$, also ist $x_{ij}(\alpha) \in \Omega_n(F) \leq \GL_n(F)$.
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\item Ist $\alpha \neq 0$, so ist $x_{ij}(\alpha) \in B \Leftrightarrow i < j$. ($U \leq B$)
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\item $x_{ij}(\alpha) x_{ij}(\beta) = x_{ij}(\alpha + \beta), x_{ij}(\alpha)^{-1} = x_{ij}(-\alpha)$.
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So ist $X_{ij} = \set{x_{ij}(\alpha) \mid \alpha \in F} \leq G$ die sogenannte Wurzeluntergruppe zur Wurzel $(j-i)$; $X_{ij} \cong (F, +)$
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\item Sind $i, j, k \in \set{1, \ldots, n}$ paarweise verschieden, so ist $[x_{ij}(\alpha), x_{jk}(\beta) ] = x_{ik}(\alpha \beta)$
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\item Ist $\pi \in \sigma_n$, so ist $\pi x_{ij}(\alpha) \pi^{-1} = x_{\pi(i)\pi(j)}(\alpha)$
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\item Bemerkung von oben.
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\end{enumerate}
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\end{lemma}
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\begin{bew}
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\begin{enumerate}
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\item[i),ii)] trivial.
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\item[iii)] Beachte: $x_{ij}(\alpha) = E + \alpha e_{ij}$ \\
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$(E + \alpha e_{ij})(E + \beta e_{ij}) = E + (\alpha + \beta) e_{ij} + \alpha \beta e_{ij} e_{ij} = E + (\alpha + \beta) e_{ij} = x_{ij}(\alpha + \beta)$. \\
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$\Rightarrow x_{ij}(\alpha) \cdot x_{ij}(-\alpha) = x_{ij}(0) = E = 1 \Rightarrow x_{ij}(\alpha)^{-1} = x_{ij}(-\alpha)$
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\item[iv)] $[x_{ij}(\alpha), x_{jk}(\beta)] = (E + \alpha e_{ij})(E + \beta e_{jk})(E - \alpha e_{ij})(E - \beta e_{jk}) $ \\
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$ = (E + \alpha e_{ij} + \beta e_{jk} + \alpha \beta e_{ik}) \cdot (E - \alpha e_{ij} - \beta e_{jk} + \alpha \beta e_{ik}) $ \\
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$ = E - \alpha e_{ij} - \beta e_{jk} + \alpha \beta e_{ik} + \alpha e_{ij} - 0 - \alpha \beta e_{ik} + 0 + \beta e_{jk} - 0 + 0 + \alpha \beta e_{ik} - 0 - 0 + 0 $ \\
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$ = E + \alpha \beta e_{ik} = x_{ik}(\alpha \cdot \beta) $
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\item[v)] Beachte: $\pi e_{ij} = e_{\pi(i)j}$ wegen vi). $e_{ij} \pi^{-1} = e_{i\pi(j)}$; denn $E_\pi = \sum\limits_{s=1}^n e_{\pi(s)s}$ \\
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$ \Rightarrow E_\pi e_{ij} = \sum\limits_{s=1}^n e_{\pi(s)s} e_{ij} = e_{\pi(s)j}, e_{ij} E_{\pi^{-1}} = \sum e_{ij} e_{\pi^{-1}(s)s} = e_{i \pi(j)}$ \\
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$ \Rightarrow \pi x_{ij}(\alpha) \pi^{-1} = \pi (E + \alpha e_{ij}) \pi^{-1} = \pi E \pi^{-1} + \alpha \pi e_{ij} \pi^{-1} = E + \alpha e_{\pi(i) \pi(j)} = x_{\pi(i)\pi(j)}(\alpha)$
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\end{enumerate}
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\end{bew}
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\underline{Ziel:} $G = \bigcup\limits_{w \in W}^{\bullet} BwB$, insbesondere: es gibt $n!$ viele $B$-$B$-Doppelnebenklassen in $G$ ($U$-$B$-, $B$-$U$-). "`Bruhat-Zerlegung"'
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\begin{lemma} % 2.1.5
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Sei $M \in G$. Dann gibt es ein $b \in B (U)$ so, dass gilt: \\
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Für $1 \leq i \leq n$ gibt es eine eindeutig bestimmte Zeile $k_i$ in $b \cdot M$ so, dass der $i$-te Eintrag in dieser Zeile der erste von 0 verschiedene Eintrag in ihr ist,\\
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und $\set{k_1, \ldots, k_n} = \set{1, \ldots, n}$; $i \mapsto k_i \in \sigma_n$.
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\end{lemma}
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\begin{bew}
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Die 1. Spalte von $M$ kann nicht die 0-Spalte sein $\Rightarrow \exists k_1$ so, dass Eintrag $k_i$ in $M = (\alpha_{rs})$ ungleich 0 aber $\alpha_{r1} = 0$ für $r > k_1$ ist. (Der letzte von 0 verschiedene Eintrag in der Spalte). \\
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Durch elementare Zeilentransformationen ($x_{1,l}(\frac{-\alpha_{l,1}}{\alpha_{k_1 1}})$, $l < k_1$) aus $U$ kann man $M'$ erhalten, in der $k_i$ der einzige von 0 verschiedene Eintrag in der 1. Spalte ist. \\
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Streiche 1. Spalte und $k_1$-te Zeile und arbeite induktiv weiter.
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\end{bew}
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\begin{satz} % 2.1.6
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$G = BWB = \bigcup\limits_{w \in W} BwB$ (bzw. $UwB$ oder $BwU$).
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\end{satz}
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\begin{bew}
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$M \in G, b \in B, k_i$ wie in 2.1.5 gewählt. Die Abbildung $i \mapsto k_i$ ist Permutation $\pi = \pi_M \in \sigma_n$. \\
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Sei $w = \pi^{-1}$. Dann ist $ wbM = \tilde{b} \in B \Rightarrow M = b^{-1} \pi \tilde{b} \in B \pi B$. \\
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\underline{Beachte:} 2.1.5 konstruiert $\pi_M$ für $M$.
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\end{bew}
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\begin{lemma} % 2.1.7
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Seien $w_1, w_2 \in W$ und $b \in B$, so dass $w_1 b w_2 \in B$ ist, dann ist $w_1^{-1} = w_2$.
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\end{lemma}
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\begin{bew}
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Sei $1 \leq j \leq n$ beliebig und sei $i = w_1^{-1}(j)$, also $w_1(i) = j$. \\
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Sei wieder $E = (e_1, \ldots, e_n)$ natürliche Basis von $F^n$,so ist $_1^{-1}(e_j) = e_i$. \\
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Dann ist Zeile $j$ von $w_1 b$ gleich Zeile $i$ von $b$. \\
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Sei $k = w_2^{-1}(i)$, d.h. $w_2(k) = i$, dann ist Spalte $k$ von $w_1 b w_2$ gleich Spalte $i$ von $w_1 b$. \\
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Es sei $\beta = (b)_{ii} \in F$.
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$\beta \neq 0$ ($b \in B$); $\beta$ ist auch $(w_1 b)_{ji}$ und $(w_1 b w_2)_{jk}$ (und immer noch $\neq 0$) \\
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$\Rightarrow j \leq k$, da $w_1 b w_2 \in B$ \\
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Wir haben $w_2^{-1}w_1^{-1}(j) = w_2^{-1}(i) = k \geq j \Rightarrow w_2^{-1} w_1^{-1} = 1 \Rightarrow w_1 = w_2^{-1}$
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\end{bew}
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\begin{korr} % 2.1.8
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Seien $w, w' \in W, w \neq w'$. Dann ist $BwB \cup Bw'B = \emptyset$, und daher $G = \bigcup\limits_{\pi \in W}^{\bullet} B \pi B$.
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\end{korr}
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\begin{bew}
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Sei $BwB \cap Bw'B \neq \emptyset \Rightarrow BwB = Bw'B \Rightarrow \exists b, b': w' = b w b' $ \\
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$ \Rightarrow w^{-1} b^{-1} w' = b' \in B \Rightarrow w^{-1} = (w')^{-1} \Rightarrow w = w'$
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\end{bew}
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\begin{bem} % 2.1.9
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In 2.1.5 wird das eindeutig bestimmte $w \in W$ für $M \in G$ konstruiert so, dass $M \in BwB$ ist.
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\end{bem}
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\begin{lemma} % 2.1.10
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Sei $b \in B$. Dann gibt es ein Produkt $t$ von Transvektionen so, dass $t \cdot b$ Diagonalmatrix ist, die dieselben Diagonaleinträge wie $b$ hat. \\
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Beweis klar.
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\end{lemma}
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\begin{satz} % 2.1.11
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$G$ wird von $T \leq G$ und der Menge der Transvektionen erzeugt.
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\end{satz}
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\begin{bew}
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Sei $H$ die Untergruppe von $G$, die von diesen Matrizen erzeugt wird. \\
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Zu zeigen: $ H = G $ \\
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Wegen 2.1.10 ist $B \leq H$, und daher genügt es wegen der Bruhat-Zerlegung 2.1.8 zu zeigen, dass $w \in H \forall w \in W$. \\
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Dafür genügt es zu zeigen: $\tau_{i,j} \in \sigma_n$ ist in $H$ enthalten: \\
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$E_{\tau_{i,j}} = \sum\limits_{s\neq i, s\neq j} e_ss + e_ij + e_ji = x_{ji}(1)x_{ij}(-1)x_{ji}(1) \cdot D, D$ Diagonalmatrix. \\
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$w = x_{ji}(1)x_{ij}(-1)x_{ji}(1), w e_k = \left\{\matr{e_n & \text{für } k \neq i, k \neq j \\ e_j & \text{für } k = i \\ - e_i & \text{für } k = j}\right.$
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\end{bew}
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Missing: 17.11.2009
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$P_f = U_f \rtimes L_f$
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\underline{Beispiele:} $V = F^n, \xi = (e_i, \ldots, e_n), V_i = < e_i, \ldots, e_{n_i} >, 0 < n_1 < \ldots < n_k = n f = (V_1, \ldots, v_n) $ \\
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\underline{Beachte:} $V_i = V_{i-1} \oplus y_i, y_i := < e_{n_i+1}, \ldots, e_{n_i} > $ \\
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$ v_i = n_i, v_2 = n_2 - n_1, v_3 = n_3 - n_2, \ldots, v_k = n_k - n_{k-1}, v_i = \dim_F(y_i) $ \\
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$L_f = \set{\text{Matrix mit von 0 verschiedenen Blöcken der Größen }v_i \times v_i\text{ auf der Diagonale aus } G}$ \\
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...
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$ v = (v_1, \ldots, v_k) \vDash n $ Wir schreiben $P_v = U_v \rtimes L_v$ anstatt $P_f, L_f, U_f$. ($\nu = (n) \Rightarrow P_{(n)} = G = L_{(n)}, U_{(n)} = (1)$) \\
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\underline{Sonderfall:} $v = (1^n) = (1, \ldots, 1) \vDash n, P_v = B = u \cdot T$, Borus.
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\begin{definition}
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Eine $n \times m$-Matrix $A$ heißt (untere) \underline{unitriangulär}, falls folgendes gilt: $A_{ii} = 1, A_{ij} = 0 \forall i < j$ (allgemeine untere Dreiecksmatrix mit 1 auf der Diagonale), analog obere.
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\end{definition}
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\begin{lemma} % 2.2.5
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Sei $V = F^n, f = (W_1, \ldots, W_n)$ mit $W_i = < e_1, \ldots, e_i >, \xi = (e_1, \ldots, e_n)$ natürliche Basis von $V$. \\
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Sei $X$ ein $B$-invarianter Unterraum von $V$, d.h. $bx \in X \forall b \in B, x \in X (\Rightarrow bX = X$. \\
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Dann ist $W = W_i$ für ein $1 \leq i \leq n$.
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\end{lemma}
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\begin{bew}
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Sei $1 \leq k \leq n$ minimal mit $X \subseteq W_k$. Wir zeigen: $X = W_k$. \\
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Dann existiert ein $x = \sum\limits_{i=1}^k \alpha_i e_i$ mit $\alpha_k \neq 0$ (da $k$ minimal). \\
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... $ \exists b \in B: b \cdot x = e_k \Rightarrow e_k \in X$ \\
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Nun ist $(E + e_{k-1,k}) e_k = e_k + e_{k-1} \in X \Rightarrow e_{k-1} \in X$, analog $\forall i \leq k: e_i \in X \Rightarrow W_k \subseteq X \Rightarrow W_k = X$.
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\end{bew}
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\begin{satz} % 2.2.6
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Sei $B \leq H \leq G$. Dann is $H$ eine Standardparabolische Untergruppe, d.h. $ \exists \nu \vDash n, H = P_{\nu} $
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\end{satz}
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\begin{bew}
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Sei $X$ ein $H$-invarianter Unterraum von $V$. Dann ist $X$ auch $B$-invariant, wil $B \subseteq H$.
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Also gibt es ein $1 \leq i \leq n: X = W_i = < e_1, \ldots e_i >, \xi = (e_1, \ldots e_n)$ natürliche Basis wegen 2.2.5. \\
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Seien $W_{\alpha_1}, \ldots, W_{\alpha_r}$ mit $1 \leq \alpha_1 < \alpha_2 < \ldots < \alpha_r = n$ genau die $H$-invarianten
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Unterräume von $V$. $\underline{\alpha} = (\alpha_1, \ldots, \alpha_r), W_{\alpha_i} = < e_1, \ldots, e_{\alpha_i} > $
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$ F_{\underline{\alpha}} = (W_{\alpha_1}, \ldots, W_{\alpha_r})$ ist $H$-invariante Fahne von Dimensionstyp $\underline{\alpha}$. \\
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Sei $\mu_1 = \alpha_1,_2 = \alpha_2 - \alpha_1, \ldots, \mu_r = \alpha_r - \alpha_{r-1}$
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$ \Rightarrow \mu = (\mu_1, \ldots, \mu_r) \vDash n $. \\
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$\Stab_G(F_{\underline{\alpha}}) = P_{\mu}, H \leq P_\mu$ \\
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Zu zeigen: $H = P_{\mu}$. \\
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\underline{Spezialfälle}
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\begin{enumerate}[1.)]
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\item $r = 1, \mu = (n), P_{\mu} = G$ \\
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Zu zeigen: $H = G$ \\
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$ < H e_1 > = H$-invarianter Unterraum $\Rightarrow V = < H e_1 >$
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$ \Rightarrow \exists h \in H: he_1 = \alpha_1 e_1 + \ldots + \alpha_n e_n$ mit $\alpha_n \neq 0$ \\
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Bruhat-Zerlegung: $h \in B w B, \exists w \in W $ \\
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2.1.9 und 2.1.5 $\Rightarrow$ Für $g \in BwB$ hat $g$ als Matrix die Form ... \\
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d.h. hier für $h \in BwB: w(1) = n$ \\
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Beachte: Wegen $B \subseteq H$ ist $h = b_1 w b_2 \Rightarrow w = b_1^{-1} h b_2^{-1} \in H$ \\
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Sei $1 < j \leq n$ mit $w(j) = 1$ (Ohne Einschränkung $n \geq 2$) \\
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Dann ist $X_{1j} = \set{x_{1j}(\alpha) | \alpha in F} \leq B \leq H$ \\
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$X_{n1} = X_{w(1)w(j)} = wX_{1j}w^{-1} \in H$ (mit 2.1.4) \\
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Sei $1 \leq i < m < n \Rightarrow X_{im} \subseteq B \subseteq H $ \\
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Dann ist $X_{nm}(\alpha) = [x_{n1} (\alpha), x_{1m}(1) ] \in H \forall \alpha \in F$ (mit 2.1.4) \\
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$ \Rightarrow X_{nm} \subseteq H$ \\
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$ \forall 1 \leq < n: x_{i1}(\alpha) = [x_{in}(\alpha, x_{n1}(1)] \in H \Rightarrow X_{i1} \subseteq H$ \\
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$ \forall 1 < i,m \leq n, i \neq m: x_{im}(\alpha) = [ x_{i1}(\alpha), x_{1m}(1) ] \in H \Rightarrow X_{im} \subseteq H$ \\
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Wir haben gezeigt $X_{ij} \subseteq H \forall 1 \leq i, j \leq n, i \neq j$ \\
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Da $T \subseteq B \subseteq H \Rightarrow H = G$.
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\item $r = 2, I_{\underline{\alpha}} = W_m \lneq V = W_n$ \\
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Wir wissen schon: $H \leq P_{\mu}, \mu = (m, n - m) \vDash n$ \\
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Klar: $U_\mu \subseteq B \subseteq H, P_\mu = U_\mu \rtimes L_\mu$, es genügt also zu zeigen: $L_\mu \subseteq H$. \\
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$L \cong \GL_m(F) \times \GL_{n-}(F)$ \\
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$\GL_m(F) = < \text{Diagonalmatrizen in } \GL_m(F) \text{ und } x_{ij}(\alpha) >$, analog $\GL_{n-m}$ \\
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Es genügt also zu zeigen: $X_{ij} \in H \forall 1 \leq i, j \leq m, i $ und $m + 1 \leq i, j \leq n$ \\
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Sei $X_1 = < H e_1 > = H$-invarianter Unterraum von $W_m \Rightarrow X_1 = W_m$ \\
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D.h $\exists h \in H, h e_1 = \alpha e_1 + \ldots \alpha_m e_m$ mit $\alpha_m \neq 0$. \\
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Sei $w \in W$ mit $h \in BWB$. Wie oben folgt aus 2.1.9 und 2.1.5 $w(1) = m$ und daher $X_{m1} \subseteq H$. \\
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Beachte: $w \in H \Rightarrow w^{-1}(1) = j \leq m$ \\
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$X_{m1} = X_{w(1)w(j)} = w X_{1j} w^{-1} \in H$. \\
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Kommutatoren wie im ersten Spezialfall $\Rightarrow X_{ij} \subseteq H \forall 1 \leq i, j \leq m \Rightarrow \GL_m(F) \subseteq H$. \\
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$<H e{m+1} >$ ebenfalls $H$-invariant $\Rightarrow \exists h \in H: h e_{m+1} = \alpha_{m+1} e_{m+1} + \ldots + \alpha_n e_n$ mit $\alpha_n \neq 0$. \\
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Es folgt analog wie eben $X_{ij} \subseteq H \forall m+1 \leq i, j \leq n \Rightarrow \GL_{n-m}(F) \subseteq H$. \\
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$ \Rightarrow P_\mu \subseteq H \Rightarrow H = P_\mu$
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\end{enumerate}
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Übung: Allgemeiner Fall.
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\end{bew}
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\chapter{Die spezielle und projektive lineare Gruppen} % 2.3
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\underline{Ziel:} $\PSL_n(F)$ ist einfach, falls $n > 2$ oder $n = 2$ und $F \neq \GF(2)$ oder $\GF(3)$ ist.
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2.3.1 Erinnerung: $\det : \GL_n(F) -> F^\ast: g \mapsto \det g$ ist Gruppenhomomorphismus mit Kern $\SL_n(F) \trianglelefteq G, \SL_n(f) = \set{g \in \GL_n(F) \mid \det g = 1}$. \\
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\underline{Klar:} $\det$ ist surjektiv \\
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Isosätze: $q - 1 = \frac{\abs{\GL_n(q)}}{\abs{\SL_n(q)}} \Rightarrow \abs{SL_n(q)} = \prod\limits_{k=1}^n \frac{q^k - q^{k-1}}{q-1} = \prod\limits_{k=1}^{n-1} \frac{q^k+1-q^k)
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= q^{\frac{n(n+1)}{2}} (q^n-1)(q^{n-1}-1})\ldots(q^2-1)$ \\
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2.3.2 Satz: $\SL_n(F)$ wird von den Wurzeluntergruppen (d.h. von den Transvektionen) in $G$ erzeugt. \\
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Beweis: Für $1 \leq i, j \leq n, i \neq j$, und f+r $\alpha \in F$ ist $x_{ij}(\alpha) \in \SL_n(F)$ nach 2.1.4. \\
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In 2.1.5 haben wir gezeigt: Ist $g = (\alpha_{ij}) \in \SL_n(F) \subseteq G$, so gibt es ein $u \in U$ (Produkt von Transvektionen) so, dsas gilt: Für $1 \leq i \leq n$ gibt es
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eine eindeutig bestimmte Zeile $k_i$ in $ug$ so, dass der $i$-te Eintrag in dieser Zeile der erste von 0 verschiedene ist. Die Abbildung $\pi:i \mapsto k_i$ ist Element von $\sigma_n = W$. \\
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Wir können diese Zeilen nach 2.1.11 durch ein Produkt $\tilde{\pi}$ von Transvektionen $\tilde{(i,j)} = x_{ij} (1) x_{ji}(-1) x_{ij}(1)$ ( $(i,j) \in \sigma_n$ Transposition) bis aufs Vorzeichen ordnen.
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( $\tilde{(i,j)} = diag (1, \ldots, 1, -1, 1, \ldots, 1) \cdot (i,j)$).
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Daraus folgt: durch ein Produkt $b \in \SL_n(F)$ von Transvektionen wird $b \cdot g$ eine obere Dreiecksmatrix $\tilde{g}$. \\
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Also $bg = \tilde{g} = \pmatr{ \lambda_1 & & A \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n}$. Beachte: $\det \tilde{g} = \det b \cdot \det g = 1$, d.h. $\tilde{g} \in \SL_n(F)$. \\
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$\Rightarrow \det \tilde{g} = \lambda_1 \cdot \ldots \cdot \lambda_n = 1$.
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Beachte: Seien $\alpha, \beta, \gamma \in F$ mit $\alpha \gamma \neq 0$. \\
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$x_{21}(-1)x_{12}(1-\gamma^{-1})x_{21}(y) \cdot \pmatr{\alpha & \beta \\ 0 & \gamma} = \pmatr{1 & 0 \\ -1 & 1}\pmatr{1 & 1-\gamma^{-1} \\ 0 & 1}\pmatr{1 & 0 \\ \gamma & 1}\pmatr{\alpha & \beta \\ 0 & \gamma}$ \\
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$ = \pmatr{1 & 1 - \gamma^{-1} \\ -1 & \gamma^{-1}} \pmatr{\alpha & \beta \\ \alpha\gamma & \gamma\beta + \gamma}
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= \pmatr{\alpha + \alpha\gamma - \alpha & \beta + \gamma\beta+\gamma-\beta-1 \\ -\alpha + \alpha & -\beta + \beta + 1}
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= \pmatr{\alpha\gamma & \gamma\beta-\beta-1 \\ 0 & 1}$
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Auf alle Zeilen von $\tilde{g}$ anwenden.
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$ \Rightarrow $ Man kann $\tilde{g}$ durch Premultiplikation mit einem Produkt von Transvektionen auf die Gestalt $\tilde{g}' = \pmatr{\lambda_1 \cdot \ldots \cdot \lambda_n & & & \ast \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & 1} = \pmatr{1 & & \ast \\ & \ddots & \\ 0 & & 1} \in U$ bringen. Jedes Element von $U$ ist aber Produkt von Transvektionen (elementare Zeilenoperationen: $\tilde{g}' \rightsquigarrow 1$). Also ist $\tilde{g}'$ Produkt von Transvektionen. Also ist $g$ Produkt von Transvektionen.
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2.3.3 Satz: Die Wurzeluntergruppen $X_{ij}, 1 \leq i, j \leq n, i \neq j,$ sind in $\SL_n(F)$ konjugiert. \\
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Beweis: Seien $1 \leq i, j \leq n, 1 \leq k, l \leq n, i \neq j, k \neq l$. \\
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$\sigma_n$ ist $n$-fach transitiv auf $\set{1, \ldots, n}$, also zweifach transitiv $\Rightarrow \exists w \in W = \sigma_n: w(i) = k, w(j) = l$. \\
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Haben gesehen: $w X_{ij} w^{-1} = X_{w(i),w(j)} = X_{kl}$. Ist $w$ gerade Permutation, d.h. $\sign w = \det w = 1 \Rightarrow w \in \SL_n(F)$ und wir sind fertig. \\
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Sei also $\sign w = \det w = -1$ und $\alpha in F$. Sei $d = d^{-1} = \pmatr{-1 & & & 0 \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & 1} \in \GL_n(F)$. Dann ist $\det (dw) = \det d \cdot \det w = - \det w = 1$, d.h. $dw \in \SL_n(F)$. \\
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$dw X_{ij} (dw)^{-1} = d (w X_{ij} w^{-1}) d = d X_{kl} d = d (E + \alpha e_{kl}) d = dEd + \alpha d e_{kl} d = \left\{\matr{X_{kl}(\alpha) & \text{für } k,l \neq 1 \\ X_{kl}(-\alpha) & \text{sonst}, (k \neq l)}\right.$ \\
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In jedem Fall ist $(dw) X_{ij} (dw)^{-1} = X_{kl}$.
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Definition: Sei $Z = \set{ \alpha E \mid \alpha \in F^\ast }, E = 1$. Dann ist $Z \leq G, G \subseteq Z(G) = $ Zentrum von $G$. \\
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2.3.4 Satz: $Z = Z(G)$ und $Z \cap \SL_n(F) = Z(\SL_n(F))$. \\
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Es genügt zu zeigen: Jedes Element von $\GL_n(F)$ (bew. $\SL_N(F)$), das mit allen Transvektionen $x_{ij}(1)$ ($1 \leq i, j \leq n, i \neq j$) vertauscht, liegt schon in $Z$. \\
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Sei $g = (\alpha_{ij}) = \sum_{i,j} \alpha_{ij} e_{ij} \in Z(G) \Rightarrow g \cdot x_{rs}(1) = x_{rs}(1) \cdot g \forall 1 \leq r, s \leq n, r \neq s
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\Leftrightarrow g(E+e_{rs}) = (E + e_{rs})g \Leftrightarrow \sum_{ij} \alpha_{ij} e_{ij} e_{rs} = \sum_{kl} \alpha_{kl} e_{rs} e_{kl}
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\Leftrightarrow \sigma_i \alpha_{ir} e_{is} = \sum_l \alpha_{sl} e_{rl} $ \\
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d.h. $e_{is} = e_{rl} \Leftrightarrow i = r, l = s, \alpha_{rr} = \alpha_{ss}, r \neq s, \alpha_{ij} = 0$ sonst. \\
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$ \Rightarrow g = \alpha \cdot E \in Z$. (Für $\SL_n(F): \alpha^n = \det \alpha E = 1$)
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Definition: $\GL_n(F)/Z = \PGL_n(F) =$ "`projektive allgemeine lineare Gruppe"' \\
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$\SL_n(F)/Z(\SL_n(F)) = \PSL_n(F) =$ "`projektive spezielle lineare Gruppe"' \\
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2. Isosatz: $\PSL_n(F) \cong \SL_n(F) /(Z \cap \SL_n(F)) = Z \cdot \SL_n(F) / Z \leq \GL_n(F)/ Z = \PGL_n(F)$ \\
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Für $F = \GF(q) = \mathcal(F)_q: \abs{\PGL_n(q)} = \frac{\GL_n(q)}{Z} = \frac{\GL_n(q)}{q-1} = \abs{\SL_n(q)}$
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Bemerkung:
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\begin{enumerate}[1)]
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\item $\GL_n(F) = \SL_n(F) \rtimes \set{\pmatr{\alpha & & & 0 \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & 1} \mid \alpha \in F^\ast}$ \\
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\item $F$ algebraisch abgeschlossen $\Rightarrow z := (\lsup{n}{\sqrt{\det g}}^{-1} E) \in Z, g \cdot z \in \SL_n(F)$, es folgt: $\PSL_n(F) \cong \PGL_n(F)$.
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\item $\PSL_2(2) \cong \sigma_3 \trianglerighteq A_3$, da $\PSL_2(2) \cong GL_2(2)$ \\
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$\PSL_2(3) \cong A_4 \trianglerighteq V_4 \cong G_2 \times G_2$
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\end{enumerate}
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2.3.6 Lemma: Sei $n \geq 2$; und $\abs{F} \neq 2, 3$ für $n = 2$. Dann ist jede Tranvektion $x_{ij}(\alpha)$ ($1 \leq i,j\leq n, i \neq j, \alpha \in F)$ ein Kommutator von Elementen in $\SL_n(f)$. \\
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Beweis: Ist $ n > 2 $, dann ist $x_{ij}(\alpha) = [x_{ij}(\alpha), x_{kj}(\alpha) ]$ mit $1 \leq k \leq n, k \neq i, k \neq j$. \\
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Sei $n = 2, \beta, \gamma \in F$ mit $\beta \neq 0$. \\
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$[\pmatr{\beta & 0 \\ 0 & \beta^{-1}}, \pmatr{1 & \gamma \\ 0 & 1}] = \pmatr{1 & (\beta^2 -1)\gamma \\ 0 & 1}$ \\
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$\Rightarrow x_{12}(\alpha) $ ist Kommutator dieser Elemente aus $\SL_2(F)$, falls es $\beta, \gamma \in F$ mit $\beta \neq 0$ gibt, so dass $\alpha = (\beta^2-1)\gamma$ ist. \\
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Sei $\abs{F} > 3$, dann gibt es immer ein $\beta \in F^\ast$ mit $\beta^2 \neq 1$ und $\gamma = \alpha (\beta^2-1)^{-1}$. \\
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$x_{21}(\alpha)$ ähnlich bzw. ist konjugiert in $\SL_2(F)$ zu einem Element aus $X_{12}$.
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2.3.7 Korrolar: Sei $n > 2$ oder $\abs{F} > 3$ für $n = 2$. Dann ist $\SL_n(F) = [\SL_n(F), \SL_n(F)]$.
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2.3.8 Lemma: Sei $n \leq 2$ $\SL_n(F)$ operiert auf der $\set{Fv | 0 \neq v \in F^n}$ durch $g (Fv) := F (gv)$ (Kern ist das Zentrum). \\
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Diese Operation ist 2-fach transitiv. \\
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Beweis: Seien $c_1, c_2, d_1, d_2 \in F^n\without \set{0}$ und $c_1, c_2$ bzw. $d_1, d_2$ linear unabhängig, d.h. $Fc_1 \neq Fc_2, Fd_1 \neq Fd_2$. \\
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Ergänze $c_1, c_2$ bzw. $d_1, d_2$ zu Basen $\tilde{C} = (c_1, c_2, \ldots, c_n)$ und $\tilde{D} = (d_1, d_2, \ldots, d_n)$ von $F^n$. Sei $C = m_{\id}(\xi, \tilde{C}) = m_f(\xi, \xi)$ mit $f(e_i) = c_i$. \\
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$D = m_{\id}(\xi, \tilde{D}) = m_g(\xi, \xi)$ mit $g(e_i) = d_i$ \\
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Dann sind $C, D \in \GL_n(F)$. Sei $\epsilon = \det D / \det C = \det (DC^{-1}), A = \pmatr{\epsilon & 0 \\ 0 & 1_{n-1}}, \det A = \epsilon, B = DA^{-1}C^{-1}$, so ist $Bc_1 = \epsilon^{-1}d_1, Bc_i = d_i $ für $i > 2$ x\\
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$BFc_i = FBc_i = Fd_i $ für alle $i$. Klar: $\det B = 1$, d.h. $B \in \SL_n(F)$ \qed.
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Missing: 27.11.2009 \\
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$ \abs{G} = p^a m, p \nmid m, \abs{G}_p = p^a, \abs{G}_{p'} = m $
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$ \Syl_p(G) \equiv 1 \mod p $
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Beweis: $X = \set{A \subseteq G \mid \abs{A} = \abs{G}_p = p^a }$ $G$-Menge \\
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Bemerkung: $P \in \Syl_p(G) \Rightarrow P \in X$ \\
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$ A \in X$ so gibt es ein $g \in G: g \cdot A \ni 1$ \\
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$ \abs{X} = \pmatr{p^a \cdot m \\ p^a} = \sum_{O \in \text{$G$-Bahnen von $X$}} \abs{O} $ \\
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Sei $A \in X, A \in O = $ Orbit von $X$so, dass $1 \in A$. Sei $P = \Stab_G(A) \leq G$. Dann ist $P \subseteq P \cdot A = A \Rightarrow \abs{P} \leq \abs{A} = p^a $ \\
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1.3.7 $\Rightarrow \abs{O} = \abs{G:P}$. \\
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Angenommen $p$ teilt nicht $\abs{G:P}$, so ist $\abs{G}_p$ Teiler von $\abs{P}$. Also ist $\abs{G}_p = \abs{P} = p^a$ und $P \in \Syl_p(G)$ und $\abs{O} = m$. \\
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Sei umgekehrt $P \in \Syl_p(G)$. Dann ist die $G$-Menge $G/P = \cup g_i P$ mit $\abs{g_i P} = \abs{P} = p^a$, d.h. $G/P$ ist ein Orbit $O$ in $X$: $\abs{O} = \abs{G:P} = m$ \\
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Klar: $\Stab_G(1 \cdot P) = P$ \\
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Auf diese Weise erhalten wir eine Bijektion zwischen der Menge der $G$-Bahnen in $X' := \set{A \in X \mid p \nmid \abs{G \cdot A}}$ \\
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Also ist $X' = $ Vereinigung aller Bahnen $O$ von $X$ mit $p \nmid \abs{O}$ \\
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$X \without X' = $ Vereinigung aller Bahnen $O$ von $X$ mit $p \mid \abs{0}$ und daher $p \mid \abs{X \without X'} = \abs{X} - \abs{X'} $ \\
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Also $\abs{X} \equiv \abs{X'} \mod p$ \\
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Sei $r = \abs{\Syl_p(G)} = $ Anzahl der $p$-Sylow Untergruppen von $G$ = $\abs{\set{\text{Bahnen $O$ von $X$ mit $O \subseteq X'$}}}$. \\
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Es gilt dann: $r \cdot m = \abs{X'} \equiv_p \abs{X} \equiv_p \pmatr{p^a m \\ p^a}$ \\
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$ p \nmid m \Rightarrow r \mod p$ ist nur von $\abs{G}$ und nicht von $G$ selbst abhängig. Das heißt je zwei Gruppen $G$ und $H$ mit $\abs{G} = \abs{H}$ haben $\mod p$ dieselbe Anzahl von $p$-Sylowgruppen. \\
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Sei $G = C_{p^a m}$, dann ist $r \equiv 1 \mod p$, also ist $\abs{\Syl_p(G)} \equiv 1 \mod p$ für alle $G$ mit $G = p^a m$. Insbesondere ist $r \neq 0$, d.h. $G$ besitzt mindestens eine $p$-Sylow Untergruppe. \\
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Dies zeigt 1) und 4).
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Sei nun $P \in \Syl_p(G), G$ Gruppe der Ordnung $p^a m, p^a = \abs{G}_p, Q \leq G $ $p$-Gruppe. \\
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$Y = \set{gPg^{-1} \mid g\in G}$. $Q$ operiert auf $Y$ durch Konjugation: \\
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$\lsup{x}{(yPy^{-1})} = xyP (xy)^{-1} \in Y$ für $x \in X$.
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Sei $O$ ein $Q$-Orbit von $Y$, $P_1 \in O$. Dann ist $\abs{O} = \abs{Q : \Stab_Q(P_1)} = $ Potenz von p (möglicherweise $p^0$). \\
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Aber $\abs{Y} = \abs{G : N_G(P)}$ Teiler von $m$ (1.3.15) $\Rightarrow p \nmid \abs{Y}$.Also muss es eine $Q$-Bahn $O$ in $Y$ geben mit $p \nmid \abs{O} \Rightarrow \exists Q$-Bahn $O$ in $Y$ mit $\abs{O} = p^0 = 1 \Rightarrow O = \set{P_1}$. Dann ist also $xP_1 x^{-1} = P_1 \forall x \in Q$. Daher ist $Q P_1 = P_1 Q$ und mit (1.1.4) ist $Q P_1 \leq G$ \\
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Klar ist: $\abs{P_1} \leq \abs{Q P_1}$. Nach 1.3.12 ist $\abs{Q P_1} = \frac{\abs{Q}\abs{P_1}}{\abs{Q \cap p_1}} = \abs{P_1} \abs{Q: Q\cap P_1}$. Also ist $QP_1$ eine $p$-Untergruppe von $G$. \\
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Also ist wegen $\abs{P_1} \leq \abs{QP_1}$ die Ordnung $\abs{Q \cdot P_1}$ von $QP_1$ gleich $P_1 = p^a$ und daher $\abs{Q \cap P_1} = \abs{Q} \Rightarrow Q \subseteq P_1 \in \Syl_p(G)$. Dies zeigt 3).
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Seien $Q, P \in \Syl_p(G) \Rightarrow $ (nach vorigem Schritt) $\exists g \in G: Q \leq gPg^{-1}$. Wegen $\abs{Q} = \abs{P} = p^a$ ist $Q = gPg^{-1}$. \qed
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2. Beweis für Existenz von $p$-Sylowuntergruppen:
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Induktion über $\abs{G}$ \\
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$\abs{G} = 1$ trivial \\
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$p \nmid \abs{G}$ trivial \\
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$\abs{G} = p^a m$ mit $p \nmid m > 1$, und sei die Behauptung beweisen für alle Gruppen $\abs{H}$ mit $\abs{H} < \abs{G}$. \\
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Besitzt $G$ eie echte Untergruppe $H$ mit $p \nmid [G : H]$, so ist jede $p$-Sylowgruppe von $H$ eine $p$-Sylowgruppe von $G$ und wir sind fertig. \\
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Ohne Einschränkung gelte $H \lneq G \Rightarrow p \mid [G : H]$ \\
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Klassengleichung 1.3.13: \\
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$\abs{G} = \abs{Z(G)} + \sum\limits_{i=1}^l [G : C_G(g_i)]$ mit $\set{g_1, \ldots, g_l}$ Repräsentanten von Konjugationsklassen von $G$ der Größe $> 1$. \\
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Für $1 \leq i \leq l$ ist $C_G(g_i) \lneq G$ und daher $p \mid [G : C_G(g_i)]$ \\
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Also teilt $p \mid Z(G) =$ abelsche Gruppe. Also ist $\abs{Z(G)} > 1$. \\
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$\Rightarrow G$ besitzt eine normale Untergruppe $N$ ($\leq Z(G)$) der Ordnung $p$. $\abs{G/N} = p^{a-1}m < p^am \Rightarrow \exists \overline{P} \in \Syl_p(G/N)$ \\
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Sei $P = $ volles Urbild von $\overline{P}$ in $G \Rightarrow N \trianglelefteq P, P/N = \overline{P} \Rightarrow \abs{P} = p^a \Rightarrow P \in \Syl_p(G)$.
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Korrolar: Sei $\abs{G} = p^a m, p^a = \abs{G}_p$. Dann gibt es für $1 \leq b \leq a$ eine Untergruppe $H$ von $G$ mit $\abs{H} = p^b$ (Weil $P \in \Syl_p(G)$ eine $p$-Gruppe, daher nilpotent und damit auflösbar ist. Wir können $H \leq P$ wählen!).
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3.1.3 Korrolar: $\abs{\Syl_p(G)}$ ist Teiler von $\abs{G}_{p'} = \frac{\abs{G}}{\abs{G}_p}$ ($\abs{G} = p^a m, p \nmid m$) \\
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Beweis: $G$ operiert auf $\Syl_p(G)$ per Konjugation transitiv. Also ist $P \in \Syl_p(G)$, so ist $\abs{\Syl_p(G)} = [G : \Stab_G(P)]$. Wegen $P \trianglelefteq N_G(P) \leq G$ ist daher $\abs{\Syl_p(G)}$ Teiler von $m$.
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3.1.4 Korrolar: (Cauchy's Theorem) $G$ hat ein Element der Ordnung $p$ ($p \mid \abs{G}$) \\
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3.1.5 Satz: Sei $N \trianglelefteq G (N \neq G)$, und sei $P \in \Syl_p(G)$. Dann ist $PN/N \in \Syl_p(G/N)$ und $P \cap N \in \Syl_p(N)$. \\
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Beweis: $[G/N : PN/N] = [G : PN]$ wegen 3. Isosatz. $PN/N \cong P/(P\cup N) \Rightarrow PN/N$ ist Gruppe. \\
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$p \nmid [G:P] = \abs{G}_{p'} \Rightarrow [G : PN]$ ist Teiler von $m$, wird nicht von $p$ geteilt. \\
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$\Rightarrow PN/N \in \Syl_p(G/N)$. \\
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Nach 1.3.12 ist $[PN : P] = \frac{\abs{P} \cdot \abs{N}}{\abs{P \cap N}\abs{P}} = \frac{\abs{N}}{\abs{P \cap N}} \Rightarrow$ (nach oben) $P \cap N$ ist $p$-Untergruppe von $N$ mit $[N : P \cap N]$ wird nicht von $p$ geteilt. Also ist $P \cap N \in \Syl_p(N)$. \qed \\
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Vorsicht: $H \leq G \nRightarrow H \cap P \in \Syl_p(H)$ für $P \in \Syl_p(G)$
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3.1.6 Satz: Sei $H \leq G, P \in \Syl_p(G)$. Dann gibt es $g \in G$ so, dass $g P g^{-1} \cap H \in \Syl_p(H)$ ist. \\
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Beweis: Sei $Q \in \Syl_p(H) \Rightarrow \exists P' \in \Syl_p(G)$ mit $Q \subseteq P' \Rightarrow \exists g \in G$ mit $P' = gPg^{-1} \cap H \supseteq Q$ \\
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Klar: $Q = P' \cap H$ (warum?)
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\underline{Anwendungen}: \\
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3.1.7 Satz ("`$pq$-Theorem"'): Seien $p, q$ Primzahlen mit $p > q$. Sei $G$ Gruppe mit $\abs{G} = p \cdot q$. Dann ist $G$ abelsch (und daher $\cong C_{q \cdot p} \cong C_q \times C_p$) oder $p \equiv 1 \mod q$. Ist dies so, dann gibt es bis auf Isomorphie genau eine nicht abelsche Gruppe der Ordnung $p \cdot q$. \\
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Beweis: Sei $P \in \Syl_p(G), Q \in \Syl_q(G) \Rightarrow \abs{P} = p, \abs{Q} = q \Rightarrow P \cong C_p \wedge Q \cong C_q$. Wir haben $P \cap Q = (1)$, und daher ist $G = P \cdot Q$ (1.3.12).
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Mit 3.1.3 folgt $\abs{ \Syl_p(G) } \mid [G:P] $ und mit 3.1.4 $ \abs{\Syl_p(G)} \cong 1 \mod p$ \\
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$ \Rightarrow \abs{\Syl_p(G)} = 1 = [G : N_G(P)] \Rightarrow N_G(P) = G \Rightarrow P \trianglelefteq G$ ($p > q \Rightarrow q \ncong 1 \mod p$). \\
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Ist $p \ncong 1 \mod q \Rightarrow $ (analog) $ Q \trianglelefteq G \Rightarrow G = P \times Q$ \\
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Sei also $p \cong 1 \mod q$. Sei $G$ nicht abelsch, $\varphi : Q \rightarrow \Aut(P): x \mapsto c_x, c_x: P \rightarrow P: y \mapsto x y x^{-1}$. \\
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$ \ker \varphi \neq (1) \Rightarrow \ker \varphi = Q \Rightarrow \varphi Q \Rightarrow (1) \leq P$ und $c_x = \id_P \Rightarrow G = P \times Q$, $G$ abelsch. Widerspruch! \\
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Also ist $\ker \varphi = (1)$, d.h. $\varphi$ ist injektiv. Sei $P = <g>$. Leicht: Sei $1 \leq i \leq p-1$, so induziert $g \mapsto g^i$ einen Automorphismus $\sigma_i$ von $P = C_p = <g>$,
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und $\Aut(P) = \set{ \sigma_i | 1 \leq i \leq p-1}$ ist zyklisch der Ordnung $p-1$.
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Nun ist $q \mid p - 1$, also hat $C_{p-1} \cong \Aut(C_p)$ eine eindeutige Untergruppe der Ordnung q, und diese ist isomorph zu $C_q \cong Q$. \\
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Also: Unter $\varphi$ wird $Q$ auf die \underline{eindeutig bestimmte} Untergruppe der Ordnung $q$ von $\Aut(P)$ abgebildet. \\
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Beachte: Ist $\psi: Q \rightarrow \Aut(P)$ ein Monomorphismus, so ist $\im \varphi = \im \psi$, es gibt aber viele Monomorphismen von $Q \rightarrow \Aut(P)$. \\
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Für jeden solchen Monomorphismus $\psi$ haben wir eine Gruppe $P \rtimes_\psi Q$. \\
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Der nächste Satz zeigt: Alle diesen semidirekten Produkte sind isomorph. Also gibt es in diesem Fall ($p \cong 1 \mod q$) genau eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung $p \cdot q$. \qed
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3.1.8 Satz: Sei $H$ zyklische Gruppe, $N$ Gruppe. Seien $\varphi, \psi$ Monomorphismen von $H \rightarrow \Aut(N)$ mit $\im \varphi = \im \psi$. Dann ist $N \rtimes_\varphi H \cong N \rtimes_\psi H$. \\
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Beweis: Sei $H = <x>$. Wegen $\varphi(H) = \psi(H)$ ist $<\varphi(x)> = <\psi(x)> \leq \Aut(N)$. Es gibt also $a, b \in \Z$ mit $\varphi(x)^a = \psi(x)$ und $\psi(x)^b = \varphi(x)$.
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Für $s \in \Z$ ist dann $\varphi((x^s)^a) = \varphi(x)^{as} = \psi(x)^s = \psi(x^s)$, d.h. $\varphi(h^a) = \psi(h) \forall h \in H$, analog $\psi(h^b) = \varphi(h) \forall h \in H$. \\
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Definiere $\tau: N \rtimes_\psi H \rightarrow N \rtimes_\varphi H$ durch $\tau(n \cdot h) = n \cdot h^a$ und $\lambda: N \rtimes_\varphi H \rightarrow N \rtimes_\psi H$ durch $\lambda(n \cdot h) = n \cdot h^b$ \\
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$\tau(n_1 h_1 n_2 h_2) = \tau(n_1 \psi(h_1)(n_2) h_1 h_2) = n_1 \psi(h_1)(n_2) (h_1 h_2)^a = n_1 \varphi(h_1^a)(n_2) h_1^a h_2^a = n_1 h_1^a n_2 h_2^a = \tau(n_1 h_1) \tau(n_2 h_2)$ \\
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$ \Rightarrow \tau $ (und analog $\lambda$) ist Gruppenhomomorphismus. \\
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Nun ist $\tau \lambda : nh \mapsto \tau(n\cdot h^b) = n\cdot h^{ba}$, aber $\varphi(x) = \psi(x)^b = (\varphi(x^a))^b = \varphi(x^{ab})$ und $\varphi$ ist injektiv. Also ist $x = x^{ab}$ und daher $h = h^{ab} \forall h \in H$, also ist $\tau \lambda = \id_{N \rtimes_\varphi H}, \lambda \tau = \id_{N \rtimes_\psi H}$ \\
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Also sind $\tau, \lambda$ Isomorphismen und $N \rtimes_\varphi H \cong N \rtimes_\psi H$, \qed.
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Erinnerung: $A_5$ ist einfach $A_5 \leq \sigma_5$, $\abs{\sigma_5} = 5! = 120 \Rightarrow A_5 = 60 = 3 \cdot 5 \cdot 2^2$.
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3.1.9 Satz: Sei $G$ einfach, $\abs{G} = 60$. Dann ist $G \cong A_5$. \\
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Beweis: Sei $n \in \N$ und $H \lneq G$ mit $[G : H] = n$. Sei $\rho: G \rightarrow \sigma_n$ die Darstellung, die zu der $G$-Menge $G/H$ gehört.
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$\Rightarrow \rho$ ist injektiv. Insbesondere ist $\abs{G} = 60 \leq n! \Rightarrow n \geq 5$. \\
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Beh: $G$ besitzt eine Untergruppe von $H$ mit $[G : H] = 5$. \\
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Angenommen, $G$ besitzt keine solche Untergruppe: $\abs{\Syl_2(G)} \neq 1$ teilt $3 \cdot 5= 15$, sonst wäre $G$ nicht einfach. Sei $P \in \Syl_2(G)$. Betrachte Möglichkeiten für $\abs{\Syl_2(G)}$: \\
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~~ 3: $[G:N_G(P)] = 3 < 5$ Widerspruch! \\
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~~ 5: $[G:N_G(P)] = 5$ Widerspruch zur Annahme \\
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Also ist $[G:N_G(P)] = 15$ Seien $S_1, S_2 \in \Syl_2(G), S_1 \neq S_2$. Sei $1 \neq t \in S_1 \cap S_2$. $V_4 = C_2 \times C_2, C_4$ sind die einzigen Gruppen der Ordnung $4$.
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$\Rightarrow S_1$ und $S_2$ sind abelsch $\Rightarrow \abs{C_G(t)} > 4$ und $4 \mid \abs{C_G(t)}$, da $S_1 \leq C_G(t)$.
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$\Rightarrow [G:C_G(t)] \in \set{1,3,5} \Rightarrow [C:C_G(t)] = 1 \Rightarrow t \in Z(G) \trianglelefteq G$ Widerspruch zur Einfachheit von $G$. \\
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Also hat $G:$ $15(4-1) = 45$ der Ordnung $2$ oder $4$. Da $G$ einfach ist, gilt für $P \in \Syl_5(G): 1 \neq [G:N_G(P)] \mid 4 \cdot 3$ und $[G:N_G(P)] \cong 1 \mod 5$, also nicht $\set{1, 2, 3, 4, 12}$ - also hat $G$ genau $6$ $5$-Sylowgruppen, und daher $6(5-1)=24$ Elemente der Ordnung 5. Also ist $\abs{G} \leq 45+24 > 60$ Widerspruch. Also hat $G$ eine Untergruppe $H$ mit $[G:H] = 5$. \\
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Sei wieder $\varphi: G \rightarrow \sigma_5$ die Darstellung auf $G/H$. Diese ist injektiv, so ist $G$ ohne Einschränkung Untergruppe von $\sigma_5$ vom Index 2, da die $\abs{G} = 60 = \frac{120}{2} = \frac{\abs{\sigma_5}}{2}$. Also ist $G \trianglelefteq \sigma_5$. Angenommen $G \neq A_5 \Rightarrow \abs{G \cdot A_5} > 60 \Rightarrow G \cdot A_5 = \sigma_5$. \\
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Nach 1.3.12: $\abs{G \cap A_5} = \frac{\abs{G} \abs{A_5}}{G \cdot A_5} = 30$. Also ist $G \cap A_5$ Untergruppe von $G$ vom Index 2 - Widerspruch. Also $G = A_5$.
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3.1.10 Korrolar: $\PSL_2(4) \cong \PSL_2(5) \cong A_5$, da $\PSL_2(4)$ und $\PSL_2(5)$ einfach mit Ordnung 60.
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Bemerkung: Man kann zeigen: Alle anderen Gruppen $\PSL_n(q)$ sind paarweise verschieden (?). \\
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Relativ leichte Übung: Ist $G$ einfach und $\abs{G} < 60$ so folgt $G \cong C_{\abs{G}}$
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3.1.11 Satz "`Frattini Argument"': Sei $G$ endliche Gruppe, $N \trianglelefteq G$ und $P \in \Syl_p(N)$, $p$ Primzahl. Dann ist $G = N_G(P) \cdot N$. \\
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Beweis: Sei $g \in G$. Wegen $gNg^{-1} = N \trianglelefteq G$ ist $gPg{-1} \subseteq N \Rightarrow gPg^{-1} \in \Syl_p)N)$. Also gibt es $n \in N: n ( gPg^{-1} ) n^{-1} = P = ng P (ng)^{-1}$
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$ \Rightarrow ng \in N_G(P) \Rightarrow g \in n^{-1} N_G(P) \subseteq N N_G(P) = N_G(P) N$. \qed
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% Kapitel 4
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\chapter{Normalteilerstruktur}
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% Para 1
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\section{Satz von Jordan-Hölder}
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Sei im folgenden $G$ eine beliebige Gruppe.
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4.1.1 Definition: Sei $\Omega$ eine Menge, dann heißt $G$ Gruppe mit Operatorenbereich $\Omega$ (kurz $\Omega$-Gruppe), falls es eine externe binäre Verknüpfung $\Omega \times G \rightarrow G: (\alpha, g) \mapsto \alpha g \in G$ gibt mit $\alpha (g_1 g_2) = (\alpha g_1) (\alpha g_2) \forall g_1, g_2 \in G, \alpha \in \Omega$. \\
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\underline{Äquivalente Formulierung:} Es gibt eine Abbildung von $\Omega \rightarrow \set{\sigma: G \rightarrow G \mid \sigma \text{ ist Gruppenhom.}}$.
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Eine Untergruppe $H$ der $\Omega$-Gruppe $G$ heißt \underline{zulässig} ($\Omega$-Untergruppe, $H \leq_\Omega G$), falls $\alpha h \in H \forall h \in H, \alpha \in \Omega$, und sie heißt zulässiger Normalteiler
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($\Omega$-Normalteiler, $H \trianglelefteq_\Omega G$), wenn $H$ zusätzlich Normalteiler von $G$ ist.
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Klar: Homomorphismen von $\Omega$-Gruppen: $F: G \rightarrow X$ Gruppenhomomorphismus mit $f(\alpha g) = \alpha f(g)$, $G, X$ $\Omega$-Gruppen, $g \in G, \alpha \in \Omega$ \\
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Es gelten Isosätze, Kerne von $\Omega$-Homomorphismen sind $\Omega$-Normalteiler, Bilder sind $\Omega$-Untergruppen. \\
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Eine $\Omega$-Gruppe heißt \underline{einfach}, falls sie keine nichttrivialen $\Omega$-Normalteiler hat.
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4.1.2 Beispiele: $G: \Omega$-Gruppe
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\begin{enumerate}[i)]
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\item $\Omega = \emptyset$: zulässigen Untergruppen = Untergruppe von $G$, zulässigen Normalteiler = Normalteiler von $G$.
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\item $\Omega = \Inn(G)$ ($\Omega = G$ operiert durch Konjugation auf $G$): zulässigen Untergruppen = zulässigen Normalteiler = Normalteiler von $G$.
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\item $\Omega = \Aut(G)$: zulässigen Untergruppen = char. Untergruppen von $G$.
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\item $G = (R, +)$ = add. Gruppe eines Rings $R$ mit 1 (alle Untergruppen sind Normalteiler) \\
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$\Omega = R$ operiert auf $G$ per Multiplikation von links (rechts). Die $\Omega$-Untergruppen von $(R, +)$ sind genau die Linksideale (Rechtsideale) von $R$.
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Links-Rechts-Operation: $\Omega \times G \times \Omega \rightarrow G: (\alpha, g, \beta) \mapsto \alpha g \beta$ mit $(\alpha g) \beta = \alpha (g \beta)$. \\
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Für $(R, +)$ mit $\Omega = R$ sind dann die zulässigen Untergruppen die Ideale von $R$.
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\item $M = G = $ additive abelsche Gruppe mit $R$-Modul, $R = $ Ring $ \ni 1$, $M$ ist eine $R$-Gruppe unter Linksmultiplikation mit Elementen von $R$. \\
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Die zulässigen $R$-Untergruppen = zulässige $R$-Normalteiler = Untermoduln (analog für Rechtsmoduln).
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\end{enumerate}
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Jetzt sei $\Omega$ eine Menge und $G$ eine $\Omega$-Gruppe.
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Definition: Eine endliche Folge $G = G_0 >_\Omega G_1 >_\Omega G_2 >_\Omega \ldots >_\Omega G_r = (1)$ von $\Omega$-Untergruppen heißt \underline{Kompositionsreihe} von $G$,
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falls $G_{i+1} \trianglelefteq_\Omega G_i$ und $G_i/G_{i+1}$ ist einfache $\Omega$-Gruppe.
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Beispiel: $\sigma_5 \trianglerighteq A_5 \trianglerighteq (1)$ ist eine Kompositionsreihe mit "`Kompositionsfaktoren"' $ \sigma_5 / A_5 \cong C_2, A_5 = A_5/(1)$.
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Definition: $N$ ist maximale normale $\Omega$-Untergruppe von $G$, falls $G \neq N \trianglelefteq_\Omega G$ und kein $\Omega$-Normalteiler von $G$ echt zwischen $N$ und $G$ existiert $\Rightarrow G/N $ einfache $\Omega$-Gruppe.
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Beachte: Für $\Omega$-Gruppen gelten die 3 Isomorphiesätze, und daher der Korrespondenzsatz 1.1.11.
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4.1.3 Satz: Endliche Gruppen ($\Omega = \emptyset$) besitzen Kompositionsreihen. Beweis klar.
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4.1.4 Korrolar: Sei $G$ endliche Gruppe ($\Omega = \emptyset$), und sei $N \trianglelefteq G$. Dann besitzt $G$ eine Kompositionsreihe "`durch"' N, d.h. $N$ kommt als eine der Untergruppen $G_i$ vor. \\
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Beweis: Sei $N = N_0 > N_1 > N_2 > \ldots > N_k = (1)$ Kompositionsreihe von $N$ und $G/N = H_0 > H_1 > \ldots > H_r = (1)$ Kompositionsreihe von $G/N$, $G_i =$ volles Urbild von $H_i$ in $G/N$, also
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$G_i = \set{g \in G \mid gN \in H_i}$. \\
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1.1.11 $\Rightarrow G = G_0 > G_1 > \ldots > G_{r-1} > N = N_0 > \ldots > N_k = (1)$ Kompositionsreihe von $G$ durch $N$. \\
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4.1.5 Lemma: Sei $G$ beliebige $\Omega$-Gruppe mit einer Kompositionsreihe. Sei $N \trianglelefteq_\Omega G$, dann besitzt $N$ ebenfalls eine Kompositionsreihe. \\
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Beweis: Sei $G = G_0 > G_1 > \ldots > G_r = (1)$ Kompositionsreihe von $G$. Sei $N_i = N \cap G_i$. Dann ist $N = N_0 \geq N_1 \geq \ldots \geq N_r = (1)$ \\
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Dann ist $N_{i+1} = G_{i+1} \cap N \trianglelefteq N_i = G_i \cap N$ und $N_i/N_{i+1} = (N \cap G_i)/(N \cap G_{i+1}) = (N \cap G_i)/((N \cap G_i) \cap (G_{i+1}))
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\cong$ (2. Isosatz) $((N \cap G_i)G_{i+1})/G_{i+1} \trianglelefteq G_i/G_{i+1}$ (Korrespondenzsatz) \\
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Also ist, da $G_i/G_{i+1}$ einfach ist, entweder $N_i/N_{i+1} = (1)$ (d.h. $N_i = N_{i+1}$), oder $N_i/N_{i+1} \cong G_i/G_{i+1}$ einfach. \\
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So erhalten wir eine Kompositionsreihe von $N$ durch Streichung der Wiederholungen in $N = N_0 \geq N_1 \geq \ldots \geq N_r = (1)$. \qed
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Definition: Eine Kette $G = G_0 > G_1 > \ldots > G_r = (1)$ heißt $\Omega$-Subnormalkette, falls $G_{i+1} \trianglelefteq_\Omega G$ ist, und $\Omega$-Normalkette, falls $G_i \trianglelefteq_\Omega G$ ist.
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Seien $G = G_0 > G_1 > \ldots > G_r = (1)$ und $G = H_0 > H_1 > \ldots > H_r = (1)$ zwei Subnormalketten derselben Länge $r$. Dann heißen diese äquivalent, fall es ein $\rho \in \sigma_r$ gibt mit $G_{i-1}/G_i \cong H_{\rho(i)-1}/H_{\rho(i)}$ für $1 \leq i \leq r$. \\
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Klar: Dies ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Subnormalketten der Länge $r$ von $G$.
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4.1.6 Satz (Jordan-Hölder): Sei $G$ eine $\Omega$-Gruppe und besitze $G$ eine Kompositionsreihe. Dann haben je zwei Kompositionsreihen von $G$ dieselbe Länge und sind äquivalent. \\
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Konsequenz: In einer Kompositionsreihe einer $\Omega$-Gruppe (= einfache $\Omega$-Gruppen), sind die vorkommenden einfachen Kompositionsfaktoren mit ihren Multiplizitäten eindeutig bestimmt (aber nicht die Reihenfolge).
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Beweis: Seien $G = G_0 > G_1 > \ldots > G_r = (1)$ und $G = H_0 > H_1 > \ldots > H_s = (1)$ zwei Kompositionsreihen von $G$. \\
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Induktion über $r$: \\
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$r = 0$: $G = (1)$ trivial. \\
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$r = 1$: $G \trianglerighteq (1)$ ist Kompositionsreihe $\Rightarrow G$ ist einfach $\Rightarrow s = s, H_1 = (1)$. \\
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Sei $r > 1$ und die Behauptung bewiesen für alle $\Omega$-Gruppen mit einer Kompositionsreihe der Länge $< r$. \\
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Ist $G_1 = H_1$, so hat $G_1 = H_1$ die Kompositionsreihe $G_1 > G_2 > \ldots > G_r = (1)$ der Länge $r-1$ und $H_1 > H_2 > \ldots > H_s = (1)$, die nach Induktionsvoraussetzung äquivalent sind und $r-1 = s-1$, also $r = s$ und mit $G_/G_1 = H/H_1$ fertig. \\
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Sei also $G_1 \neq H_1$. Wegen $G_1 \trianglelefteq G_0 = G, H_1 \trianglelefteq H_0 = G$ ist $G_1 \lneq G_1 H_1 \trianglelefteq G$. Da $G/G_1$ einfach ist, ist also $G_1 H_1 = G$. \\
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Sei $K = G_1 \cap H_1$, dann ist $G/G_1 \cong H_1/K$ und $G/H_1 \cong G_1/K$. \\
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Also sind $G_1/K$ und $H_1/K$ einfache $\Omega$-Gruppen. \\
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Beachte $K \trianglelefteq G$, also besitzt $K$ eine Kompositionsreihe $K = K_0 > K_1 > \ldots > K_t = (1)$. \\
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$G_1 > K_0 > K_1 > \ldots > K_t = (1)$ ist Kompositionsreihe von $G$ der Länge $t+1$, die nach Induktionsvoraussetzung äquivalent zu $G_1 > G_2 > \ldots > G_r$ ist, und $t+1=r-1$, analog $t+1=s-1$, also $r = s$. \\
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Wegen $G/G_1 \cong H_1/K$ und $G/H_1 \cong G_1/K$ sind die ursprünglichen Kompositionsreihen äquivalent.
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4.1.7 Beispiele:
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\begin{enumerate}[i)]
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\item $\Omega = \emptyset$, Kompositionsreihen sind Subnormalketten $G = G_0 > G_1 > \ldots > G_r = (1)$ mit $G_{i+1} \trianglelefteq G_i$ und $G_i/G_{i+1}$ einfache Gruppe.
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\item $M$ ist $R$-Module, $R = K$-Algebra, $\dim_K(M) < \infty \Rightarrow M $ hat Kompositionsreihe.
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\item $G$ ist $\Omega$-Gruppe mit $\Omega = \Inn(G), G = G_0 > \ldots > G_r = (1)$ mit $G_i \trianglelefteq G$ und $G_i/G_{i+1}$ einfache Gruppe ("`Normalreihe"', Hauptreihe mit Hauptfaktoren $G_i/G_{i+1}$)
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\item $R = \text{Ring} \ni 1, G = (R, +), \Omega = R$ operiert durch Linksmultiplikation. Kompositionsreihe: $R = R_0 > \ldots > R_r = (0)$, $R_i$ Linksideale von $R_1$, $R_i/R_{i+1}$ einfacher $R$-Modul.
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\item $R = \text{Ring} \ni 1, M = $ abelsche Gruppe, $R$-Linksmodul. $M = M_0 > \ldots > M_r = (0)$ mit $M_i/M_{i+1}$ irreduzibler $R$-Modul.
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\end{enumerate}
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Beachte: Ist $G = G_0 > G_1 > \ldots > G_r$ eine Hauptreihe für $G$, so ist $G_i/G_{i+1}$ minimaler Normalteiler von $G/G_{i+1}$ (Korrespondenzsatz)
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4.1.8 Satz: Ein minimaler Normalteiler einer endlichen Gruppe $G$ ist direktes Produkt von Kopien einer einzigen einfachen Gruppe. \\
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Beweisidee: Sei $(1) \neq N \trianglelefteq G, N \neq G$ minimaler Normalteiler von $G$. Ist $N$ einfachh, so sind wir fertig. \\
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Sei $N$ nicht einfach und sei $(1) \neq N_1$ maximaler echter Normalteilervon $N$. Seien $N_1, \ldots, N_k$ die verschiedenen $G$-konjugierten von $N_1$ ($N_i = g_i N g_i^{-1}$ für ein $g_i \in G$).
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Nun ist $g_i N_1 g_i^{-1} \subseteq g_i N g_i^{-1} = N \Rightarrow N_1, \ldots, N_k \leq N$. Es gilt also $N_i \trianglelefteq N$ \\
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Man kann zeigen, dass alle $N/N_i$ isomorph und einfach und $N \cong $ direktes Produkt eines Teils der $N/N_i$. (Details Übung)
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4.1.9 Satz: Endliche Gruppen besitzen eine Hauptreihe (Kompositionsreihe mit $\Omega = \Inn(G)$). Jeder Hauptfaktor ist minimale normale Untergruppe einer Faktorgruppe von $G$ und
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daher direktes Produkt von Kopien einer einfachen Gruppe. \\
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Beweis: Sei $G$ endliche Gruppe. Induktion über $\abs{G}$. $\abs{G} = 1$ trivial. \\
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Ist $(1) \neq G$ und $G$ einfach, so ist $G > (1)$ eine Hauptreihe. \\
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Sei also $G$ nicht einfach und $N \neq (1)$ minimaler Normalteiler von $G$. Nach Induktion besitzt $G/N$ eine Hauptreihe $G/N = G_0/N > G_1/N > \ldots > G_r/N = (1)$ mit $G_i$ = volles Urbild von $(G/N)_i$ in $G$
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$\Rightarrow G = G_0 > G_1 > \ldots > G_r = N > G_{r+1} = (1)$ ist Hauptreihe für $G$. \qed
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Übung: Sei $G$ Gruppe. Hat $G$ eine Kompositionsreihe ($\Omega = \emptyset)$, so auch eine Hauptreihe ($\Omega = \Inn(G)$).
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\chapter{Lineare Darstellung}
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\section{Grundlagen}
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\subsection{Gruppenalgebren}
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Alle Ringe haben Einselement $1 = 1_R$, aber sind nicht notwendigerweise kommutativ.
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Bekannt: Unterring, Rechts-/Linksideale ($\Reid, \Liid$), Ideale, Ringhomomorphismen, $\ker$, $\im$, Faktorringe, Isosätze \ldots
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$K = $ Körper: Selbe Liste für $K$-Algebren.
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Allgemein: $\Lambda =$ kommutativer Ring $\ni 1$, Eine $\Lambda$-Algebra is ein Ring $R$ mit Einselement zusammen mit einem einserhaltenden Ringhomomorphsimus $f$ von $\Lambda \rightarrow Z(R) = \set{r \in R | rs = sr \forall s \in R}$, $Z(R)$ ist immer ein Unterring von $R$, $1_R \in Z(R)$, so dass gilt: \\
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(Wir schreiben $\Lambda r$ statt $f(\Lambda)r$ für $\lambda \in \Lambda. r \in R$) \\
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$\lambda r = r \lambda \forall r \in R$ ($f$ nicht notwendigerweise injektiv) \\
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Beachte: $\overline{f}: \Lambda/\ker f \rightarrow Z(r)$ ist injektiv, d.h. $R$ ist $\overline{\Lambda}$-Algebra mit $\overline{\Lambda} = \Lambda / \ker f$
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Beachte:
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\begin{enumerate}[i)]
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\item Jeder Ring ist $\Z$-Algebra durch $z \mapsto z \cdot 1_R$.
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\item Unterringe einer $\Lambda$-Algebra sind nicht notwendigerweise Uneralgebren, aber Rechtsideale und Linksideale sind es. Nicht jeder Ringhomomorphsimus zwischen $\Lambda$-Algebren ist Algebra Homomorphismus (auch $\Lambda$-linear).
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\end{enumerate}
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Beispiele:
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\begin{enumerate}[i)]
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\item $K^{n \times n}, \End_K(V), V = K$-Vektorraum
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\item Auf $R = \C^2$ definieren wir eine Multiplikation durch $(\alpha, \beta)(\gamma, \delta) = (\alpha \gamma + \beta \delta, \alpha \delta + \beta \gamma)$ \\
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Übung: $R$ ist 2-dimensionale kommutative $\C$-Algebra. $\C$-Basis: $\set{e := (1,0), a := (0,1)}$ \\
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$e \cdot e = (1,0)(1,0) = (1,0) = e, a \cdot e = e \cdot a = (0, 1) = a, a \cdot a = (1,0) = e$ \\
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$(\set{e, a}, \cdot) = C_2$
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\end{enumerate}
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5.1.1 Definition: $\Lambda = $ kommutativer Ring $\ni 1$, $A = \Lambda$-Algebra, so dass gilt:
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\begin{enumerate}[i)]
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\item Als $\Lambda$-Modul ist $A$ frei mit einer Basis $\cB$ so dass gilt:
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\item $(\cB, \cdot) \cong G$ = Gruppe
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\item Dann heißt $A$ Gruppenalgebra über $\Lambda$ der Gruppe $G$ und wird mit $\Lambda G$ bezeichnet.
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\end{enumerate}
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Fragen:
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\begin{enumerate}[i)]
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\item $G$ Gruppe, $\Lambda =$ kommutativer Ring $\ni 1$ \\
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Gibt es eine Gruppenalgebra $\Lambda G$?
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\item Gibt es genau eine Gruppenalgebra $\Lambda G$ Ja (trivial)
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\item Bestimmt die Gruppenalgebra die Gruppe $G$, d.h. ist $\Lambda G \cong \Lambda H \Rightarrow G \cong H$? Nein! \\
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$\abs{G} < \infty$. Klar $\abs{G} = \abs{H}$. \\
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$\Lambda = \C$: Viele Gegenbeispiele: $\C D_8 \cong \C Q_8$, \ldots \\
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$\Lambda = \Z$ (Highman, $\sim$ 1930) Vermutung: $\Z G \cong \Z H \Rightarrow G \cong H$? Nein, Gegenbeispiel: \\
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$\abs{G} = \abs{H} = 2^21 \cdot 97^28$ (?) (Hertweck) \\
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Es gibt kleinere! (aber nicht sehr viel kleinere)
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\end{enumerate}
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5.1.3 Konstruktion von $\Lambda G$: Die Gruppenalgebra $\Lambda G$ ist als $\Lambda$-Modul der freie $\Lambda$-Modul über der Menge $G$, d.h.
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$\Lambda G = \set{ \sum_{g \in G} \alpha_g g \mid \alpha_g \in \Lambda, \text{ fast alle }\alpha_g = 0}$ \\
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$(\sum \lambda_g g) + (\sum \mu_g g) = \sum (V + \mu_g) g$ \\
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$\beta (\sum \lambda_g g) = \sum (\beta \lambda_g)g$ \\
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$(\sum \alpha_g g)(\sum \beta_h h) = \sum_{g,h} \alpha_g \beta_h (g \cdot h) = \sum_x (\sum_{gh=x} \alpha_g \beta_h) x = \sum_x (\sum_g \alpha_g \beta_{g^{-1}x}) x$
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5.1.4 Satz: Seien $\Lambda$, G, $\Lambda G$ wie oben beschrieben. Dann $\Lambda G$ assoziative $\Lambda$-Algebra mit Einselement $1_{\Lambda G} = \sum \alpha_g g$ mit $\alpha_g = 1$ für $g=1$ und sonst $0$. ($\alpha_g = 1_G$). Durch $g: \mapsto \sum_h a_h h$ mit $a_h = 1$ für $h = g$ und 0 sonst wird $G$ in $\Lambda G$ eingebttet und bildet eine $\Lambda$-Basis von $\Lambda G$.
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Beweis: Trivial.
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Andere Notation: $\sum \alpha_g g \mapsto $ Abbildung $G \rightarrow K: g \mapsto \alpha_g \in \Lambda$ mit $\alpha_g = 0$ für fast alle $g$. \\
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$\Lambda G = \set{f \ in \Lambda^G \mid f(g) = 0 \text{ für fast alle } g \in G}$ \\
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$x, y \in \Lambda G \subseteq \Lambda^G:$ Für $g \in G$ ist $(x+y)(g) = x(g) + y(g), (\lambda x)(g) = \lambda x(g), (xy)(g) = \sum_h x(h)y(h^{-1}g)$ "`Faltung"' \\
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Erinnerung: $A = \Lambda$-Algebra, $M = A$-Linksmodul, d.h. $(M, +)$ ist abelsche Gruppe mit binärer Operation von $A \times M \rightarrow M: (a, m) \mapsto am$ mit $1_A m= m, (ab)m = a(bm), a(m+n) = am+an, (a+b)m = am + bm \forall a,b \in A, m,n \in M$
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$A^{mod} = $ Klasse der $A$-Linksmoduln, $\lsup{mod}{A} = $ Klasse der Rechtsmoduln.
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Definition: $G=$ Grupoe, $K=$ Körper. Eine (lineare)-Darstellung von $G$ vom Grad $n$ ist ein Homomorphismus $\rho: G \rightarrow \GL_n(K)$
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lineare Darstellung von $G$ über dem $K$-Vektorraum $V$ ist ein Homomorphismus $\varphi: G \rightarrow \Aut_k(V)$.
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Klar:
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\begin{diagram}
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G & \rTo^\varphi & \Aut_K(V) & \rTo^{\sim}_{\text{Wahl der Basis}} & \GL_n(K) & ~~ n = \dim_V (K) \\
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\dInto & & \dInto & & \dInto \\
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KG & \rTo & \End_K(V) & \rTo^{\sim}_{\text{Wahl der Basis}} & M_{n \times n}(K) \\
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\end{diagram}
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Für eine $K$-Algebra $A$ ist eine Darstellung von $A$ über dem $K$-Vektorraum $V$ ein $K$-Algebra-Homomorphismus $A \rightarrow \End_K(V) \cong M_{n \times n}(K) (\dim_K V = n)$ \\
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Sei $\rho: KG \rightarrow \End_K(V)$ Darstellung. Dann wird $V$ zum $KG$-Modul durch $x \cdot m = (\rho(x))(m)$ für $y \in KG$ und $m \in V$. \\
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Umgekehrt: Ist $V$ ein $A$-Modul, so wird durch $\rho: A \rightarrow \End_K(V): a \mapsto \lambda_a, \lambda_a(v) = av$ für $a \in A, v \in V$ eine Darstellung von $A$ über $V$ definiert. \\
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So: Konzept der Darestellungen von $A$ ist äquivalent zum Konzept der $A$-Moduln. (Vgl. Permutationsdarstellungen). \\
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Homomorphismen von $A$-Moduln: Klar. \\
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Homomorphismen von Darstellungen: Seien $\rho : A \rightarrow \End_K(V), \psi : A \rightarrow \End_K(W)$ Darstellungen von $A$. Ein Homomorphismus von $\rho$ nach $\psi$ ist ein $K$-lineare Abbildung $f: V \rightarrow W$, so dass $\forall a \in A: f \circ \rho(a) = \psi(a) \circ f$
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\begin{diagram}
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V & \rTo^f & W \\ \dTo^{\rho(a)} & & \dTo_{\psi(a)} \\ V & \rTo^f & W
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\end{diagram}
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Beachte: $W = V$ mit $f \in \Aut_K(V)$ Homomorphismus von $\rho$ nach $\psi \Leftrightarrow \psi(a) = f \circ \rho(a) \circ f^{-1} \forall a \in A$ \\
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$\dim_K(V) = n, \tilde{\rho}: A \rightarrow M_{n \times n}(K), \tilde{\psi}: A \rightarrow M_{n \times n}(K)$ zugehörige Matrixdarstellungen nach Wahl einer Basis $\cB$, so
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kann man $f$ als Basiswechsel interpretieren: $m_{\id}(\cC, \cB)= m_f(\cB, \cB)$ für Basis $\cC$ von $V$. \\
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$m_{\tilde{\psi}}(\cC, \cC) = m_{\id}(\cC, \cB) m_{\tilde{\rho}}(\cB, \cB) m_{\id}(\cB, \cC)$ (Details: Übung)
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Definition: Seien $A, B$ $\Lambda$-Algebren mit $1$ und sei $M$ ein $A$-Linksmodul und ein $B$-Rechtsmodul. $M$ heißt $A$-$B$-Bimodul falls gilt: \\
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$\forall \alpha \in A, \beta \in B, m \in M: (\alpha m) \beta = \alpha (m \beta)$ \\
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($M$ $A$-Linksmodul und $B$-Linksmodul: $\alpha(\beta m) = \beta(\alpha m)$)
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Beachte: Für die zugehörigen Darstellungen bedeutet das: $\lambda_\alpha: M \rightarrow M: m \mapsto \alpha m, \rho_\beta: M \rightarrow M: m \mapsto m \beta$ \\
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(Abbildung $\rho: B \rightarrow \End_\Lambda(M)$ ist Antihomomorphismus, d.h. $\rho_\beta \rho_\gamma = \rho_{\gamma \beta}$ für $\gamma, \beta \in B$) \\
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Bedingung $\Leftrightarrow \lambda_\alpha \rho_\beta = \rho_\beta \lambda_\alpha \forall \alpha \in A, \beta \in B$ \\
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d.h. $\lambda_\alpha$ und $\rho_\beta$ zentralisieren einander in $\End_\Lambda(M)$ ($\forall \lambda \in \Lambda, m \in m: \lambda m = m \lambda$)
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5.1.3 Beispiel: $M \in A^{mod} = \set{\text{Links-$A$-Moduln}}$. Sei $E = \End_A(M)$. $E$ operiert auf $M$ von rechts. \\
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$E = \set{b \in \End_\Lambda(M) \mid (am) b = a (mb) \forall a \in A, m \in M}$ \\
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Dann ist $E$ $\Lambda$-Algebra und $M$ ein $A$-$E$-Bimodul. \\
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Beweis: $A = \Lambda$-Algebra $\Rightarrow M$ ist $\Lambda$-Modul durch Einschränken, $\lambda m = (\lambda 1_A) m$.
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Durch $\lambda m = m \lambda$ wird $M$ ein $\Lambda$-Rechtsmodul, da $\Lambda$ kommutativ ist. \\
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Ein $A$-Endomorphismus ist dann auch ein $\Lambda$-Endomorphismus, d.h. $E = \End_A(M) \subseteq \End_\Lambda(M)$.
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( Beachte: $\set{\text{$\Z$-Moduln}} = \set{\text{$\Z$-Bimoduln}} = \set{\text{abelsche Gruppen}}$ )
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Für $b \in E$, $m \in M$ und $\lambda \in \Lambda$ sei $\lambda b \in \End_A(M)$ definiert durch $m (\lambda b) = \lambda (m b) = (m b) \lambda = m (b \lambda)$. So ist $E$ eine $\Lambda$-Algebra. Rest klar.
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Bemerkung: $A$ und $B$ seien $\Lambda$-Algebren, $M$ ein $A$-Links- und $B$-Rechtsmodul. $\lambda: A \rightarrow \End_\Lambda(M): a \mapsto \lambda_a, \rho : B \rightarrow \End_\Lambda(M): b \mapsto \rho_b, \rho_b(m) = m b$ \\
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$\rho $ Antihomomorphismus, $\lambda$ Homomorphismus von $\Lambda$-Algebra \\
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$\tilde{B} = \im \rho \subseteq \End_\Lambda(M) \supseteq \tilde{A} = \im \lambda$
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($R$ Ring, $R^{opp} = $ Ring auf Menge $R$ mit Multiplikation $\ast$ gegeben durch $r \ast s = sr \forall r,s \in R$)
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Dann ist $M$ ein $A$-$B$-Bimodul $\Leftrightarrow$ $\tilde{B} \subseteq \End_A(M) \subseteq \End_\Lambda(M) \Leftrightarrow \tilde{A} \subseteq \End_B(M) \subseteq \End_\Lambda(M) $
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Man sagt: $M$ erfüllt Schur-Wyl-Dualität oder ist balanced oder erfüllt Bizentralisatoren Eigenschaft, falls gilt: $\tilde{B} = \End_A(M), \tilde{A} = \End_B(M)$.
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$ \rightsquigarrow $ Ausrechnen von $\End_A(M):$ $\Lambda = K $ Körper, $M \in \Lambda^{mod}, \dim_K M = n < \infty, \rho: A \rightarrow M_{n \times n}(K)$ zugehörige Matrixdarstellung. \\
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$G_a: \rho(a)X = X \rho(a), X \in M_{n \times n}K$. Um $E$ auszurechnen genügt es die Gleichunssysteme $G_a$ für $a \in A$ simultan zu lösen. \\
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Angenommen, $a_1, \ldots, a_k \in A$ so, dass $A$ die kleinste Unteralgebra von $A$ ist, die $a_1, \ldots, a_k$ enthält, d.h. $\set{a_1, \ldots, a_k}$ erzeugt die $K$-Algebra $A$,
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dann genügt es $\rho(a_i)X = X \rho(a_i)$ simultan zu lösen $\rightsquigarrow$ mühsamer Weg um $E$ auszurechnen.
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\subsection{Tensorprodukte}
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$A, B, C$ seien $\Lambda$-Algebren, $\Lambda$ kommutativer Ring $\ni 1$. $\lsub{A}{\Mod_B} := \set{\text{$A$-$B$-Bimoduln}}$
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Definition: Sei $M \in \lsub{A}{\Mod_B}, N \in \lsub{B}{\Mod_C}$. Eine Abbildung $f: M \times N \rightarrow U \in \lsub{A}{\Mod_C}$ heißt $A$-$C$-bilinear und $B$-balanced, falls gilt $\forall a \in A, b \in B, c \in C, m, m_1, m_2 \in M, n, n_1, n_2 \in N$: \\
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\begin{enumerate}[i)]
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\item $f$ ist bilinear, d.h. $f(m_1 + m_2, n) = f(m_1, n) + f(m_2, n), f(m, n_1 + n_2) = f(m, n_1) + f(m, n_2)$
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\item $f(am, n) = a f(m, n)$
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\item $f(m, nc) = f(m, n) c$
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\item $f(mb, n) = f(m, bn) $
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\end{enumerate}
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Ein \underline{Tensorprodukt} $M \otimes_B N \in \lsub{A}{\Mod_C}$ über $B$ ist ein $A$-$C$-Bimodul zusammen mit einer $A$-$C$-bilinearen, $B$-balanced Abbildung $\eta: M \times N \rightarrow M \otimes_B N$ so, dass folgende universelle Eigenschaft gilt:
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\begin{diagram}
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M \times N & \rTo^\eta & M \otimes_B N \\
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& \rdTo_{f} & \dTo_{\exists ! \hat{f}} \\
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& & U \in \lsub{A}{\Mod_C}
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\end{diagram}
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mit $\hat{f} \circ \eta = f$
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$\cA$ = freie abelsche Gruppe über \\ $M \times N = \set{ z_1 (m_1, n_2) + z_2(m_2, n_2) + \ldots+ z_k(m_k, n_k) \mid m_i \in M, n_i \in N, k \in N, z_i \in \Z}$ \\
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$I = \set{ (m_1+m_2, n) - (m_1, n) - (m_2, n), (m, n_1 + n_2) - (m, n_1) - (m, n_2), (mb, n) - (m, bn)}$
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$(b \in B, m, m_1, m_2 \in M, n, n_1, n_2 \in N)$ \\
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$\cA$ ist $A$-Linksmodul durch $a(\sum z_i(m_i, n_i)) = (\sum z_i(am_i, n_i))$, $C$-Rechtsmodul analog. \\
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$cA \in \lsub{A}{\Mod_C}$, $I$ ist $A$-$C$-invariant $\Rightarrow <I>$ ist $A$-$C$-Unterbimodul. \\
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$M \otimes_B N = A / <I> \in \lsub{A}{\Mod_C}$ \\
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$\eta: M \times N \rightarrow M \otimes_B N: (m, n) \mapsto (m,n)+<I> = m \otimes n$ (einfacher Tensor) \\
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Klar: $\set{m \otimes n \mid m \in M, n \in N}$ erzeugt $M \otimes_B N$, d.h. \\
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$M \otimes_B N = \set{\sum_{i=1}^k m_i \otimes n_i \mid m_i \in M, n_i \in N, k \in \N}$
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Bemerkung: $M \in \lsub{A}{\Mod_B} \subseteq \Mod_B, N \in \lsub{B}{\Mod}$. \\
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Bilde $M \otimes_B N$ mit $M$ nur als $B$-Rechtsmodul. $\tilde{X} = M \otimes_B N$ mit $M$ als $A$-$B$-Bimodul. \\
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Dann ist $X \in \lsub{A}{\Mod}$ und $X \cong \tilde{X}$ als $A$-Linksmodul.
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Für $a \in A$ definiere eine Abbildung $f_a: M \times N \rightarrow M \times N: (m, n) \mapsto (am, n)$ \\
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$A$-$\Z$-bilinear, $B$-balanced (wegen $(am)b = a(mb)$, da $M$ $A$-$B$-Bimodul).
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\begin{diagram}
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M \times N & \rTo^\eta & M \otimes_B N \\
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& \rdTo_{f_a} & \dTo{\exists! \hat{f_a}} \\
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& & M \otimes_B N
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\end{diagram}
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mit $\hat{f_a} (\sum m_i \otimes n_i) = \sum a m_i \otimes n_i$
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5.2.1 Fakten:
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\begin{enumerate}[i)]
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\item $M \in \lsub{A}{\Mod}, A \in \lsub{A}{\Mod_A} \Rightarrow A \otimes_A M \cong M$ \\
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Beweis: $f(a,m) = am$
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\begin{diagram}
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A \times M & \rTo^\eta & A \otimes_A M \\
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& \rdTo_f & \dTo^{\hat{f}} \\
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& & M
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\end{diagram}
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$\hat{f}(\sum a_i \otimes m_i) = \sum a_i m_i \in M, \hat{f}^{-1}: M \rightarrow A \otimes_A M: m \mapsto 1_A \otimes m \in A \otimes M$
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\item Tensorprodukte vertauschen mit direkten Summen: $(\oplus_{i \in I}) \otimes_A N \cong \oplus_{i \in I}(M_i \otimes N)$ \\
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$M \cong \oplus_{i\in I} A_i, A_i \cong_A A, N \in \lsub{A}{\Mod}$ \\
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$M \otimes_I N = (\oplus_{i \in I} A_i) \otimes N \cong \oplus_{i \in I}(A_i \otimes N) \cong N = \oplus_{i \in I} N_i$ mit $N_i \cong N$ als $A$-Modul.
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\item $(\lsub{A}{M} \otimes_B N) \otimes_C L_D \cong \lsub{A}{M} \otimes_B (N \otimes_C L)_D$ Assoziativität, $N \in \lsub{B}{\Mod_C}$
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\end{enumerate}
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Beispiel: $X := \Z/z\Z \otimes_\Z \Z/3\Z = (0)$ \\
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$ 1 = 2 \cdot 2 - 3$ \\
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$ a \otimes b \in X: a \otimes b = 1 a \otimes b = (4-3)(a \otimes b) = 4(a \otimes b) - 3(a \otimes b) = (4a)\otimes b - a \otimes (3b) = 0 \otimes b - a \otimes 0 = 0$
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5.2.2 Wichtiges Beispiel: $K$ Körper, $G$ Gruppe, $H \leq G$. $M \in \lsub{KH}{\Mod}$ \\
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Beachte: $KG \in \lsub{KG}{\Mod_{KH}}$ \\
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So: $KG \otimes_{KH} M \in \lsub{KG}{\Mod}$ \\
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Wir schreiben: $\Ind_H^G M = $ der von $H$ nach $G$ induzierte Modul.
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Seien $M, N \in \lsub{KH}{\Mod}, f : M \rightarrow N$ $KH$-linear. Dann ist $\id_{KG} \otimes f: KG \otimes_{KH} M \rightarrow KG \otimes_{KH} N$ $KG$-linear.
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5.2.3 Lemma: Seien $M_1, M-2 \in \lsub{R}{\Mod_S}$, $R, S, T$ $\Lambda$-Algebren, $N_1, N_2 \in \lsub{S}{\Mod_T}, f: M_1 \rightarrow M_2$ $R$-$S$-linear, $g: N_1 \rightarrow N_2$ $S$-$T$-linear. \\
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Dann wird durch $f \otimes g: M_1 \otimes_S N_1 \rightarrow M_2 \otimes_S N_2: m \otimes n \mapsto f(m) \otimes g(n)$ eine $R$-$T$-lineare Abbildung definiert. \\
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Beweis: Wir definieren Abbildung $f \times g: M_1 \times N_1 \rightarrow M_2 \otimes_S N_2: (m, n) \mapsto f(m) \otimes g(n)$. \\
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Leicht: $f \times g$ ist $R$-$T$-linear und $S$-balanced. ($(f\times g)(rm,n) = f(rm) \otimes (g(n) = r(f(m) \otimes g(n)), (f \times g)(ms,n) = f(ms) \otimes g(n) = f(m)s \otimes g(n) = f(m) \otimes s g(n) = f(m) \otimes g(sn) = (f\times g)(m, sn)$) \\
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\begin{diagram}
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M_1 \times N_1 & \rTo^\eta & M_1 \otimes N_1 \\
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& \rdTo_{f \times g} & \dTo_{\exists ! \widehat{f \times g} = f \otimes g} \\
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& & M_2 \otimes N_2
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\end{diagram}
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\qed
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Sei $\set{g_i \mid i \in I}$ Vertretersystem der Linksnebenklassen von $H$ in $G$, d.h. $G = \bigcup\limits_{i\in I}^{\bullet} g_i H$. Sei $g \in G$, dann $\exists ! i \in I, h \in H: g = g_i \cdot h$. \\
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Also lässt sich jedes $x \in KG$ eindeutig als Linearkombination $x = \sum_{i\in I} g_i y_i$ mit $y_i \in KH$ (fast alle 0) schreiben.
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($x = \sum_{g \in G} \lambda_g \cdot g = \sum_{i \in I} g_i (\sum_{h \in H} \lambda_{g_i h} h), \lambda_g \in K$ fast alle 0)
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Also: $KG_{KH} = \oplus_{i \in I} g_i KH$, ($KH$-Rechtsuntermoul von $KG_{KH}, g_i KH \cong KH$ als $KH$-Rechtsmodul) \\
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$KG_{KH}$ ist frei als $KH$-Modul, mit $KH$-Basis $g_i$. \\
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Nun ist $g_i H \otimes_{KH} M = g_i \otimes_{KH} M$ \\
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Wir haben gezeigt: $\Ind_{KH}^{KG} M = KG \otimes_{KH} M \cong \oplus_{i \in I} g_i \otimes M$ (mit $g_i \otimes M \cong M$ als $K$-Vektorraum) $ \cong \oplus \abs{I}$ vielen Kopien vn $KH$ als Vektorraum.\\
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$(g_i \otimes M$ ist ein $g_i KH g_i^{-1}$-Modul)
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Allgemein: $S \subseteq R$ Ringe, $M \in \lsub{S}{\Mod}$, $\lsub{R}{R_S} \in \lsub{R}{\Mod_S}, \Ind_S^R = R \otimes_S M \in \lsub{R}{\Mod}$ \\
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Im allgemeinen ist aber $R_S$ nicht frei. Es kann durchaus passieren, dass $R \otimes_S M = (0)$.
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5.2.4 Lemma: Sei $A, B$ $K$-Algebren, $K$ Körper. Dann wird $A \otimes_K B$ zur $K$-Algebra vermöge der folgenden Multiplikation: \\
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$(a_1 \otimes b_1) \cdot (a_2 \otimes b_2) = (a_1 a_2) \otimes (b_1 b_2)$ \\
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Problem: Ist diese Multiplikation wohldefiniert? \\
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Beweis: Übung \\
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5.2.5 Korrolar: Seien $M \in \lsub{A}{\Mod}, N \in \lsub{B}{\Mod}$. Dann wird $M \otimes_K N$ ein $A \otimes_K B$-Modul durch: \\
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$(a \otimes b)(m \otimes n) = am \otimes bn$
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5.2.6 Beobachtung: Sind $G, H$ Gruppen, so ist $K(G \times H) \cong KG \otimes_K KH$ \\
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Beweis: $LAAG \Rightarrow KG \otimes_K KHG$ hat Basis $\cB = \set{g \otimes h \mid g \in G, h \in H}$ \\
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$(g_1 \otimes h_1)(g_2 \otimes h_2) = (g_1 g_2) \otimes (h1 h_1)$ \\
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$\Rightarrow \cB$ ist Gruppenbasis von $KG \otimes_K KH, \cB \cong G \times H$ als Gruppe \qed
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Ist $X$ Grupe, $f: X \rightarrow G \times H$ Gruppenhomomorphismus. So kann dieser zu einem $K$-Algebrahomomorphismus $f: KX \rightarrow KG \otimes_K KH$ fortgesetzt werden.
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5.2.7 Definition: Sei $G$ Gruppe, dann wird durch $\Delta g = (g, g) \in G \times G$ ein injektiver Gruppenhomomorphismus $\Delta: G \rightarrow G \times G$ definiert.
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Es ist $\Lambda(\sum \lambda_g g) = \sum \lambda_g (g \otimes g)$. Sind $M, N \in \lsub{KG}{\Mod}$, so wird $M \otimes_K N$ ein $KG$-Modul durch Einschränken auf der $KG \otimes_K KG$-Operation aus 5.2.5 auf $M \otimes_K M$ auf $\im \Delta \cong G$. So gilt: $g \in G, m \in M, n \in N$ ist $g (m \otimes n) = gm \otimes gn$. \\
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Vorsicht: Sei $x = \sum \lambda_g g \in KG, m \in M, n \in N$:\\
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~~ $x (m \otimes n) = (\sum \lambda_g g)(m \otimes n)= \sum \lambda_g (gm \otimes gn)$ \\
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~~ $xm \otimes xn = (\sum \lambda_g g m) \otimes (\sum \lambda_h h n) = \sum\limits_{g \in G, h \in H} \lambda_g \lambda_h (gm \otimes hn)$ \\
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Also ist i.A. $x(m \otimes n) \neq xm \otimes xn$
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\subsection{$KG$-Moduln Grundlagen}
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$A = K$-Algebra, $K$ Körper, $M \in \lsub{A}{\Mod}$. Ist $m \in M$, so ist $A \cdot m = \set{a \cdot m \mid a \in A}$ ein $A$-Untermodul. \\
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Ist $S \subseteq M$, so ist $<S> = <S>_{A\text{-Modul}} = \sum_{s \in S} As \leq M$ der von $S$ erzeugte Untermodul von M.\\
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$<S>= \bigcap_{U \leq M, s \leq U} U = $ kleinste Untermodul von $M$, der $S$ enthält. $S \subseteq M$ heiß Erzeugendensystem von $M$ falls $<S> = M$. \\
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$M$ heißt endlich erzeugt, falls $M$ ein endliches Erzeugendensystem hat. \\
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$M$ heißt zyklischer $A$-Modul, falls $M = A \cdot m$ für ein $m \in M$.
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5.3.1 Satz: Sei $M \in \lsub{A}{\Mod}$. Dann ist $M$ zyklisch $\Leftrightarrow M$ ist epimorphes Bild von $\lsub{A}{A} \in \lsub{A}{\Mod}$. \\
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Beweis: "`$\Rightarrow$"': Sei $M = Am$ zyklischer Modul. Definiere $f: \lsub{A}{A} \rightarrow m: a \mapsto a \cdot m$. $f$ ist $A$-linear: $f(ba) = (ba)m = b (am) = b f(a), f(a+b) = (a+b)m = am+bm=f(a)+f(b)$. \\
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Klar: Wegen $M = Am$ ist $f$ Epimorphismus von $\lsub{A}{A}$ auf $M$. $M \cong \lsub{A}{A} / \ker f, \ker f = \set{a \in A \mid am = 0} = ann_A(m)$. \\
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"`$\Leftarrow$"': Sei $f: \lsub{A}{A} \rightarrow M$ Epimorphismus, $m = f(1)$. Sei $x \in M, a \in A: f(a) = x$ \\
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Dann ist $x = f(a) = f(a \cdot 1) = a f(1) = am$. Also ist $M = A m$ zyklischer Modul.
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Beispiel: $M \in \lsub{A}{\Mod}$ irreduzibel, $0 \neq m \in M$. $(0) \neq Am \leq M \Rightarrow Am = M \Rightarrow M$ zyklisch.
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5.3.2 Satz: Sei $A$ endlich dimensionale $K$-Algebra und sei $M \in \lsub{A}{\Mod}$ endlich erzeugt. Dann ist $\dim_KM < \infty$ und $M$ besitzt eine Kompositionsreihe. \\
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Beweis: $M = \sum_{i=1}^k A m_i, \exists m_i \in M, k \in \N$ \\
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$A m_i$ ist zyklischer Modul und daher epimorphes Bild von $\lsub{A}{A}$. Wegen $\dim_K (\lsub{A}{A}) < \infty$ ist $\dim_K (Am_i) < \infty$, und daher $\dim_K M \leq \sum_{i=1}^k \dim_K (Am_i) < \infty$. \\
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Da jeder $A$-Untermodul von $M$ insbesondere ein $K$-Untervektorraum von $M$ ist, muss jede echt absteigende Kette von $A$-Untermoduln von $M$ terminieren. Also hat $M$ eine Kompositionsreihe und Jordan-Hölder gilt. \qed
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5.2.3 Korrolar: Sei $A$ $K$-Algebra. Dann ist jeder einfache $A$-Modul zyklisch und daher epimorphes Bild vom \underline{regulären} $A$-Modul $\lsub{A}{A}$. Ist insbesondere $\dim_K A < \infty$, so sind alle irreduziblen $A$-Moduln endlich dimensional. Wegen $\dim_K A < \infty$ hat $\lsub{A}{A}$ eine Kompositionsreihe und daher kommen nur endlich viele Kompositionsfaktoren vor. Also gibt es nur endliche viele nicht isomorphe irreduziblen $A$-Moduln. \\
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Beweis: Sei $M \in \lsub{A}{\Mod}$ irreduzibel, und sei $M \neq (0)$. Sei $0 \neq m \in M \Rightarrow M = A \cdot m$, da $0 \neq Am \leq M$ und $M$ irreduzibel. Also ist $Am = M$, d.h. $M$ ist zyklisch. Rest folgt. \qed
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Bemerkung: Es ist im Allgemeinen falsch, dass jeder irreduzible $A$-Modul als Untermodul von $\lsub{A}{A}$ vorkommt! Für Gruppenalgebren $KG$, $\abs{G} < \infty$, stimmt dies aber!
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Beispiele von $KG$-Moduln:
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\begin{enumerate}[i)]
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\item $\lsub{KG}{KG}$ ist der reguläre $KG$-Modul. Die zugehörige (Matrix-)Darstellung $\rho: G \rightarrow M_{\abs{G}\times\abs{G}} (K)$: \\
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$\cB = G = $ Basis von $\lsub{KG}{KG}$ geordnet \\
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Sei $g \in G$. Dann ist $g \cdot h \in G$ für ein $h \in G$. Man erhält die Permutationsmatrix, die die Linksmultiplikation von $g$ auf $G$ darstellt.
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\item \underline{Allgemeiner}: Sei $\Omega$ endliche $G$-Menge, und sei $\rho: G \rightarrow \sigma_{\Omega}$ die zugehörige Permutationsdarstellung. Ordne $\Omega = \set{\omega_1, \ldots, \omega_k}$. \\
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\begin{diagram}
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\rho: G & \rTo & \sigma_k & \cong W \leq \GL_n(K) \\
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\dInto \\
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KG & \rTo & M_{k \times k} (K)
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\end{diagram}
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Modul: $V = $ (freie) $K$-Vektorraum mit Basis $\Omega, \sigma_\Omega \subseteq \End_K(V)$ \\
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$\rho: KG \rightarrow \End_K(V): g \mapsto $ Permutationsmatrix. $V \in \lsub{KG}{\Mod}$ "`Permutationsmodul"'
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\item Der triviale $KG$-Modul ist $K$ mit $G$-Operation $g \cdot \lambda = \lambda \forall g \in G, \lambda \in K$. \\
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Das heißt $G$ operiert "`trivial"' auf $K$. Die zugehörige Darstellung ist gegeben als Gruppenhomomorphismus $G \rightarrow K^\ast: g \mapsto 1_K$
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bzw. $\rho: KG \rightarrow K: \sum \lambda_g g \mapsto \sum \lambda_g$, fast alle $\lambda_g = 0$ (Epimorphismus). \\
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Es ist der $\ker \rho = < g - 1 \mid g \in G>_{\text{Ideal}} \trianglelefteq KG$. \\
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( Für $S \subseteq A = K$-Algebra: $<S>_A = \bigcap_{I \trianglelefteq A, S \subseteq I} I = $ kleinstes Ideal von $A$, das $S$ als Teilmenge enthält $= \sum_{s\in S} AsA$ ) \\
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$\dim_K (\ker \rho) = \abs{G} - 1$ \\
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Das Ideal $< g-1 \mid g \in G>_{\text{Ideal}}$ heißt \underline{Augmentationsideal} von $G$ und wird mit $\Omega KG$ bezeichnet.
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\item Sei $H \leq G$, $\lsub{H}{K}$ triviale $KH$-Modul, $G = \bigcup\limits_{i \in I}^{\bullet} g_i H, \set{g_i \mid i \in I}$ Vertretersystem von $H$-Linksnebenklassen in $G$. \\
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$G$ operiert auf $G \without H = \set{ g_i \mid i \in I}$ durch Linkstranslation: Für $g \in G, i \in I$ gibt es genau ein $j \in I$ und $h \in H: g g_i = g_j h$ \\
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$g \cdot g_i \Rightarrow g_j$ ist Permutationsdarstellung. \\
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Sei $V$ der $K$-Vektorraum mit Basis $g_i, i \in I$. Dann wird $V$ zum $KG$-Modul nach ii). \\
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$\varphi: KG \otimes_{KH} K \Rightarrow V: \sum_{i \in I} \alpha_i g_i \otimes 1_k \mapsto \sum_{i \in I} \alpha_i g_i$,
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d.h. Permutationsmodul von der $G$-Menge $G \without H$ ist $KG \otimes_{KH} K = \Ind_{KH}^{KG}(\lsub{H}{K})$
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Umgekehrt: Ist $\Omega$ eine $G$-Menge und ohne Einschränkung transitiv (disjunkte Vereinigung von Orbits $\leftrightarrow$ direkte Summe der zugehörigen Permutationsmodule). \\
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Sei $\Omega = (\omega_1, \ldots, \omega_k), H = \Stab_G(\omega_1)$. Dan ist der Permutationsmodul nach ii) isomorph zu $KG \otimes_{KH} K = \Ind_H^G(\lsub{H}{K})$.
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\item Sei $V \in \lsub{KG}{\Mod}, V^\ast = \Hom_K(V, K)$. Dann wird $V^\ast$ zum $KG$-Modul durch $ f \in V^\ast, g \in G, v \in V: (gf)(v) := f(g^{-1} v)$. \\
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D.h. für fast alle $\lambda_g = 0$: $((\sum \lambda_g g) f)(v) = \sum \lambda_g f (g^{-1} v) \in K$
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\end{enumerate}
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5.2.4 Lemma: Sei $A, B, C, D, \ldots $ $K$-Algebren, $\lsub{A}{M_B} \in \lsub{A}{\Mod_B}, \lsub{A}{N_C} \in \lsub{A}{\Mod_C}$. Dann wird $F := \Hom_A(\lsub{A}{M_B}, \lsub{A}{N_C}) \in \lsub{B}{\Mod_C}$ durch: \\
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$~~(bf)(m) := f(mb), (fc)(m) := f(m)c$ \\
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Analog: Ist $M \in \lsub{A}{\Mod_B}, N \in \lsub{C}{\Mod_B} \Rightarrow F := \Hom_B(\lsub{A}{M_B}, \lsub{C}{N_B}) \in \lsub{C}{\Mod_A}$ durch: \\
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$~~(cfa)(m) := c \cdot f(am)$ \\
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Beweis: $bf$ ist wohldefinierte Abbildung von $M \rightarrow N$. Zu zeigen: $bf$ ist $A$-linear:\\
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$ ~~(bf)(m_1 + m_2) = f((m_1+m_2)b) = f (m_1 b + m_2 b) = f(m_1 b) + f(m_2 b) = (bf)(m_1) + (bf)(m_2)$ \\
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$ ~~(bf)(am) = f((am)b) = f(a(mb)) = a \cdot f(mb) = a \cdot (bf)(m)$ \\
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Weiter ist z.Bsp: \\
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$ ~~ ((b_1 b_2)f)(m) = f(m(b_1 b_2)) = f((mb_1) b_2) = (b_2 f)(m b_1) = (b_1(b_2 f))(m)$ usw. (Übung) \\
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Also ist $\Hom_A(M, N)$ ein Links-$B$-Modul, jetzt Rechts-$C$-Modul:
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$ ~~ (fc)(m_1 + m_2) = f(m_1 + m_2)c = (f(m_1) + f(m_2))c = f(m_1)c + f(m_2)c = (fc)(m_1) + (fc)(m_2)$ \\
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$ ~~ (fc)(am) = f(am)c = (a \cdot f(m))c = a (f(m)c) = a (fc)(m)$ \\
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$ ~~ (f (c_1 c_2))(m) = f(m)(c_1 c_2) = (f(m)c_1)c_2 = (fc_1)(m)c_2 = ((fc_1)c_2)(m)$ usw. \\
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und: $ ((bf)c)(m) = ((bf)(m))c = (f(mb))c = (fc)(mb) = (b(fc))(m)$, damit ist $\Hom_A(M,N)$ ein $B$-$C$-Bimodul. \qed
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Beispiel: $V \in \lsub{A}{\Mod} \Rightarrow V^\ast \in \Mod_A, V^\ast = \Hom_K(\lsub{A}{V_K}, K_K) \in \Mod_A$ \\
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$f \in V^\ast, a \in A: (fa)(v) = f(av)$
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5.2.5 Lemma: Sei $A$ $K$-Algebra, $\iota: A \rightarrow $ Antihomomorphismus von $K$-Algebren, d.h. $\iota$ ist $K$-linear, $\iota(a_1 a_2) = \iota(a_2) \iota(a_1)$. \\
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Sei $V \in \lsub{A}{\Mod}$. Dann wird $V \in \Mod_A$ durch $v . a = \iota(a) v$ \\
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Beweis: $v . (a_1 + a_2) = \iota(a_1 + a_2)v = \iota(a_1)v + \iota(a_2)v = v . a_1 + v . a_2$ und \\
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$ ~~ v . (a_1 a_2) = \iota(a_1 a_2) v = \iota(a_2) \iota(a_1) v = \iota(a_2)(va_1) = (va_1) . a_2$ usw. \qed
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5.2.6 Lemma: Sei $G$ Gruppe. Dan induziert $g \mapsto g^{-1}$ einen Antihomomorphismus von $KG$ in $KG$ ($\sum \lambda_g g \mapsto \sum \lambda_g g^{-1}$).
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5.2.7 Korrolar: $V \in \lsub{KG}{\Mod}$. Dann wird $V^\ast = \Hom_K(V, K)$ zum $KG$-Modul durch $(gf)(v) := f(g^{-1} v)$.
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5.2.8 Korrolar: Seien $V, W \in \lsub{KG}{\Mod}$. Dann wird $\Hom_K(V, W)$ zum $KG$-Modul durch $(g.f)(v) := gf(g^{-1} v)$ \\
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(Da $\Hom_K(\lsub{KV}{V_K}, \lsub{KG}{W_K}) \in \lsub{KG}{\Mod_{KG}}$) \\
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Beweis: $\Hom_K(\lsub{KG}{V}, \lsub{KG}W) \in \lsub{KG}{\Mod}_{KG}$ durch $(gfh)(v) = gf(hv)$ für $f \in \Hom_K(V, W), g, h \in G, v \in V$. Also ein $KG \otimes_K KG^{op}$-Modul. \\
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Mit $\Delta: G \Rightarrow G \times G^{op}: g \mapsto (g, g^{-1})$ wird daher $\Hom_K(V, W)$ zum Links-$KG$-Modul durch Einschränken. \\
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$(g \otimes g^{-1})f = g f g^{-1}$ \\
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Beachte: $(g . f)(v) = g(f(g^{-1} v)) \Rightarrow ((g_1, g_2) . f)(v) = (g_1 g_2)(f(g_2^{-1} g_1^{-1} v)) = g_1 (g_2 f(g_2^{-1} (g_1^{-1} v))) = g_1 ((g_2 f)(g_1^{-1} v)) = (g_1 . g_2 . f)(v)$
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5.2.9 Definition und Lemma: Sei $M \in \lsub{KG}{\Mod}$. Dann ist $M^G = \set{m \in M \mid g m = m \forall g \in G}$ der größte Untermodul von $M$, auf dem $G$ trivial operiert.
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$M^G$ ist direkte Summe von $\dim_K(M^G)$ vielen Kopien des trivialen $G$-Moduls $K$. Die ELemente von $M^G$ werden $G$-Invarianten genannt. \\
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Beweis: leicht. \\
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$ ~~ (i \mid i \in I)$ $K$-Basis von $M^G \Rightarrow M^G = \bigoplus_{i \in I} K v_i, K v_i \cong K = $ trivialer $KG$-Modul \qed
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5.2.10 Satz: Sei $M, N \in \lsub{KG}{\Mod}$ und sei $\Hom_K(M, N) \in \lsub{KG}{\Mod}$ wie in 5.2.8. Dann ist $\Hom_K(M, N)^G \cong \Hom_{KG}(M, N)$ (als $K$-Vektorraum). \\
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Beweis: Sei $f \in \Hom_K(M, N)$. Dann ist $f \in \Hom_K(M, N)^G \Leftrightarrow g .f = f \forall g \in G \Leftrightarrow (g.f)(v) = f(v) = g f (g^{-1} v) \forall g \in G, v \in M \Leftrightarrow f(g v) = g f(v) \Leftrightarrow f \in \Hom_{KG}(M, N)$
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5.2.11 Satz: Sei $U, V \in \lsub{KG}{\Mod}$ endlicher Dimension. Dann ist $\Hom_K(U, V) \cong U^\ast \otimes V$ als $KG$-Moduln.
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Spezialfall: $U = V, \dim_K(V) < \infty$. Dann ist $\End_{KG}(V) \cong (V^\ast \otimes V)^G$ als $K$-Vektorraum.
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Beweis 5.2.11: $U^\ast$ ist $G$-Modul durch: $\alpha \in U^\ast: (g \alpha)(u) = \alpha(g^{-1} u)$ (siehe weit oben), und daher wird $U^\ast \otimes V$ zum $G$-Modul durch $g (\alpha \otimes v) = (g \alpha) \otimes (g v)$. \\
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Definiere $\Gamma: U^\ast \otimes_K V \rightarrow \Hom_K(U, V)$ durch $\alpha \otimes v \mapsto A_{\alpha, v}$ mit $A_{\alpha, v}(u) := \alpha(u) \cdot v \in V$. \\
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Klar ist: $A_{\alpha, v}$ ist Abbildung $U \rightarrow V$. Zu zeigen: $A_{\alpha, v}$ ist $K$-linear: \\
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$A_{\alpha, v}(u_1 + u_2) = (\alpha(u_1 + u_2))v = (\alpha(u_1) + \alpha(u_2))v = \alpha(u_1) v + \alpha(u_2) v = A_{\alpha, v}(u_1) + A_{\alpha, v}(u_2)$ \\
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$A_{\alpha, v}(\lambda u) = \lambda A_{\alpha, v}(u)$ ebenso. So ist $A_{\alpha, v} \in \Hom_K(U, V)$. \\
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Definiere $\hat{\Gamma} : U^\ast \times V \rightarrow \Hom_K(U, V): (\alpha, v) \mapsto A_{\alpha, v}$ \\
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$\hat{\Gamma}(\alpha_1 + \alpha_2, v)(u) = A_{\alpha_1 + \alpha_2, v}(u) = ((\alpha_1 + \alpha_2)(u))v = (\alpha_1(u) + \alpha_2(u))v = \alpha_1(u)v + \alpha_2(u)v = A_{\alpha_1, v}(u) + A_{\alpha_2, v}(u) = (A_{\alpha_1, v} + A_{\alpha_2, v})(u)$ \\
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$\Rightarrow \hat{\Gamma}(\alpha_1 + \alpha_2, v) = \hat{\Gamma}(\alpha_1, v) + \hat{\Gamma}(\alpha_2, v)$ \\
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Ähnlich $\hat{\Gamma}(\alpha, v_1 + v_2) = \hat{\Gamma}(\alpha, v_1) + \hat{\Gamma}(\alpha, v_2)$, also $\hat{\Gamma}$ bilinear. \\
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$ \lambda \in K: \hat{\Gamma}(\alpha \lambda, v)(u) = A_{\alpha \lambda, v}(u) = (\alpha \lambda)(u)(v) = \alpha(u) \lambda v = A_{\alpha, \lambda v}(u) = \hat{\Gamma}(\alpha, \lambda v)$, also ist $\hat{\Gamma}$ auch $K$-balanced. Daher ist (universelle Eigenschaft) $\Gamma$ wohldefinierte $K$-lineare Abbildung.
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Ist $(u_1, \ldots, u_n)$ $K$-Basis von $U$ und $(u_1^\ast, \ldots, u_n^\ast)$ duale Basis ($u_i^\ast(u_j) = \delta_{ij})$, so kann jedes Element von $U^\ast \otimes_K V$ eindeutig als Summe $\sum_{i=1}^n u_i^\ast \otimes x_i$ mit $x_i \in V$ geschrieben werden. ($U^\ast = \bigoplus_{i=1}^n K u_i^\ast \Rightarrow U^\ast \otimes_K V \cong \bigoplus_{i=1}^n (u_i^\ast \otimes V)$) \\
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Sei $1 \leq j \leq n: \Gamma(\sum_{i=1}^n u_i^ast \otimes x_i)(u_j) = \sum_{i=1}^n \Gamma(u_i^\ast \otimes x_i)(u_j) = \sum u_i^\ast(u_j) x_i = x_j$ \\
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So $\Gamma(\sum_{i=1}^n u_i^\ast \otimes x_i) = 0 \Leftrightarrow x_j = 0 \forall j \Leftrightarrow \sum_{i=1}^n u_i^\ast \otimes x_i = 0 \Rightarrow \Gamma$ injektiv. \\
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Wegen $\dim_K (U^\ast \otimes V) = \dim_K(U^\ast) \cdot \dim_K(V) = \dim_K(U) \cdot \dim_K(V) = \dim_K(\Hom_K(U, v))$ ist $\Gamma$ ein $K$-Isomorphismus.
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Bleibt zu zeigen: $\Gamma$ ist $G$-linear. $g \in G, \alpha \in U^\ast, v \in V, u \in U:$ \\
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$\Gamma(g (\alpha \times v))(u) = \Gamma( g\alpha \otimes gv)(u) = A_{g\alpha, gv}(u) = (g\alpha)(u) \cdot gv = \alpha (g^{-1} u) \cdot g v$ \\
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$(g \Gamma(\alpha \times v))(u) = (g . A_{\alpha, v})(u) = g \cdot (A_{\alpha, v}(g^{-1} u)) = \alpha (g^{-1} u) gv$ \qed
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5.2.12 Satz: Seien $U, V \in \lsub{KG}{\Mod}, \abs{G} = n < \infty$ und sei $\Char K = p$ mit $p \nmid n$, oder sei $\Char K = 0$.
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Dann ist $\abs{G} \cdot 1_K \neq 0$, d.h. $\frac{1}{\abs{G}} = (\abs{G} \cdot 1_K)^{-1}$ existiert in $K$. \\
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Sei $f: U \rightarrow V$ $K$-linear. Definiere $\hat{f}_G: U \rightarrow V: u \mapsto \frac{1}{\abs{G}} \sum_{g\in G} gf(g^{-1} u)$; $\hat{f}_G$ ist $KG$-linear. $\hat{f}_G = Tr_(1)^G(f)$ "`Spur"'. \\
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Beweis: $\hat{f}_G$ ist wohldefinierte Abbildung von $U \rightarrow V$. $\hat{f}_G(u_1 + u_2) = \frac{1}{\abs{G}} \sum gf(g^{-1} (u_1 + u_2)) = \frac{1}{\abs{G}} \sum g f (g^{-1} u_1) + \frac{1}{\abs{G}} \sum g f (g^{-1} u_2) = \hat{f}_G(u_1) + \hat{f}_G(u_2). \hat{f}_G(\lambda u) = \lambda \hat{f}_G(u)$ analog. \\
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Also ist $\hat{f}_G \in \Hom_K(U, V)$. \\
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Sei $h \in G$, dann ist $(h \hat{f}_G)(u) = h \cdot \hat{f}_G (h^{-1} (u)) = \frac{1}{\abs{G}} h (\sum_g g f (g^{-1} (h^{-1} u))) = \frac{1}{\abs{G}} \sum_g (hg) f ( (hg)^{-1} u ) = \frac{1}{\abs{G}} \sum_g g f (g^{-1} u) = \hat{f}_G(u)$. \\
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Also ist $h . \hat{f}_G = \hat{f}_G$, d.h. $\hat{f}_G \in \Hom_K(U, V)^G = \Hom_{KG}(U, V)$. \qed
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5.2.13 Satz (Maschke): Sei $G$ endliche Gruppe, $\Char K = p \geq 0$. Sei $p$ kein Teiler von $\abs{G}$. Sei $U \in \lsub{KG}{\Mod}$ und $V \leq U$. Dann ist $V$ direkter Summand von $U$, d.h. $\exists W \leq U: V \cap W = (0), V + W = U$. \\
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Beweis: LAAG $\Rightarrow \exists \tilde{W} = K$-Unterraum von $U$ mit $V + \tilde{W} = U$. Sei $\tilde{\pi}$ die natürliche Projektion von $U$ auf $V$ entlang $\tilde{W}$,
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d.h. $u \in U \Rightarrow \exists! v \in V, \exists ! w \in \tilde{W}: u = v + w \Rightarrow \tilde{\pi}(u) = v$. \\
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$\Rightarrow \tilde{\pi}_{\mid_V} = \id_V, \tilde{\pi}_{\mid_{\tilde{W}}} = 0$. \\
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Nach 5.2.12 ist $\pi = Tr_1^G(\tilde{\pi})$ $KG$-linear, $\pi(u) = \frac{1}{\abs{G}} \sum_{g \in G} g \tilde{\pi} (g^{-1} u)$. \\
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Sei $v \in V \leq U$. Dann ist $\pi(v) = \frac{1}{\abs{G}} \sum_g g \tilde{\pi}(g^{-1} v) = \frac{1}{\abs{G}} \sum_g g g^{-1} v = \frac{1}{\abs{G}} \sum_g v = v$. \\
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$\Rightarrow U = V \oplus \ker \pi$
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% -2 Vorlesungen
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5.4.16 Theorem: Sei $\Delta$ Divisionsalgebra, $n \in \N$. Dann ist $\Delta^n$ (bis auf Isomorphie) der einzige einfache $A$-Modul, $A = M_{n \times n}(\Delta)$. \\
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Es gilt: $\lsub{A}{A} = \bigoplus\limits_{n \text{ Kopien}} \Delta^n$ \\
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Beweis: Sei $0 \neq x = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n)^t \in \Delta^n \Rightarrow \exists 1 \leq i \leq n: \alpha_i \neq 0$. \\
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$\alpha_i ^{-1} E_{ii} x = e_i \in \xi_n = $ natürliche Basis von $\Delta^n$ \\
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$\Rightarrow E_{ji} e_i = e_j $, also $ e_j \in A \cdot x \forall 1 \leq j \leq n \Rightarrow \Delta^n = A \cdot x$. \\
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Also ist $\Delta^n$ einfach. \\
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Sei für $1 \leq i \leq n ~ S_i $ die Menge der Matrizen aus $A$, die 0 sind bis auf die $i.$ Spalte. \\
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Dann ist $S_i \leq \lsub{A}{A}$. \\
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$S_i E_{ij} = S_j.$ $\varphi_{E_{ij}} = $ Rechtsmodul mit $E_{ij}$ ist $A$-Modul Isomorphismus von $S_i$ auf $S_j$. \\
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$S_i \cong \Delta^n$. Also ist $\lsub{A}{A} \cong S_1 \oplus \ldots \oplus S_n \cong \bigoplus\limits_{n \text{ Kopien}} \Delta^n$.
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Definition: Eine $K$-Algebra $A$ heißt einfach ("`simple"'), falls $(0)$ und $A$ die einzigen Ideale von $A$ sind.
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5.4.17 Lemma: Einfache Algebren sind halbeinfach (semisimple). \\
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Beweis: Sei $A$ eine einfache Algebra, $\Sigma = $ Summe aller einfachen Untermoduln von $\lsub{A}{A}$. \\
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Klar: $\Sigma$ ist Linksideal von $A$. Sei $S$ einfacher Untermodul von $\lsub{A}{A}$, und sei $a \in A$. \\
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$\rho_a : S \rightarrow A: s \mapsto sa$ ist $A$-Modulhomomorphismu, und daher ist $S \cdot a = \im \rho_a = (0)$ oder $S \cdot a = $ einfacher $A$-Modul. \\
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In beiden Fällen haben wir $Sa \subseteq \Sigma$, daher ist $\Sigma$ auch Rechtsideal von $A$, also ist $\Sigma$ Ideal von $A$. \\
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$\lsub{A}{A}$ hat einfache Untermoduln ($\leq (0)$), daher ist $\Sigma \leq (0)$. Da $A$ einfach ist, ist $\Sigma = A$ und daher $A$ semisimple wegen Lemma 5.4.2 (Charakterisierung vo "`ss"')
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und 5.4.13 (Algebra ss. $\Leftrightarrow \lsub{A}{A}$ ss.). \qed
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5.4.18 Theorem: Sei $\Delta$ Divisionsalgebra und sei $n \in N$. Dann ist $A = M_{n \times n}(\Delta)$ einfache Algebra. \\
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Beweis: Sei $(0) \neq J \trianglelefteq A$. Sei $0 \neq a \in J \Rightarrow \exists \alpha_{ij} \in \Delta: a = \sum \alpha_{ij}E_{ij} (1 \leq i,j \leq n)$. \\
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$\exists 1 \leq r,s \leq n: \alpha_{rs} \neq 0$. Sei $1 \leq l, k \leq n$. Dann ist $J \ni b = \alpha_{rs}^{-1} E_{lr} a E_{sk} = \sum \alpha_{rs}^{-1} E_{lr} \alpha_{ij} E_{ij} E_{sk}
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= \sum \alpha_{rs}^{-1} \alpha_{ij} E_{lr} E_{ij} E_{sk} = \alpha_{rs}^{-1} \alpha_{rs} E_{lk} = E_{lk}$ \\
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$ \Rightarrow E_{lk} \in J \forall 1 \leq l,k \leq n \Rightarrow J = A$. \qed
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$B_1, \ldots, B_r$ = Algebren \\
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$B = B_1 \oplus B_2 \oplus \ldots \oplus B_r$ "`ringdirekte"' Summe, d.h. als $\Lambda$-Modul ist Summe direkt mit Multiplikation komponentenweise. \\
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$\tilde{B_i} = \set{(b_1, \ldots, b_r) \mid b_j \in B_j, b_j = 0 \text{ für } j \neq i} \Rightarrow \tilde{B_i} \cong B_i$ als $\Lambda$-Algebra. \\
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$\tilde{B_i} \trianglelefteq B, b_1 \in \tilde{B_i}, b_2 \in \sum\limits_{i \neq j} \tilde{B_j} \Rightarrow b_1 b_2 = b_2 b_1 = 0$ \\
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$\tilde{B_i} \cap \tilde{B_j} = (0) ~~ (i \neq j)$. \\
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$\tilde{B_i}$ heißen "`Blöcke"' von $B$ (Blockideale).
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5.4.19 Lemma: $B = B_1 \oplus \ldots \oplus B_r$ ringdirekte Summe von Algebren $B_i$. Dann sind die zweiseitigen Ideale von $B$ genau die Mengen der Form
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$ J = J_1 \oplus \ldots \oplus J_r$ mit $J_i \trianglelefteq B_i$ ($J_i = J \cap \tilde{B_i}$). \\
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Beweis: Setze $J_i = J \cap B_i \trianglelefteq B$. Klar: $\sum\limits_{i=1}^r J_i = \bigoplus\limits_{i=1}^r JJ-i \subseteq J.$ Sei $b \in J, b = b_1 + \ldots b_r$ mit $b_i \in B_i$
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und $1 = e_1 + \ldots + e_r, e_j = 1_{B_j}$. \\
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Dann ist $b cdot e_1 = b_1 e_1 + b_2 e_1 + \ldots + b_r e_r = b_1 \in J_1$, analog $b_i \in B_i \Rightarrow $ Behauptung.
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5.4.20 Theorem: Sei $r \in \N, \Delta_i$ Divisionsalgebra über $K$ endlicher Dimension, $n_i \in N, B_i = M_{n_i \times n_i}(\Delta_i) \forall 1 \leq i \leq r$. \\
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Sei $B = B_1 \oplus \ldots \oplus B_r$ ringdirekte Summe. ($\dim_K B = \sum_{i=1}^r \dim_K(\Delta_i) n_i^2 < \infty).$ Dann ist $B$ semisimple, und es gibt exakt $r$ viele nicht isomorphe einfache $B$-Moduln,
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und gneau $2^4$ zweiseitige Ideale von $B$, nämlich $\bigoplus_{j \in J} B_j$ mit $J \subseteq \set{1, \ldots, r}$ (Ideale), einfachen $B$-Moduln $S_1, \ldots, S_r$ mit $S_i \leq \lsub{B_i}{B_i}$ einfach. \\
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Beweis: Ist $S \leq \lsub{B_i}{B_i}$ einfacher Untermodul, so ist auch $S$ ein einfacher $B$-Modul mit $b \cdot x = 0 \forall b \in B_j$ mit $j \neq i$. ($U \leq \lsub{B_i}{B_i} \leq_{\text{Liid}} \lsub{B}{B}$ immer). \\
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Haben gesehen (5.4.16): $\forall 1 \leq i \leq r$ gibt es genau einen einfachen $B_i$-Modul $S_i$, $B_i \cong \bigoplus\limits_{n_i \text{ Kopien}} S_i$.
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$ \Rightarrow \lsub{B}{B} \cong \bigoplus\limits_{i=1}^r \bigoplus\limits_{n_i \text{ Kopien}} S_i$. \\
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Insbesondere ist $\lsub{B}{B}$ (direkte) Summe einfacher Untermoduln, und daher nach 5.4.13 semisimple. Jeder einfache $B$-Modul ist daher isomorph zu einem $S_i$ mit $1 \leq i \leq r$ (5.4.14). \\
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Behauptung folgt sofort aus 5.4.18 und 5.4.19. \qed
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5.4.21 Satz: Sei $0 \neq e^2 = e \in B \Rightarrow \End_B(Be) \cong eBe$.
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5.4.22 Lemma:Sei $B$ Algebra. Dann ist $M_{n \times n}(B)^{op} \cong M_{n \times n}(B^{op})$. \\
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Beweis Idee: $M_{n \times n}(B)^{op} \rightarrow M_{n \times n}(B^{op}): a \mapsto a^t$ ist Isomorphismus.
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5.4.23 Theorem (Wedderburn): Eine $K$-Algebra $A$ ($\dim_K A < \infty$) ist semisimple $\Leftrightarrow A = \bigoplus\limits_{i=1}^r M_{n_i \times n_i}(\Delta_i)$ mit $\Delta_i$ = Divisionsalgebra über $K$ mit $\dim_K \Delta_i < \infty$. \\
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Beweis: "`$\Leftarrow$"' ist 5.4.20. \\
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Sei also $A$ semisimple. Sei $S_1, \ldots, S_r$ eine vollständige Menge paarweiser nicht isomorpher einfacher $A$-Moduln und sei $\Delta_i = \End_A(S_i)$ Schiefkörper ($ \dim_K \Lambda_i = k$), $n_i = \dim_{\Delta_i}(S_i)$ \\
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Da $\lsub{A}{A}$ semisimple gibt es $v_1, \ldots, v_r \in \N: \lsub{A}{A} = S_1^{\oplus v_1} \oplus \ldots \oplus S_r^{\oplus v_r}$.\\
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5.4.21 $\Rightarrow \End_A(\lsub{A}{A}) = 1 \cdot A \cdot 1 \cong A$ \\
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$\End_A(S_1^{\oplus v_1} \oplus \ldots \oplus S_r{\oplus v_r}) \cong_{\text{Satz 5.4.12}} M_{v_1 \times v_1}(\Delta_1) \oplus \ldots \oplus M_{v_r \times v_r}(\Delta_r)$ \\
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5.4.20 $\Rightarrow v_i = n_i$ \qed.
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5.4.25 Spezialfall: $A$ semisimple $K$-Algebra, $K$ algebraisch abgeschlossen. Dann $\exists n_1, \ldots, n_r \in \N: A \cong M_{n_1 \times n_1}(K) \oplus \ldots M_{n_r \times n_r}(K)$ \\
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$\set{S_1, \ldots, S_r}$ = vollständige Menge nicht isomorpher einfacher $A$-Moduln, $\dim_K S_i = n_i$. \\
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\chapter{Charaktere}
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\section{Charaktere}
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$G$ = endliche Gruppe, alle $\C G$-Moduln sind endlich erzeugt.
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6.1.1 Anmerkung: $G = $ endliche Gruppe $\Rightarrow^{\text{Maschke}} \C G$ ist semisimple.\\
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$\Rightarrow \exists n_i \in \N: \C G \cong M_{n_1 \times n_1}(\C) \oplus \ldots M_{n_r \times n_r}(\C)$
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6.1.2 : $\sum n_i^2 = \abs{G}$ \\
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Bemerkung: $\Char K \nmid \abs{G} \Rightarrow KG$ semisimple. $KG \cong M_{n_1 \times n_1}(\Lambda_1) \oplus \ldots \oplus M_{n_r \times n_r}(\Lambda_r)$ \\
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Fakten: 1) $\Lambda_i$ kommutativ \\
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2) $K = \C: n_i$ Teiler von $\abs{G}$
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6.1.3 Theorem: $\abs{\set{\text{einfache }\C G\text{-Moduln}}} = \abs{\set{\text{Konjugationsklassen von }G}} = \dim_{\C} Z(\C G)$ \\
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Beweis: $\C G = M_{n_1 \times n_1}(\C) \oplus \ldots \oplus M_{n_r \times n_r}(\C) \exists r, n_1, \ldots, n_r \in \N$ (6.1.1) \\
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$\Rightarrow_{\text{5.4.23}}$ Anzahl nicht isomorpher irreduzibler $\C G$-Moduln $ = r$ \\
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Klar: $B = B_1 \oplus \ldots \oplus B_r$ ringdirekte Summe $\Rightarrow Z(B) = Z(B_1) \oplus \ldots \oplus Z(B_r)$ \\
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$Z(M_{n \times n}(\C)) = \set{ \alpha 1_M \mid \alpha \in \C }$. Also ist $\dim_K(Z(\C G)) = r$. \\
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Sei $x = \sum \alpha_g g$ mit $\alpha_g \in \C$ \\
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$x \in Z(\C G) \Leftrightarrow hx = xh \forall h \in G \Leftrightarrow x = hxh^{-1} \forall h \in G$ \\
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d.h. $x \in Z(\C G) \Leftrightarrow \sum \alpha_g g = \sum \alpha_g h g h^{-1} \forall h \in G$ \\
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$\sum \alpha_g g = \sum \alpha_{hgh^{-1}} g \Rightarrow \forall h \in G: \alpha_{hgh^{-1}} = \alpha_g.$ \\
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Sei $C_1, \ldots, C_m$ Konjugationsklassen von $G$, $g_i \in C_i, \hat{C_i} = \sum_{h \in C_i} h$. \\
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$\Rightarrow x = \sum_{i=1}^m \alpha_g \hat{C_i}$. \\
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Klar: $(\hat{C_1}, \ldots, \hat{C_m}) \subseteq \C G$ lineare unabhängig$/ \C$. \\
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$\Rightarrow (\hat{C_1}, \ldots, \hat{C_m})$ ist $\C$-Basis von $Z(\C G) \Rightarrow \dim_{\C}(Z(\C G)) = m = $ Anzahl der Konjugationsklassen $ = r = $ Anzahl der irreduziblen $\C G$-Moduln.
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$G = $ endliche Gruppe, $\C G$, $M \in \lsub{\C G}{\Mod}$, zugehörige Darstellung $\varphi: \C G \rightarrow \End_{\C}(M)$
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Definition: Sei $\varphi: \C G \rightarrow \End_{\C}(M)$ Darstellung, $\dim_{\C} M < \infty$. Dann heißt die Abbildung $\chi_M = \chi_{\varphi}: G \rightarrow \C: g \mapsto \tr(\varphi(g))$ ("`gewöhnlicher"') Charakter zur Darstellung $\varphi$.
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Beachte: $\varphi(g) \in \End_{\C}(M) \cong M_{n \times n}(\C)$ \\
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$\tr(m_f(\cB, \cB))$ ist unabhängig von der Wahl von $\cB$, da $\tr(AB) = \tr(BA)$, also $\tr(PAP^{-1}) = \tr(AP^{-1}P) = \tr(A)$.
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Also ist die Spur $\tr(f)$ für $f \in \End_{\C}(M)$ wohldefiniert, wenn wir $\tr(f) := \tr(m_f(\cB, \cB))$ setzen für irgendeine $\C$-Basis von $M$.
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Klar: Ist $M \cong N, M,N \in \lsub{\C G}{\Mod}$, so ist $\chi_M = \chi_N$. \\
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Seien $\varphi: G \rightarrow \Aut_\C(M) \rightarrow \GL_m(\C) (\dim_\C M = m)$ \\
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und $\psi: G \rightarrow \Aut_\C(N) \rightarrow \GL_n(\C) (\dim_\C N = n)$ \\
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Erinnerung: Sei $\tau: M \rightarrow N$ $\C G$-Isomorphismus. Dann gilt: $m = n$ und $\forall g \in G$: \\
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\begin{diagram}
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M & \rTo^{\varphi(g)} & M & ~~ & \C^n & \rTo^{\tilde{\varphi}(g)} & \C^n \\
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\dTo^{\tau} & & \dTo^{\tau} & ~~ & \dTo^{\tau} & & \dTo^{\tau} \\
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N & \rTo^{\psi(g)} & N & ~~ & \C^n & \rTo^{\tilde{\psi}(g)} & \C^n
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\end{diagram}
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$\tau \tilde{\varphi}(g) = \tilde{\psi}(g) \tau \Leftrightarrow \tilde{\varphi}(g) = \tau^{-1} \tilde{\psi}(g) \tau$ \\
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$\Rightarrow \chi_M(g) = \tr(\tilde{\varphi}(g)) = \tr(\tilde{\psi}(g)) \forall g \in G$
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Beispiel:
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\begin{enumerate}[i)]
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\item Sei $M = \C_G$ triviale $\C G$-Modul, d.h. $(\sum \lambda_g g) z = (\sum \lambda_g) z, ~~ (\lambda_g, z \in \C)$ \\
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$\chi_M: g \rightarrow 1 \in \C$
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\item Sei $\Omega$ eine transitive $G$-Menge, $M_\Omega =$ zugehöriger $\C G$-Modul. \\
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Ohne Einschränkung $\Omega = \set{1, \ldots, n}$, $G \rInto \sigma_n \cong W \leq GL_n(\C)$ \\
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Sei $P_\pi = $ Permutationsmaatrix zu $\pi \in \sigma_n, \tr(P_\pi) = \abs{\set{i \in \set{1, \ldots, n} \mid \pi(i) = i}}$. \\
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$\tr(g) = \abs{\set{w \in \Omega \mid gw = w}}$
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Spezialfall: $M = \lsub{\C G}{\C G}$. \\
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Sei $\chi_M$ zugehöriger Charakter. \\
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$\chi_M(g) = \abs{\set{x \in G \mid gx = x}} = \left\{\matr{0 & \text{für } g \neq 1 \\ \abs{G} & \text{für } g = 1}\right.$
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\item Sei $\chi: G \rightarrow \C$ Charakter zum $\C G$-Modul $M$. \\
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$\chi(1) = \dim_{\C} M$.
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\end{enumerate}
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Bezeichnung: Seien $S_1, S_2, \ldots, S_r$ die verschiedenen irreduziblen $\C G$-Moduln, wobei $S_1$ der triviale $\C G$-Modul ist. Wir bezeichnen
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den Charakter $\chi_{S_i}$ des $i$-ten $\C G$-Modules mit $\chi_i (i = 1, \ldots, r)$ \\
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$\Irr(G) = \set{\chi_1, \ldots, \chi_r}$. \\
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Die $\chi_i$ heißen irreduzible Charaktere. \\
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Sei $f_i = \dim_\C S_i: \C G = \bigoplus\limits_{i=1}^r M_{f_i \times f_i}(\C)$ \\
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Bemerkung: Ist $\dim_\C M = 1$ (z.Bsp. $S_1$), so spricht man von einem linearen Charakter, denn $\chi_M : G \rightarrow \C^\ast$ ist Gruppenhomomorphismus.
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6.1.4 Satz: Sei $U \in \lsub{\C G}{\Mod}, \rho: G \rightarrow \GL_\C(U) \subseteq \End_\C(U)$ zugehörige Darstellung. Sei $g \in G, \abs{g} = n$. \\
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Dann gilt:
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\begin{enumerate}[i)]
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\item $\rho(g) \in \End_{\C}(U)$ ist diagonalisierbar
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\item $\chi_U(g) = $ Summe (mit Vielfachheiten) der Eigenwerte von $\rho(g)$ (LAAG 2: Jordansche NF)
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\item $\chi_U(g) = $ Summe von $\chi_U(1) = \dim_\C U$ vielen $n$-ten Einheitswurzeln.
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\item $\chi_U(g^{-1}) = \overline{\chi_U(g)}$
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\item $\abs{\chi_U(g)} = \sqrt{\chi_U(g) \overline{\chi_U(g)}} \leq \chi_U(1)$
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\item $\set{g \in G \mid \chi_U(x) = \chi_U(1) = \dim_\C U} \trianglelefteq G$.
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\end{enumerate}
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Beweis:
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\begin{enumerate}[i)]
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\item $g^n = 1 \Rightarrow (\rho(g))^n = \id_U \rightsquigarrow E_{\dim_\C(U)} \Rightarrow \rho(g)$ genügt dem Polynom $x^n-1 \in \C[X] $
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$\Rightarrow $ Minimalpolynom $\mu_{\rho(g)}(t)$ hat nur einfache Nullstellen $\Rightarrow \rho(g)$ ist diagonalisierbar.
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\item Folgt aus i)
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\item Folgt aus i)
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\item Jeder Eigenvektor von $\rho(g)$ zu einem Eigenwert $z \in \C$ ist Eigenvektor von $\rho(g^{-1})$ zum Eigenwert $z^{-1} \in \C:$ \\
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$\rho(g) v = z v \Rightarrow z^{-1} v = (\rho(g)^{-1})(v) = \rho(g^{-1})(v), z\overline{z} = \abs{z}^2 = 1^2 = 1 \Rightarrow \overline{z} = z^{-1}$ \\
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$\chi_{\rho}(g) = \sum $ Einheitswurzeln, $\chi_{\rho^{-1}} = \sum \overline{\text{Einheitswurzeln}} = \overline{ \sum \text{Einheitswurzeln}} = \overline{\chi_U(g)}$ \\
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$ \abs{\chi_U(g)} = \abs{ \sum\limits_{\dim_\C U} \text{Eigenwerte } h} \mathop{\leq}\limits^{\text{Dreiecks-Ugl.}} \sum\limits_{\dim_\C(U)} \abs{\text{Eigenwert h}} = \dim_\C U = \chi_U(1)$.
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\item[vi)] $\abs{z_1 + z_2} = \abs{z_1} + \abs{z_2} \Leftrightarrow z_1 = \lambda z_2 \exists \lambda \in \R^{+}$
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\item[v)] $ \Rightarrow \abs{\chi_U(g)} = \chi_U(1) \Leftrightarrow$ ale Eigenwerte von $\rho(g)$ sind 1 $\Leftrightarrow \rho(g) = \id_U \Leftrightarrow g \in \ker \rho_U \trianglelefteq G$. \\
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$ \rho_U: G \Aut_\C(U)$
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\end{enumerate}
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Erinnerung: $\C^G = \set{ \alpha : G \rightarrow \C }$ ist $\C$-Algebra mit Addition $(\alpha_1 + \alpha_g)(g) = \alpha_1(g) + \alpha_2(g), (\alpha_1 \cdot \alpha_2)(g) = \alpha_1(g) \cdot \alpha_2(g)$ und
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$(\lambda \alpha)(g) = \lambda (\alpha(g))$. \\
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Menge Der Charaktere von $G \subseteq \C^G$.
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6.1.5 Lemma: $(\chi_1, \ldots, \chi_r)$ ist linear unabhängig in dem $\C$-Vektorraum $\C^G$. \\
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Beweis: $\C G \cong M_{f_1 \times f_1}(\C) \oplus \ldots \oplus M_{f_r \times f_r}(\C)$, $S_i=$ der eindeutig bestimmte irreduzible $G$-Modul im Block $M_{f_i \times f_i}(\C)$. \\
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Sei $e_i = $ Einselement von $M_{f_i \times f_i}(\C)$ (also $e_i = ( (0)_{f_1 \times f_1}, \ldots, (0)_{f_{i-1} \times f_{i-1}}, (1)_{f_i \times f_i}, (0) \ldots)$) Idemp. von $\C G$. \\
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Seien $\chi_1, \ldots, \chi_r$ die zu $S_i$ gehörenden Charaktere von $G$. \\
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Wir können $\chi_i$ linear zu einer lineare Abbildung vn $\C G$ nach $\C$ ausdehnen: $\chi_i \in \Hom_\C(\C G, \C) = \C G^\ast$, d.h.für $a = \sum\limits_{g\in G} \alpha_g g \in \C G$
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ist $\chi_i(\alpha) = \sum\limits_{g \in G} \alpha_g \chi_i(g) \in \C$. \\
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Beachte: Auf $S_i$ operiert $e_i$ wie die Eins. D.h. $\chi_i(e_i) = \dim_\C(S_i) = f_i$ und $\chi_j(e_i) = 0$ für $i \neq j$. \\
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Seien $\lambda_1, \ldots, \lambda_r \in \C$ so, dass $\sum\limits_{j=1}^r \lambda_j \chi_j = 0$ ist. Dann ist für $1 \leq i \leq r: 0 = \sum\limits_{j=1}^r \lambda_j \chi_j)(e_i) = \lambda_i \chi_i(e_i) \Rightarrow \lambda_i = 0 \forall i$. Also sind $(\chi_1, \ldots, \chi_r)$ linear unabhängig.
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6.1.6 Lemma: $U, V \in \lsub{\C G}{\Mod}$ endlich erzeugt. Dann $\chi_{U \oplus V} = \chi_U + \chi_V$ \\
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Beweis: Trivial. ($\rho_{U \oplus V}(g)$ hat Blockdiagonalform. Spur nehmen $\Rightarrow$ Behauptung.)
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Beachte: Sind $g, h \in G$ konjugiert, $\chi$ Charakter von $G \Rightarrow \chi(g) = \chi(u)$,
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denn $g, h$ konjugiert $\Rightarrow \exists x \in G: g = xhx^{-1} \Rightarrow \chi(g) = \chi(xhx^{-1}) = \chi((hx^{-1})x) = \chi(h)$,
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d.h. $\chi$ ist konstant auf Konjugationsklassen von $G$. \\
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Abbildung $\alpha: G \rightarrow \C (\alpha \in \C^G)$ heißen \underline{Klassenfunktionen}, wenn $\alpha(g) = \alpha(h)$ falls $g, h$ konjugiert sind.
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Wir haben gezeigt: $\chi_1, \ldots, \chi_r$ sind $r$ viele linear unabhängig Klassenfunktionen in $\C^G$. \\
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Definiere: $C_1, \ldots, C_r$ seien die Konjugationsklassen auf $G$. Für $1 \leq i \leq r$ sei $\epsilon_i: g \mapsto \left\{\matr{1 & \text{falls } g \in C_i\\0 & \text{sonst}}\right.$ \\
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Klar: $\set{\epsilon_1,\ldots, \epsilon_r}$ linear unabhängig in der Unteralgebra der Klassenfunktionen. \\
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Sei $\alpha: G \rightarrow \C$ Klassenfunktion, mit $\alpha(g) = \alpha_i \in \C$ für $g \in C_i \Rightarrow \alpha = \alpha_1 \epsilon_i + \ldots + \alpha_r \epsilon_r$
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Folgerung: $\set{\chi_1, \ldots, \chi_r}$ ist Basis der $\C$-Algebra der Klassenfunktionen auf $G$.
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Bemerkung: Sei $M \in \lsub{\C G}{\Mod}$ endlich erzeugt $\Rightarrow \exists \nu_1, \ldots, \nu_r \in \N_0$ so, dass $M = S_1^{\oplus \nu_1} \oplus \ldots \oplus S_r^{\oplus \nu_r}$
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$\Rightarrow \chi_M = \nu_1 \chi_1 + \ldots + \nu_r \chi_r$.
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Es gilt: Ist $M \ncong N$ und $M, N \in \lsub{\C G}{\Mod}$ endlich erzeugt $\Rightarrow \chi_M \neq \chi_N$.
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6.1.7 Satz: Zwei endliche erzeugte $\C G$-Moduln sind isomorph $\Leftrightarrow$ ihre Charakter stimmen überein. \\
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Beweis: Sind $S_1, \ldots, S_r$ die verschiedenen irreduziblen $\C G$-Moduln mit Charakteren $\chi_1, \ldots, \chi_r, M, N \in \lsub{\C G}{\Mod}$.
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Sei $M = S_1^{\oplus \mu_1} \oplus \ldots \oplus S_r^{\oplus \mu_r}, N = S_1^{\oplus \nu_1} \oplus \ldots \oplus S_r^{\oplus \nu_r}$, so ist
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$\chi_M = \sum\limits_{i=1}^r \mu_i \chi_i, \chi_N = \sum\limits_{i=1}^r \nu_i \chi_i$ \\
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$M \cong N \Leftrightarrow \mu_i = \nu_i \forall i = 1, \ldots, r \Leftrightarrow \chi_M = \chi_N$ \qed
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Bemerkung: Es gibt keinen kanonischen Weg, aus dem Charakter eines $\C G$-Moduls $M$ den Modul $M$ selbst zu bestimmen.
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Erinnerung: $U, V \in \lsub{\C G}{\Mod} \Rightarrow U \otimes_\C V, \Hom_\C(U, V), U^\ast = \Hom_\C(U, \C)$ sind $\C G$-Moduln.
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6.1.8 Satz: $U, V \in \lsub{\C G}{\Mod}$. Dann gilt:
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\begin{enumerate}[i)]
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\item $\chi_{U \times V}= \chi_U \cdot \chi_V (\chi_{U \otimes V}(g) = \chi_U(g) \cdot \chi_V(g))$
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\item $\chi_{U^\ast} = \overline{\chi_U} (\chi_{U^\ast}(g) = \overline{\chi_U(g)}$
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\item $\chi_{\Hom_\C(U, V)} = \overline{\chi_U} \cdot \chi_V$
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\end{enumerate}
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Beweis:
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\begin{enumerate}[i)]
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\item Sei $g \in G$. Sei $(u_1, \ldots, u_m)$ und $(v_1, \ldots, v_n)$ Basen von $U$ bzw. $V$ aus Eigenvektoren von $g$ auf $U$ bzw. $V$.
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D.h. $\exists \mu_1, \ldots, \mu_m, \nu_1, \ldots, \nu_n \in \C: g u_i = \mu_i u_i$ und $g v_j = \nu_j v_j \forall 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n$. \\
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Dies geht nach 6.1.4, da die Operation von $G$ auf $U$ bzw. $V$ diagonalisierbar ist. \\
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LAAG: Die $( u_i \otimes v_j \mid 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n )$ ist Basis von $U \otimes V$ \\
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$g(u_i \otimes v_i) = (g u_i) \otimes (g v_j) = (\mu_i u_i) \otimes (\nu_j v_j) = \mu_i \nu_j (u_i \otimes v_j)$ \\
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Es folgt: $\chi_{U \otimes V}(g) = \sum\limits_{i,j} \mu_i \nu_j = (\sum\limits_{i=1}^m \mu_i) (\sum\limits_{j=1}^n \nu_j) = \chi_U(g) \chi_V(g)$
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\item $g \in G, (u_1, \ldots, u_m)$ Basis aus Eigenvektoren von $g$ auf $U$, $g u_i = \mu_i u_i, \mu_i \in \C, 1\leq i \leq m$. \\
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Sei $(u_1^\ast, \ldots, u_m^\ast)$ Basis von $U^\ast$, d.h. $u_i^\ast(u_j) = \delta_{ij}$.
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$\Rightarrow (g u_i^\ast)(u_j) = u_i^\ast(g^{-1} u_j) \mathop{=}\limits^\text{6.1.4} u_i^\ast (\mu_j u_j) = \overline{\mu_j} \delta_{ij}$ \\
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$\Rightarrow g u_i^\ast = \overline{\mu_i} u_i^\ast$, d.h. $u_i^\ast$ ist Eigenvektor von Operation von $g$ auf $U^\ast$ mit Eigenwerten $\overline{\mu_i}$. \\
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Also ist $\chi_{U^\ast}(g) = \sum\limits_{i=1}^m \overline{\mu_i} = \overline{\sum\limits_{i=1}^m \mu_i} = \overline{\chi_U(g)}$. \\
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\item Nach 5.3.4 (?) ist $\Hom_\C(U, V) \cong U^\ast \otimes V$ als $\C G$-Modul. Die Behauptung folgt aus i) und ii). \qed
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\end{enumerate}
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Bemerkung: $\set{\Char \text{ von } G} \subseteq \C^G = \C$-Algebra und darin sind die irreduziblen Charaketere $(\chi_1, \ldots, \chi_r)$ linear unabhängig.
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So ist $<\chi_1, \ldots, \chi_r>_{\C\text{-Aufspann}}$ $r$-dimensionaler Unterraum von $\C^G$. \\
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Abelsche Gruppe, freier $\Z$-Modul: $\set{ \sum\limits_{i=1}^r \mu_i \chi_i \mid \mu_i \in \Z} \subseteq <\chi_1, \ldots, \chi_r>$. \\
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Klassenfunktionen der Form $\sum\limits_{i=1}^r \mu_i \chi_i$ mit $\mu_i \in \Z$ heißen "`virtuelle"' Charaktere.
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6.1.9 Korrolar: Der Raum der virtuellen Charaktere ist ein Ring. \\
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Beweis: Nach 6.1.8 ist das Produkt zweier Charaktere wieder ein Charakter, d.h. ganzzahlige Linearkombination der $\chi_1, \ldots, \chi_r$. Also ist auch das Produkt
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zweier virtueller Charaktere wieder ein virtueller Charakter. \qed
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Definition: Eine Klassenfunktion auf $G$ ist eine Abbildung $f: G \rightarrow \C$ mit $f(g) = f(h)$ falls $g, h$ konjugiert (also $g \sim_G h$). \\
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Klar: Summe, lineare Vielfache und Produkte vo Klassenfunktionen sind Klassenfunktionen. \\
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Also: $< \chi_1, \ldots, \chi_r >_\C \subseteq \set{\text{Klassenfunktionen auf } G} \leq \C^G$
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6.1.10 $<\chi_1, \ldots, \chi_r>_\C$ ist die $\C$-Algebra der Klassenfunktionen.auf $G$. \\
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Beweis: Seien $C_1, \ldots, C_r$ die Konjugationsklassen von $G$, $1 \leq i, j \leq r$. Sei $\psi_i: G \rightarrow \C$ definiert durch: \\
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$\psi_i(g) = \left\{\matr{1 & \text{für } g \in C_i \\ 0 & \text{sonst}}\right.$ \\
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Sei $f: G \rightarrow \C$ Klassenfunktion mit $f(g) = \lambda_i$ für $g \in C_i$
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$ \Rightarrow f = \sum\limits_{i=1}^r \lambda_i \psi_i \Rightarrow f \in < \psi_1, \ldots, \psi_r>_\C$ \\
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Trivial: $\psi_1, \ldots, \psi_r$ linear unabhängig $ \Rightarrow \dim_\C \set{\text{Klassenfunktionen auf } \C} = r$ \\
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$\Rightarrow $ Behauptung. \qed
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Definition: $\Cl(G) := \C$-Vektorraum der Klassenfunktionen auf $G$. \\
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Auf $\Cl(G)$ definieren wir ein inneres Produkt $( \cdot, \cdot )$ durch: $(\alpha, \beta \in \Cl(G))$ \\
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$(\alpha, \beta) = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} \alpha(g) \overline{\beta(g)} \in \C$ \\
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Wir haben: \\
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$ ~~~~ (\alpha, \alpha) = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} \alpha(g) \overline{\alpha(g)} = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} \abs{\alpha(g)}^2 = 0
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\Leftrightarrow \alpha(g) = 0 \forall g \in G \Leftrightarrow \alpha = 0$. \\
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$ ~~~~ (\alpha, \beta) = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} \alpha(g) \overline{\beta(g)} = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} \overline{\beta(g) \overline{\alpha(g)}} = \overline{(\beta, \alpha)}$ \\
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$ ~~~~ (\lambda \alpha, \beta) = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} (\lambda \alpha)(g) \overline{\beta(g)} = \frac{\lambda}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} \alpha(g) \overline{\beta(g)} = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} \alpha(g) \overline{(\overline{\lambda}\beta)(g)} = (\alpha, \overline{\lambda} \beta)$ \\
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$ ~~~~ (\alpha_1 + \alpha_2, \beta)
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% = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} (\alpha_1 + \alpha_2)(g) \overline{\beta(g)}
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= \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} \alpha_1(g) \overline{\beta(g)} + \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} \alpha_2(g) \overline{\beta(g)} = (\alpha_1, \beta) + (\alpha_2, \beta)$.
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Also ist $(\cdot, \cdot)$ wirklich ein Skalarprodukt auf $\Cl()G)$.
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Erinnerung: $U \in \lsub{\C G}{\underline{\Mod}}$ endlich erzeugt. Dann ist $U^G = \set{u \in U \mid gu = u \forall g \in G}$ ist der eindeutig
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bestinmmte größte Untermodul von $U$, auf dem $G$ trivial operiert. \\
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$ U = S_1^{\oplus \mu_1} \oplus \ldots \oplus S_r^{\oplus \mu_r}, S_1 = $ trivialer $\C G$-Modul. \\
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$\Rightarrow U^G = S_1^{\oplus \mu_1}, \mu_1 = \dim_\C U^G$
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Beobachtung: $U^G = $ simultae Eigenraum $\forall g \in G$ zum Eigenwert 1 = $\bigcap\limits_{g \in G}$ Eigenraum von $g$ zum Eigenwert $1$.
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6.1.11 Lemma: Sei $U \in \lsub{\C G}{\underline{\Mod}}$ endlich erzeugt, dann ist $\dim_\C U^G = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} \chi_U(g) ( = \chi_U(\frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} g = \chi_U(T))$. \\
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Beweis: Sei $a = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} g \in \C G$. Sei $h \in G \Rightarrow ha = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} h g = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} g = a = ah$ \\
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$\Rightarrow a^2 = (\frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} g) a = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} (g a) = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} a = a, a $ ist Idempotent von $\C G$. \\
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$(\C G = M_{1 \times 1}(\C) \oplus M_{f_2 \times f_2}(\C) \oplus \ldots \oplus M_{f_r \times f_r}(\C); a = ( 1, 0, \ldots, 0 )$. \\
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Sei $\rho: \C G \rightarrow \End_\C(U)$ die zu $U \in \lsub{\C G}{\underline{\Mod}}$ gehörende Darstellung von $\lsup{\C}G$ und sei $T = \rho(a)$. \\
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Dann gilt $T^2 = (\rho(a))^2 = \rho(a^2) = \rho(a) = T$, d.h. $T$ erfüllt das Polynom $X^2 - X \in \C[X] \Rightarrow 0$ und $1$ sind die einzigen möglichen Eigenwerte von $T$ und $T$ ist diagonalisierbar.
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Sei $U_1 \subseteq U$ der Eigenraum von $T$ zum Eigenwert $1$. \\
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$u \in U_1 \Rightarrow g(u) = g(a \cdot u) = (g a)(u) = a u = u$ \\
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$\Rightarrow U_1 \leq U^G$ \\
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Sei $u \in U^G$, dann ist $\abs{G} a u = (\sum\limits_{g \in G} g) u = \sum\limits_{g \in G} (gu) = \sum\limits_{g \in G} u = \abs{G} u \Rightarrow au = u \Rightarrow u \in U_1$ \\
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Also ist $U_1 = U^G$. Die Spur $\tr(T)$ von $T$ auf $U$ ist $\dim_\C(U_1)$
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6.1.12 Erinnerung: Sind $U, V \in \lsub{\C G}{\underline{\Mod}}$ endlich erzeugt. Dann ist $\Hom_\C(U, V) = U^\ast \otimes V \in \lsub{\C G}{\underline{\Mod}}$ und es
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ist $\Hom_{\C G}(U, V) = (\Hom_\C(U, v))^G$.
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6.1.13 Korrolar: Seien $U, v \in \lsub{\C G}{\underline{\Mod}}$. Dann ist $(\chi_V, \chi_U) = \dim_\C \Hom_{\C G}(U, V)$ \\
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Beweis: $\dim_\C \Hom_{\C G}(U, V) \mathop{=}\limits^\text{6.1.12} \dim_\C (\Hom_\C(U, V))^G \mathop{=}\limits^\text{6.1.11} = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} \chi_{\Hom_\C(U,V)}(g)$ \\
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$ \mathop{=}\limits^\text{6.1.8} \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} (\overline{\chi_{U}(g)} \chi_V(g)) = (\chi_V, \chi_U)$ \qed
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Bemerkung: $\Hom_{\C G}(S_1^{\oplus \nu_1} \oplus \ldots \oplus S_r^{\oplus \nu_r}, S_1^{\oplus \mu_r} \oplus \ldots \oplus S_r^{\oplus \mu_r})
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= \bigoplus\limits_{i=1}^r \Hom_{\C G}(S_i^{\oplus \nu_i}, S_i^{\oplus \mu_i})
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\cong M_{\mu_i \times \nu_i}(\C) $ \\
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$ \dim = \sum \mu_i \nu_i$
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6.1.14 Korrolar: $\chi_1, \ldots, \chi_r$ ist eine Orthonormalbasis von $\Cl(G)$.
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Beweis: 6.1.13 impliziert, dass $(\chi_i, \chi_j) = \delta_{ij}$. \qed.
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% paragraph 2
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\section{Charaktertafel}
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$G = $ Gruppe, $\abs{G} = n < \infty, \Irr(G) = \set{\chi_1, \ldots, \chi_r} = $ irreduzible Charakter von $G, \chi_1 $ trivialer Charakter.
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Fakten:
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\begin{enumerate}[1)]
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\item Jeder Charakter von $G$ ist $\Z$-Linearkombination der $\chi_i$
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\item Jeder Charakter von $G$ ist vollständig bestimmt durch seine Werte auf den Konjugationsklassen von $G$.
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\item Die Anzahl der Konjugationsklassen von $G = r$.
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\item Sind $C_1 \ni 1, \ldots, C_r$ die Konjugationsklassen von $G$, $g_i \in C_i$, so ist $\abs{C_i} = k_i = \abs{ G : C_G(g_i) }$ (1.3.13)
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\item $\Irr(G)$ ist ONB vom $\C$-Vektorraum der Klassenfunktionen $\Cl(G)$ bezüglich des Skalarprodukts
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$(\alpha, \beta) = \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} \alpha(g) \overline{\beta{g}}
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= \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{i=1}^r k_i \alpha(g_i) \overline{\beta(g_i)} = \sum\limits_{i=1}^r \frac{1}{\abs{C_G(g_i)}} \alpha(g_i) \overline{\beta(g_i)} $
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\end{enumerate}
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Definition: \underline{Charaktertafel} von $G$ ist eine $r \times r$-Matrix mit $\chi_i(g_j)$ als $ij$-Eintrag. \\
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Spaltenlabel: $g_i^{k_i}$, Zeilenlabel: $\chi_i$ (Atlas Notation) \\
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$\chi_1(g_i) = 1, \chi_i(g_1) = f_i = $ Grad von $\chi_i$ = Dimension der zugehörigen Darstellungen
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= Größe des dazugehörigen Blocks von $\C G \cong \bigoplus\limits_{i=1}^r M_{f_i \times f_i}(\C)$
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6.1.14 übersetzt sich in: \\
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6.2.1 Korrolar: $\delta_{ij} = \sum\limits_{t=1}^r \frac{1}{\abs{C_G(g_t)}} \chi_i(g_t) \overline{\chi_j(g_t)} $ \\
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Zeilen Der Charaktertafel sind orthonormal bezüglich es Standardskalarprodukt gewichtet mit $\frac{1}{\abs{C_G(g_t)}}$ auf $\C^r$.
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6.2.2 Korrolar: Seien $\alpha = \sum \lambda_i \chi_i, \beta = \sum \mu_j \chi_j$ virtuelle Charaktere. \\
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Dann ist $\alpha, \beta) = \sum\limits_{i=1}^r \lambda_i \mu_i$
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6.2.3 Korrolar: Sei $\alpha$ virtueller Charakter (Klassenfunktion) von $G$. Dann ist $\alpha = \sum\limits_{i=1}^r (\alpha, \chi_i) \chi_i$ \\
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Insbesondere ist $\alpha$ Charakter von $G \Leftrightarrow (\alpha, \chi_i) \in \Z_{\geq 0}$ für $i = 1, \ldots, r$ und $\neq 0$ für mindestens ein $i$.
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Sofort: Ist $\chi$ ein Charakter von $G$, so ist $\chi$ irreduzibel $\Leftrightarrow (\chi, \chi) = 1$, also genau ein $\lambda_i = 1$ und der Rest $0$.
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6.2.4 Satz: Sei $\alpha$ linearer Charakter (i.e. $\alpha: G \rightarrow \C^\ast$ Homomorphismus) mit zugehörigem $\C G$-Modul $M$ ($M \cong \C$ als Vektorraum, $g \cdot m = \alpha(g) \cdot m$). \\
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Sei $X \in \lsub{\C G}{\underline{\Mod}}$ mit Charakter $\chi$. Dann ist $\alpha \chi$ ebenfalls Charakter von $G$ (mit Modul $M \otimes_\C X$), und $\alpha \chi$ ist irreduzibel! \\
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Beweis: $\alpha$ irreduzibel $\Rightarrow \alpha(g)$ Einheitswurzel $\forall g \in G$ da 1 = $\abs{\alpha(g)} = \alpha(g) \overline{\alpha(g)} \forall g \in G$. \\
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$(\alpha \chi, \alpha \chi)
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= \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} \alpha(g) \chi(g) \overline{\alpha(g) \chi(g)}
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= \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} \chi(g) \overline{\chi(g)} \alpha(g) \overline{\alpha(g)}
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= \frac{1}{\abs{G}} \sum\limits_{g \in G} \chi(g) \overline{\chi(g)} = (\chi, \chi) = 1 \Rightarrow $ Behauptung.
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Korrolar: Sei $\alpha$ Charakter von $G$, $(\alpha, \alpha) = n \in \set{1,2,3}$. Dann ist $\alpha$ Summe von $n$ irreduziblen Charakteren.
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6.2.5 Satz: (Spaltenorthogonalität): $\sum\limits_{t=1}^n \chi_t(g_i) \overline{\chi_t(g_i)} = \frac{\abs{G}}{k_i} \delta_{ij} = \abs{C_G(g_i)} \delta_{ij}$. \\
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Beweis: Sei $X = (\chi_i(g_j))_{ij}$ Charaktertafeln von $G$, $K = diag(k_1, \ldots, k_r) \in M_{r \times r}(\C)$. \\
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Dann ist $ij$-Eintrag von $X \cdot K = \chi_i(g_j) \cdot k_j$ und wir erhalten als $ij$-Eintrag von $X K X^t$ den Wert $\sum\limits_{l=1}^r \chi_i(g_l) k_l \overline{\chi_j(g_l)}
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= \sum\limits_{g \in G} \chi_i(g) \overline{\chi_j(g)} = \abs{G} (\chi_i, \chi_j) = \abs{G} \delta_{ij}$. \\
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Also ist $XK\overline{X}^t = \abs{G} E_{r \times r}$. \\
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Allgemein: $A, B \in M_{r \times r}(K), A \cdot B = \lambda E_{r \times r}, 0 \neq \lambda \in K \Rightarrow B = A^{-1} \lambda E = \lambda A^{-1}, BA = AB = \lambda E$ \\
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Also $K \overline{X}^t X = \abs{G} E_{r \times r}, (K \overline{X}^t X)_{ij} = \sum\limits_{l = 1}^r k_j \overline{chi_l(g_j)} \chi_l(g_i) = \abs{G} \delta_{ij}$ \qed.
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$K$ = Körper, $N \trianglelefteq G, \eta: G \to G / N: g \mapsto gN$ natürliche Projektion, $g_1, \ldots, g_s$ Nebenklassenvertreter von $N$ in $G$. \\
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Definiere $\hat{\eta}: KG \to K G/N: \sum\limits_{g \in G} \lambda_g g \mapsto \sum\limits_{g \in G} \lambda_g gN = \sum\limits_{i=1}^s (\sum\limits_{h \in g_i N} \lambda_h) g_i N$ \\
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Leichte Übung: $\hat{\eta}$ ist multiplikativ, d.h. ein $K$-Algebraepimorphismus ($\ker \hat{\eta} = < h - 1 \mid h \in N>_{\text{Ideal}}$) \\
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Damit kann jeder $K G/N$-Modul zu einem $KG$-Modul gemacht werden.
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Fast allgemein: Sei $A$ eine Algebra, $I \trianglelefteq A$ Ideal, $B = A/I$, $M \in \lsub{B}{\Mod}$. \\
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Dann wird $M$ zum $A$-Modul durch $a \cdot m := (a + I)m \forall a \in A, m \in M$.
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Richtig allgemein: $A, B$ seien $\Lambda$-Algebren, $f: A \to B$ Algebrahomomorphismus, $M \in \lsub{B}{\Mod}$. \\
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Dann wird $M$ zum $A$-Modul durch $a \cdot m := f(a) m \forall a \in A, m \in M$. \\
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Sind $M, N \lsub{B}{\Mod}, \beta: M \to N$ it $B$-linear, so ist $\beta$ auch $A$-linear. \\
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Also ist die Abbildung, die jedem $B$-Modul dem entsprechenden $A$-Modul zuordnet, ein Funktor, genannt "`Inflation"' entlang $f$. \\
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$ \Inf_{B, f}^A, A \to B \to \End_\Lambda(M) $
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Sei $\chi$ Charakter von $G$, $K_\chi = \set{ x \in G \mid \chi(x) = \chi(1) }$ der Kern von $\chi$. (6.1.4) \\
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Dann ist $K_\chi \trianglelefteq G$. Für $\chi = \chi_i$ schreiben wir jetzt $K_i$ anstatt $K_{\chi_i}$.
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6.2.6 Satz: Sei $N \trianglelefteq G$, dann gibt es eine Teilmenge $I \subseteq \set{1, \ldots, r}$ so, dass $N = \bigcap\limits_{i \in I} K_i$ ist. \\
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Also: Die Normalteiler von $G$ sind extakt alle möglichen Schnitte der Kerne der irreduziblen Charakteren! \\
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Beweis: $U = \C (G/N), \psi = $ Charakter $\lsub{\C U}{U}$ und $\chi$ sei der entsprechende Charakter von $G$. ($g (h N) = (gh) N$) \\
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Sei $g \in G$: Dann ist $\chi(g) = \psi(gN) = \left\{\matr{\psi(1) = \abs{G/N} = \dim_\C U = \chi(1) & \text{für } g \in N \\ 0 & \text{sonst} }\right.$, d.h. $N = K_\chi$. \\
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($\abs{K_i} = \abs{ \bigcup\limits_{\chi_i(g_j) = \chi_i(1)}^{\cdot} g_j^G} = \sum\limits_{\chi_r(s_i) = \chi_r(1)} k_i$)
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Sei $\chi = \sum\limits_{i=1}^r \alpha_i \chi_i$, 6.1.4 $\Rightarrow \abs{\chi(g)} \leq \sum a_i \abs{\chi_i(g)} \leq \sum \alpha_i \abs{\chi_i(1)} = \chi(1) \forall g \in G$. \\
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$ \sum \alpha_i \chi_i(g) = \chi(g) = \chi(1) = \sum \alpha_i \chi_i(1)$, also $\chi(g) = \chi(1) \Leftrightarrow (\chi_i(g) = \chi_i(1) $ oder $\alpha_i = 0) \forall i$
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Sei $I = \set{ 1 \leq i \leq r \mid \alpha_i \neq 0 }$ \\
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Also ist $N = \bigcap\limits_{i \in I} K_i$
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6.2.7 Korrolar: $G$ einfach $\Leftrightarrow \forall 1 \neq g \in G \forall 2 \leq i \leq r: \chi_i(g) \neq \chi_i(1)$
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6.2.8 Korrolar: Charaktertafel löst die Frage, ob $G$ auflösbar oder nicht auflösbar ist.
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Definition: Sei $\chi$ Charakter von $G$. $Z_{\chi} = \set{x \in G \mid \abs{\chi(X)} = \chi(1) } \supseteq K_{\chi}$
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6.2.9 Lemma: $Z_x \leq G$. Ist $\chi = \chi_i$ irreduzibel, so ist $Z_\chi / K_\chi = Z(G / K_\chi)$
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6.2.10 Korrolar: Ist $G$ nicht abelsch und einfach, dann ist $Z_i = Z_{\chi_i} = (1)$ für $i = 2, \ldots, r$.
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6.2.11 Satz: $Z(G) = \bigcap\limits_{i=1}^r Z_i, Z_i = Z_{\chi_i}$
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6.2.12 Satz: Sei $N \trianglelefteq G$. Dann können die irreduziblen Charaktere von $G/N$ aus denen von $G$ ausgerechnet werden. \\
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Beweis: Jeder irreduzible $G/N$-Modul ist durch Inflation irreduzibler $G$-Modul. \\
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($M \in \lsub{K (G/N)}{\Mod}$ irreduzibel $\Leftrightarrow \forall 0 \neq m \in M: K(G/N) m = M \Leftrightarrow M \in \lsub{KG}{\Mod}$ irreduzibel) \\
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So ist $\Irr_K(G/N) = \set{ \chi_i \mid \chi_i(n) = \chi_i(1) \forall n \in N}$
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Vorsicht: Man kann aus Charaktertafel von $G$ nicht die Größe der Konjugationsklassen von $G/N$ ablesen.
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Klar: Sei $g \in N, C = g^G \Rightarrow \set{ hN \mid h \in C }$ ist Konjugationsklasse von $G/N$.
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6.2.13 Korrolar: Man kann aus der Charaktertafel von $G$ direkt ablesen, ob $G$ nilpotent ist oder nicht.
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% Kapitel 7
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\chapter{Exkurs in die Kategorientheorie}
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\section{Kategorien}
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1.1.1 Definition: Eine Kategorie $\cC$ besteht aus
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\begin{enumerate}[(1)]
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\item Einer Klasse $\Obj(\cC)$ von Objekten von $\cC$ $(A, B, C, \ldots)$
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\item Für $A, B \in \Obj(\cC)$ eine Menge $\cC(A,B)$ von Morphismen von $A$ nach $B$.
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\item Für $A, B, C \in \Obj(\cC)$ eine Kompositionsregel $\cC(A,B) \times \cC(B, C) \to \cC(A, C): (f,g) \mapsto f \circ g = fg$,
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so dass gilt:
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\begin{enumerate}[K1:]
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\item $\cC(A_1, B_1) \cap \cC(A_2, B_2) \neq 0 \Rightarrow A_1 = A_2$ und $B_1 = B_2$
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\item $A, B, C, D \in \Obj(\cC), f \in \cC(A, B), g \in \cC(B, C), h \in \cC(C, D): f(gh) = (fg)h$
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\item $\forall A \in \Obj(\cC)$ gibt es ein $1_A \in \cC(A, A)$ mit $1_A f = f, g 1_A = g \forall B, C \in \Obj(\cC)$ und $f \in \cC(A, B), g \in \cC(C, A)$ \\
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(Automität: $1_A$ ist eindeutig)
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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1.1.2 Beispiele:
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\begin{enumerate}[1.)]
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\item $\cS = $ Kategorie der Mengen
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\item $\cT = $ Kategorie der topologischen Räume, Morphismen = stetige Abbildungen ($\cT_1$ = Kategorie der punktierten topologischen Räume)
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\item $G = $ Kategorie der Gruppen, Morphismen = Gruppenhomomorphismen
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\item $Ab$ = Kategorie der abgelschen Gruppen
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\item $K = $ Körper, $V_K$ = Kategorie der $K$-Vektorräume, Morphismen = $K$-lineare Abbildungen
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\item $\cR = $ Kategorie der Ringe
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\item $\cR_1 = $ Kategorie der Ringe mit Einselement.
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\item $\Lambda = $ Ring $\ni 1$ (oder Algebra), $\lsub{A}{\Mod}$ und $\Mod_A$ sind Kategorien
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\item $(M, \leq)$ geordnete Menge: Bilde Kategorie $\cM$ mit \begin{enumerate}[a)]
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\item $\Obj(cM) = M$ (also ist $cM$ "`klein"', d.h. $\Obj(cM)$ ist eine Menge)
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\item $m, n \in M$ bestehe aus $cM(m, n)$ aus genau einem Element wenn $m \leq n$, sonst sei $\cM(m, n) = \emptyset$
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\end{enumerate}
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\item $L = $ Ring $\ni 1$, $\cL =$ Kategorie mit $\Obj(\cL) = \set{L}, \cL(L, L) = L, (a,b) \mapsto ab \in L$
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\item Sei $A = $ Algebra $\ni 1$, bilde Kategorie der Kettenkomplexe $\cK(A), \Obj(\cK(A))$ bstehen aus Komplexen
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$M_1 \mathop{\to}\limits^{f_1} M_2 \mathop{\to}\limits^{f_2} M_3 \to \ldots \to M_i \to \ldots$
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aus $A$-Moduln $M_i \in \lsub{A}{\Mod} (i \in \N)$ und $A$-Modulhomomorphismen $f_i : M_i \to M_{i+1}$ so, dass $f_{i+1} f_i = 0$ ist, d.h. $\im f_i \subseteq \ker f_{i+1}$ \\
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Morphismen von: \\
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\begin{diagram}
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M_1 & \rTo^{f_1} & M_2 & \rTo & M_3 & \rTo \ldots \\
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\dTo^{\alpha_1} & & \dTo^{\alpha_2} & & \dTo^{\alpha_3} & \ldots \\
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N_1 & \rTo^{g_1} & N_2 & \rTo & N_3 & \rTo \ldots \\
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\end{diagram}
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sind Folgen von $A$-Modulhomomorphismen $(\alpha_1, \alpha_2, \ldots)$ so, dass alle Diagramme kommutieren, i.e. $\alpha_{i+1} f_i = g_i \alpha_i$
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\item $\cT_h = $ Kategorie der topologischen Räume, mit Morphishmen = Homotopieklassen stetiger Abbildungen
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\end{enumerate}
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Definition: $\cC = $ Kategorie, $A, B \in \Obj(\cC)$, $f: A \to B$ Morphismus. $f$ heißt invertierbar (Isomorphismus), falls es ein $g : B \to A$ gibt mit $gf = 1_B$ und $fg = 1_A$. \\
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Notation: $g = f^{-1}$ \\
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Klar: $f^{-1}$ ist eindeutig bestimmt, $f, g$ invertierbar $\Rightarrow (f \circ g) $ invertierbar und $(f \circ g)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$ \\
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$A \cong B$ falls ein Isomorphismus $f : A \to B$ existiert.
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Definition: $\cC$ Kategorie. Eine Teilklasse $\Obj(\cU)$ von $\Obj(\cC)$ mit Morphishmenmengen $\cU(A, B) \subseteq \cC(A, B)$ für $A, B \in \Obj(\cU) \subseteq \Obj(\cC)$ heißt
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Unterkategorie, falls $1_a \in \cU(A, A) \forall A \in \Obj(\cU)$, und $fg \in \cU(A, C) \forall f \in \cU(A, B), g \in \cU(B, C)$. \\
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$\cU$ heißte volle Unterkategorie falls $\cU(A, B) = \cC(A, B) \forall A, B \in \Obj(\cU)$
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Beispiel:
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\begin{enumerate}[i)]
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\item Die Kategorie der $\lsub{A}{\underline{\Mod}}$ ist volle Unterkategorie von $\lsub{A}{\Mod}$.
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\item Sei $\cC$ Kategorie. Isomorph zu sein ist Äquivalenzrelation auf $\Obj(\cC)$. \\
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Wähle aus jeder Äquivalenzklasse genau ein Objekt aus. \\
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$\cS(\cC) = $ volle Unterkategorie von $\cC$ mit $\Obj(\cS)$ = Vertreter von Isomorphieklassen von $\Obj(\cC)$
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("`Skelett von $\cC$"') \\
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Oft $\cS(\cC)$ ist kleine Kategorie, etwa für $\cC = \lsub{A}{\Mod}$
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\item $\cR_1$ ist keine volle Unterkategorie von $\cR$.
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\end{enumerate}
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\section{Funktoren}
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Funktoren = "`Morphishmen von Kategorien"'
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Definition: Seien $\cC, \cD$ Kategorien. Ein kovarianter Funktor $F: \cC \to \cD$ besteht aus einer Abbildung $F: \Obj(\cC) \to \Obj(\cD)$ zusammen mit Abbildungen
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$F_{x,y} : \cC(X, Y) \to \cD(F(X), F(Y))$ für alle $X, Y \in \Obj(\cC)$ so dass gilt:
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\begin{enumerate}[F1:]
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\item $\forall X \in \Obj(\cC): F_{X,X}(1_X) = 1_{F(X)}$
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\item für $f \in \cC(A, B), g \in \cC(B, C)$ ist $F_{A,C}(fg) = F_{A,B}(f) F_{B,C}(g)$.
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\end{enumerate}
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Beispiele:
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\begin{enumerate}
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\item Vergissfunktoren: \\
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$V: Ab \to \cS: $ abelsche Gruppe $\mapsto$ Menge, Homomorphismus $\mapsto$ Abbildung. \\
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$V: V_K \to Ab:$
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$K$-Algebra $A, V: \lsub{A}{\Mod} \to V_K$
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\item Die Einbettung einer Unterkategorie $U$ von $\cC$ in $\cC$ ist Funktor.
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\item Die Identität $1: \cC \to \cC$ ist Funktor.
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\item $A: G \to Ab: G \mapsto G/G', G' = [G, G]$ ($f: G \to H$ Gruppenhomomorphismus $\Rightarrow f(G') \subseteq H' \Rightarrow \exists A(f) = \hat{f}: G/G' \to H/H': gG' \mapsto f(g)H'$). $A$ = Abelisierungsfunktor.
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\item Sei $M$ Mene, $\cF(M) = $ freie abelsche Gruppe mit Basis $M$.
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\begin{diagram}
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M & \rInto^{i_M} & \cF(M) \\
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\dTo^f & \rdTo^{i_N \circ f} & \dTo_{\exists! \widehat{i_N \circ f}} \\
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N & \rInto^{i_N} & \cF(N)
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\end{diagram}
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mit $\widehat{i_N \circ f} \circ i_M = i \circ f$ (universelle Eigenschaft von $\cF(M)$). \\
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$\cF(f) = \widehat{i_N \circ f}$ \\
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$\cF: \cS(M, N) \to Ab(\cF(M), \cF(N))$ \\
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Analog: $\cF: \cS \to V_K = $ Kategorie der $K$-Vektorräume ($K$ = Körper); $\cF$ ist Funktor von $\cS$ in $Ab$ (bzw. $V_K$)
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\item "`$\Hom$-Funktor"': $\cC = \lsub{A}{\Mod}$ ($A = $ Ring, $K$-Algebra, $\Lambda$-Algebra). Sei $M \in \lsub{A}{\Mod}$ fest gewählt, $X \in \lsub{A}{\Mod}$ beliebig.
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Dann ist $\Hom_A(M, X)$ abelsche Gruppe ($K$-Vektorraum, $\Lambda$-Modul) und $\Hom_A(M, -): \lsub{A}{\Mod} \to Ab(V_K, \lsub{\Lambda}{\Mod}): X \mapsto \Hom_A(M, X)$ ist Abbildung. \\
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Seien $X, Y \in \lsub{A}{\Mod}, f: X \to Y$ sei $A$-linear. Dann wird durch $\Hom_A(M, f): \Hom_A(M, X) \to \Hom_A(M, Y): h \mapsto f \circ h$ (Homomorphismus von abelschen Gruppen ($K$-VR, $\Lambda$-Moduln)) \\
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$G := \Hom_A(M, -)$ ist wirklich Funktor! Denn:
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\begin{enumerate}[i)]
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\item $G(\id_X) = \id_{G(X)}$ ($\Hom_A(M, \id_X) = \id_{\Hom_A(M, X)}$)
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\item Seien $f: X \to Y, g: Y \to Z$ $A$-linear. Zu zeigen: $G(g \circ f) = G(g) \circ G(f)$. \\
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Also $\forall h \in G(X): G(g \circ f)(h) = (g \circ f) \circ h = g \circ (f \circ h) = g \circ (G(f)(h)) = G(g)(G(f)(h)) = (G(g) \circ G(f))(h)$
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\end{enumerate}
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Also ist $\Hom_A(M, -)$ Funktor von $\lsub{A}{\Mod}$ nach $Ab (V_K, \lsub{\Lambda}{\Mod})$
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\end{enumerate}
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Lemma: Seien $\cC_1, \cC_2, \cC_3$ Kategorien. $F: \cC_1 \to \cC_2, G: \cC_2 \to \cC_3$ Funktoren. Dann wird durch
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$$G \circ F: \cC_1 \to \cC_3: X \mapsto G(F(X)), f \mapsto G(F(f)) ~~~ \forall X, Y \in \Obj(\cC_1), f \in \cC_1(X, Y)$$
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ein Funktor von $\cC_1$ nach $\cC_3$ definiert. \\
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Beweis: einfach
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Definition: $\cC, \cD$ Kategorien. Ein Funktor $F: \cC \to \cD$ heißt \underline{Isomorphismus}, falls es einen Funktor $G$ von $\cD \to \cC$ gibt mit $G \circ F = \id_{\cC}$ und $F \circ G = \id_{\cD}$. \\
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Also: $X \in \cC$, so ist $G(F(X)) = X$ usw.
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Allgemeine $\Hom$-Funktion: \\
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$\cC:$ Kategorie, $M \in \Obj(C)$ \\
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$\cC(M, -): \cC \to \cS: X \mapsto \cC(M, X), f \mapsto f \circ ? ~~ (f: X \to Y)$ ist (w.o.) Funktor \\
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$\cC(-, M): \cC \to \cS: X \mapsto \cC(X, M), f \mapsto ? \circ f ~~ (f: X \to Y)$ \\
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Es gilt $\cC(f \circ g, M) = \cC(g, M) \circ \cC(f, M)$.
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Ein kontravarianter Funktor von $\cC \to \cD$ ist eine Abbildung $F: \Obj(\cC) \to \Obj(\cD)$ und $F_{X,Y}: \cC(X, Y) \to \cD(F(Y), F(X))$ mit
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\begin{enumerate}
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\item $F(\id_X) = \id_{F(X)}, X \in \Obj(\cC)$
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\item $F(f \circ g) = F(g) \circ F(f), f, g$ Morphismen von $\cC$.
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\end{enumerate}
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Klar: $G, F$ kontravariante Funktoren, so ist $ \circ F$ kovarianter Funktor.
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Definition: Sei $\cC$ Kategorie. Dann wird die "`opposite"' Kategorie $\cC^{\opp}$ wie folgt definiert: \\
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$\Obj(\cC^{\opp}) = \Obj(\cC); \cC^{\opp}(X, Y) = \cC(Y, X), ~~~ X, Y \in \Obj(\cC)$ \\
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$\id: \cC \to \cC^{\opp}$ ist kontravarianter Funktor.
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$F: \cC \to \cD$ Funktor kovariant $\rightarrow F: \cC \to \cD^{\opp}$ kontravariant.
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Beispiele:
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\begin{enumerate}
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\item Sei $\mu: B \to C$ ein Morphismus in der Kategorie $\cC$. Dann heißt $\mu$ \underline{Monomorphismus} $\Leftrightarrow \forall \alpha, \beta: A \to C$ Morphismen in $\cC: (\mu \alpha = \mu \beta \Rightarrow \alpha = \beta)$ \\
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$\mu: C \to B, \alpha, \beta: B \to A: \alpha \mu = \beta \mu \Rightarrow \alpha = \beta$ heißt analog Epimorphismus.
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Vorsicht: In $\cR_1$ ist $\Z \rInto \Q$ ein Epimorphismus.
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In $\lsub{A}{\Mod}$ gilt: $\alpha$ ist Epimorphismus $\Leftrightarrow \alpha $ surjektiv, Monomorphismus $\Leftrightarrow \alpha$ injektiv. \\
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Klar: Ein Isomorphismus ist auch Epimorphismus und Monomorphismus.
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\item Ein $0$-Objekt einer Kategorie $\cC$ ist ein Object $O \in \Obj(\cC)$ so dass gilt:
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\begin{enumerate}
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\item $\abs{\cC(O, X)} = 1 \forall X \in \Obj(\cC)$ ($\cC(O, O) = \set{\id_O}$, initiales Objekt)
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\item $\abs{cC(X, O)} = 1 \forall X \in \Obj(\cC)$ (finales Objekt)
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\end{enumerate}
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Eindeutig bis auf Isomorphie. \\
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$\cC(0, X) = \set{0} = \set{0_{0, X}}, \cC(X, 0) = \set{0} = \set{0_{X,0}}$ \\
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$0_{0, Y} \circ 0_{X, 0}: X \to Y$ heißt $0$-Morphismus ($O_{X,Y}$)
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Sei $\cC$ Kategorie mit $0$-Objekt $O$. Sei $\varphi: A \to B$ Morphismus in $\cC$.
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Wir definieren den Kern wie folgt: \\
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$\ker \varphi$ ist ein Morphismus $\mu: K \to A$ so dass gilt:
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\begin{enumerate}
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\item $\varphi \mu = 0$
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\item Ist $\varphi \psi = 0$ für einen Morphismus $\psi$ von $X$ nach $A$, so existiert $\psi': X \to K$ mit $\mu \psi' = \psi$
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\end{enumerate}
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Dualisieren ergibt Kokern $\chi = \coker \varphi$ ($\varphi: A \to B$), $\chi: B \to C, \chi \varphi = 0$ ($\cC \lsub{R}{\Mod}, \coker \varphi = B / \im \varphi)$ \\
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$ \forall \rho: B \to C, \rho \varphi = 0: \exists \rho': \rho' \chi = \rho$.
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\end{enumerate}
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\section{Natürliche Transformationen}
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Definition: Seien $\cC, \cD$ Kategorien und $F, G$ Funktoren von $\cC$ nach $\cD$. Eine natürliche Transformation von $F$ nach $G$ ist eine Familie $(t_X)_{X \in \Obj(\cC)}$
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von Morphismen $t_X: F(X) \to G(X)$, so dass das folgende Diagramm für jeden Morphismus $f: X \to Y$ in $\cC$ kommutiert ($G(f)t_X = t_YF(f)$):
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\begin{diagram}
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F(X) & \rTo^{t_X} & G(X)\\
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\dTo^{F(f)} & ~~~~~~~~~ & \dTo_{G(f)} \\
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F(Y) & \rTo^{t_Y} & G(Y)
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\end{diagram}
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Wir schreiben kurz: $t: F \to G$ und nennen $t$ auch "`Morphismus vn $F$ nach $G$"'.
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$F, G, H$ Funktoren von $\cC \to \cD, t: F \to G, u: G \to $ natürliche Transformationen, so wird durch $(u \circ t)_X = u_X \circ t_X$ eine natürliche Transformation $u \circ t: F \to H$ definiert.
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\begin{diagram}
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F(X) & \rTo^{t_X} & G(X) & \rTo^{u_X} & H(X) \\
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\dTo^{F(f)} & ~~~~~~~~~ & \dTo_{G(f)} & ~~~~~~~~~ & \dTo_{H(f)} \\
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F(Y) & \rTo^{t_Y} & G(Y) & \rTo^{u_Y} & H(Y)
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\end{diagram}
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Klar: $\id_F = (\id_{F(X)})_{X \in \Obj(\cC)}$ ist natürliche Transformation. \\
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Und: $u \circ (t \circ s) = (u \circ t) \circ s$
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"`Kategorie"' der Funktoren von $\cC$ nach $\cD$: \\
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Sind $\cC$ und $\cD$ kleine Kategorien, so funktioniert das.
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Sind alle $t_X (X \in \Obj(\cC))$ Isomorphismen, so heißt $t$ "`natürliche Äquivalenz"' und wir schreiben $F \cong G$. \\
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Klar: Dann wird durch $t^{-1} = (t_X^{-1})_{X \in \Obj(\cC)}$ ein Morphismus $t^{-1}: G \to F$ definiert mit $t t^{-1} = \id_G, t^{-1} t = \id_F$.
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Definition: Seien $\cC, \cD$ Kategorien. Dann heißen $\cC$ und $\cD$ \underline{äquivalent}, falls es Funktoren $F: \cC \to \cD, G: \cD \to \cC$ gibt mit:
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$G \circ F \cong \id_{\cC}, F \circ G \cong \id_{\cD}$ \\
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Das heißt: Für $X, Y \in \cC, f : X \to Y$ gilt:
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\begin{diagram}
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GF(X) & \rTo^{t_X}_{\tilde{}} & X \\
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\dTo^{GF(f)} & & \dTo_{f} \\
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GF(Y) & \rTo^{t_Y}_{\tilde{}} & Y
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\end{diagram}
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$ \forall X \in \Obj(\cC) \exists$ Isomorphismus $t_X: GF(X) \to X$ so dass $\forall f: X \to Y$ Morphismus in $\cC$ gilt: $f t_X = t_Y GF(f)$ (analog für $FG$) \\
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Wir schreiben $\cC \cong \cD$
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Beispiele:
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\begin{enumerate}
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\item Sei $\cC_0$ Skelett von $\cC, F: \cC_0 \rInto \cC$ natürliche Einbettung, $G: \cC \to \cC_0: X \rTo^{\varphi_X}_{\tilde{}} Y \in \cC_0$, wobei $Y$ das eindeutig bestimmte Objekt von $\cC_0$ isomorph zu $X$ ist,
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und für $f: X_1 \to X_2$ sei $Gf = \varphi_{X_1} f \varphi^{-1}_{X_2} (\varphi_{X_1}(X_1) = Y_1, \varphi_{X_2}(X_2) = Y_2$ \\
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$\cC \cong \cC_0$
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\item $K$ Körper, $\cV_K$ Kategorie der endlich dimensionalen Vektorräume über $K = \lsub{K}{\underline{\Mod}}$.
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Für $V \in \lsub{K}{\underline{\Mod}}$ sei: \\
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$\iota_V: V \to V^{\ast \ast}: v \mapsto \lambda \alpha . \alpha(v)$
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\begin{diagram}
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V & \rTo^{\iota_V} & V^{\ast \ast} \\
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\dTo^{f} & & \dTo_{f^{\ast \ast}} \\
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W & \rTo^{\iota_W} & W^{\ast \ast}
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\end{diagram}
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${}^{\ast \ast}$ ist Funktor von $\lsub{K}{\underline{\Mod}}$ nach $\lsub{K}{\underline{\Mod}}$. \\
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$(\iota_V)_{V \in \lsub{K}{\underline{\Mod}}}$ ist natürliche Transformation von $\id_V$ nach ${}^{\ast \ast}$ \\
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$f^{\ast \ast} \iota_V(v) = f^{\ast \ast} (\lambda \alpha. \alpha(v)) = f^{\ast} (v) = \lambda \beta . \beta(f(v))$
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\end{enumerate}
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Satz: (Yoneda Lemma) Sei $F: \cC \to \cS$ Funktor, $A \in \Obj(\cC)$ und $\tau: \cC(A, -) \to F$ natürliche Transformation. \\
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Dann wird durch $\tau \mapsto \tau_A(1_A)$ eine Bijektion zwischen der Klasse $[\C(A, -), F]$ der natürlichen Transformationen von $\cC(A, -)$ nach $F$ und der Menge $F(A)$ definiert.
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Insbesondere ist $[\cC(A, -), F]$ Menge. \\
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Beweis: Sei $\varphi: A \to B$ Morphismus in $\cC$: ($\varphi_{\ast} := \cC(A, \varphi) = \lambda \alpha . \varphi \circ \alpha$)
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\begin{diagram}
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\cC(A, A) & \rTo^{\tau_A} & FA \\
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\dTo^{\varphi_{\ast}} & & \dTo_{F(\varphi)} \\
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\cC(A, B) & \rTo{\tau_B} & FB
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\end{diagram}
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ist kommutativ, da $\tau$ natürliche Transformation ist. Also ist $\tau_B(\varphi_{\ast}(1_A)) = \tau_B(\varphi \circ 1_A) = \tau_B(\varphi) = (F(\varphi))(\tau_A(1_A))$. Also ist
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$\tau_B$ vollständig durch $\tau_A(1_A)$ bestimmt. \\
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Dies zeigt, dass die Zuordnung $\tau \mapsto \tau_A(1_A) \in F(A)$ injektiv ist. \\
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($\tau_A(1_A) = \tilde{\tau}_A(1_A) \Rightarrow \tau_B(\varphi) = \tilde{\tau}_B(\varphi) \forall B \Rightarrow \tau = \tilde{\tau}$)
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Sei $\kappa \in F(A)$. Wir definieren $\tau_B(\varphi) = (F\varphi)(\kappa)$ \\
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Wir zeigen: $\tau = (\tau_B)_{B \in \Obj(\cC)}$ ist natürliche Transformation von $\cC(A, -)$ nach $F$ mit $\tau_A(1_A) = \kappa$:
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\begin{diagram}
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\cC(A, B_1) & \rTo^{\tau_{B_1}} & FB_1 \\
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\dTo^{\theta_{\ast}} & & \dTo_{F \theta} \\
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\cC(A, B_2) & \rTo^{\tau_{B_2}} & FB_2
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\end{diagram}
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$\theta: B_1 \to B_2$ in $\cC, \theta_{\ast}(\mu) = \theta \circ \mu : A \to B_2$ \\
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Sei $\varphi: A \to B_1$ in $\cC$. Dann gilt: $\tau_{B_2} \theta_{\ast}(\varphi) = \tau_{B_2} (\theta \circ \varphi) = F(\theta \varphi)(\kappa) = F(\theta)F(\varphi)(\kappa) = F(\theta)(\tau_{B_1}(\varphi))$. \\
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Also ist $\tau_{\kappa} := \tau$ natürliche Transformation. \\
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Klar ist: $(\tau_{\kappa})_A(1_A) = F(1_A)(\kappa) = 1_{F_A}(\kappa) = \kappa$ \\
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Also sind $\tau \mapsto \tau_A(1_A)$ und $\kappa \mapsto \tau_K$ invers zueinander. \qed
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Korrolar (Spezialfall): $A, A' \in \Obj(\cC), F = \cC(A', -)$. \\
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Dann ist $\cC(A', A) = F(A) \cong [ \cC(A, -), \cC(A', -) ]$, der Isomorphismus ist gegeben durch \\
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$\psi \mapsto \psi^{\ast} $ (für $\psi: A' \to A$ ist $\psi^{\ast} : \cC(A, -) \to \cC(A', -), \psi^{\ast}(\varphi) = \varphi \circ \psi$) \\
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Beweis: $[\cC(A, -), F] \cong F(A), \kappa = \psi, \tau_B(\varphi) = (F(\varphi))(\psi) = \cC(A', \varphi)(\psi) = \varphi \circ \psi = \psi^{\ast}(\varphi)$ \qed
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Satz: Sei $A, A', A'' \in \Obj(\cC), \tau: \cC(A, -) \to \cC(A', -), \tau': \cC(A', -) \to \cC(A'', -)$ natürliche Transformationen. \\
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Ist $\tau \mapsto \psi \in \cC(A', A)$ und $\tau' \mapsto \psi' \in \cC(A'', A')$ unter der Yoneda Abbildung, so ist $\tau' \tau \mapsto \psi \psi' \in \cC(A'', A)$ unter der Yoneda Abbilddung.
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Insbesondere ist $\tau$ natürliche Äquivalenz $\Leftrightarrow \psi \in \cC(A', A)$ Isomorphismus ist.
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\section{Adjungierte Funktoren}
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Seien $\cC, \cD$ Kategorien, $F: \cC \to \cD, G: \cD \to \cC$ Funktoren. \\
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$\cF = \cD(-, -) \circ (F \times \id_{\cD}): \cC^{\opp} \times D \to \cS: (X, Y) \mapsto \cD(F(X), Y)$ \\
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$\cG = \cC(-, -) \circ (\id_{\cC} \times G): \cC^{\opp} \times D \to \cS: (X, Y) \mapsto \cC(X, G(Y))$ sind Bifunktoren.
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Auf Abbildungen $f: X_1 \to X_2$ in $\cC, g: Y_1 \to Y_2$ in $\cD$: $\cF(f, g) = \cD(Ff, g) : \cD(F X_2, Y_1) \to \cD(F X_1, Y_2), \cD(Ff, g)(h) = g h F(f)$
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Definition: $F$ heißt linksadjungiert zu $G$ und $G$ rechtsadjungiert zu $F$, falls es eine natürliche Äquivalenz $\eta = (\eta_{X, Y})_{X \in \cC, Y \in \cD}$ von $\cF$ nach $\cG$ gibt.
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\underline{Klartext} \\
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$X \in \Obj(\cC), Y \in \Obj(\cD)$. Dann ist $\eta_{X,y}$ eine Bijektion zwischen $\cD(FX, Y)$ und $\cC(X, GY)$ \\
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"`Natürlichkeit"' von $\eta = (\eta_{X,Y})_{X,Y}$: Sind $X_1, X_2 \in \Obj(\cC), Y_1, Y_2 \in \Obj(\cD), f: X_1 \to X_2$ in $\cC, g: Y_1 \to Y_2$ in $\cD$, so ist die folgenden Diagramme kommutativ:
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\begin{diagram}
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\cD(FX_1, Y_1) & \rTo^{\eta_{X_1, Y_1}~~} & \cC(X_1, GY_1) \\
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\uTo^{Ff^{\ast}} & & \uTo_{f^{\ast}} \\
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\cD(FX_2, Y_1) & \rTo^{\eta_{X_2, Y_1}~~} & \cC(X_2, GY_1) \\
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\end{diagram}
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\begin{diagram}
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\cD(FX_1, Y_1) & \rTo^{\eta_{X_1, Y_1}~~} & \cC(X_1, GY_1) \\
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\dTo^{g_{\ast}} & & \dTo_{(G(g))_{\ast}} \\
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\cD(FX_1, Y_2) & \rTo^{\eta_{X_1, Y_2}~~} & \cC(X_1, GY_2) \\
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\end{diagram}
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In einem Diagram:
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\begin{diagram}
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\cD(FX_2, Y_1) & \rTo^{\eta_{X_2, Y_1}~~} & \cC(X_2, GY_1) \\
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\dTo^{\cD(Ff,g)} & & \dTo_{\cC(f, Gg)} \\
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\cD(FX_1, Y_2) & \rTo^{\eta_{X_1, Y_2}~~} & \cC(X_1, GY_2) \\
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\end{diagram}
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so: $\eta(g \circ h \circ Ff) = Gg \circ \eta(h) \circ f$
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Beispiel: $A, B$ $\Lambda$-Algebren, $\lsub{A}{L} \in \lsub{A}{\Mod}, \lsub{B}{M}_A \in \lsub{B}{\Mod}_A, \lsub{B}{N} \in \lsub{B}{\Mod}$ \\
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$F: \lsub{A}{\Mod} \to \lsub{B}{\Mod}: L \mapsto \lsub{B}{M} \otimes_A L$ \\
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$G: \lsub{B}{\Mod} \to \lsub{A}{\Mod}: \lsub{B}{N} \mapsto \Hom_B(\lsub{B}{M}_A, \lsub{B}{N})$ \\
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$(G = \Hom_B(M, -), F = \lsub{B}{M} \otimes_A -)$ \\
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$F$ ist linksadjungiert zu $G$ ("`Tensorfunktor ist linksadjungiert zum Homfunktor"')
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$\tau_{L,N}: \Hom_A(L, \Hom_B(M, N)) \mathop{\to}\limits_{\tilde{}} \Hom_B(M \otimes_A L, N), \tau = (\tau_{L,N})$
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Sei $f: L \to \Hom_B(M, N)$ gegeben: $f: l \mapsto f_l, f_l: M \to N$ $B$-linear. \\
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$\tau$ ist gegeben durch: $\tau f (m \otimes l) = f_l(m)$ \\
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Definiere $\hat{\tau f}(M \times L) \to N$ durch $\hat{\tau f}(m, l) = f_l(m)$ \\
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\begin{enumerate}[1)]
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\item $\hat{\tau f}$ ist bilinear und $A$-balanced, denn: \\
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$\hat{\tau f}(m_1 + m_2, l) = f_l(m_1 + m_2) = f_l(m_1) + f_l(m_2) = \hat{\tau f}(m_1, l) + \hat{\tau f}(m_2, L)$ \\
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$\hat{\tau f}(m, l_1 + l_2) = f_{l_1+l_2}(m) = (f_{l_1} + f_{l_2})(m) = f_{l_1}(m) + f_{l_2}(m) = \hat{\tau f}(m, l_1) + \hat{\tau f}(m, l_2)$ \\
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$\hat{\tau f}(m \cdot a, l) = f_l(ma) = (af_l)(m) = f_{al}(m) = \hat{\tau f}(m, al)$ \\
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Also ist $\tau f \in \Hom(M \otimes_A L, N)$ (univ. Eigenschaft von Tensorprodukten)
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\item $\tau f$ ist $B$-linear: \\
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$(\tau f)(b (m \otimes l)) = f_l(bm) = b f_l(m) = b \cdot \tau f(m \otimes l)$ \\
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Also ist $\tau f \in \Hom_B(M \otimes_A L, N)$
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\item $\tau$ ist Homomorphismus von abelschen Gruppen: \\
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$\tau(f_1 + f_2)(m \otimes l) = ((f_1 + f_2)(l))(m) = (f_1(l) + f_2(l))(m) = f_1(l)(m) + f_2(l)(m) = \tau(f_1)(m \otimes l) = \tau(f_2)(m \otimes l)$
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\item Definiere $\lambda: \Hom_B(M \otimes_A L, N) \to \Hom_A(L, \Hom_B(M, N))$ durch: \\
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Sei $g: M \otimes_A L \to N$ $B$-linear: \\
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$((\lambda g)(l))(m) = g(m \otimes l)$ wohldefinierte Abbildung. offensichtlich ist $(\lambda g)(l) \in \Hom_B(M, N)$ und $\lambda g \in \Hom_A(L, \Hom_B(M, N))$: \\
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$(\lambda g)(l_1 + l_2)(m) = g(m \otimes (l_1 + l_2)) = g(m \otimes l_1 + m \otimes l_2) = g(m \otimes l_1) + g(m \otimes l_2) = (\lambda g)(l_1)(m) + (\lambda g)(l_2)(m)$ \\
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$(\lambda g)(al)(m) = g(m \otimes (al)) = g(ma \otimes l) = (\lambda g)(l)(ma) = (a \cdot (\lambda g)(l))(m)$ \\
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$\lambda$ ist Homomorphismus von ableschen Gruppen: \\
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$(\lambda (g_1 + g_2))(l)(m) = (g_1 + g_2)(m \otimes l) = g_1(m \otimes l) + g_2(m \otimes l) = \lambda g_1 (l)(m) + \lambda g_2 (l)(m) = (\lambda g_1 + \lambda g_2)(l)(m)$
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\item $\tau \circ \lambda = \id$, denn: Sei $g \in \Hom_B(M \otimes_A L, N)$ \\
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$(\tau (\lambda (g)))(m \otimes l) = (\lambda(g)(l))(m) = g(m \otimes l) \Rightarrow (\tau \circ \lambda)(g) = g$
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\item $\lambda \circ \tau = \id$, denn: Sei $f \in L \to \Hom_B(M, N)$ $A$-linear. \\
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$(\lambda (\tau (f)))(l)(m) = (\tau f)(m \otimes l) = f(l)(m) \Rightarrow (\lambda \circ \tau)(f) = f$.
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Also ist $\tau$ ein Isomorphismus abelscher Gruppen.
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\item Natürlichkeit: $i \in \set{1,2}, L_i \in \lsub{A}{\Mod}, N_i \in \lsub{B}{\Mod}, f: L_1 \to L_2$ $A$-linear, $g: N_1 \to N_2$ $B$-linear.
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\begin{diagram}
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\Hom_A(L_2, \Hom_B(M, N_1)) & \rTo^{\tau} & \Hom_B(M \otimes_A L_2, N_1) \\
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\dTo^{\Hom_A(f, \Hom_B(M, g))} & ~~~~~~~~~~~~ & \dTo_{\Hom_B(\id_M \otimes f, g)} \\
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\Hom_A(L_1, \Hom_B(M, N_2)) & \rTo^{\tau} & \Hom_B(M \otimes_A L_1, N_2) \\
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\end{diagram}
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ist kommutativ, da: Sei $h \in \Hom_A(L_2, \Hom_B(M, N_1))$ \\
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$\tau( \Hom_A(f, \Hom_B(M, g))(h) )(m \otimes l) = (\Hom_A(f, \Hom_B(M, g))(h))(l)(m) = (g \circ h \circ f)(l)(m)$ \\
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$ (\Hom_B(\id_M \otimes f, g)(\tau h))(m \otimes l) = (g \circ (\tau h) \circ (\id_M \otimes f))(m \otimes l) = (g \circ \tau h)( (\id_M \otimes f)(m \otimes l) )
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= (g \circ \tau h)(m \otimes f(l)) = g (h(f(l))(m)) = (g \circ h \circ f)(l)(m)$ \qed
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\end{enumerate}
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% Sei $B \subseteq A$ Unterring, $A$ als $\lsub{B}{A}_A$ Modul, $L \in \lsub{A}{\Mod}, \lsub{B}{A}_A \otimes_A L = Res_B^A(L), N \in \lsub{B}{\Mod}, \lsub{A}{A} \otimes_B N = Ind_B^A(N)$ \\
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% $\Hom_A(Ind_B^A(N), L) \cong \Hom_B(N, Res_B^A(L))$
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Spezialfall: $A \subseteq B$ Ringe (Algebren), $\lsub{B}{M}_A = \lsub{B}{B}_A \Rightarrow \lsub{B}{M}_A \otimes - = \Ind_A^B$ \\
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$\Hom_B(\lsub{B}{B}_A, -)$ ist der Restriktionsfunktor $\Res_A^B$, denn für $N \in \lsub{B}{\Mod}$ ist $\Hom_B(\lsub{B}{B}_A, N) \cong N$ als $A$-Modul (natürliche Transformation $\Hom_B(B, -) \to \Res_A^B$
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durch $\Hom_B(\lsub{B}{B}_A, N) \ni f \mapsto f(1) \in N$ $(f+g)(1) = f(1) + g(1), (af)(1) = f(a) = a \cdot f(1)$ \\
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$N \ni n \mapsto h_n, h_n(b) = b \cdot n$ \\
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$h_{f(1)}(b) = b \cdot f(1) = f(b) \Rightarrow h_{f(1)} = f$ und $h_n(1) = 1 \cdot n = n$, damit sind diese Abbildungen invers zueinander und damit bijektiv. \\
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Natürlichkeit: $N_1, N_2 \in \lsub{B}{\Mod}, \alpha: N_1 \to N_2$ $B$-linear, $\epsilon_i(f) = f(1)$
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\begin{diagram}
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\Hom_B(B, N_1) & \rTo^{\epsilon_1} & N_1 \\
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\dTo^{\alpha_{\ast}} & ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ & \dTo_{\alpha} \\
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\Hom_B(B, N_2) & \rTo^{\epsilon_2} & N_2 \\
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\end{diagram}
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kommutiert, da $\epsilon_2 \alpha_{\ast}(f) = \epsilon_2 (\alpha \circ f) = \alpha \circ f(1) = \alpha(f(1)) = (\alpha \circ \epsilon_1)(f)$
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Satz: Seien $A \subseteq B$ Ringe (mit derselben $1$). Dann ist $\Ind_A^B$ linksadjungiert zur $\Res_A^B$, d.h. für $L \in \lsub{A}{\Mod}, B \in \lsub{B}{\Mod}$ gibt es einen natürlichen Isomorphismus (von abelschen Gruppen, $A$-Moduln, ...)
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$$ \Hom_B(B \otimes_A L, N) \longrightarrow \Hom_A(L, \Res_A^B N) $$
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Ein Homomorphismus $f: B \otimes_A L \to N$ ist vollständig durch die Bilder $f(1_B \otimes l)$ für $l \in L$ bestimmt.
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Gruppen: $H \leq G, K$ Körper, $M \in \lsub{KH}{\Mod}$. \\
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$\Ind_H^G(H) = KG \otimes_H M = \bigoplus\limits_{g \in G \without H} (g \otimes_H) M$ \\
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$f: \Ind_H^G(M) \to N, f_{\mid_{1\otimes_H M}}$
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$\Res_H^G \Ind_H^G M = \bigoplus\limits_{d \in H \\without G / H} \Ind_{H \cap \lsup{d}{H}}^H \Res_{H \cap \lsup{d}{H}}^H M$ \\
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$\End_{KG}(\Ind_H^G(M)) = \Hom_{KG}(\Ind_H^G M, \Ind_H^G M) \cong \Hom_{KH}(M, \Res_H^G \Ind_H^G M) $ \\
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$= \bigoplus\limits_{d \in H \\without G / H} \Hom_{KH}(M, \Ind \Res M)
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= \bigoplus\limits_d \Hom_{K(H \cap \lsup{d}{H})}(\Res_{H \cap \lsup{d}{H}}^H, \Res_{H \cap \lsup{d}{H}}^H)$
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\end{document}
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