Sei $\varphi: G \times H \to A$, $G, H, A$ Gruppen, $\varphi_{\mid_{G \times\set{1_H}}}$ und $\varphi_{\mid_{\set{1_G}\times H}}$ jeweils ein Gruppenhomomorphismus, $i: (g,h)\mapsto gh$: \\
$ T \leq S \leq\F X \Rightarrow U := < \lsup{\F X}T > \leq < \lsup{\F X}S > =: V $\\
$\mathop{\Longrightarrow}{\text{1. Iso Satz}}\exists\text{ Epimorphismus }\F X / U \twoheadrightarrow\F X / v $
\item Die endlichen einfachenGruppen sind (durchweg?) von 2 Elementen erzeugt.
\item Sei $G$ Gruppe. Wähle $X = G$, nach universeller Eigenschat $\exists!$ Epimorphismus $\F G \twoheadrightarrow G$ mit Kern $N \Rightarrow G =\F G / N$
Betrachte $H, N \leq G, N \trianglelefteq G \Rightarrow HN = NH, HN \leq G$\\
Sei zusätzlich $HN = G, H \cap N =\set{1}$\\
Sei $n \in N$. Wegen $nHn^{-1}= H$ ist $c_n: H \rightarrow H: h \mapsto\lsup n h = n h n^{-1}$ ein Automorphismus von $H$. \\
$n \mapsto c_n$ ist Gruppenhomomorphismus $N \rightarrow\Aut(H)$.
~
\begin{satz}
Sei $g \in G, c_g: G \rightarrow G: h \mapsto\lsup g h$ Automorphismus von G. Die Menge $\Inn(G) :=\set{ c_g \mid g \in G}\subseteq\Aut(G)$ ist Normalteiler von $\Aut(G)$. \\
$\Out(G) :=\Aut(G)/\Inn(G)$ (Gruppe der äußeren Automorphismen von G) \\
Die Abbildung $c: G \rightarrow Aut(G): g \mapsto c_g$ ist Gruppenhomomorphismus mit Bild $\Inn(G)$ (klar) und $\ker c = Z(G) :=\set{g \in G \mid gh = hg \forall h \in G}$\\
Also ist $G / Z(G)\cong\Inn(G)$
\end{satz}
\begin{bew}
Sei $g, h_1, h_2\in G$\\
$c_g(h_1 h_2)= g h_1 h_2 g^{-1}= g h_1 g^{-1} g h_2 g^{-1}= c_g(h_1) c_g(h_2)$\\
$c_{g^{-1}}\circ c_g (h)= g^{-1} g h g^{-1} g =1 h 1^{-1}= c_1(h)= id_H $\\
Also ist $c_g$ bijektiv und daher Automorphismus von $G$.
$c: g \rightarrow\Aut(G)$ ist Homomorphismus: \\
$c_{g_1}\circ c_{g_2}(h)= g_1 g_2 h g_2^{-1} g_1^{-1}= g_1 g_2 h (g_1 g_2)^{-1}= c_{g_1 g_2}(h)$\\
\begin{align*}
c_g = id_G &\Leftrightarrow c_g(h) = h \forall h \\
&\Leftrightarrow g h g^{-1} = h \forall h \\
&\Leftrightarrow g h = h g \forall h \\
&\Leftrightarrow g \in Z(G) \\
&\Rightarrow\ker c = Z(G)
\end{align*}
Da $\im c =\Inn(G)$ ist $\Inn(G)\leq\Aut(G)$. \\
Sei $\varphi\in\Aut(G), g \in G$: Zu zeigen: $\varphi\Inn(G)\varphi^{-1}=\Inn(G)\Leftrightarrow\varphi c_g \varphi^{-1}\in\Inn(G)\forall g, \varphi$\\
$(\varphi c_g \varphi^{-1})(h)=\varphi(g \varphi^{-1}(h) g^{-1})=\varphi(g) h \varphi^{-1}(g)=\varphi(g) h \varphi(g)^{-1}= c_{\varphi(g)}(h)\forall h \in G$\\
% Und: $H \mathop{\leq}\limits_\text{char.} N \mathop{\leq}\limits_\text{char.} G \Rightarrow H \mathop{\leq}\limits_\text{char.} G$
Seien $K \leq H \leq G$, $K$ charakteristisch in $H$, $H$ char. in $G$. Dann ist
$K$ char. in $G$.
\end{satz}
\begin{bew}% 1.2.4
Sei $\varphi\in\Aut(G)$. Zu zeigen: $\varphi(K)= K$. \\
$\varphi\in\Aut(G)\Rightarrow_{\text{H char. in G}}\varphi(H)(= H \Rightarrow_{\mid_H}\in\Aut(H)\Rightarrow\varphi(K)=\varphi_{\mid_K}= K$, da $K$ char. in $H$ ist.
Also ist $K$ char. in $G$.
\end{bew}
\begin{bem}
Sei $S \subseteq G$ mit $S^{-1}= S$ und $\varphi(S)=\set{\varphi(s)\mid s \in S}= S$ für alle $\varphi in \Aut(G)$ ($\Inn(G)$). Dann ist $<S> \leq G$ char. (normal) in $G$.
\end{bem}
\begin{definition}
Sei $G$ Gruppe, $a, b \in G$. Dann ist $[a,b]= aba^{-1}b^{-1}$ der Kommutator von $a$ und $b$ ($[a,b]ba = aba^{-1}b^{-1}ba = ab$). \\
Die Untergruppe $G' := < [a,b]\mid a, b \in G > \leq G$ heißt Kommutatoruntergruppe von $G$.
\end{definition}
\begin{satz}% 1.2.5
Sei $G$ Gruppe. Dann ist $G'$ char. in $G$ (weil $\varphi[a,b]=[\varphi[a], \varphi[b]]\forall\varphi\in\Aut(G)$ ebenfalls Kommutator ist, und $[a,b]^{-1}=[b, a]$). \\
$G'$ ist der kleinste Normalteiler von $G$, so dass $G / G'$ abelsch ist (d.h. ist $N \trianglelefteq G, G/N$ abelsch $\Rightarrow N \supseteq G'$).
\end{satz}
\begin{bew}
Siehe Algebra. ($\pi: G \rightarrow G/N: g \mapsto gN, \pi[a,b]=[\pi(a), \pi(b)]=\ldots d G/N = N$),
\end{bew}
\begin{definition}
Seien $N, H \leq G, N \trianglelefteq G, G = NH = HN, H \cap N =\set{1}$. dann heißt $G$ (internes) semidirektes Produkt von $N$ mit $H$. Wir schreiben $G = N \rtimes H$.
\end{definition}
Beobachtungen: % 1.2.6
\begin{enumerate}[a)]
\item$ G/N = NH / N \cong H /_{N \cap H}\cong H$. Also ist $G/N \cong H$. Daher ist $\abs{G}=\abs{N}\abs{G/N}=\abs{N} abs{H}=\abs{N \times H}$
\item$G = N \cdot H \Rightarrow\forall x \in G \exists n \in N \exists h \in H: x = n \cdot h $. Diese Darstellung ist eindeutig: denn seien $n_1,n_2\in N, h_1,h_2\in H$ und sei $n_1 h_1= n_2 h_2$,
so folgt $n_2^{-1} n_1= h_2 h_1^{-1}\in N \cap H \Rightarrow n_2^{-1} n_1= h_2 h_1^{-1}=1\Rightarrow n_1= n_2, h_1= h_2$
\item Allgemein gilt: $H, N \trianglelefteq G, H \cap N =\set{1}\Rightarrow hn = nh \forall n \in N, h \in H$, denn seien
$h \in H, n \in N \Rightarrow[n, h]= nhn^{-1}h^{-1}=\mathop{(nhn^{-1})}\limits_{\in H \trianglelefteq G}h^{-1}\in H \cap N =\set{1}$ (die Klammerung analog für $N$) \\
Daher: Ist $G = N \rtimes H$ und zusätzlich $H \trianglelefteq G \Rightarrow G = H \times N$ (da $n_1 h_1 n_2 h_2= n_1 n_2 h_1 h_2$)
\item$G = N \rtimes H, x = n_1 h_1, y = n_2 h_2\in G \Rightarrow x \cdot y = n_1 h_1 n_2 h_2= n_1\mathop{(h_1 n_2 h_1^{-1})}\limits_{\in N \trianglelefteq G} h_1 h_2=(n_1\lsup{h_1}n_2)(h_1 h_2)= n' h' $ die eindeutige Darstellung vom Produkt $ x \cdot y $ als Produkt eines Elementes aus $N$ mit einem Element aus $H$. \\
Die Abb. $\varphi: H \rightarrow\Aut(N): h \mapsto\varphi(h)=\lambda n . \lsup{h}{n}=\varphi_n ={c_n}_{\mid_N}\in\Aut(N)$ ist Gruppenhomomorphismus. \\
\item Multiplikation in $G$ wird vollständig auf die Multiplikation in $N$ und Multiplikation in $H$ und auf $\varphi$ zurückgeführt: $n_1 h_1 n_2 h_2= n_1\varphi_{h_1}(n_2) h_1 h_2$
\item Ist $\varphi: H \rightarrow\Aut(N)$ der triviale Homomorphismus, so ist $\varphi_n ={c_n}_{\mid_N}= id_N$ für alle $h \in H$, d.h. $\varphi_h(n)= h n h^{-1}= n \Leftrightarrow hn = nh$. Dann ist $H \trianglelefteq G und G \cong H \times N$. \\
Daher: Ist $\varphi : H \rightarrow\Aut(N)$\underline{nicht} tirivial, so kann $G$ nicht abelsch sein. ($\varphi(h)=\varphi_h \neq id_N, h\in H, \Rightarrow n \in N: \varphi_h(n)= hnh^{-1}\neq n \Rightarrow hn \neq hn$)
\end{enumerate}
\begin{definition}
Seien $H, N$ Gruppen, und sei $\varphi: H \rightarrow\Aut(N): j \mapsto\varphi(h)=\varphi_h \in\Aut(N)$ ein Homomorphismus. \\
Wir definieren das (äußere) semidirekte Produkt $G = N \rtimes H$ wie folgt: \\
Als \underline{Menge} ist $G$ einfach das kartesische Produkt $N \times H$. \\
Mit obiger Multiplikation wird $G = N \times H$ zur Gruppe $N \rtimes H$ mit Einselement $1_G =(1_N, 1_H)$ und Inverser $(n, h)^{-1}=(\varphi_{h^{-1}}(n^{-1}), h^{-1})$\\
Seien $\tilde{N}= N \times\set{1_H}\subseteq N \times H $ und $\tilde{H}=\set{1_N}\times H \subseteq N \times H$. \\
Dann ist $\tilde{N}\trianglelefteq G, H \leq G, \tilde{N}\cong N, \tilde{H}\cong H$ und $G =\tilde{N}\rtimes\tilde{H}$ (intern).
Für $\tilde{h}=(1_N, h)\in\tilde{H}, \tilde{n}=(n, 1_H)\in\tilde{N}, h \in H, n \in N$ ist $\tilde{h}^{-1}\tilde{n}\tilde{h}=(\varphi_h(n), 1_H)$, d.h. ${c_{\tilde{n}^{-1}}}_{\mid_{\tilde{N}}}\leftrightarrow\varphi_h \in\Aut(N)$
\end{satz}
\begin{bew}
Übung.
\end{bew}
\begin{bem}
Sind $\varphi, \psi$ verschiedene Homomorphismen von $H \rightarrow\Aut(N)$, so können $N \rtimes_\varphi H, N \rtimes_\psi H$ isomorph oder nicht isomorph sein.
\end{bem}
\begin{bsp}
$C_n (\cong(\Z/_{n\Z}, +))= N, H = C_2=\set{1, h}$\\
$\varphi: H \in\Aut(C_n)$ durch $\varphi(1)= id_{C_n}, \varphi_h(x)= x^{-1}$\\
Die Gruppe $D_{2n} := C_n \rtimes_\varphi C_2$ heißt \underline{Diedergruppe} der Ordnung $2n$. \\
$D_{2n}$ ist die Gruppe der Symmetrien eines regelmäßigen $n$-Ecks; $C_n \trianglelefteq D_{2n}$ ist die Gruppe der Rotationen, $C_2= D_{2n}/_{C_n}$ sind die Spiegelungen. \\
Im folgenden sei: $G =$ Gruppe, $X =$ Menge, $\sigma_X =\set{ f : X \rightarrow X \mid f \text{bij. Abb.}}=$ "`symmetrische Gruppe auf X"'.
\begin{definition}
Eine (Links-)Operation von $G$ auf $X$ ist eine (externe) Verknüpfung
$$G \times X \rightarrow X: (g,x)\mapsto gx$$
so dass gilt:
\begin{enumerate}[i)]
\item$1_G \cdot x = x \forall x \in X$
\item$(gh)\cdot x = g \cdot(h \cdot x)$
\end{enumerate}
Wir sagen: "`$G$ operiert auf $X$"' (durch Permutationen) oder kurz: "`$X$ ist $G$-Menge"'. (Analog: Rechtsoperation: $X \times G \rightarrow X$)
\end{definition}
\begin{bem}
Ist $X$$G$-Menge, $\sigma_X$ = symmetrischeGrupe auf $X$, so wird durch $\lambda: G \rightarrow\sigma_X: g \mapsto\lambda_g \in\sigma_X$ ein Gruppenhomomorphismus
$\lambda$ definiert, wobei $\lambda_g: X \rightarrow X: x \mapsto g \cdot x$; denn: \\
Sei $g \in G: \lambda_g \lambda_{g^{-1}} : x \mapsto g (g^{-1} x)=(g g^{-1}) x =1_G x = x \forall x \in X$, also ist $\lambda_g$ bijektiv und $\in\sigma_X$. \\
Seien $g, h \in G \Rightarrow\lambda_g \circ\lambda_h (x)=\lambda_g (\lambda_h(x))= g \cdot(h \cdot x)=(g \cdot h)\cdot x =\lambda_{gh}(x)\forall x \in X \Rightarrow\lambda_g \lambda_h =\lambda_{gh}$, d.h. $\lambda$ ist Homomorphismus. \\
\underline{Umgekehrt:} Sei $\varphi: G \rightarrow\sigma_X$ homomorph. Dann wird durch $g \cdot x :=(\varphi(g))(x)$ eine Operation von $G$ auf $X$ definiert, mit $\lambda=\varphi$ (Beweis: Übung). \\
$\lambda$ heißt "`die zur $G$-Menge $X$ gehörende \underline{Darstellung} von $G$"'. \\
\underline{Also:} Das Konzept der $G$-Mengen $X$ ist äquivalent zum Konzept der Homomorphismen $G \rightarrow\sigma_X$. \\
(Im Falle der Rechtsoperation: Entweder op $\sigma_X$ auch von rechts, oder die zug. Darst. $\rho: G \rightarrow\sigma_X$ ist ein Antihomomorphismus)
\end{bem}
{\it Beispiele:} (Running Gag) % 1.3.1
\begin{enumerate}[1.)]
\item$\sigma_X$ operiert auf $X$ mit Darstellung $id_{\sigma_X} : \sigma_X \rightarrow\sigma_X: \pi\mapsto\pi\in\sigma_X, \pi x =\pi(x)\forall x \in X$
\item$G$ operiert auf der Menge $G$ durch Linkstranslation $ g \cdot h = g h$. \\
\underline{Darstellung:}$\lambda G \rightarrow\sigma_G: g \mapsto\lambda_g; \lambda_g: h \mapsto gh \forall h \in G$\\
Wir definieren eine Operation von $G$ auf der \underline{Menge}$G / H$ der Nebenklassen von $H$ in $G$ durch: $g (g_i H)= g_j H$ (bzw. auf $I: g \dot i = j$) \\
(Linkstranslation auf $G/H$, Rechtsnebenklassen $H \without G$ durch Rechtstranslation) \\
Spezialfall: $H =(I)\Rightarrow$ Operation von $G$ auf $G / H = G /(I)= G$ aus 2.)
\end{enumerate}
4.) ist die Mutter aller $G$-Operationen auf Mengen.
\begin{definition}
Eine Operation von $G$ auf $X$ heißt \underline{treu}, falls gilt: Ist $gx = x \forall x \in X \Rightarrow g =1$.
Offensichtlich heißt dies für die zugehörige Darstellung $\varphi: G \rightarrow\sigma_X$, dass $\varphi$ injektiv ist;
denn $gx = x \forall x \in X \Leftrightarrow(\varphi(g))(x)= x \forall x \in X \Leftrightarrow\varphi(g)= id_X \Leftrightarrow g \in\ker\varphi$\\
So: $\ker\varphi=\set{g \in G \mid gx = x \forall x \in X }.$
\end{definition}
{\it Beispiele:}% aus 1.3.1
1.), 2.) treu, da $g \cdot h = h \forall h \in G \Leftrightarrow g =1$\\
3.) (i.A.) nicht treu. Genauer: $\ker\varphi=\ker c_? =\set{g \in G \mid c_g = id_G }=\set{g \in G \mid c_g(h)= h \forall h \in G }=\set{g \in G \mid g hg^{-1}= h \forall h \in G}= Z(G)$ Zentrum von $G$.
\underline{Klar:}$X$ treue $G$-Menge, so enthält $\sigma_X$ durch die zugehörige Darstellung $\varphi: G \rightarrow\sigma_X$ eine zu $G$ isomorphe Untergruppe.
\begin{definition}
Seien $X, Y$$G$-Mengen. Eine Abbildung $\varphi: X \rightarrow Y$ heißt $G$-Homomorphismus (auch $G$-equivariant) falls gilt: \\
$\forall x \in X, g \in G: \varphi(g, x)= g \varphi(x)$\\
\underline{Wie üblich}: Epi-, Mono- und Isomorphismen. \\
Komposition (und Inversen falls bijektiv) sind wieder Homomorphismen. \\
Isosätze etc. \\
Also: Kategorie der $G$-Mengen.
\end{definition}
\underline{Übersetzung für Darstellungen}:\\
Seien $\varphi: G \rightarrow\sigma_X, \psi: G \rightarrow\sigma_Y$ ($X, Y$ Mengen) Darstellungen. \\
Ein Morphismus von $\varphi$ nach $\psi$ ist eine Mengenabbildung $f: X \rightarrow Y$, so dass $\forall g \in G$ das folgende Diagramm kommutiert:
\begin{diagram}
X &\rTo^{f}& Y \\
\dTo^{\varphi(g)}&&\dTo_{\psi(g)}\\
X &\rTo^{f}& Y
\end{diagram}
d.h. $f \circ\varphi(g)=\psi(g)\circ f \Leftrightarrow\psi(g)\circ f \circ\varphi(g)^{-1}= f \forall g \in G$
Dies macht die Klasse der (Permutations-) Darstellungen zu einer Kategorie. Diese ist isomoprh zur Kategorie der $G$-Mengen (Beweis: Übung).
\underline{Ziel:} Klassifikation von $G$-Mengen.
\begin{definition}
$X, Y$$G-$ Mengen:
\begin{enumerate}[a)]
\item Die disjunkte Vereinigung $X \mathop{\cup}\limits^{\cdot} Y$ wird zur $G$-Menge durch $g \cdot z =\left\{\matr{gx &\text{für } z = x \in X \\ gy &\text{für } z = y \in Y}\right. $\\
("`direkte Summe"', "`Koprodukt"' in Kategorie der $G$-Mengen)
\item Das kartesische Produkt $X \times Y$ wird zu $G$-Menge durch $g \cdot(x,y)=(gx, gy)\forall x \in X, y \in Y, g \in G$
\item$\sigma_X$ wird $G$-Menge durch $gZ =\set{gz \mid z \in Z}$ für $Z \subseteq X$
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{definition}% 1.3.3
Sei $X$ eine $G$-Menge, $x \in X$. Die \underline{Bahn} (Orbit) $Gx (\lsup{G}x)$ ist $\set{gx \mid g \in G}\subseteq X$, und der Stabilisator $Stab_G(x)$ in $G$ von $x$ ist $\set{g \in G \mid gx = x}\subseteq G$. \\
Für $S \subseteq G$ ist der $Stab_G(X)=\set{g \in G \mid gs \in S \forall s \in S }$\\
Der \underline{Punktstabilisator} von $S$ in $G$ ist $PStab_G(S)=\set{g \ in G | gs = s \forall s \in S}=\bigcap\limits_{s \in S} Stab_G(s)$\\
\underline{Klar:}
\begin{enumerate}
\item$Stab_G(x), Stab_G(S), PStab_G(S)$ sind Untergruppen von $G$.
\item Die Einschränkung von der $G$-Operation auf die Bahn $Gx$ macht die Bahn $Gx$ von $x$ zur $G$-Menge. \\
Wir definieren eine Äquivalenzrelation $\sim_G$ auf $X$ durch $x \sim_G y \Leftrightarrow\exists g \in G: y = gx$\\
Die Äquivalenzklasse von $x \in X$ ist die Bahn $Gx$. \\
Konsequenz: $X$ ist die direkte Summe der Bahnen von $G$ auf $X$.
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{definition}
$G$ operiert (einfach) \underline{transitiv} auf $X$, falls nur eine Bahn existiert, d.h. $\forall x, y \in X: \exists g \in G: x = g y$.
\end{definition}
{\it Beispiele:} von 1.3.1
\begin{enumerate}[A)]
\item Bahnen:
\begin{enumerate}[1.)]
\item$G$ ist die einzige Bahn.
\item$\forall h_1, h_2\in G \exists g \in G: h_2= g h_1: g := h_2 h_1^{-1}$, also: $G$ ist die einzige Bahn.
\item$g \sim_G h \Leftrightarrow\exists x in G: h = x g x^{-1}\Leftrightarrow g$ und $h$ sind konjugiert $\Leftrightarrow$ Bahnen sind Konjugationsklassen.
\item Eine Bahn. $g,h \in G \Rightarrow\exists x \in G: h = xg \Rightarrow hH = xgH$
\end{enumerate}
\item Stabilisatoren:
\begin{enumerate}[1.)]
\item$x \in X: Stab_{\sigma_X}(x)=\set{\pi\in\sigma_X \mid\pi(x)= x }=\sigma_{X \without\set{x}}$, z.Bsp. $Stab_{\sigma_n}(n)=\sigma_{n-1}$\\
$Stab_{\sigma_n}(\set{1, \ldots, i})=\set{\pi\in\sigma_n | 1\leq\pi(j)\leq i \forall1\leq j \leq i }=\sigma_{\set{1, \ldots, i}}\times\sigma_{\set{i+1, \ldots, n}}$
\item$h \in G: Stab_G(h)=\set{g \in G \mid gh = h}=\set{1}$
\item$h \in G: Stab_G(h)=\set{g \in G \mid\lsup{g}{h}= h}=\set{g \in G \mid ghg^{-1}= h}=\set{g \in G \mid gh = hg }=$ Zentralisator von $h$ in $G$.
\item Spezialfall $Stab_G(1\cdot H)=\set{ g \in G \mid gH = H}= H$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{lemma}
Sei $X$$G$-Menge, $x \in X, g \in G$: Dann ist $Stab_G(gx)= g \cdot Stab_G(x()\cdot g^{-1}$ ("`konjugierte Untergruppe"')
\end{lemma}
\begin{bew}
"`$\supseteq$"' Sei $h = gfg^{-1}\in$ rechte Seite $\Rightarrow h(gx)= gfg^{-1}gx = gfx = gx \Rightarrow h \in$ linke Seite.
"`$\subseteq$"' Sei $h \in Stab_G(gx)$, d.h. $h(gx)= gx \Rightarrow g^{-1}hgx = x \Rightarrow g^{-1} h x = f \in Stab_G(x)\Rightarrow h = g f g^{-1}\in g Stab_G(x) g^{-1}$
\end{bew}
{\it Beispiele:} von 1.3.1, Stabilisator für 4.): \\
$ Stab_G(xH)= x H x^{-1}$
Neues Beispiel für 1.3.1:
\begin{enumerate}
\item[5.)] Sei $X =\set{H \leq G}$. Dann operiert $G$ auf $X$ durch Konjugation $lsup{g}{H}= g H g^{-1}$\\
$Stab_G(H)=\set{g \in G \mid g H g^{-1}= H }= N_G(H)$ der \underline{Normalisator} von $H$ in $G$ (die größte Untergruppe von $G$ in der $H$ normal ist, $H \trianglelefteq N_G(H)\leq G$)
\end{enumerate}
\begin{bem}
Bahnen sind in 5.) Konjugationsklassen von Untergruppen. \\
Beachte: $\abs{c_g(H)}=\abs{gHg^{-1}}=\abs{H}$
\end{bem}
\begin{satz}% 1.3.5
Jede $G$-Menge ist (eindeutig) disjunkte Vereinigung (direkte Summe) von transitiven $G$-Mengen, nämlich der Bahnen von $G$ auf der Menge.
Sei $X$ transitive $G$-Menge und $x \in X, H = Stab_G(x)$. Dann ist $X \cong G / H$ ($= G$-Menge der Nebenklassen von $H$ in $G$ durch Linkstranslation, siehe Beispiel 4. aus 1.3.1)
Definiere $\varphi: G/H \rightarrow X: gH \mapsto g x$ für $g \in G$.
\begin{enumerate}[1.)]
\item$\varphi$ ist wohldefiniert: Denn sei $gH = fH \Rightarrow f^{-1}g \in H \Rightarrow f^{-1}gx = x$, da $H = Stab_G(x)$ ist $\Rightarrow gx = fx$
\item Umgekehrt gehts auch: Sei $fx = gx$ ($f, g \in G$) $\Rightarrow x = f^{-1}gx \Rightarrow f^{-1}g \in H \Rightarrow gH = fH$ Also ist $\varphi$ injektiv.
\item Wegen $G \cdot x = X$ ist $\varphi$ surjektiv.
\item Seien $a, g \in G:$ Dann ist $a \varphi(gH)= a(gx)=(ag)x =\varphi(agH)$, also ist $\varphi$ ein Isomorphismus von $G$-Mengen.
\end{enumerate}
\end{bew}
\begin{korr}% 1.3.7
$\abs{X}=\abs{G/H}=\left[G : H \right]$\\
\underline{Allgemein}: Sei $X$$G$-Menge, $x \in X \Rightarrow\abs{Gx}=\abs{G : Sta_G(x)}$ (Bahngleichung)
\end{korr}
Wir haben jetzt is aus Isomorphie alle $G$-Mengen konstruiert, nämlich als disjunkte Vereinigunge (direkte Summen) von $G$-Mengen der Form $G/H$ mit $H \leq G$. \\
\underline{Frage:} Sind $H, K \leq G$. Wann ist $G/H \cong G/K$ als $G$-Menge (unter Linkstranslation)?
\begin{lemma}% 1.3.8
Seien $X, Y$$G$-Mengen, $\varphi:X \rightarrow Y$ Homomorphismus, und sei $x \in X$. Dann ist $\Stab_G(x)\leq\Stab_G(\varphi(x)$\\
Insbesondere: ist $\varphi$ ein Isomorphismus, so ist $\Stab_G(x)=\Stab_G(\varphi(x))$.
\end{lemma}
\begin{bew}
$g \in G: gx = x \Rightarrow g (\varphi(x))=\varphi(gx)=\varphi(x)\Rightarrow g \in\Stab_G(\varphi(x))$
\end{bew}
\begin{satz}% 1.3.9
Seien $H, K \leq G$. Dann ist $G/H \cong G/K \Leftrightarrow H \mathop{=}_G K$ (d.h. $\exists g \in G: gKg^{-1}= H$).
\end{satz}
\underline{Bemerkung:} 1.3.6 + 1.3.9 liefert die Klassifikation der $G$-Mengen.
\begin{bew}
Sei $\varphi: G/H \rightarrow G/K$ ein Isomorphismus von $G$-Mengen,
$(\exists x \in G): varphi(1\cdot H)= xK \Rightarrow\Stab_G(1\cdot H)= H =\Stab_G(xK)= x\Stab_G(1\cdot K) x^{-1}= xKx^{-1}$. Also ist $H =_G K$. \\
Umgekehrt ist $H =_G K$, etwa $K = x H x^{-1}$. Dann ist (nach 1.3.4) $K =\Stab_G(xH)$, und $G/K \cong G/H$ nach 1.3.6
\end{bew}
\begin{definition}
Sei $k \in\N, X$$G$-Menge. Dan heißt $X$$k$-fach transitiv ($k$-trans.) falls gilt: Sind $x_1, \ldots, x_k \in X$ und $y_1, \ldots, y_k \in X$ jeweils beliebige aber paarweise verschieden, so gibt es $g \in G: y_i = g x_i \forall1\leq i \leq k$\\
(Klar: $G$ operiert auf $X^{\times k}= X \times\ldots\times X$ k-trans. $\Leftrightarrow G$ operiert auf $\set{(x_1, \ldots, x_k)\in X^{\times k}\mid x_i \text{ paarweise verschieden}}$ transitiv. 1-transitiv = transitiv)
\end{definition}
\begin{satz}% 1.3.10
Sei $X$ 2-transitive $G$-Menge, $x \in X$. Dann ist $\Stab_G(x)$ maximale Untergrupe von $G$.
\end{satz}
\begin{bew}
2-transitiv $\Rightarrow X$ ist transitiv $\Rightarrow X \cong G/H$ für $H =\Stab_G(X)$. Angenommen, $H$ st nicht maximal in $G$. Sei $H < K < G, g \in G, g \notin K, k \in K, k \notin H$.
Dann ist $kH \neq H, gH \neq H$. Wir hben also zwei Paare $(H, kH)$ und $(H, gH)$. 2-transitiv $\Rightarrow\exists f \in G: f \cdot(1 H)=(1 H), f (k H)= g H \Rightarrow f \in H \Rightarrow fk \in K
\Rightarrow\exists h \in H: fk = gh \Rightarrow K = f k K = g h K = g K \Rightarrow g \in K$ Widerspruch!
\end{bew}
\begin{definition}
Eine transitive $G$-Menge X heißt primitiv $\Leftrightarrow\forall x \in X: \Stab_G(x)$ maximale Untergruppe von $G$ ist.
Eine transitive $G$-Menge $X$ ist primitiv $\Leftrightarrow$ wenn gilt: Sei $Y \subsetneq X, \abs{Y}\geq2$. Dann gibt es für alle $g \in G$ Elemente $y,z \in Y$ mit $gy \in Y, gz \notin Y$.
Sei $X = G/K$ eine $G$-Menge. Durch Einschränken ist $G/K$ auch $H$-Menge. \\
Sei $H_K$ die Bahn von $K =1\cdot K$ unter dieser $H$-Operation. \\
Klar: $H_K =\set{hK \mid h \in H}, H K =\mathop{\cup}\limits_{h \in H} h K$. \\
Also ist $HK$ die Vereinigung von $K$-Nebenklassen von $G$ mit Vertretern aus $H$. \\
Also ist $\abs{HK}=\abs{\lsup{H}{K}}\cdot\abs{K}$. Nach 1.3.7 ist $\abs{\lsup{H}{K}}=\abs{H : \Stab_H(K)}$\\
$\Stab_H(K)=\set{h \in H \mid hK = K}= K \cap H$. \\
Also ist $\abs{HK}=\abs{K}\cdot\abs{\lsup{H}{K}}=\abs{K}\cdot\abs{H : \Stab_H(K)}=\abs{K}\cdot\abs{H : (H \cap K)}=\abs{K}\cdot\frac{\abs{H}}{\abs{H \cap K}}$
\end{bew}
\underline{Konjugationsop:}$\abs{G}= n \in\N, 1= g_1, g_2, \ldots, g_k$ seien Vertreter der Konjugationsklassen von $G$. \\
$\cC_i :=\lsup{G}{g_i}=\set{g g_i g^{-1}\mid g \in G}$ Bahn \\
$C_i =\Stab_G(g_i)= C_G(g_i)=\set{h \in G \mid h g_i = g_i h}\leq G$\\
\begin{satz}% 1.3.13
\underline{Klassengleichung:} Sei $\abs{G}= n$. \\
$ n =1+\sum_{i=2}^{k}\abs{G : C_i}=\abs{Z(G)}+\sum\limits_{i=1,\ldots,k, g_i \notin Z(G)}\abs{G : C_i}$
\end{satz}
\begin{bew}
Ohne Einschränkung: $Z(G)=\set{g_1, \ldots, g_l}, 1\leq l \leq k \Rightarrow C_i = G \forall i =1, \ldots, l, \cC_i =\set{g_i}$\\
Mit 1.3.7 $\mathop{\Rightarrow}\limits_{i=1, \ldots, k}\abs{\lsup{G}{g_i}}=\abs{\cC_i}=[G:C_i]=[G:\Stab_G(g_i)]$
\end{bew}
\begin{definition}
Sei $G$ endliche Gruppe, $G^1=[G, G]$. Definiere $D^{i}(G)(i \in\N)$ durch
\begin{enumerate}
\item$D^1(G)= G^1$
\item$i > 1: D^i(G)=[D^{i-1}(G), D^{i-1}(G)]$
\end{enumerate}
Klar: $D^i(G)\trianglelefteq D^{i-1}(G)$ und $D^{i-1}(G)/D^i(G)$ abelsch. \\
$G$ heißt auflösbar, falls $D^k(G)=(1)$ für ein $k \in\N\Leftrightarrow\exists(1)= N_1\leq N_2\ldots\leq N_m = G$ mit $N_i \trianglelefteq N_{i+1}$ und $N_{i+1}/N_i$ abelsch (zyklisch, zyklisc von Primzahlordnung nach Korrespondenzsatz). \\
Kann man zusätzlich $N_i$ so wählen, dass $N_i \trianglelefteq G$ ist, so heißt $G$ Überauflösbar ("`supersolvable"'). \\
\item Brunside's $pq$-Theorem: Seien $p, q$ Primzahlen, $\abs{G}= p^a \cdot q^b, a, b \in\N\Rightarrow G$ ist auflösbar.
\item Feit-Thompson: Ist $2\nmid\abs{G}\Rightarrow G$ ist auflösbar.
\end{enumerate}
\end{bem}
\underline{Beachte:} Sei $H \leq G$. Dann ist $H \trianglelefteq G \Leftrightarrow H$ ist Vereinigung von (disjunkten) Konjugationsklassen von $G$; denn
$gHg^{-1}= H \forall g \in G$ gilt genau dann, wenn $\forall h \in H, g \in G: c_g(h)= ghg^{-1}\in H$, d.h. $\lsup{G}{h}\subseteq H$. Daher ist
$\abs{H}=\sum\limits_{g_i \in H}\abs{C_i}$% i ) 1, \ldots, k
\underline{Erinnerung:} Sei $H \leq G$. Dann ist $N_g(H)=\set{g \in G \mid gHg^{-1}= H}\leq G$ und $H \trianglelefteq N_G(H)=$ die eindeutig bestimmte größte Untergruppe von $N$,
in der $H$ normal ist. $H \trianglelefteq G \Leftrightarrow N_G(H)= G$.
\begin{satz}% 1.3.15
Sei $\abs{G}= n < \infty$, und sei $H \leq G$. Sei $\mathcal{A}=\set{gHg^{-1}\mid g \in G}$. Dann ist $\abs{\mathcal{A}}=\abs{G : N_G(H)}$.
\end{satz}
\begin{bew}
$G$ operiert auf $\sigma(G)$ ($\set{K \leq G}$) per Konjugation, und $\mathcal{A}$ ist gerade die Bahn $\lsup{G}{H}$ von $H$ unter dieser Operation.
$N_G(H)=\Stab_G(H)$. So folgt die Behauptung aus 1.3.7.
\end{bew}
\begin{definition}
$H, K \leq G, z \in G$. Dann heißt $HzK =\set{hzk \mid h \in H, k \in K}$ die $H$-$K$-Doppelnebenklasse von $z$. \\
Definiere $\sim$ auf $G$ durch $, y \in G$, so ist $x \sim y \Leftrightarrow\exists h \in H, k \in K: y = hxk$
\begin{enumerate}[i)]
\item$ x =1_H x 1_K \Rightarrow x \sim x \forall x \in G$
\item$ y = hxk \Rightarrow x = h^{-1}yk^{-1}\Rightarrow$ Symmetrie
\item$ y = h_1 x k_1, z = h_2 y k_2\Rightarrow z = h_2 h_1 x k_1 k_2\Rightarrow x \sim z$
\end{enumerate}
Also ist $G$ disjunkte Vereinigung der $H$-$K$-Doppelnebenklassen.
\end{definition}
\underline{Klar:}$HzK =\bigcup\limits_{h \in H} hzK =\bigcup\limits_{k \in K} Hzk$ ist (disjunkte) Vereinigung von $K$-Links- bzw $H$-Rechtsnebenklassen in $G$.
\begin{satz}% 1.3.16
Sei $\abs{G}= n < \infty, H, K \leq G$ und $\in G$. Dann gilt: \\
Das kommt nicht von unefähr: Ist $h_1=1, h2, \ldots,h_l \in H$ ein Vertretersystem der Linksnebenklassen von $H \cap zKz^{-1}$ in $H$, d.h. $H =\mathop{\cup}\limits^{\bullet} h_i (H \cap zKz^{-1}$,
so ist $HzK =\bigcup\limits_{j=1, \ldots, l}^{\bullet} h_i z K$. Analog $K =\bigcup\limits_{j=1, \ldots, m}^{\bullet}(z^{-1}Hz \cap K)\cdot k_j, HzK =\bigcup\limits_{j=1, \ldots, m}^{\bullet} Hz k_j $
\end{satz}
\underline{Beweisidee:}$h \in H \cap zKz^{-1}\Leftrightarrow\exists k \in K: h = zkz^{-1}\Leftrightarrow hzK = zkz^{-1}z K = zkK = zK \Rightarrow h_i (z^{-1}H \cap K) zK= h_i zK$, Details Übung.
\item 2. Beweis: $G$ operiert auf $G / K$ wie üblich, also auch $H$ durch Einschränkung. $HzK$ ist die Vereinigung der Nebenklassen, die in $\lsup{H}{zK}$ liegen. Daher ist $\abs{HzK}=\abs{K}\cdot$ Bahnlänge $\abs{\lsup{H}{zK}}$. Nun ist $\Stab_H(zK)=\set{h \in H \mid hzK = zK}$. Aber $hzK = zK \Leftrightarrow z^{-1}hz = k \in K \Leftrightarrow h = zkz^{-1}$ ist $\exists k \in K$. \\
Also ist $\Stab_H(zK)= H \cap zKz^{-1}\mathop{\Rightarrow}\limits^{\text{1.3.7}}\abs{HzK}=\abs{K}[H : H \cap zKz^{-1}]=\frac{\abs{H}\cdot\abs{K}}{\abs{H \cap zKz^{-1}}}$
\end{enumerate}
\end{bew}
% \part{Lineare Gruppen}
$F$ ist ein Körper, $n \in\N, G =\GL_n(F)\cong\Aut_F(V), v = F$-Vektorraum mit $\dim_F(V)= n$\\
Eine Permutationsmatrix $A \in M_{n \times n}(F)$ ist eine Matrix, die in jeder Spalte und Zeile genauen einen von 0 verschiedenen Eintrag hat, der 1 ist. \\
Sei $A$ Permutationsmatrix. Definiere $\pi: \set{1, \ldots, n}\rightarrow\set{1, \ldots, n}$ durch $\pi(i)= j \Leftrightarrow A_{\pi(i)j}=1$.
\end{definition}
Also ist $\pi\mapsto E_\pi$ eine Bijektion von $\sigma_n$ in $W :=\set{\text{Permutationsmatrizen}}$.
Seien $\sigma, \pi\in\sigma_n$. Dann ist $E_\pi\cdot E_\sigma=(\sum_{i=1}^n e_{\pi(i)i})(\sum_{j=1}^n e_{\sigma(j)j})=\sigma_{i,j} e_{\pi(i)i} e_{\sigma(j)j}
Ist $E_\pi$ Permutationsmatrix zu $\pi\in\sigma_n, M \in F^{n \times n}$, so entsteht $\pi\cdot M = E_\pi M$ aus $M$ durch entsprechende Zeilenpermutationen und $M \pi$ durch
entsprechende Spaltenpermutationen. \\
$\sigma_n$ operiert auf der natürlichen Basis $\xi\rightsquigarrow\xi_\pi=(e_{\pi(1)}, \ldots, e_{\pi(n)})$.
\end{bem}
\begin{definition}
Sei $1\leq i,j \leq n, i \neq j$, und sei $\alpha\in F$. Dan sei $x_{ij}(\alpha)\in F^{n \times n}$ die entsprechende Elementarmatrix $A =(\alpha_{st})$ mit
$\alpha_{st}=\left\{\matr{1&\text{für } s = t \\\alpha&\text{für } s = i, t = j \\0&\text{sonst}}\right.$\\
$x_{ij}(\alpha)=\pmatr{1&&\alpha\\&\ddots&\\&&1}, \alpha$ an Position $i,j$\\
Die Matrizen $x_{ij}(\alpha)$ und ihre $G$-konjugierten heißen Transvektionen. \\
\underline{Beachte:}$x_{ij}(\alpha)\cdot M$ entsteht aus $M$ durch Addition von Reihe (Saplte) $j$ mal $\alpha$ zu Zeile (Spalte) $i$ ($M \cdot x_{ij}(\alpha)$.
\end{definition}
\begin{lemma}% 2.1.4
Seien $\alpha, \beta\in F, i \neq j, \pi in W$
\begin{enumerate}[i)]
\item$\det(x_{ij}(\alpha))=1$, also ist $x_{ij}(\alpha)\in\Omega_n(F)\leq\GL_n(F)$.
\item Ist $\alpha\neq0$, so ist $x_{ij}(\alpha)\in B \Leftrightarrow i < j$. ($U \leq B$)
$\Rightarrow\pi x_{ij}(\alpha)\pi^{-1}=\pi(E +\alpha e_{ij})\pi^{-1}=\pi E \pi^{-1}+\alpha\pi e_{ij}\pi^{-1}= E +\alpha e_{\pi(i)\pi(j)}= x_{\pi(i)\pi(j)}(\alpha)$
\end{enumerate}
\end{bew}
\underline{Ziel:}$G =\bigcup\limits_{w \in W}^{\bullet} BwB$, insbesondere: es gibt $n!$ viele $B$-$B$-Doppelnebenklassen in $G$ ($U$-$B$-, $B$-$U$-). "`Bruhat-Zerlegung"'
\begin{lemma}% 2.1.5
Sei $M \in G$. Dann gibt es ein $b \in B (U)$ so, dass gilt: \\
Für $1\leq i \leq n$ gibt es eine eindeutig bestimmte Zeile $k_i$ in $b \cdot M$ so, dass der $i$-te Eintrag in dieser Zeile der erste von 0 verschiedene Eintrag in ihr ist,\\
und $\set{k_1, \ldots, k_n}=\set{1, \ldots, n}$; $i \mapsto k_i \in\sigma_n$.
\end{lemma}
\begin{bew}
Die 1. Spalte von $M$ kann nicht die 0-Spalte sein $\Rightarrow\exists k_1$ so, dass Eintrag $k_i$ in $M =(\alpha_{rs})$ ungleich 0 aber $\alpha_{r1}=0$ für $r > k_1$ ist. (Der letzte von 0 verschiedene Eintrag in der Spalte). \\
Durch elementare Zeilentransformationen ($x_{1,l}(\frac{-\alpha_{l,1}}{\alpha_{k_11}})$, $l < k_1$) aus $U$ kann man $M'$ erhalten, in der $k_i$ der einzige von 0 verschiedene Eintrag in der 1. Spalte ist. \\
Streiche 1. Spalte und $k_1$-te Zeile und arbeite induktiv weiter.
$w = x_{ji}(1)x_{ij}(-1)x_{ji}(1), w e_k =\left\{\matr{e_n &\text{für } k \neq i, k \neq j \\ e_j &\text{für } k = i \\- e_i &\text{für } k = j}\right.$
$L_f =\set{\text{Matrix mit von 0 verschiedenen Blöcken der Größen }v_i \times v_i\text{ auf der Diagonale aus } G}$\\
...
$ v =(v_1, \ldots, v_k)\vDash n $ Wir schreiben $P_v = U_v \rtimes L_v$ anstatt $P_f, L_f, U_f$. ($\nu=(n)\Rightarrow P_{(n)}= G = L_{(n)}, U_{(n)}=(1)$) \\
\underline{Sonderfall:}$v =(1^n)=(1, \ldots, 1)\vDash n, P_v = B = u \cdot T$, Borus.
\begin{definition}
Eine $n \times m$-Matrix $A$ heißt (untere) \underline{unitriangulär}, falls folgendes gilt: $A_{ii}=1, A_{ij}=0\forall i < j$ (allgemeine untere Dreiecksmatrix mit 1 auf der Diagonale), analog obere.
\end{definition}
\begin{lemma}% 2.2.5
Sei $V = F^n, f =(W_1, \ldots, W_n)$ mit $W_i = < e_1, \ldots, e_i >, \xi=(e_1, \ldots, e_n)$ natürliche Basis von $V$. \\
Sei $X$ ein $B$-invarianter Unterraum von $V$, d.h. $bx \in X \forall b \in B, x \in X (\Rightarrow bX = X$. \\
Dann ist $W = W_i$ für ein $1\leq i \leq n$.
\end{lemma}
\begin{bew}
Sei $1\leq k \leq n$ minimal mit $X \subseteq W_k$. Wir zeigen: $X = W_k$. \\
Dann existiert ein $x =\sum\limits_{i=1}^k \alpha_i e_i$ mit $\alpha_k \neq0$ (da $k$ minimal). \\
... $\exists b \in B: b \cdot x = e_k \Rightarrow e_k \in X$\\
Nun ist $(E + e_{k-1,k}) e_k = e_k + e_{k-1}\in X \Rightarrow e_{k-1}\in X$, analog $\forall i \leq k: e_i \in X \Rightarrow W_k \subseteq X \Rightarrow W_k = X$.
\end{bew}
\begin{satz}% 2.2.6
Sei $B \leq H \leq G$. Dann is $H$ eine Standardparabolische Untergruppe, d.h. $\exists\nu\vDash n, H = P_{\nu}$
\end{satz}
\begin{bew}
Sei $X$ ein $H$-invarianter Unterraum von $V$. Dann ist $X$ auch $B$-invariant, wil $B \subseteq H$.
Also gibt es ein $1\leq i \leq n: X = W_i = < e_1, \ldots e_i >, \xi=(e_1, \ldots e_n)$ natürliche Basis wegen 2.2.5. \\
Seien $W_{\alpha_1}, \ldots, W_{\alpha_r}$ mit $1\leq\alpha_1 < \alpha_2 < \ldots < \alpha_r = n$ genau die $H$-invarianten
\chapter{Die spezielle und projektive lineare Gruppen}% 2.3
\underline{Ziel:}$\PSL_n(F)$ ist einfach, falls $n > 2$ oder $n =2$ und $F \neq\GF(2)$ oder $\GF(3)$ ist.
2.3.1 Erinnerung: $\det : \GL_n(F)-> F^\ast: g \mapsto\det g$ ist Gruppenhomomorphismus mit Kern $\SL_n(F)\trianglelefteq G, \SL_n(f)=\set{g \in\GL_n(F)\mid\det g =1}$. \\
2.3.2 Satz: $\SL_n(F)$ wird von den Wurzeluntergruppen (d.h. von den Transvektionen) in $G$ erzeugt. \\
Beweis: Für $1\leq i, j \leq n, i \neq j$, und f+r $\alpha\in F$ ist $x_{ij}(\alpha)\in\SL_n(F)$ nach 2.1.4. \\
In 2.1.5 haben wir gezeigt: Ist $g =(\alpha_{ij})\in\SL_n(F)\subseteq G$, so gibt es ein $u \in U$ (Produkt von Transvektionen) so, dsas gilt: Für $1\leq i \leq n$ gibt es
eine eindeutig bestimmte Zeile $k_i$ in $ug$ so, dass der $i$-te Eintrag in dieser Zeile der erste von 0 verschiedene ist. Die Abbildung $\pi:i \mapsto k_i$ ist Element von $\sigma_n = W$. \\
Wir können diese Zeilen nach 2.1.11 durch ein Produkt $\tilde{\pi}$ von Transvektionen $\tilde{(i,j)}= x_{ij}(1) x_{ji}(-1) x_{ij}(1)$ ( $(i,j)\in\sigma_n$ Transposition) bis aufs Vorzeichen ordnen.
$\Rightarrow$ Man kann $\tilde{g}$ durch Premultiplikation mit einem Produkt von Transvektionen auf die Gestalt $\tilde{g}' =\pmatr{\lambda_1\cdot\ldots\cdot\lambda_n &&&\ast\\&1&&\\&&\ddots&\\0&&&1}=\pmatr{1&&\ast\\&\ddots&\\0&&1}\in U$ bringen. Jedes Element von $U$ ist aber Produkt von Transvektionen (elementare Zeilenoperationen: $\tilde{g}' \rightsquigarrow1$). Also ist $\tilde{g}'$ Produkt von Transvektionen. Also ist $g$ Produkt von Transvektionen.
2.3.3 Satz: Die Wurzeluntergruppen $X_{ij}, 1\leq i, j \leq n, i \neq j,$ sind in $\SL_n(F)$ konjugiert. \\
Beweis: Seien $1\leq i, j \leq n, 1\leq k, l \leq n, i \neq j, k \neq l$. \\
$\sigma_n$ ist $n$-fach transitiv auf $\set{1, \ldots, n}$, also zweifach transitiv $\Rightarrow\exists w \in W =\sigma_n: w(i)= k, w(j)= l$. \\
Haben gesehen: $w X_{ij} w^{-1}= X_{w(i),w(j)}= X_{kl}$. Ist $w$ gerade Permutation, d.h. $\sign w =\det w =1\Rightarrow w \in\SL_n(F)$ und wir sind fertig. \\
Sei also $\sign w =\det w =-1$ und $\alpha in F$. Sei $d = d^{-1}=\pmatr{-1&&&0\\&1&&\\&&\ddots&\\0&&&1}\in\GL_n(F)$. Dann ist $\det(dw)=\det d \cdot\det w =-\det w =1$, d.h. $dw \in\SL_n(F)$. \\
$dw X_{ij}(dw)^{-1}= d (w X_{ij} w^{-1}) d = d X_{kl} d = d (E +\alpha e_{kl}) d = dEd +\alpha d e_{kl} d =\left\{\matr{X_{kl}(\alpha)&\text{für } k,l \neq1\\ X_{kl}(-\alpha)&\text{sonst}, (k \neq l)}\right.$\\
In jedem Fall ist $(dw) X_{ij}(dw)^{-1}= X_{kl}$.
Definition: Sei $Z =\set{\alpha E \mid\alpha\in F^\ast}, E =1$. Dann ist $Z \leq G, G \subseteq Z(G)=$ Zentrum von $G$. \\
2.3.4 Satz: $Z = Z(G)$ und $Z \cap\SL_n(F)= Z(\SL_n(F))$. \\
Es genügt zu zeigen: Jedes Element von $\GL_n(F)$ (bew. $\SL_N(F)$), das mit allen Transvektionen $x_{ij}(1)$ ($1\leq i, j \leq n, i \neq j$) vertauscht, liegt schon in $Z$. \\
Sei $g =(\alpha_{ij})=\sum_{i,j}\alpha_{ij} e_{ij}\in Z(G)\Rightarrow g \cdot x_{rs}(1)= x_{rs}(1)\cdot g \forall1\leq r, s \leq n, r \neq s
\item$F$ algebraisch abgeschlossen $\Rightarrow z :=(\lsup{n}{\sqrt{\det g}}^{-1} E)\in Z, g \cdot z \in\SL_n(F)$, es folgt: $\PSL_n(F)\cong\PGL_n(F)$.
\item$\PSL_2(2)\cong\sigma_3\trianglerighteq A_3$, da $\PSL_2(2)\cong GL_2(2)$\\
2.3.6 Lemma: Sei $n \geq2$; und $\abs{F}\neq2, 3$ für $n =2$. Dann ist jede Tranvektion $x_{ij}(\alpha)$ ($1\leq i,j\leq n, i \neq j, \alpha\in F)$ ein Kommutator von Elementen in $\SL_n(f)$. \\
Beweis: Ist $ n > 2$, dann ist $x_{ij}(\alpha)=[x_{ij}(\alpha), x_{kj}(\alpha)]$ mit $1\leq k \leq n, k \neq i, k \neq j$. \\
Sei $n =2, \beta, \gamma\in F$ mit $\beta\neq0$. \\
$\Rightarrow x_{12}(\alpha)$ ist Kommutator dieser Elemente aus $\SL_2(F)$, falls es $\beta, \gamma\in F$ mit $\beta\neq0$ gibt, so dass $\alpha=(\beta^2-1)\gamma$ ist. \\
Sei $\abs{F} > 3$, dann gibt es immer ein $\beta\in F^\ast$ mit $\beta^2\neq1$ und $\gamma=\alpha(\beta^2-1)^{-1}$. \\
$x_{21}(\alpha)$ ähnlich bzw. ist konjugiert in $\SL_2(F)$ zu einem Element aus $X_{12}$.
2.3.7 Korrolar: Sei $n > 2$ oder $\abs{F} > 3$ für $n =2$. Dann ist $\SL_n(F)=[\SL_n(F), \SL_n(F)]$.
2.3.8 Lemma: Sei $n \leq2$$\SL_n(F)$ operiert auf der $\set{Fv | 0\neq v \in F^n}$ durch $g (Fv) := F (gv)$ (Kern ist das Zentrum). \\
Diese Operation ist 2-fach transitiv. \\
Beweis: Seien $c_1, c_2, d_1, d_2\in F^n\without\set{0}$ und $c_1, c_2$ bzw. $d_1, d_2$ linear unabhängig, d.h. $Fc_1\neq Fc_2, Fd_1\neq Fd_2$. \\
Ergänze $c_1, c_2$ bzw. $d_1, d_2$ zu Basen $\tilde{C}=(c_1, c_2, \ldots, c_n)$ und $\tilde{D}=(d_1, d_2, \ldots, d_n)$ von $F^n$. Sei $C = m_{\id}(\xi, \tilde{C})= m_f(\xi, \xi)$ mit $f(e_i)= c_i$. \\
$D = m_{\id}(\xi, \tilde{D})= m_g(\xi, \xi)$ mit $g(e_i)= d_i$\\
Dann sind $C, D \in\GL_n(F)$. Sei $\epsilon=\det D /\det C =\det(DC^{-1}), A =\pmatr{\epsilon&0\\0&1_{n-1}}, \det A =\epsilon, B = DA^{-1}C^{-1}$, so ist $Bc_1=\epsilon^{-1}d_1, Bc_i = d_i $ für $i > 2$ x\\
$\abs{G}= p^a m, p \nmid m, \abs{G}_p = p^a, \abs{G}_{p'}= m $
$\Syl_p(G)\equiv1\mod p $
Beweis: $X =\set{A \subseteq G \mid\abs{A}=\abs{G}_p = p^a }$$G$-Menge \\
Bemerkung: $P \in\Syl_p(G)\Rightarrow P \in X$\\
$ A \in X$ so gibt es ein $g \in G: g \cdot A \ni1$\\
$\abs{X}=\pmatr{p^a \cdot m \\ p^a}=\sum_{O \in\text{$G$-Bahnen von $X$}}\abs{O}$\\
Sei $A \in X, A \in O =$ Orbit von $X$so, dass $1\in A$. Sei $P =\Stab_G(A)\leq G$. Dann ist $P \subseteq P \cdot A = A \Rightarrow\abs{P}\leq\abs{A}= p^a $\\
1.3.7 $\Rightarrow\abs{O}=\abs{G:P}$. \\
Angenommen $p$ teilt nicht $\abs{G:P}$, so ist $\abs{G}_p$ Teiler von $\abs{P}$. Also ist $\abs{G}_p =\abs{P}= p^a$ und $P \in\Syl_p(G)$ und $\abs{O}= m$. \\
Sei umgekehrt $P \in\Syl_p(G)$. Dann ist die $G$-Menge $G/P =\cup g_i P$ mit $\abs{g_i P}=\abs{P}= p^a$, d.h. $G/P$ ist ein Orbit $O$ in $X$: $\abs{O}=\abs{G:P}= m$\\
Klar: $\Stab_G(1\cdot P)= P$\\
Auf diese Weise erhalten wir eine Bijektion zwischen der Menge der $G$-Bahnen in $X' :=\set{A \in X \mid p \nmid\abs{G \cdot A}}$\\
Also ist $X' =$ Vereinigung aller Bahnen $O$ von $X$ mit $p \nmid\abs{O}$\\
$X \without X' =$ Vereinigung aller Bahnen $O$ von $X$ mit $p \mid\abs{0}$ und daher $p \mid\abs{X \without X'}=\abs{X}-\abs{X'}$\\
Also $\abs{X}\equiv\abs{X'}\mod p$\\
Sei $r =\abs{\Syl_p(G)}=$ Anzahl der $p$-Sylow Untergruppen von $G$ = $\abs{\set{\text{Bahnen $O$ von $X$ mit $O \subseteq X'$}}}$. \\
Es gilt dann: $r \cdot m =\abs{X'}\equiv_p \abs{X}\equiv_p \pmatr{p^a m \\ p^a}$\\
$ p \nmid m \Rightarrow r \mod p$ ist nur von $\abs{G}$ und nicht von $G$ selbst abhängig. Das heißt je zwei Gruppen $G$ und $H$ mit $\abs{G}=\abs{H}$ haben $\mod p$ dieselbe Anzahl von $p$-Sylowgruppen. \\
Sei $G = C_{p^a m}$, dann ist $r \equiv1\mod p$, also ist $\abs{\Syl_p(G)}\equiv1\mod p$ für alle $G$ mit $G = p^a m$. Insbesondere ist $r \neq0$, d.h. $G$ besitzt mindestens eine $p$-Sylow Untergruppe. \\
Dies zeigt 1) und 4).
Sei nun $P \in\Syl_p(G), G$ Gruppe der Ordnung $p^a m, p^a =\abs{G}_p, Q \leq G $$p$-Gruppe. \\
$Y =\set{gPg^{-1}\mid g\in G}$. $Q$ operiert auf $Y$ durch Konjugation: \\
$\lsup{x}{(yPy^{-1})}= xyP (xy)^{-1}\in Y$ für $x \in X$.
Sei $O$ ein $Q$-Orbit von $Y$, $P_1\in O$. Dann ist $\abs{O}=\abs{Q : \Stab_Q(P_1)}=$ Potenz von p (möglicherweise $p^0$). \\
Aber $\abs{Y}=\abs{G : N_G(P)}$ Teiler von $m$ (1.3.15) $\Rightarrow p \nmid\abs{Y}$.Also muss es eine $Q$-Bahn $O$ in $Y$ geben mit $p \nmid\abs{O}\Rightarrow\exists Q$-Bahn $O$ in $Y$ mit $\abs{O}= p^0=1\Rightarrow O =\set{P_1}$. Dann ist also $xP_1 x^{-1}= P_1\forall x \in Q$. Daher ist $Q P_1= P_1 Q$ und mit (1.1.4) ist $Q P_1\leq G$\\
Klar ist: $\abs{P_1}\leq\abs{Q P_1}$. Nach 1.3.12 ist $\abs{Q P_1}=\frac{\abs{Q}\abs{P_1}}{\abs{Q \cap p_1}}=\abs{P_1}\abs{Q: Q\cap P_1}$. Also ist $QP_1$ eine $p$-Untergruppe von $G$. \\
Also ist wegen $\abs{P_1}\leq\abs{QP_1}$ die Ordnung $\abs{Q \cdot P_1}$ von $QP_1$ gleich $P_1= p^a$ und daher $\abs{Q \cap P_1}=\abs{Q}\Rightarrow Q \subseteq P_1\in\Syl_p(G)$. Dies zeigt 3).
Seien $Q, P \in\Syl_p(G)\Rightarrow$ (nach vorigem Schritt) $\exists g \in G: Q \leq gPg^{-1}$. Wegen $\abs{Q}=\abs{P}= p^a$ ist $Q = gPg^{-1}$. \qed
2. Beweis für Existenz von $p$-Sylowuntergruppen:
Induktion über $\abs{G}$\\
$\abs{G}=1$ trivial \\
$p \nmid\abs{G}$ trivial \\
$\abs{G}= p^a m$ mit $p \nmid m > 1$, und sei die Behauptung beweisen für alle Gruppen $\abs{H}$ mit $\abs{H} < \abs{G}$. \\
Besitzt $G$ eie echte Untergruppe $H$ mit $p \nmid[G : H]$, so ist jede $p$-Sylowgruppe von $H$ eine $p$-Sylowgruppe von $G$ und wir sind fertig. \\
Ohne Einschränkung gelte $H \lneq G \Rightarrow p \mid[G : H]$\\
Klassengleichung 1.3.13: \\
$\abs{G}=\abs{Z(G)}+\sum\limits_{i=1}^l [G : C_G(g_i)]$ mit $\set{g_1, \ldots, g_l}$ Repräsentanten von Konjugationsklassen von $G$ der Größe $> 1$. \\
Für $1\leq i \leq l$ ist $C_G(g_i)\lneq G$ und daher $p \mid[G : C_G(g_i)]$\\
Also teilt $p \mid Z(G)=$ abelsche Gruppe. Also ist $\abs{Z(G)} > 1$. \\
$\Rightarrow G$ besitzt eine normale Untergruppe $N$ ($\leq Z(G)$) der Ordnung $p$. $\abs{G/N}= p^{a-1}m < p^am \Rightarrow\exists\overline{P}\in\Syl_p(G/N)$\\
Sei $P =$ volles Urbild von $\overline{P}$ in $G \Rightarrow N \trianglelefteq P, P/N =\overline{P}\Rightarrow\abs{P}= p^a \Rightarrow P \in\Syl_p(G)$.
Korrolar: Sei $\abs{G}= p^a m, p^a =\abs{G}_p$. Dann gibt es für $1\leq b \leq a$ eine Untergruppe $H$ von $G$ mit $\abs{H}= p^b$ (Weil $P \in\Syl_p(G)$ eine $p$-Gruppe, daher nilpotent und damit auflösbar ist. Wir können $H \leq P$ wählen!).
3.1.3 Korrolar: $\abs{\Syl_p(G)}$ ist Teiler von $\abs{G}_{p'}=\frac{\abs{G}}{\abs{G}_p}$ ($\abs{G}= p^a m, p \nmid m$) \\
Beweis: $G$ operiert auf $\Syl_p(G)$ per Konjugation transitiv. Also ist $P \in\Syl_p(G)$, so ist $\abs{\Syl_p(G)}=[G : \Stab_G(P)]$. Wegen $P \trianglelefteq N_G(P)\leq G$ ist daher $\abs{\Syl_p(G)}$ Teiler von $m$.
3.1.4 Korrolar: (Cauchy's Theorem) $G$ hat ein Element der Ordnung $p$ ($p \mid\abs{G}$) \\
3.1.5 Satz: Sei $N \trianglelefteq G (N \neq G)$, und sei $P \in\Syl_p(G)$. Dann ist $PN/N \in\Syl_p(G/N)$ und $P \cap N \in\Syl_p(N)$. \\
Beweis: $[G/N : PN/N]=[G : PN]$ wegen 3. Isosatz. $PN/N \cong P/(P\cup N)\Rightarrow PN/N$ ist Gruppe. \\
$p \nmid[G:P]=\abs{G}_{p'}\Rightarrow[G : PN]$ ist Teiler von $m$, wird nicht von $p$ geteilt. \\
$\Rightarrow PN/N \in\Syl_p(G/N)$. \\
Nach 1.3.12 ist $[PN : P]=\frac{\abs{P}\cdot\abs{N}}{\abs{P \cap N}\abs{P}}=\frac{\abs{N}}{\abs{P \cap N}}\Rightarrow$ (nach oben) $P \cap N$ ist $p$-Untergruppe von $N$ mit $[N : P \cap N]$ wird nicht von $p$ geteilt. Also ist $P \cap N \in\Syl_p(N)$. \qed\\
Vorsicht: $H \leq G \nRightarrow H \cap P \in\Syl_p(H)$ für $P \in\Syl_p(G)$
3.1.6 Satz: Sei $H \leq G, P \in\Syl_p(G)$. Dann gibt es $g \in G$ so, dass $g P g^{-1}\cap H \in\Syl_p(H)$ ist. \\
Beweis: Sei $Q \in\Syl_p(H)\Rightarrow\exists P' \in\Syl_p(G)$ mit $Q \subseteq P' \Rightarrow\exists g \in G$ mit $P' = gPg^{-1}\cap H \supseteq Q$\\
3.1.7 Satz ("`$pq$-Theorem"'): Seien $p, q$ Primzahlen mit $p > q$. Sei $G$ Gruppe mit $\abs{G}= p \cdot q$. Dann ist $G$ abelsch (und daher $\cong C_{q \cdot p}\cong C_q \times C_p$) oder $p \equiv1\mod q$. Ist dies so, dann gibt es bis auf Isomorphie genau eine nicht abelsche Gruppe der Ordnung $p \cdot q$. \\
Beweis: Sei $P \in\Syl_p(G), Q \in\Syl_q(G)\Rightarrow\abs{P}= p, \abs{Q}= q \Rightarrow P \cong C_p \wedge Q \cong C_q$. Wir haben $P \cap Q =(1)$, und daher ist $G = P \cdot Q$ (1.3.12).
Mit 3.1.3 folgt $\abs{\Syl_p(G)}\mid[G:P]$ und mit 3.1.4 $\abs{\Syl_p(G)}\cong1\mod p$\\
$\Rightarrow\abs{\Syl_p(G)}=1=[G : N_G(P)]\Rightarrow N_G(P)= G \Rightarrow P \trianglelefteq G$ ($p > q \Rightarrow q \ncong1\mod p$). \\
Ist $p \ncong1\mod q \Rightarrow$ (analog) $ Q \trianglelefteq G \Rightarrow G = P \times Q$\\
Sei also $p \cong1\mod q$. Sei $G$ nicht abelsch, $\varphi : Q \rightarrow\Aut(P): x \mapsto c_x, c_x: P \rightarrow P: y \mapsto x y x^{-1}$. \\
$\ker\varphi\neq(1)\Rightarrow\ker\varphi= Q \Rightarrow\varphi Q \Rightarrow(1)\leq P$ und $c_x =\id_P \Rightarrow G = P \times Q$, $G$ abelsch. Widerspruch! \\
Also ist $\ker\varphi=(1)$, d.h. $\varphi$ ist injektiv. Sei $P = <g>$. Leicht: Sei $1\leq i \leq p-1$, so induziert $g \mapsto g^i$ einen Automorphismus $\sigma_i$ von $P = C_p = <g>$,
und $\Aut(P)=\set{\sigma_i | 1\leq i \leq p-1}$ ist zyklisch der Ordnung $p-1$.
Nun ist $q \mid p -1$, also hat $C_{p-1}\cong\Aut(C_p)$ eine eindeutige Untergruppe der Ordnung q, und diese ist isomorph zu $C_q \cong Q$. \\
Also: Unter $\varphi$ wird $Q$ auf die \underline{eindeutig bestimmte} Untergruppe der Ordnung $q$ von $\Aut(P)$ abgebildet. \\
Beachte: Ist $\psi: Q \rightarrow\Aut(P)$ ein Monomorphismus, so ist $\im\varphi=\im\psi$, es gibt aber viele Monomorphismen von $Q \rightarrow\Aut(P)$. \\
Für jeden solchen Monomorphismus $\psi$ haben wir eine Gruppe $P \rtimes_\psi Q$. \\
Der nächste Satz zeigt: Alle diesen semidirekten Produkte sind isomorph. Also gibt es in diesem Fall ($p \cong1\mod q$) genau eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung $p \cdot q$. \qed
3.1.8 Satz: Sei $H$ zyklische Gruppe, $N$ Gruppe. Seien $\varphi, \psi$ Monomorphismen von $H \rightarrow\Aut(N)$ mit $\im\varphi=\im\psi$. Dann ist $N \rtimes_\varphi H \cong N \rtimes_\psi H$. \\
Beweis: Sei $H = <x>$. Wegen $\varphi(H)=\psi(H)$ ist $<\varphi(x)> = <\psi(x)> \leq\Aut(N)$. Es gibt also $a, b \in\Z$ mit $\varphi(x)^a =\psi(x)$ und $\psi(x)^b =\varphi(x)$.
Für $s \in\Z$ ist dann $\varphi((x^s)^a)=\varphi(x)^{as}=\psi(x)^s =\psi(x^s)$, d.h. $\varphi(h^a)=\psi(h)\forall h \in H$, analog $\psi(h^b)=\varphi(h)\forall h \in H$. \\
Definiere $\tau: N \rtimes_\psi H \rightarrow N \rtimes_\varphi H$ durch $\tau(n \cdot h)= n \cdot h^a$ und $\lambda: N \rtimes_\varphi H \rightarrow N \rtimes_\psi H$ durch $\lambda(n \cdot h)= n \cdot h^b$\\
$\Rightarrow\tau$ (und analog $\lambda$) ist Gruppenhomomorphismus. \\
Nun ist $\tau\lambda : nh \mapsto\tau(n\cdot h^b)= n\cdot h^{ba}$, aber $\varphi(x)=\psi(x)^b =(\varphi(x^a))^b =\varphi(x^{ab})$ und $\varphi$ ist injektiv. Also ist $x = x^{ab}$ und daher $h = h^{ab}\forall h \in H$, also ist $\tau\lambda=\id_{N \rtimes_\varphi H}, \lambda\tau=\id_{N \rtimes_\psi H}$\\
Also sind $\tau, \lambda$ Isomorphismen und $N \rtimes_\varphi H \cong N \rtimes_\psi H$, \qed.
Erinnerung: $A_5$ ist einfach $A_5\leq\sigma_5$, $\abs{\sigma_5}=5!=120\Rightarrow A_5=60=3\cdot5\cdot2^2$.
3.1.9 Satz: Sei $G$ einfach, $\abs{G}=60$. Dann ist $G \cong A_5$. \\
Beweis: Sei $n \in\N$ und $H \lneq G$ mit $[G : H]= n$. Sei $\rho: G \rightarrow\sigma_n$ die Darstellung, die zu der $G$-Menge $G/H$ gehört.
$\Rightarrow\rho$ ist injektiv. Insbesondere ist $\abs{G}=60\leq n!\Rightarrow n \geq5$. \\
Beh: $G$ besitzt eine Untergruppe von $H$ mit $[G : H]=5$. \\
Angenommen, $G$ besitzt keine solche Untergruppe: $\abs{\Syl_2(G)}\neq1$ teilt $3\cdot5=15$, sonst wäre $G$ nicht einfach. Sei $P \in\Syl_2(G)$. Betrachte Möglichkeiten für $\abs{\Syl_2(G)}$: \\
~~ 3: $[G:N_G(P)]=3 < 5$ Widerspruch! \\
~~ 5: $[G:N_G(P)]=5$ Widerspruch zur Annahme \\
Also ist $[G:N_G(P)]=15$ Seien $S_1, S_2\in\Syl_2(G), S_1\neq S_2$. Sei $1\neq t \in S_1\cap S_2$. $V_4= C_2\times C_2, C_4$ sind die einzigen Gruppen der Ordnung $4$.
$\Rightarrow S_1$ und $S_2$ sind abelsch $\Rightarrow\abs{C_G(t)} > 4$ und $4\mid\abs{C_G(t)}$, da $S_1\leq C_G(t)$.
$\Rightarrow[G:C_G(t)]\in\set{1,3,5}\Rightarrow[C:C_G(t)]=1\Rightarrow t \in Z(G)\trianglelefteq G$ Widerspruch zur Einfachheit von $G$. \\
Also hat $G:$$15(4-1)=45$ der Ordnung $2$ oder $4$. Da $G$ einfach ist, gilt für $P \in\Syl_5(G): 1\neq[G:N_G(P)]\mid4\cdot3$ und $[G:N_G(P)]\cong1\mod5$, also nicht $\set{1, 2, 3, 4, 12}$ - also hat $G$ genau $6$$5$-Sylowgruppen, und daher $6(5-1)=24$ Elemente der Ordnung 5. Also ist $\abs{G}\leq45+24 > 60$ Widerspruch. Also hat $G$ eine Untergruppe $H$ mit $[G:H]=5$. \\
Sei wieder $\varphi: G \rightarrow\sigma_5$ die Darstellung auf $G/H$. Diese ist injektiv, so ist $G$ ohne Einschränkung Untergruppe von $\sigma_5$ vom Index 2, da die $\abs{G}=60=\frac{120}{2}=\frac{\abs{\sigma_5}}{2}$. Also ist $G \trianglelefteq\sigma_5$. Angenommen $G \neq A_5\Rightarrow\abs{G \cdot A_5} > 60\Rightarrow G \cdot A_5=\sigma_5$. \\
Nach 1.3.12: $\abs{G \cap A_5}=\frac{\abs{G}\abs{A_5}}{G \cdot A_5}=30$. Also ist $G \cap A_5$ Untergruppe von $G$ vom Index 2 - Widerspruch. Also $G = A_5$.
3.1.10 Korrolar: $\PSL_2(4)\cong\PSL_2(5)\cong A_5$, da $\PSL_2(4)$ und $\PSL_2(5)$ einfach mit Ordnung 60.
Bemerkung: Man kann zeigen: Alle anderen Gruppen $\PSL_n(q)$ sind paarweise verschieden (?). \\
Relativ leichte Übung: Ist $G$ einfach und $\abs{G} < 60$ so folgt $G \cong C_{\abs{G}}$
3.1.11 Satz "`Frattini Argument"': Sei $G$ endliche Gruppe, $N \trianglelefteq G$ und $P \in\Syl_p(N)$, $p$ Primzahl. Dann ist $G = N_G(P)\cdot N$. \\
Beweis: Sei $g \in G$. Wegen $gNg^{-1}= N \trianglelefteq G$ ist $gPg{-1}\subseteq N \Rightarrow gPg^{-1}\in\Syl_p)N)$. Also gibt es $n \in N: n ( gPg^{-1}) n^{-1}= P = ng P (ng)^{-1}$
$\Rightarrow ng \in N_G(P)\Rightarrow g \in n^{-1} N_G(P)\subseteq N N_G(P)= N_G(P) N$. \qed
4.1.1 Definition: Sei $\Omega$ eine Menge, dann heißt $G$ Gruppe mit Operatorenbereich $\Omega$ (kurz $\Omega$-Gruppe), falls es eine externe binäre Verknüpfung $\Omega\times G \rightarrow G: (\alpha, g)\mapsto\alpha g \in G$ gibt mit $\alpha(g_1 g_2)=(\alpha g_1)(\alpha g_2)\forall g_1, g_2\in G, \alpha\in\Omega$. \\
\underline{Äquivalente Formulierung:} Es gibt eine Abbildung von $\Omega\rightarrow\set{\sigma: G \rightarrow G \mid\sigma\text{ ist Gruppenhom.}}$.
Eine Untergruppe $H$ der $\Omega$-Gruppe $G$ heißt \underline{zulässig} ($\Omega$-Untergruppe, $H \leq_\Omega G$), falls $\alpha h \in H \forall h \in H, \alpha\in\Omega$, und sie heißt zulässiger Normalteiler
($\Omega$-Normalteiler, $H \trianglelefteq_\Omega G$), wenn $H$ zusätzlich Normalteiler von $G$ ist.
Klar: Homomorphismen von $\Omega$-Gruppen: $F: G \rightarrow X$ Gruppenhomomorphismus mit $f(\alpha g)=\alpha f(g)$, $G, X$$\Omega$-Gruppen, $g \in G, \alpha\in\Omega$\\
Es gelten Isosätze, Kerne von $\Omega$-Homomorphismen sind $\Omega$-Normalteiler, Bilder sind $\Omega$-Untergruppen. \\
Eine $\Omega$-Gruppe heißt \underline{einfach}, falls sie keine nichttrivialen $\Omega$-Normalteiler hat.
4.1.2 Beispiele: $G: \Omega$-Gruppe
\begin{enumerate}[i)]
\item$\Omega=\emptyset$: zulässigen Untergruppen = Untergruppe von $G$, zulässigen Normalteiler = Normalteiler von $G$.
\item$\Omega=\Inn(G)$ ($\Omega= G$ operiert durch Konjugation auf $G$): zulässigen Untergruppen = zulässigen Normalteiler = Normalteiler von $G$.
\item$\Omega=\Aut(G)$: zulässigen Untergruppen = char. Untergruppen von $G$.
\item$G =(R, +)$ = add. Gruppe eines Rings $R$ mit 1 (alle Untergruppen sind Normalteiler) \\
$\Omega= R$ operiert auf $G$ per Multiplikation von links (rechts). Die $\Omega$-Untergruppen von $(R, +)$ sind genau die Linksideale (Rechtsideale) von $R$.
Links-Rechts-Operation: $\Omega\times G \times\Omega\rightarrow G: (\alpha, g, \beta)\mapsto\alpha g \beta$ mit $(\alpha g)\beta=\alpha(g \beta)$. \\
Für $(R, +)$ mit $\Omega= R$ sind dann die zulässigen Untergruppen die Ideale von $R$.
\item$M = G =$ additive abelsche Gruppe mit $R$-Modul, $R =$ Ring $\ni1$, $M$ ist eine $R$-Gruppe unter Linksmultiplikation mit Elementen von $R$. \\
Die zulässigen $R$-Untergruppen = zulässige $R$-Normalteiler = Untermoduln (analog für Rechtsmoduln).
\end{enumerate}
Jetzt sei $\Omega$ eine Menge und $G$ eine $\Omega$-Gruppe.
Definition: Eine endliche Folge $G = G_0 >_\Omega G_1 >_\Omega G_2 >_\Omega\ldots >_\Omega G_r =(1)$ von $\Omega$-Untergruppen heißt \underline{Kompositionsreihe} von $G$,
falls $G_{i+1}\trianglelefteq_\Omega G_i$ und $G_i/G_{i+1}$ ist einfache $\Omega$-Gruppe.
Beispiel: $\sigma_5\trianglerighteq A_5\trianglerighteq(1)$ ist eine Kompositionsreihe mit "`Kompositionsfaktoren"' $\sigma_5/ A_5\cong C_2, A_5= A_5/(1)$.
Definition: $N$ ist maximale normale $\Omega$-Untergruppe von $G$, falls $G \neq N \trianglelefteq_\Omega G$ und kein $\Omega$-Normalteiler von $G$ echt zwischen $N$ und $G$ existiert $\Rightarrow G/N $ einfache $\Omega$-Gruppe.
Beachte: Für $\Omega$-Gruppen gelten die 3 Isomorphiesätze, und daher der Korrespondenzsatz 1.1.11.
4.1.3 Satz: Endliche Gruppen ($\Omega=\emptyset$) besitzen Kompositionsreihen. Beweis klar.
4.1.4 Korrolar: Sei $G$ endliche Gruppe ($\Omega=\emptyset$), und sei $N \trianglelefteq G$. Dann besitzt $G$ eine Kompositionsreihe "`durch"' N, d.h. $N$ kommt als eine der Untergruppen $G_i$ vor. \\
Beweis: Sei $N = N_0 > N_1 > N_2 > \ldots > N_k =(1)$ Kompositionsreihe von $N$ und $G/N = H_0 > H_1 > \ldots > H_r =(1)$ Kompositionsreihe von $G/N$, $G_i =$ volles Urbild von $H_i$ in $G/N$, also
$G_i =\set{g \in G \mid gN \in H_i}$. \\
1.1.11 $\Rightarrow G = G_0 > G_1 > \ldots > G_{r-1} > N = N_0 > \ldots > N_k =(1)$ Kompositionsreihe von $G$ durch $N$. \\
4.1.5 Lemma: Sei $G$ beliebige $\Omega$-Gruppe mit einer Kompositionsreihe. Sei $N \trianglelefteq_\Omega G$, dann besitzt $N$ ebenfalls eine Kompositionsreihe. \\
Beweis: Sei $G = G_0 > G_1 > \ldots > G_r =(1)$ Kompositionsreihe von $G$. Sei $N_i = N \cap G_i$. Dann ist $N = N_0\geq N_1\geq\ldots\geq N_r =(1)$\\
Dann ist $N_{i+1}= G_{i+1}\cap N \trianglelefteq N_i = G_i \cap N$ und $N_i/N_{i+1}=(N \cap G_i)/(N \cap G_{i+1})=(N \cap G_i)/((N \cap G_i)\cap(G_{i+1}))
Also ist, da $G_i/G_{i+1}$ einfach ist, entweder $N_i/N_{i+1}=(1)$ (d.h. $N_i = N_{i+1}$), oder $N_i/N_{i+1}\cong G_i/G_{i+1}$ einfach. \\
So erhalten wir eine Kompositionsreihe von $N$ durch Streichung der Wiederholungen in $N = N_0\geq N_1\geq\ldots\geq N_r =(1)$. \qed
Definition: Eine Kette $G = G_0 > G_1 > \ldots > G_r =(1)$ heißt $\Omega$-Subnormalkette, falls $G_{i+1}\trianglelefteq_\Omega G$ ist, und $\Omega$-Normalkette, falls $G_i \trianglelefteq_\Omega G$ ist.
Seien $G = G_0 > G_1 > \ldots > G_r =(1)$ und $G = H_0 > H_1 > \ldots > H_r =(1)$ zwei Subnormalketten derselben Länge $r$. Dann heißen diese äquivalent, fall es ein $\rho\in\sigma_r$ gibt mit $G_{i-1}/G_i \cong H_{\rho(i)-1}/H_{\rho(i)}$ für $1\leq i \leq r$. \\
Klar: Dies ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Subnormalketten der Länge $r$ von $G$.
4.1.6 Satz (Jordan-Hölder): Sei $G$ eine $\Omega$-Gruppe und besitze $G$ eine Kompositionsreihe. Dann haben je zwei Kompositionsreihen von $G$ dieselbe Länge und sind äquivalent. \\
Konsequenz: In einer Kompositionsreihe einer $\Omega$-Gruppe (= einfache $\Omega$-Gruppen), sind die vorkommenden einfachen Kompositionsfaktoren mit ihren Multiplizitäten eindeutig bestimmt (aber nicht die Reihenfolge).
Beweis: Seien $G = G_0 > G_1 > \ldots > G_r =(1)$ und $G = H_0 > H_1 > \ldots > H_s =(1)$ zwei Kompositionsreihen von $G$. \\
Induktion über $r$: \\
$r =0$: $G =(1)$ trivial. \\
$r =1$: $G \trianglerighteq(1)$ ist Kompositionsreihe $\Rightarrow G$ ist einfach $\Rightarrow s = s, H_1=(1)$. \\
Sei $r > 1$ und die Behauptung bewiesen für alle $\Omega$-Gruppen mit einer Kompositionsreihe der Länge $< r$. \\
Ist $G_1= H_1$, so hat $G_1= H_1$ die Kompositionsreihe $G_1 > G_2 > \ldots > G_r =(1)$ der Länge $r-1$ und $H_1 > H_2 > \ldots > H_s =(1)$, die nach Induktionsvoraussetzung äquivalent sind und $r-1= s-1$, also $r = s$ und mit $G_/G_1= H/H_1$ fertig. \\
Sei also $G_1\neq H_1$. Wegen $G_1\trianglelefteq G_0= G, H_1\trianglelefteq H_0= G$ ist $G_1\lneq G_1 H_1\trianglelefteq G$. Da $G/G_1$ einfach ist, ist also $G_1 H_1= G$. \\
Sei $K = G_1\cap H_1$, dann ist $G/G_1\cong H_1/K$ und $G/H_1\cong G_1/K$. \\
Also sind $G_1/K$ und $H_1/K$ einfache $\Omega$-Gruppen. \\
Beachte $K \trianglelefteq G$, also besitzt $K$ eine Kompositionsreihe $K = K_0 > K_1 > \ldots > K_t =(1)$. \\
$G_1 > K_0 > K_1 > \ldots > K_t =(1)$ ist Kompositionsreihe von $G$ der Länge $t+1$, die nach Induktionsvoraussetzung äquivalent zu $G_1 > G_2 > \ldots > G_r$ ist, und $t+1=r-1$, analog $t+1=s-1$, also $r = s$. \\
Wegen $G/G_1\cong H_1/K$ und $G/H_1\cong G_1/K$ sind die ursprünglichen Kompositionsreihen äquivalent.
\item$G$ ist $\Omega$-Gruppe mit $\Omega=\Inn(G), G = G_0 > \ldots > G_r =(1)$ mit $G_i \trianglelefteq G$ und $G_i/G_{i+1}$ einfache Gruppe ("`Normalreihe"', Hauptreihe mit Hauptfaktoren $G_i/G_{i+1}$)
\item$R =\text{Ring}\ni1, G =(R, +), \Omega= R$ operiert durch Linksmultiplikation. Kompositionsreihe: $R = R_0 > \ldots > R_r =(0)$, $R_i$ Linksideale von $R_1$, $R_i/R_{i+1}$ einfacher $R$-Modul.
\item$R =\text{Ring}\ni1, M =$ abelsche Gruppe, $R$-Linksmodul. $M = M_0 > \ldots > M_r =(0)$ mit $M_i/M_{i+1}$ irreduzibler $R$-Modul.
\end{enumerate}
Beachte: Ist $G = G_0 > G_1 > \ldots > G_r$ eine Hauptreihe für $G$, so ist $G_i/G_{i+1}$ minimaler Normalteiler von $G/G_{i+1}$ (Korrespondenzsatz)
4.1.8 Satz: Ein minimaler Normalteiler einer endlichen Gruppe $G$ ist direktes Produkt von Kopien einer einzigen einfachen Gruppe. \\
Beweisidee: Sei $(1)\neq N \trianglelefteq G, N \neq G$ minimaler Normalteiler von $G$. Ist $N$ einfachh, so sind wir fertig. \\
Sei $N$ nicht einfach und sei $(1)\neq N_1$ maximaler echter Normalteilervon $N$. Seien $N_1, \ldots, N_k$ die verschiedenen $G$-konjugierten von $N_1$ ($N_i = g_i N g_i^{-1}$ für ein $g_i \in G$).
Nun ist $g_i N_1 g_i^{-1}\subseteq g_i N g_i^{-1}= N \Rightarrow N_1, \ldots, N_k \leq N$. Es gilt also $N_i \trianglelefteq N$\\
Man kann zeigen, dass alle $N/N_i$ isomorph und einfach und $N \cong$ direktes Produkt eines Teils der $N/N_i$. (Details Übung)
4.1.9 Satz: Endliche Gruppen besitzen eine Hauptreihe (Kompositionsreihe mit $\Omega=\Inn(G)$). Jeder Hauptfaktor ist minimale normale Untergruppe einer Faktorgruppe von $G$ und
daher direktes Produkt von Kopien einer einfachen Gruppe. \\
Beweis: Sei $G$ endliche Gruppe. Induktion über $\abs{G}$. $\abs{G}=1$ trivial. \\
Ist $(1)\neq G$ und $G$ einfach, so ist $G > (1)$ eine Hauptreihe. \\
Sei also $G$ nicht einfach und $N \neq(1)$ minimaler Normalteiler von $G$. Nach Induktion besitzt $G/N$ eine Hauptreihe $G/N = G_0/N > G_1/N > \ldots > G_r/N =(1)$ mit $G_i$ = volles Urbild von $(G/N)_i$ in $G$
$\Rightarrow G = G_0 > G_1 > \ldots > G_r = N > G_{r+1}=(1)$ ist Hauptreihe für $G$. \qed
Übung: Sei $G$ Gruppe. Hat $G$ eine Kompositionsreihe ($\Omega=\emptyset)$, so auch eine Hauptreihe ($\Omega=\Inn(G)$).
Allgemein: $\Lambda=$ kommutativer Ring $\ni1$, Eine $\Lambda$-Algebra is ein Ring $R$ mit Einselement zusammen mit einem einserhaltenden Ringhomomorphsimus $f$ von $\Lambda\rightarrow Z(R)=\set{r \in R | rs = sr \forall s \in R}$, $Z(R)$ ist immer ein Unterring von $R$, $1_R \in Z(R)$, so dass gilt: \\
(Wir schreiben $\Lambda r$ statt $f(\Lambda)r$ für $\lambda\in\Lambda. r \in R$) \\
$\lambda r = r \lambda\forall r \in R$ ($f$ nicht notwendigerweise injektiv) \\
Beachte: $\overline{f}: \Lambda/\ker f \rightarrow Z(r)$ ist injektiv, d.h. $R$ ist $\overline{\Lambda}$-Algebra mit $\overline{\Lambda}=\Lambda/\ker f$
Beachte:
\begin{enumerate}[i)]
\item Jeder Ring ist $\Z$-Algebra durch $z \mapsto z \cdot1_R$.
\item Unterringe einer $\Lambda$-Algebra sind nicht notwendigerweise Uneralgebren, aber Rechtsideale und Linksideale sind es. Nicht jeder Ringhomomorphsimus zwischen $\Lambda$-Algebren ist Algebra Homomorphismus (auch $\Lambda$-linear).
\end{enumerate}
Beispiele:
\begin{enumerate}[i)]
\item$K^{n \times n}, \End_K(V), V = K$-Vektorraum
\item Auf $R =\C^2$ definieren wir eine Multiplikation durch $(\alpha, \beta)(\gamma, \delta)=(\alpha\gamma+\beta\delta, \alpha\delta+\beta\gamma)$\\
Übung: $R$ ist 2-dimensionale kommutative $\C$-Algebra. $\C$-Basis: $\set{e :=(1,0), a :=(0,1)}$\\
$e \cdot e =(1,0)(1,0)=(1,0)= e, a \cdot e = e \cdot a =(0, 1)= a, a \cdot a =(1,0)= e$\\
$(\set{e, a}, \cdot)= C_2$
\end{enumerate}
5.1.1 Definition: $\Lambda=$ kommutativer Ring $\ni1$, $A =\Lambda$-Algebra, so dass gilt:
\begin{enumerate}[i)]
\item Als $\Lambda$-Modul ist $A$ frei mit einer Basis $\cB$ so dass gilt:
\item$(\cB, \cdot)\cong G$ = Gruppe
\item Dann heißt $A$ Gruppenalgebra über $\Lambda$ der Gruppe $G$ und wird mit $\Lambda G$ bezeichnet.
\end{enumerate}
Fragen:
\begin{enumerate}[i)]
\item$G$ Gruppe, $\Lambda=$ kommutativer Ring $\ni1$\\
Gibt es eine Gruppenalgebra $\Lambda G$?
\item Gibt es genau eine Gruppenalgebra $\Lambda G$ Ja (trivial)
\item Bestimmt die Gruppenalgebra die Gruppe $G$, d.h. ist $\Lambda G \cong\Lambda H \Rightarrow G \cong H$? Nein! \\
$\abs{G} < \infty$. Klar $\abs{G}=\abs{H}$. \\
$\Lambda=\C$: Viele Gegenbeispiele: $\C D_8\cong\C Q_8$, \ldots\\
$\Lambda=\Z$ (Highman, $\sim$ 1930) Vermutung: $\Z G \cong\Z H \Rightarrow G \cong H$? Nein, Gegenbeispiel: \\
5.1.4 Satz: Seien $\Lambda$, G, $\Lambda G$ wie oben beschrieben. Dann $\Lambda G$ assoziative $\Lambda$-Algebra mit Einselement $1_{\Lambda G}=\sum\alpha_g g$ mit $\alpha_g =1$ für $g=1$ und sonst $0$. ($\alpha_g =1_G$). Durch $g: \mapsto\sum_h a_h h$ mit $a_h =1$ für $h = g$ und 0 sonst wird $G$ in $\Lambda G$ eingebttet und bildet eine $\Lambda$-Basis von $\Lambda G$.
Beweis: Trivial.
Andere Notation: $\sum\alpha_g g \mapsto$ Abbildung $G \rightarrow K: g \mapsto\alpha_g \in\Lambda$ mit $\alpha_g =0$ für fast alle $g$. \\
$\Lambda G =\set{f \ in \Lambda^G \mid f(g)=0\text{ für fast alle } g \in G}$\\
$x, y \in\Lambda G \subseteq\Lambda^G:$ Für $g \in G$ ist $(x+y)(g)= x(g)+ y(g), (\lambda x)(g)=\lambda x(g), (xy)(g)=\sum_h x(h)y(h^{-1}g)$ "`Faltung"' \\
Erinnerung: $A =\Lambda$-Algebra, $M = A$-Linksmodul, d.h. $(M, +)$ ist abelsche Gruppe mit binärer Operation von $A \times M \rightarrow M: (a, m)\mapsto am$ mit $1_A m= m, (ab)m = a(bm), a(m+n)= am+an, (a+b)m = am + bm \forall a,b \in A, m,n \in M$
$A^{mod}=$ Klasse der $A$-Linksmoduln, $\lsup{mod}{A}=$ Klasse der Rechtsmoduln.
Definition: $G=$ Grupoe, $K=$ Körper. Eine (lineare)-Darstellung von $G$ vom Grad $n$ ist ein Homomorphismus $\rho: G \rightarrow\GL_n(K)$
lineare Darstellung von $G$ über dem $K$-Vektorraum $V$ ist ein Homomorphismus $\varphi: G \rightarrow\Aut_k(V)$.
Für eine $K$-Algebra $A$ ist eine Darstellung von $A$ über dem $K$-Vektorraum $V$ ein $K$-Algebra-Homomorphismus $A \rightarrow\End_K(V)\cong M_{n \times n}(K)(\dim_K V = n)$\\
Sei $\rho: KG \rightarrow\End_K(V)$ Darstellung. Dann wird $V$ zum $KG$-Modul durch $x \cdot m =(\rho(x))(m)$ für $y \in KG$ und $m \in V$. \\
Umgekehrt: Ist $V$ ein $A$-Modul, so wird durch $\rho: A \rightarrow\End_K(V): a \mapsto\lambda_a, \lambda_a(v)= av$ für $a \in A, v \in V$ eine Darstellung von $A$ über $V$ definiert. \\
So: Konzept der Darestellungen von $A$ ist äquivalent zum Konzept der $A$-Moduln. (Vgl. Permutationsdarstellungen). \\
Homomorphismen von $A$-Moduln: Klar. \\
Homomorphismen von Darstellungen: Seien $\rho : A \rightarrow\End_K(V), \psi : A \rightarrow\End_K(W)$ Darstellungen von $A$. Ein Homomorphismus von $\rho$ nach $\psi$ ist ein $K$-lineare Abbildung $f: V \rightarrow W$, so dass $\forall a \in A: f \circ\rho(a)=\psi(a)\circ f$
\begin{diagram}
V &\rTo^f & W \\\dTo^{\rho(a)}&&\dTo_{\psi(a)}\\ V &\rTo^f & W
\end{diagram}
Beachte: $W = V$ mit $f \in\Aut_K(V)$ Homomorphismus von $\rho$ nach $\psi\Leftrightarrow\psi(a)= f \circ\rho(a)\circ f^{-1}\forall a \in A$\\
$\dim_K(V)= n, \tilde{\rho}: A \rightarrow M_{n \times n}(K), \tilde{\psi}: A \rightarrow M_{n \times n}(K)$ zugehörige Matrixdarstellungen nach Wahl einer Basis $\cB$, so
kann man $f$ als Basiswechsel interpretieren: $m_{\id}(\cC, \cB)= m_f(\cB, \cB)$ für Basis $\cC$ von $V$. \\
Definition: Seien $A, B$$\Lambda$-Algebren mit $1$ und sei $M$ ein $A$-Linksmodul und ein $B$-Rechtsmodul. $M$ heißt $A$-$B$-Bimodul falls gilt: \\
$\forall\alpha\in A, \beta\in B, m \in M: (\alpha m)\beta=\alpha(m \beta)$\\
($M$$A$-Linksmodul und $B$-Linksmodul: $\alpha(\beta m)=\beta(\alpha m)$)
Beachte: Für die zugehörigen Darstellungen bedeutet das: $\lambda_\alpha: M \rightarrow M: m \mapsto\alpha m, \rho_\beta: M \rightarrow M: m \mapsto m \beta$\\
(Abbildung $\rho: B \rightarrow\End_\Lambda(M)$ ist Antihomomorphismus, d.h. $\rho_\beta\rho_\gamma=\rho_{\gamma\beta}$ für $\gamma, \beta\in B$) \\
Bedingung $\Leftrightarrow\lambda_\alpha\rho_\beta=\rho_\beta\lambda_\alpha\forall\alpha\in A, \beta\in B$\\
d.h. $\lambda_\alpha$ und $\rho_\beta$ zentralisieren einander in $\End_\Lambda(M)$ ($\forall\lambda\in\Lambda, m \in m: \lambda m = m \lambda$)
5.1.3 Beispiel: $M \in A^{mod}=\set{\text{Links-$A$-Moduln}}$. Sei $E =\End_A(M)$. $E$ operiert auf $M$ von rechts. \\
$E =\set{b \in\End_\Lambda(M)\mid(am) b = a (mb)\forall a \in A, m \in M}$\\
Dann ist $E$$\Lambda$-Algebra und $M$ ein $A$-$E$-Bimodul. \\
Beweis: $A =\Lambda$-Algebra $\Rightarrow M$ ist $\Lambda$-Modul durch Einschränken, $\lambda m =(\lambda1_A) m$.
Durch $\lambda m = m \lambda$ wird $M$ ein $\Lambda$-Rechtsmodul, da $\Lambda$ kommutativ ist. \\
Ein $A$-Endomorphismus ist dann auch ein $\Lambda$-Endomorphismus, d.h. $E =\End_A(M)\subseteq\End_\Lambda(M)$.
Für $b \in E$, $m \in M$ und $\lambda\in\Lambda$ sei $\lambda b \in\End_A(M)$ definiert durch $m (\lambda b)=\lambda(m b)=(m b)\lambda= m (b \lambda)$. So ist $E$ eine $\Lambda$-Algebra. Rest klar.
Bemerkung: $A$ und $B$ seien $\Lambda$-Algebren, $M$ ein $A$-Links- und $B$-Rechtsmodul. $\lambda: A \rightarrow\End_\Lambda(M): a \mapsto\lambda_a, \rho : B \rightarrow\End_\Lambda(M): b \mapsto\rho_b, \rho_b(m)= m b$\\
$\rho$ Antihomomorphismus, $\lambda$ Homomorphismus von $\Lambda$-Algebra \\
($R$ Ring, $R^{opp}=$ Ring auf Menge $R$ mit Multiplikation $\ast$ gegeben durch $r \ast s = sr \forall r,s \in R$)
Dann ist $M$ ein $A$-$B$-Bimodul $\Leftrightarrow$$\tilde{B}\subseteq\End_A(M)\subseteq\End_\Lambda(M)\Leftrightarrow\tilde{A}\subseteq\End_B(M)\subseteq\End_\Lambda(M)$
Man sagt: $M$ erfüllt Schur-Wyl-Dualität oder ist balanced oder erfüllt Bizentralisatoren Eigenschaft, falls gilt: $\tilde{B}=\End_A(M), \tilde{A}=\End_B(M)$.
$\rightsquigarrow$ Ausrechnen von $\End_A(M):$$\Lambda= K $ Körper, $M \in\Lambda^{mod}, \dim_K M = n < \infty, \rho: A \rightarrow M_{n \times n}(K)$ zugehörige Matrixdarstellung. \\
$G_a: \rho(a)X = X \rho(a), X \in M_{n \times n}K$. Um $E$ auszurechnen genügt es die Gleichunssysteme $G_a$ für $a \in A$ simultan zu lösen. \\
Angenommen, $a_1, \ldots, a_k \in A$ so, dass $A$ die kleinste Unteralgebra von $A$ ist, die $a_1, \ldots, a_k$ enthält, d.h. $\set{a_1, \ldots, a_k}$ erzeugt die $K$-Algebra $A$,
dann genügt es $\rho(a_i)X = X \rho(a_i)$ simultan zu lösen $\rightsquigarrow$ mühsamer Weg um $E$ auszurechnen.
Definition: Sei $M \in\lsub{A}{\Mod_B}, N \in\lsub{B}{\Mod_C}$. Eine Abbildung $f: M \times N \rightarrow U \in\lsub{A}{\Mod_C}$ heißt $A$-$C$-bilinear und $B$-balanced, falls gilt $\forall a \in A, b \in B, c \in C, m, m_1, m_2\in M, n, n_1, n_2\in N$: \\
Ein \underline{Tensorprodukt}$M \otimes_B N \in\lsub{A}{\Mod_C}$ über $B$ ist ein $A$-$C$-Bimodul zusammen mit einer $A$-$C$-bilinearen, $B$-balanced Abbildung $\eta: M \times N \rightarrow M \otimes_B N$ so, dass folgende universelle Eigenschaft gilt:
\begin{diagram}
M \times N &\rTo^\eta& M \otimes_B N \\
&\rdTo_{f}&\dTo_{\exists ! \hat{f}}\\
&& U \in\lsub{A}{\Mod_C}
\end{diagram}
mit $\hat{f}\circ\eta= f$
$\cA$ = freie abelsche Gruppe über \\$M \times N =\set{ z_1(m_1, n_2)+ z_2(m_2, n_2)+\ldots+ z_k(m_k, n_k)\mid m_i \in M, n_i \in N, k \in N, z_i \in\Z}$\\
$ a \otimes b \in X: a \otimes b =1 a \otimes b =(4-3)(a \otimes b)=4(a \otimes b)-3(a \otimes b)=(4a)\otimes b - a \otimes(3b)=0\otimes b - a \otimes0=0$
Wir schreiben: $\Ind_H^G M =$ der von $H$ nach $G$ induzierte Modul.
Seien $M, N \in\lsub{KH}{\Mod}, f : M \rightarrow N$$KH$-linear. Dann ist $\id_{KG}\otimes f: KG \otimes_{KH} M \rightarrow KG \otimes_{KH} N$$KG$-linear.
Dann wird durch $f \otimes g: M_1\otimes_S N_1\rightarrow M_2\otimes_S N_2: m \otimes n \mapsto f(m)\otimes g(n)$ eine $R$-$T$-lineare Abbildung definiert. \\
Sei $\set{g_i \mid i \in I}$ Vertretersystem der Linksnebenklassen von $H$ in $G$, d.h. $G =\bigcup\limits_{i\in I}^{\bullet} g_i H$. Sei $g \in G$, dann $\exists! i \in I, h \in H: g = g_i \cdot h$. \\
Also lässt sich jedes $x \in KG$ eindeutig als Linearkombination $x =\sum_{i\in I} g_i y_i$ mit $y_i \in KH$ (fast alle 0) schreiben.
($x =\sum_{g \in G}\lambda_g \cdot g =\sum_{i \in I} g_i (\sum_{h \in H}\lambda_{g_i h} h), \lambda_g \in K$ fast alle 0)
Also: $KG_{KH}=\oplus_{i \in I} g_i KH$, ($KH$-Rechtsuntermoul von $KG_{KH}, g_i KH \cong KH$ als $KH$-Rechtsmodul) \\
$KG_{KH}$ ist frei als $KH$-Modul, mit $KH$-Basis $g_i$. \\
Nun ist $g_i H \otimes_{KH} M = g_i \otimes_{KH} M$\\
Wir haben gezeigt: $\Ind_{KH}^{KG} M = KG \otimes_{KH} M \cong\oplus_{i \in I} g_i \otimes M$ (mit $g_i \otimes M \cong M$ als $K$-Vektorraum) $\cong\oplus\abs{I}$ vielen Kopien vn $KH$ als Vektorraum.\\
$(g_i \otimes M$ ist ein $g_i KH g_i^{-1}$-Modul)
Allgemein: $S \subseteq R$ Ringe, $M \in\lsub{S}{\Mod}$, $\lsub{R}{R_S}\in\lsub{R}{\Mod_S}, \Ind_S^R = R \otimes_S M \in\lsub{R}{\Mod}$\\
Im allgemeinen ist aber $R_S$ nicht frei. Es kann durchaus passieren, dass $R \otimes_S M =(0)$.
5.2.4 Lemma: Sei $A, B$$K$-Algebren, $K$ Körper. Dann wird $A \otimes_K B$ zur $K$-Algebra vermöge der folgenden Multiplikation: \\
$\Rightarrow\cB$ ist Gruppenbasis von $KG \otimes_K KH, \cB\cong G \times H$ als Gruppe \qed
Ist $X$ Grupe, $f: X \rightarrow G \times H$ Gruppenhomomorphismus. So kann dieser zu einem $K$-Algebrahomomorphismus $f: KX \rightarrow KG \otimes_K KH$ fortgesetzt werden.
5.2.7 Definition: Sei $G$ Gruppe, dann wird durch $\Delta g =(g, g)\in G \times G$ ein injektiver Gruppenhomomorphismus $\Delta: G \rightarrow G \times G$ definiert.
Es ist $\Lambda(\sum\lambda_g g)=\sum\lambda_g (g \otimes g)$. Sind $M, N \in\lsub{KG}{\Mod}$, so wird $M \otimes_K N$ ein $KG$-Modul durch Einschränken auf der $KG \otimes_K KG$-Operation aus 5.2.5 auf $M \otimes_K M$ auf $\im\Delta\cong G$. So gilt: $g \in G, m \in M, n \in N$ ist $g (m \otimes n)= gm \otimes gn$. \\
Vorsicht: Sei $x =\sum\lambda_g g \in KG, m \in M, n \in N$:\\
~~ $xm \otimes xn =(\sum\lambda_g g m)\otimes(\sum\lambda_h h n)=\sum\limits_{g \in G, h \in H}\lambda_g \lambda_h (gm \otimes hn)$\\
Also ist i.A. $x(m \otimes n)\neq xm \otimes xn$
\subsection{$KG$-Moduln Grundlagen}
$A = K$-Algebra, $K$ Körper, $M \in\lsub{A}{\Mod}$. Ist $m \in M$, so ist $A \cdot m =\set{a \cdot m \mid a \in A}$ ein $A$-Untermodul. \\
Ist $S \subseteq M$, so ist $<S> = <S>_{A\text{-Modul}}=\sum_{s \in S} As \leq M$ der von $S$ erzeugte Untermodul von M.\\
$<S>=\bigcap_{U \leq M, s \leq U} U =$ kleinste Untermodul von $M$, der $S$ enthält. $S \subseteq M$ heiß Erzeugendensystem von $M$ falls $<S> = M$. \\
$M$ heißt endlich erzeugt, falls $M$ ein endliches Erzeugendensystem hat. \\
$M$ heißt zyklischer $A$-Modul, falls $M = A \cdot m$ für ein $m \in M$.
5.3.1 Satz: Sei $M \in\lsub{A}{\Mod}$. Dann ist $M$ zyklisch $\Leftrightarrow M$ ist epimorphes Bild von $\lsub{A}{A}\in\lsub{A}{\Mod}$. \\
Beweis: "`$\Rightarrow$"': Sei $M = Am$ zyklischer Modul. Definiere $f: \lsub{A}{A}\rightarrow m: a \mapsto a \cdot m$. $f$ ist $A$-linear: $f(ba)=(ba)m = b (am)= b f(a), f(a+b)=(a+b)m = am+bm=f(a)+f(b)$. \\
Klar: Wegen $M = Am$ ist $f$ Epimorphismus von $\lsub{A}{A}$ auf $M$. $M \cong\lsub{A}{A}/\ker f, \ker f =\set{a \in A \mid am =0}= ann_A(m)$. \\
"`$\Leftarrow$"': Sei $f: \lsub{A}{A}\rightarrow M$ Epimorphismus, $m = f(1)$. Sei $x \in M, a \in A: f(a)= x$\\
Dann ist $x = f(a)= f(a \cdot1)= a f(1)= am$. Also ist $M = A m$ zyklischer Modul.
Beispiel: $M \in\lsub{A}{\Mod}$ irreduzibel, $0\neq m \in M$. $(0)\neq Am \leq M \Rightarrow Am = M \Rightarrow M$ zyklisch.
5.3.2 Satz: Sei $A$ endlich dimensionale $K$-Algebra und sei $M \in\lsub{A}{\Mod}$ endlich erzeugt. Dann ist $\dim_KM < \infty$ und $M$ besitzt eine Kompositionsreihe. \\
Beweis: $M =\sum_{i=1}^k A m_i, \exists m_i \in M, k \in\N$\\
$A m_i$ ist zyklischer Modul und daher epimorphes Bild von $\lsub{A}{A}$. Wegen $\dim_K (\lsub{A}{A}) < \infty$ ist $\dim_K (Am_i) < \infty$, und daher $\dim_K M \leq\sum_{i=1}^k \dim_K (Am_i) < \infty$. \\
Da jeder $A$-Untermodul von $M$ insbesondere ein $K$-Untervektorraum von $M$ ist, muss jede echt absteigende Kette von $A$-Untermoduln von $M$ terminieren. Also hat $M$ eine Kompositionsreihe und Jordan-Hölder gilt. \qed
5.2.3 Korrolar: Sei $A$$K$-Algebra. Dann ist jeder einfache $A$-Modul zyklisch und daher epimorphes Bild vom \underline{regulären}$A$-Modul $\lsub{A}{A}$. Ist insbesondere $\dim_K A < \infty$, so sind alle irreduziblen $A$-Moduln endlich dimensional. Wegen $\dim_K A < \infty$ hat $\lsub{A}{A}$ eine Kompositionsreihe und daher kommen nur endlich viele Kompositionsfaktoren vor. Also gibt es nur endliche viele nicht isomorphe irreduziblen $A$-Moduln. \\
Beweis: Sei $M \in\lsub{A}{\Mod}$ irreduzibel, und sei $M \neq(0)$. Sei $0\neq m \in M \Rightarrow M = A \cdot m$, da $0\neq Am \leq M$ und $M$ irreduzibel. Also ist $Am = M$, d.h. $M$ ist zyklisch. Rest folgt. \qed
Bemerkung: Es ist im Allgemeinen falsch, dass jeder irreduzible $A$-Modul als Untermodul von $\lsub{A}{A}$ vorkommt! Für Gruppenalgebren $KG$, $\abs{G} < \infty$, stimmt dies aber!
Beispiele von $KG$-Moduln:
\begin{enumerate}[i)]
\item$\lsub{KG}{KG}$ ist der reguläre $KG$-Modul. Die zugehörige (Matrix-)Darstellung $\rho: G \rightarrow M_{\abs{G}\times\abs{G}}(K)$: \\
$\cB= G =$ Basis von $\lsub{KG}{KG}$ geordnet \\
Sei $g \in G$. Dann ist $g \cdot h \in G$ für ein $h \in G$. Man erhält die Permutationsmatrix, die die Linksmultiplikation von $g$ auf $G$ darstellt.
\item\underline{Allgemeiner}: Sei $\Omega$ endliche $G$-Menge, und sei $\rho: G \rightarrow\sigma_{\Omega}$ die zugehörige Permutationsdarstellung. Ordne $\Omega=\set{\omega_1, \ldots, \omega_k}$. \\
\begin{diagram}
\rho: G &\rTo&\sigma_k &\cong W \leq\GL_n(K) \\
\dInto\\
KG &\rTo& M_{k \times k} (K)
\end{diagram}
Modul: $V =$ (freie) $K$-Vektorraum mit Basis $\Omega, \sigma_\Omega\subseteq\End_K(V)$\\
$\rho: KG \rightarrow\End_K(V): g \mapsto$ Permutationsmatrix. $V \in\lsub{KG}{\Mod}$ "`Permutationsmodul"'
\item Der triviale $KG$-Modul ist $K$ mit $G$-Operation $g \cdot\lambda=\lambda\forall g \in G, \lambda\in K$. \\
Das heißt $G$ operiert "`trivial"' auf $K$. Die zugehörige Darstellung ist gegeben als Gruppenhomomorphismus $G \rightarrow K^\ast: g \mapsto1_K$
bzw. $\rho: KG \rightarrow K: \sum\lambda_g g \mapsto\sum\lambda_g$, fast alle $\lambda_g =0$ (Epimorphismus). \\
Es ist der $\ker\rho= < g -1\mid g \in G>_{\text{Ideal}}\trianglelefteq KG$. \\
( Für $S \subseteq A = K$-Algebra: $<S>_A =\bigcap_{I \trianglelefteq A, S \subseteq I} I =$ kleinstes Ideal von $A$, das $S$ als Teilmenge enthält $=\sum_{s\in S} AsA$ ) \\
$\dim_K (\ker\rho)=\abs{G}-1$\\
Das Ideal $< g-1\mid g \in G>_{\text{Ideal}}$ heißt \underline{Augmentationsideal} von $G$ und wird mit $\Omega KG$ bezeichnet.
\item Sei $H \leq G$, $\lsub{H}{K}$ triviale $KH$-Modul, $G =\bigcup\limits_{i \in I}^{\bullet} g_i H, \set{g_i \mid i \in I}$ Vertretersystem von $H$-Linksnebenklassen in $G$. \\
$G$ operiert auf $G \without H =\set{ g_i \mid i \in I}$ durch Linkstranslation: Für $g \in G, i \in I$ gibt es genau ein $j \in I$ und $h \in H: g g_i = g_j h$\\
$g \cdot g_i \Rightarrow g_j$ ist Permutationsdarstellung. \\
Sei $V$ der $K$-Vektorraum mit Basis $g_i, i \in I$. Dann wird $V$ zum $KG$-Modul nach ii). \\
$\varphi: KG \otimes_{KH} K \Rightarrow V: \sum_{i \in I}\alpha_i g_i \otimes1_k \mapsto\sum_{i \in I}\alpha_i g_i$,
d.h. Permutationsmodul von der $G$-Menge $G \without H$ ist $KG \otimes_{KH} K =\Ind_{KH}^{KG}(\lsub{H}{K})$
Umgekehrt: Ist $\Omega$ eine $G$-Menge und ohne Einschränkung transitiv (disjunkte Vereinigung von Orbits $\leftrightarrow$ direkte Summe der zugehörigen Permutationsmodule). \\
Sei $\Omega=(\omega_1, \ldots, \omega_k), H =\Stab_G(\omega_1)$. Dan ist der Permutationsmodul nach ii) isomorph zu $KG \otimes_{KH} K =\Ind_H^G(\lsub{H}{K})$.
\item Sei $V \in\lsub{KG}{\Mod}, V^\ast=\Hom_K(V, K)$. Dann wird $V^\ast$ zum $KG$-Modul durch $ f \in V^\ast, g \in G, v \in V: (gf)(v) := f(g^{-1} v)$. \\
D.h. für fast alle $\lambda_g =0$: $((\sum\lambda_g g) f)(v)=\sum\lambda_g f (g^{-1} v)\in K$
\end{enumerate}
5.2.4 Lemma: Sei $A, B, C, D, \ldots$$K$-Algebren, $\lsub{A}{M_B}\in\lsub{A}{\Mod_B}, \lsub{A}{N_C}\in\lsub{A}{\Mod_C}$. Dann wird $F :=\Hom_A(\lsub{A}{M_B}, \lsub{A}{N_C})\in\lsub{B}{\Mod_C}$ durch: \\
$~~(bf)(m) := f(mb), (fc)(m) := f(m)c$\\
Analog: Ist $M \in\lsub{A}{\Mod_B}, N \in\lsub{C}{\Mod_B}\Rightarrow F :=\Hom_B(\lsub{A}{M_B}, \lsub{C}{N_B})\in\lsub{C}{\Mod_A}$ durch: \\
$~~(cfa)(m) := c \cdot f(am)$\\
Beweis: $bf$ ist wohldefinierte Abbildung von $M \rightarrow N$. Zu zeigen: $bf$ ist $A$-linear:\\
$ ~~(bf)(m_1+ m_2)= f((m_1+m_2)b)= f (m_1 b + m_2 b)= f(m_1 b)+ f(m_2 b)=(bf)(m_1)+(bf)(m_2)$\\
$ ~~(bf)(am)= f((am)b)= f(a(mb))= a \cdot f(mb)= a \cdot(bf)(m)$\\
5.2.5 Lemma: Sei $A$$K$-Algebra, $\iota: A \rightarrow$ Antihomomorphismus von $K$-Algebren, d.h. $\iota$ ist $K$-linear, $\iota(a_1 a_2)=\iota(a_2)\iota(a_1)$. \\
Sei $V \in\lsub{A}{\Mod}$. Dann wird $V \in\Mod_A$ durch $v . a =\iota(a) v$\\
Beweis: $v . (a_1+ a_2)=\iota(a_1+ a_2)v =\iota(a_1)v +\iota(a_2)v = v . a_1+ v . a_2$ und \\
$ ~~ v . (a_1 a_2)=\iota(a_1 a_2) v =\iota(a_2)\iota(a_1) v =\iota(a_2)(va_1)=(va_1) . a_2$ usw. \qed
5.2.6 Lemma: Sei $G$ Gruppe. Dan induziert $g \mapsto g^{-1}$ einen Antihomomorphismus von $KG$ in $KG$ ($\sum\lambda_g g \mapsto\sum\lambda_g g^{-1}$).
5.2.7 Korrolar: $V \in\lsub{KG}{\Mod}$. Dann wird $V^\ast=\Hom_K(V, K)$ zum $KG$-Modul durch $(gf)(v) := f(g^{-1} v)$.
5.2.8 Korrolar: Seien $V, W \in\lsub{KG}{\Mod}$. Dann wird $\Hom_K(V, W)$ zum $KG$-Modul durch $(g.f)(v) := gf(g^{-1} v)$\\
Beweis: $\Hom_K(\lsub{KG}{V}, \lsub{KG}W)\in\lsub{KG}{\Mod}_{KG}$ durch $(gfh)(v)= gf(hv)$ für $f \in\Hom_K(V, W), g, h \in G, v \in V$. Also ein $KG \otimes_K KG^{op}$-Modul. \\
Mit $\Delta: G \Rightarrow G \times G^{op}: g \mapsto(g, g^{-1})$ wird daher $\Hom_K(V, W)$ zum Links-$KG$-Modul durch Einschränken. \\
5.2.9 Definition und Lemma: Sei $M \in\lsub{KG}{\Mod}$. Dann ist $M^G =\set{m \in M \mid g m = m \forall g \in G}$ der größte Untermodul von $M$, auf dem $G$ trivial operiert.
$M^G$ ist direkte Summe von $\dim_K(M^G)$ vielen Kopien des trivialen $G$-Moduls $K$. Die ELemente von $M^G$ werden $G$-Invarianten genannt. \\
Beweis: leicht. \\
$ ~~ (i \mid i \in I)$$K$-Basis von $M^G \Rightarrow M^G =\bigoplus_{i \in I} K v_i, K v_i \cong K =$ trivialer $KG$-Modul \qed
5.2.10 Satz: Sei $M, N \in\lsub{KG}{\Mod}$ und sei $\Hom_K(M, N)\in\lsub{KG}{\Mod}$ wie in 5.2.8. Dann ist $\Hom_K(M, N)^G \cong\Hom_{KG}(M, N)$ (als $K$-Vektorraum). \\
Beweis: Sei $f \in\Hom_K(M, N)$. Dann ist $f \in\Hom_K(M, N)^G \Leftrightarrow g .f = f \forall g \in G \Leftrightarrow(g.f)(v)= f(v)= g f (g^{-1} v)\forall g \in G, v \in M \Leftrightarrow f(g v)= g f(v)\Leftrightarrow f \in\Hom_{KG}(M, N)$
5.2.11 Satz: Sei $U, V \in\lsub{KG}{\Mod}$ endlicher Dimension. Dann ist $\Hom_K(U, V)\cong U^\ast\otimes V$ als $KG$-Moduln.
Spezialfall: $U = V, \dim_K(V) < \infty$. Dann ist $\End_{KG}(V)\cong(V^\ast\otimes V)^G$ als $K$-Vektorraum.
Beweis 5.2.11: $U^\ast$ ist $G$-Modul durch: $\alpha\in U^\ast: (g \alpha)(u)=\alpha(g^{-1} u)$ (siehe weit oben), und daher wird $U^\ast\otimes V$ zum $G$-Modul durch $g (\alpha\otimes v)=(g \alpha)\otimes(g v)$. \\
Definiere $\Gamma: U^\ast\otimes_K V \rightarrow\Hom_K(U, V)$ durch $\alpha\otimes v \mapsto A_{\alpha, v}$ mit $A_{\alpha, v}(u) :=\alpha(u)\cdot v \in V$. \\
Klar ist: $A_{\alpha, v}$ ist Abbildung $U \rightarrow V$. Zu zeigen: $A_{\alpha, v}$ ist $K$-linear: \\
$A_{\alpha, v}(u_1+ u_2)=(\alpha(u_1+ u_2))v =(\alpha(u_1)+\alpha(u_2))v =\alpha(u_1) v +\alpha(u_2) v = A_{\alpha, v}(u_1)+ A_{\alpha, v}(u_2)$\\
$A_{\alpha, v}(\lambda u)=\lambda A_{\alpha, v}(u)$ ebenso. So ist $A_{\alpha, v}\in\Hom_K(U, V)$. \\
Ähnlich $\hat{\Gamma}(\alpha, v_1+ v_2)=\hat{\Gamma}(\alpha, v_1)+\hat{\Gamma}(\alpha, v_2)$, also $\hat{\Gamma}$ bilinear. \\
$\lambda\in K: \hat{\Gamma}(\alpha\lambda, v)(u)= A_{\alpha\lambda, v}(u)=(\alpha\lambda)(u)(v)=\alpha(u)\lambda v = A_{\alpha, \lambda v}(u)=\hat{\Gamma}(\alpha, \lambda v)$, also ist $\hat{\Gamma}$ auch $K$-balanced. Daher ist (universelle Eigenschaft) $\Gamma$ wohldefinierte $K$-lineare Abbildung.
Ist $(u_1, \ldots, u_n)$$K$-Basis von $U$ und $(u_1^\ast, \ldots, u_n^\ast)$ duale Basis ($u_i^\ast(u_j)=\delta_{ij})$, so kann jedes Element von $U^\ast\otimes_K V$ eindeutig als Summe $\sum_{i=1}^n u_i^\ast\otimes x_i$ mit $x_i \in V$ geschrieben werden. ($U^\ast=\bigoplus_{i=1}^n K u_i^\ast\Rightarrow U^\ast\otimes_K V \cong\bigoplus_{i=1}^n (u_i^\ast\otimes V)$) \\
5.2.12 Satz: Seien $U, V \in\lsub{KG}{\Mod}, \abs{G}= n < \infty$ und sei $\Char K = p$ mit $p \nmid n$, oder sei $\Char K =0$.
Dann ist $\abs{G}\cdot1_K \neq0$, d.h. $\frac{1}{\abs{G}}=(\abs{G}\cdot1_K)^{-1}$ existiert in $K$. \\
Sei $f: U \rightarrow V$$K$-linear. Definiere $\hat{f}_G: U \rightarrow V: u \mapsto\frac{1}{\abs{G}}\sum_{g\in G} gf(g^{-1} u)$; $\hat{f}_G$ ist $KG$-linear. $\hat{f}_G = Tr_(1)^G(f)$ "`Spur"'. \\
Beweis: $\hat{f}_G$ ist wohldefinierte Abbildung von $U \rightarrow V$. $\hat{f}_G(u_1+ u_2)=\frac{1}{\abs{G}}\sum gf(g^{-1}(u_1+ u_2))=\frac{1}{\abs{G}}\sum g f (g^{-1} u_1)+\frac{1}{\abs{G}}\sum g f (g^{-1} u_2)=\hat{f}_G(u_1)+\hat{f}_G(u_2). \hat{f}_G(\lambda u)=\lambda\hat{f}_G(u)$ analog. \\
Also ist $\hat{f}_G \in\Hom_K(U, V)$. \\
Sei $h \in G$, dann ist $(h \hat{f}_G)(u)= h \cdot\hat{f}_G (h^{-1}(u))=\frac{1}{\abs{G}} h (\sum_g g f (g^{-1}(h^{-1} u)))=\frac{1}{\abs{G}}\sum_g (hg) f ((hg)^{-1} u )=\frac{1}{\abs{G}}\sum_g g f (g^{-1} u)=\hat{f}_G(u)$. \\
Also ist $h . \hat{f}_G =\hat{f}_G$, d.h. $\hat{f}_G \in\Hom_K(U, V)^G =\Hom_{KG}(U, V)$. \qed
5.2.13 Satz (Maschke): Sei $G$ endliche Gruppe, $\Char K = p \geq0$. Sei $p$ kein Teiler von $\abs{G}$. Sei $U \in\lsub{KG}{\Mod}$ und $V \leq U$. Dann ist $V$ direkter Summand von $U$, d.h. $\exists W \leq U: V \cap W =(0), V + W = U$. \\
Beweis: LAAG $\Rightarrow\exists\tilde{W}= K$-Unterraum von $U$ mit $V +\tilde{W}= U$. Sei $\tilde{\pi}$ die natürliche Projektion von $U$ auf $V$ entlang $\tilde{W}$,
d.h. $u \in U \Rightarrow\exists! v \in V, \exists! w \in\tilde{W}: u = v + w \Rightarrow\tilde{\pi}(u)= v$. \\
Nach 5.2.12 ist $\pi= Tr_1^G(\tilde{\pi})$$KG$-linear, $\pi(u)=\frac{1}{\abs{G}}\sum_{g \in G} g \tilde{\pi}(g^{-1} u)$. \\
Sei $v \in V \leq U$. Dann ist $\pi(v)=\frac{1}{\abs{G}}\sum_g g \tilde{\pi}(g^{-1} v)=\frac{1}{\abs{G}}\sum_g g g^{-1} v =\frac{1}{\abs{G}}\sum_g v = v$. \\
5.4.16 Theorem: Sei $\Delta$ Divisionsalgebra, $n \in\N$. Dann ist $\Delta^n$ (bis auf Isomorphie) der einzige einfache $A$-Modul, $A = M_{n \times n}(\Delta)$. \\
Es gilt: $\lsub{A}{A}=\bigoplus\limits_{n \text{ Kopien}}\Delta^n$\\
Beweis: Sei $0\neq x =(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)^t \in\Delta^n \Rightarrow\exists1\leq i \leq n: \alpha_i \neq0$. \\
$\alpha_i ^{-1} E_{ii} x = e_i \in\xi_n =$ natürliche Basis von $\Delta^n$\\
$\Rightarrow E_{ji} e_i = e_j $, also $ e_j \in A \cdot x \forall1\leq j \leq n \Rightarrow\Delta^n = A \cdot x$. \\
Also ist $\Delta^n$ einfach. \\
Sei für $1\leq i \leq n ~ S_i $ die Menge der Matrizen aus $A$, die 0 sind bis auf die $i.$ Spalte. \\
Dann ist $S_i \leq\lsub{A}{A}$. \\
$S_i E_{ij}= S_j.$$\varphi_{E_{ij}}=$ Rechtsmodul mit $E_{ij}$ ist $A$-Modul Isomorphismus von $S_i$ auf $S_j$. \\
$S_i \cong\Delta^n$. Also ist $\lsub{A}{A}\cong S_1\oplus\ldots\oplus S_n \cong\bigoplus\limits_{n \text{ Kopien}}\Delta^n$.
Definition: Eine $K$-Algebra $A$ heißt einfach ("`simple"'), falls $(0)$ und $A$ die einzigen Ideale von $A$ sind.
5.4.17 Lemma: Einfache Algebren sind halbeinfach (semisimple). \\
Beweis: Sei $A$ eine einfache Algebra, $\Sigma=$ Summe aller einfachen Untermoduln von $\lsub{A}{A}$. \\
Klar: $\Sigma$ ist Linksideal von $A$. Sei $S$ einfacher Untermodul von $\lsub{A}{A}$, und sei $a \in A$. \\
$\rho_a : S \rightarrow A: s \mapsto sa$ ist $A$-Modulhomomorphismu, und daher ist $S \cdot a =\im\rho_a =(0)$ oder $S \cdot a =$ einfacher $A$-Modul. \\
In beiden Fällen haben wir $Sa \subseteq\Sigma$, daher ist $\Sigma$ auch Rechtsideal von $A$, also ist $\Sigma$ Ideal von $A$. \\
$\lsub{A}{A}$ hat einfache Untermoduln ($\leq(0)$), daher ist $\Sigma\leq(0)$. Da $A$ einfach ist, ist $\Sigma= A$ und daher $A$ semisimple wegen Lemma 5.4.2 (Charakterisierung vo "`ss"')
und 5.4.13 (Algebra ss. $\Leftrightarrow\lsub{A}{A}$ ss.). \qed
5.4.18 Theorem: Sei $\Delta$ Divisionsalgebra und sei $n \in N$. Dann ist $A = M_{n \times n}(\Delta)$ einfache Algebra. \\
Beweis: Sei $(0)\neq J \trianglelefteq A$. Sei $0\neq a \in J \Rightarrow\exists\alpha_{ij}\in\Delta: a =\sum\alpha_{ij}E_{ij}(1\leq i,j \leq n)$. \\
$\exists1\leq r,s \leq n: \alpha_{rs}\neq0$. Sei $1\leq l, k \leq n$. Dann ist $J \ni b =\alpha_{rs}^{-1} E_{lr} a E_{sk}=\sum\alpha_{rs}^{-1} E_{lr}\alpha_{ij} E_{ij} E_{sk}
$\tilde{B_i}\cap\tilde{B_j}=(0) ~~ (i \neq j)$. \\
$\tilde{B_i}$ heißen "`Blöcke"' von $B$ (Blockideale).
5.4.19 Lemma: $B = B_1\oplus\ldots\oplus B_r$ ringdirekte Summe von Algebren $B_i$. Dann sind die zweiseitigen Ideale von $B$ genau die Mengen der Form
Beweis: Setze $J_i = J \cap B_i \trianglelefteq B$. Klar: $\sum\limits_{i=1}^r J_i =\bigoplus\limits_{i=1}^r JJ-i \subseteq J.$ Sei $b \in J, b = b_1+\ldots b_r$ mit $b_i \in B_i$
und $1= e_1+\ldots+ e_r, e_j =1_{B_j}$. \\
Dann ist $b cdot e_1= b_1 e_1+ b_2 e_1+\ldots+ b_r e_r = b_1\in J_1$, analog $b_i \in B_i \Rightarrow$ Behauptung.
5.4.20 Theorem: Sei $r \in\N, \Delta_i$ Divisionsalgebra über $K$ endlicher Dimension, $n_i \in N, B_i = M_{n_i \times n_i}(\Delta_i)\forall1\leq i \leq r$. \\
Sei $B = B_1\oplus\ldots\oplus B_r$ ringdirekte Summe. ($\dim_K B =\sum_{i=1}^r \dim_K(\Delta_i) n_i^2 < \infty).$ Dann ist $B$ semisimple, und es gibt exakt $r$ viele nicht isomorphe einfache $B$-Moduln,
und gneau $2^4$ zweiseitige Ideale von $B$, nämlich $\bigoplus_{j \in J} B_j$ mit $J \subseteq\set{1, \ldots, r}$ (Ideale), einfachen $B$-Moduln $S_1, \ldots, S_r$ mit $S_i \leq\lsub{B_i}{B_i}$ einfach. \\
Beweis: Ist $S \leq\lsub{B_i}{B_i}$ einfacher Untermodul, so ist auch $S$ ein einfacher $B$-Modul mit $b \cdot x =0\forall b \in B_j$ mit $j \neq i$. ($U \leq\lsub{B_i}{B_i}\leq_{\text{Liid}}\lsub{B}{B}$ immer). \\
Haben gesehen (5.4.16): $\forall1\leq i \leq r$ gibt es genau einen einfachen $B_i$-Modul $S_i$, $B_i \cong\bigoplus\limits_{n_i \text{ Kopien}} S_i$.
Insbesondere ist $\lsub{B}{B}$ (direkte) Summe einfacher Untermoduln, und daher nach 5.4.13 semisimple. Jeder einfache $B$-Modul ist daher isomorph zu einem $S_i$ mit $1\leq i \leq r$ (5.4.14). \\
Behauptung folgt sofort aus 5.4.18 und 5.4.19. \qed
5.4.21 Satz: Sei $0\neq e^2= e \in B \Rightarrow\End_B(Be)\cong eBe$.
5.4.22 Lemma:Sei $B$ Algebra. Dann ist $M_{n \times n}(B)^{op}\cong M_{n \times n}(B^{op})$. \\
Beweis Idee: $M_{n \times n}(B)^{op}\rightarrow M_{n \times n}(B^{op}): a \mapsto a^t$ ist Isomorphismus.
5.4.23 Theorem (Wedderburn): Eine $K$-Algebra $A$ ($\dim_K A < \infty$) ist semisimple $\Leftrightarrow A =\bigoplus\limits_{i=1}^r M_{n_i \times n_i}(\Delta_i)$ mit $\Delta_i$ = Divisionsalgebra über $K$ mit $\dim_K \Delta_i < \infty$. \\
Beweis: "`$\Leftarrow$"' ist 5.4.20. \\
Sei also $A$ semisimple. Sei $S_1, \ldots, S_r$ eine vollständige Menge paarweiser nicht isomorpher einfacher $A$-Moduln und sei $\Delta_i =\End_A(S_i)$ Schiefkörper ($\dim_K \Lambda_i = k$), $n_i =\dim_{\Delta_i}(S_i)$\\
Da $\lsub{A}{A}$ semisimple gibt es $v_1, \ldots, v_r \in\N: \lsub{A}{A}= S_1^{\oplus v_1}\oplus\ldots\oplus S_r^{\oplus v_r}$.\\
5.4.21 $\Rightarrow\End_A(\lsub{A}{A})=1\cdot A \cdot1\cong A$\\
$\Rightarrow(\hat{C_1}, \ldots, \hat{C_m})$ ist $\C$-Basis von $Z(\C G)\Rightarrow\dim_{\C}(Z(\C G))= m =$ Anzahl der Konjugationsklassen $= r =$ Anzahl der irreduziblen $\C G$-Moduln.
Definition: Sei $\varphi: \C G \rightarrow\End_{\C}(M)$ Darstellung, $\dim_{\C} M < \infty$. Dann heißt die Abbildung $\chi_M =\chi_{\varphi}: G \rightarrow\C: g \mapsto\tr(\varphi(g))$ ("`gewöhnlicher"') Charakter zur Darstellung $\varphi$.
$\Rightarrow\chi_M(g)=\tr(\tilde{\varphi}(g))=\tr(\tilde{\psi}(g))\forall g \in G$
Beispiel:
\begin{enumerate}[i)]
\item Sei $M =\C_G$ triviale $\C G$-Modul, d.h. $(\sum\lambda_g g) z =(\sum\lambda_g) z, ~~ (\lambda_g, z \in\C)$\\
$\chi_M: g \rightarrow1\in\C$
\item Sei $\Omega$ eine transitive $G$-Menge, $M_\Omega=$ zugehöriger $\C G$-Modul. \\
Ohne Einschränkung $\Omega=\set{1, \ldots, n}$, $G \rInto\sigma_n \cong W \leq GL_n(\C)$\\
Sei $P_\pi=$ Permutationsmaatrix zu $\pi\in\sigma_n, \tr(P_\pi)=\abs{\set{i \in\set{1, \ldots, n}\mid\pi(i)= i}}$. \\
$\tr(g)=\abs{\set{w \in\Omega\mid gw = w}}$
Spezialfall: $M =\lsub{\C G}{\C G}$. \\
Sei $\chi_M$ zugehöriger Charakter. \\
$\chi_M(g)=\abs{\set{x \in G \mid gx = x}}=\left\{\matr{0&\text{für } g \neq1\\\abs{G}&\text{für } g =1}\right.$
\item Sei $\chi: G \rightarrow\C$ Charakter zum $\C G$-Modul $M$. \\
$\chi(1)=\dim_{\C} M$.
\end{enumerate}
Bezeichnung: Seien $S_1, S_2, \ldots, S_r$ die verschiedenen irreduziblen $\C G$-Moduln, wobei $S_1$ der triviale $\C G$-Modul ist. Wir bezeichnen
den Charakter $\chi_{S_i}$ des $i$-ten $\C G$-Modules mit $\chi_i (i =1, \ldots, r)$\\
$\Irr(G)=\set{\chi_1, \ldots, \chi_r}$. \\
Die $\chi_i$ heißen irreduzible Charaktere. \\
Sei $f_i =\dim_\C S_i: \C G =\bigoplus\limits_{i=1}^r M_{f_i \times f_i}(\C)$\\
Bemerkung: Ist $\dim_\C M =1$ (z.Bsp. $S_1$), so spricht man von einem linearen Charakter, denn $\chi_M : G \rightarrow\C^\ast$ ist Gruppenhomomorphismus.
6.1.4 Satz: Sei $U \in\lsub{\C G}{\Mod}, \rho: G \rightarrow\GL_\C(U)\subseteq\End_\C(U)$ zugehörige Darstellung. Sei $g \in G, \abs{g}= n$. \\
Dann gilt:
\begin{enumerate}[i)]
\item$\rho(g)\in\End_{\C}(U)$ ist diagonalisierbar
\item$\chi_U(g)=$ Summe (mit Vielfachheiten) der Eigenwerte von $\rho(g)$ (LAAG 2: Jordansche NF)
\item$\chi_U(g)=$ Summe von $\chi_U(1)=\dim_\C U$ vielen $n$-ten Einheitswurzeln.
\item[v)]$\Rightarrow\abs{\chi_U(g)}=\chi_U(1)\Leftrightarrow$ ale Eigenwerte von $\rho(g)$ sind 1 $\Leftrightarrow\rho(g)=\id_U \Leftrightarrow g \in\ker\rho_U \trianglelefteq G$. \\
$\rho_U: G \Aut_\C(U)$
\end{enumerate}
Erinnerung: $\C^G =\set{\alpha : G \rightarrow\C}$ ist $\C$-Algebra mit Addition $(\alpha_1+\alpha_g)(g)=\alpha_1(g)+\alpha_2(g), (\alpha_1\cdot\alpha_2)(g)=\alpha_1(g)\cdot\alpha_2(g)$ und
$(\lambda\alpha)(g)=\lambda(\alpha(g))$. \\
Menge Der Charaktere von $G \subseteq\C^G$.
6.1.5 Lemma: $(\chi_1, \ldots, \chi_r)$ ist linear unabhängig in dem $\C$-Vektorraum $\C^G$. \\
Beweis: $\C G \cong M_{f_1\times f_1}(\C)\oplus\ldots\oplus M_{f_r \times f_r}(\C)$, $S_i=$ der eindeutig bestimmte irreduzible $G$-Modul im Block $M_{f_i \times f_i}(\C)$. \\
Sei $e_i =$ Einselement von $M_{f_i \times f_i}(\C)$ (also $e_i =((0)_{f_1\times f_1}, \ldots, (0)_{f_{i-1}\times f_{i-1}}, (1)_{f_i \times f_i}, (0)\ldots)$) Idemp. von $\C G$. \\
Seien $\chi_1, \ldots, \chi_r$ die zu $S_i$ gehörenden Charaktere von $G$. \\
Wir können $\chi_i$ linear zu einer lineare Abbildung vn $\C G$ nach $\C$ ausdehnen: $\chi_i \in\Hom_\C(\C G, \C)=\C G^\ast$, d.h.für $a =\sum\limits_{g\in G}\alpha_g g \in\C G$
ist $\chi_i(\alpha)=\sum\limits_{g \in G}\alpha_g \chi_i(g)\in\C$. \\
Beachte: Auf $S_i$ operiert $e_i$ wie die Eins. D.h. $\chi_i(e_i)=\dim_\C(S_i)= f_i$ und $\chi_j(e_i)=0$ für $i \neq j$. \\
Seien $\lambda_1, \ldots, \lambda_r \in\C$ so, dass $\sum\limits_{j=1}^r \lambda_j \chi_j =0$ ist. Dann ist für $1\leq i \leq r: 0=\sum\limits_{j=1}^r \lambda_j \chi_j)(e_i)=\lambda_i \chi_i(e_i)\Rightarrow\lambda_i =0\forall i$. Also sind $(\chi_1, \ldots, \chi_r)$ linear unabhängig.
6.1.6 Lemma: $U, V \in\lsub{\C G}{\Mod}$ endlich erzeugt. Dann $\chi_{U \oplus V}=\chi_U +\chi_V$\\
Beachte: Sind $g, h \in G$ konjugiert, $\chi$ Charakter von $G \Rightarrow\chi(g)=\chi(u)$,
denn $g, h$ konjugiert $\Rightarrow\exists x \in G: g = xhx^{-1}\Rightarrow\chi(g)=\chi(xhx^{-1})=\chi((hx^{-1})x)=\chi(h)$,
d.h. $\chi$ ist konstant auf Konjugationsklassen von $G$. \\
Abbildung $\alpha: G \rightarrow\C(\alpha\in\C^G)$ heißen \underline{Klassenfunktionen}, wenn $\alpha(g)=\alpha(h)$ falls $g, h$ konjugiert sind.
Wir haben gezeigt: $\chi_1, \ldots, \chi_r$ sind $r$ viele linear unabhängig Klassenfunktionen in $\C^G$. \\
Definiere: $C_1, \ldots, C_r$ seien die Konjugationsklassen auf $G$. Für $1\leq i \leq r$ sei $\epsilon_i: g \mapsto\left\{\matr{1&\text{falls } g \in C_i\\0&\text{sonst}}\right.$\\
Klar: $\set{\epsilon_1,\ldots, \epsilon_r}$ linear unabhängig in der Unteralgebra der Klassenfunktionen. \\
Sei $\alpha: G \rightarrow\C$ Klassenfunktion, mit $\alpha(g)=\alpha_i \in\C$ für $g \in C_i \Rightarrow\alpha=\alpha_1\epsilon_i +\ldots+\alpha_r \epsilon_r$
Folgerung: $\set{\chi_1, \ldots, \chi_r}$ ist Basis der $\C$-Algebra der Klassenfunktionen auf $G$.
Bemerkung: Sei $M \in\lsub{\C G}{\Mod}$ endlich erzeugt $\Rightarrow\exists\nu_1, \ldots, \nu_r \in\N_0$ so, dass $M = S_1^{\oplus\nu_1}\oplus\ldots\oplus S_r^{\oplus\nu_r}$
$\Rightarrow g u_i^\ast=\overline{\mu_i} u_i^\ast$, d.h. $u_i^\ast$ ist Eigenvektor von Operation von $g$ auf $U^\ast$ mit Eigenwerten $\overline{\mu_i}$. \\
Also ist $\chi_{U^\ast}(g)=\sum\limits_{i=1}^m \overline{\mu_i}=\overline{\sum\limits_{i=1}^m \mu_i}=\overline{\chi_U(g)}$. \\
\item Nach 5.3.4 (?) ist $\Hom_\C(U, V)\cong U^\ast\otimes V$ als $\C G$-Modul. Die Behauptung folgt aus i) und ii). \qed
\end{enumerate}
Bemerkung: $\set{\Char\text{ von } G}\subseteq\C^G =\C$-Algebra und darin sind die irreduziblen Charaketere $(\chi_1, \ldots, \chi_r)$ linear unabhängig.
So ist $<\chi_1, \ldots, \chi_r>_{\C\text{-Aufspann}}$$r$-dimensionaler Unterraum von $\C^G$. \\
Klassenfunktionen der Form $\sum\limits_{i=1}^r \mu_i \chi_i$ mit $\mu_i \in\Z$ heißen "`virtuelle"' Charaktere.
6.1.9 Korrolar: Der Raum der virtuellen Charaktere ist ein Ring. \\
Beweis: Nach 6.1.8 ist das Produkt zweier Charaktere wieder ein Charakter, d.h. ganzzahlige Linearkombination der $\chi_1, \ldots, \chi_r$. Also ist auch das Produkt
zweier virtueller Charaktere wieder ein virtueller Charakter. \qed
Definition: Eine Klassenfunktion auf $G$ ist eine Abbildung $f: G \rightarrow\C$ mit $f(g)= f(h)$ falls $g, h$ konjugiert (also $g \sim_G h$). \\
Klar: Summe, lineare Vielfache und Produkte vo Klassenfunktionen sind Klassenfunktionen. \\
Also: $< \chi_1, \ldots, \chi_r >_\C\subseteq\set{\text{Klassenfunktionen auf } G}\leq\C^G$
6.1.10 $<\chi_1, \ldots, \chi_r>_\C$ ist die $\C$-Algebra der Klassenfunktionen.auf $G$. \\
Beweis: Seien $C_1, \ldots, C_r$ die Konjugationsklassen von $G$, $1\leq i, j \leq r$. Sei $\psi_i: G \rightarrow\C$ definiert durch: \\
$\psi_i(g)=\left\{\matr{1&\text{für } g \in C_i \\0&\text{sonst}}\right.$\\
Sei $f: G \rightarrow\C$ Klassenfunktion mit $f(g)=\lambda_i$ für $g \in C_i$
$\Rightarrow f =\sum\limits_{i=1}^r \lambda_i \psi_i \Rightarrow f \in < \psi_1, \ldots, \psi_r>_\C$\\
Trivial: $\psi_1, \ldots, \psi_r$ linear unabhängig $\Rightarrow\dim_\C\set{\text{Klassenfunktionen auf }\C}= r$\\
$\Rightarrow$ Behauptung. \qed
Definition: $\Cl(G) :=\C$-Vektorraum der Klassenfunktionen auf $G$. \\
Auf $\Cl(G)$ definieren wir ein inneres Produkt $(\cdot, \cdot)$ durch: $(\alpha, \beta\in\Cl(G))$\\
Beobachtung: $U^G =$ simultae Eigenraum $\forall g \in G$ zum Eigenwert 1 = $\bigcap\limits_{g \in G}$ Eigenraum von $g$ zum Eigenwert $1$.
6.1.11 Lemma: Sei $U \in\lsub{\C G}{\underline{\Mod}}$ endlich erzeugt, dann ist $\dim_\C U^G =\frac{1}{\abs{G}}\sum\limits_{g \in G}\chi_U(g)(=\chi_U(\frac{1}{\abs{G}}\sum\limits_{g \in G} g =\chi_U(T))$. \\
Beweis: Sei $a =\frac{1}{\abs{G}}\sum\limits_{g \in G} g \in\C G$. Sei $h \in G \Rightarrow ha =\frac{1}{\abs{G}}\sum\limits_{g \in G} h g =\frac{1}{\abs{G}}\sum\limits_{g \in G} g = a = ah$\\
$\Rightarrow a^2=(\frac{1}{\abs{G}}\sum\limits_{g \in G} g) a =\frac{1}{\abs{G}}\sum\limits_{g \in G}(g a)=\frac{1}{\abs{G}}\sum\limits_{g \in G} a = a, a $ ist Idempotent von $\C G$. \\
$(\C G = M_{1\times1}(\C)\oplus M_{f_2\times f_2}(\C)\oplus\ldots\oplus M_{f_r \times f_r}(\C); a =(1, 0, \ldots, 0)$. \\
Sei $\rho: \C G \rightarrow\End_\C(U)$ die zu $U \in\lsub{\C G}{\underline{\Mod}}$ gehörende Darstellung von $\lsup{\C}G$ und sei $T =\rho(a)$. \\
Dann gilt $T^2=(\rho(a))^2=\rho(a^2)=\rho(a)= T$, d.h. $T$ erfüllt das Polynom $X^2- X \in\C[X]\Rightarrow0$ und $1$ sind die einzigen möglichen Eigenwerte von $T$ und $T$ ist diagonalisierbar.
Sei $U_1\subseteq U$ der Eigenraum von $T$ zum Eigenwert $1$. \\
$u \in U_1\Rightarrow g(u)= g(a \cdot u)=(g a)(u)= a u = u$\\
$\Rightarrow U_1\leq U^G$\\
Sei $u \in U^G$, dann ist $\abs{G} a u =(\sum\limits_{g \in G} g) u =\sum\limits_{g \in G}(gu)=\sum\limits_{g \in G} u =\abs{G} u \Rightarrow au = u \Rightarrow u \in U_1$\\
Also ist $U_1= U^G$. Die Spur $\tr(T)$ von $T$ auf $U$ ist $\dim_\C(U_1)$
6.1.12 Erinnerung: Sind $U, V \in\lsub{\C G}{\underline{\Mod}}$ endlich erzeugt. Dann ist $\Hom_\C(U, V)= U^\ast\otimes V \in\lsub{\C G}{\underline{\Mod}}$ und es
ist $\Hom_{\C G}(U, V)=(\Hom_\C(U, v))^G$.
6.1.13 Korrolar: Seien $U, v \in\lsub{\C G}{\underline{\Mod}}$. Dann ist $(\chi_V, \chi_U)=\dim_\C\Hom_{\C G}(U, V)$\\
Dann ist $\alpha, \beta)=\sum\limits_{i=1}^r \lambda_i \mu_i$
6.2.3 Korrolar: Sei $\alpha$ virtueller Charakter (Klassenfunktion) von $G$. Dann ist $\alpha=\sum\limits_{i=1}^r (\alpha, \chi_i)\chi_i$\\
Insbesondere ist $\alpha$ Charakter von $G \Leftrightarrow(\alpha, \chi_i)\in\Z_{\geq0}$ für $i =1, \ldots, r$ und $\neq0$ für mindestens ein $i$.
Sofort: Ist $\chi$ ein Charakter von $G$, so ist $\chi$ irreduzibel $\Leftrightarrow(\chi, \chi)=1$, also genau ein $\lambda_i =1$ und der Rest $0$.
6.2.4 Satz: Sei $\alpha$ linearer Charakter (i.e. $\alpha: G \rightarrow\C^\ast$ Homomorphismus) mit zugehörigem $\C G$-Modul $M$ ($M \cong\C$ als Vektorraum, $g \cdot m =\alpha(g)\cdot m$). \\
Sei $X \in\lsub{\C G}{\underline{\Mod}}$ mit Charakter $\chi$. Dann ist $\alpha\chi$ ebenfalls Charakter von $G$ (mit Modul $M \otimes_\C X$), und $\alpha\chi$ ist irreduzibel! \\
Beweis: $\alpha$ irreduzibel $\Rightarrow\alpha(g)$ Einheitswurzel $\forall g \in G$ da 1 = $\abs{\alpha(g)}=\alpha(g)\overline{\alpha(g)}\forall g \in G$. \\
Beweis: Sei $X =(\chi_i(g_j))_{ij}$ Charaktertafeln von $G$, $K = diag(k_1, \ldots, k_r)\in M_{r \times r}(\C)$. \\
Dann ist $ij$-Eintrag von $X \cdot K =\chi_i(g_j)\cdot k_j$ und wir erhalten als $ij$-Eintrag von $X K X^t$ den Wert $\sum\limits_{l=1}^r \chi_i(g_l) k_l \overline{\chi_j(g_l)}
Also ist $XK\overline{X}^t =\abs{G} E_{r \times r}$. \\
Allgemein: $A, B \in M_{r \times r}(K), A \cdot B =\lambda E_{r \times r}, 0\neq\lambda\in K \Rightarrow B = A^{-1}\lambda E =\lambda A^{-1}, BA = AB =\lambda E$\\
Also $K \overline{X}^t X =\abs{G} E_{r \times r}, (K \overline{X}^t X)_{ij}=\sum\limits_{l =1}^r k_j \overline{chi_l(g_j)}\chi_l(g_i)=\abs{G}\delta_{ij}$\qed.
$K$ = Körper, $N \trianglelefteq G, \eta: G \to G / N: g \mapsto gN$ natürliche Projektion, $g_1, \ldots, g_s$ Nebenklassenvertreter von $N$ in $G$. \\
Definiere $\hat{\eta}: KG \to K G/N: \sum\limits_{g \in G}\lambda_g g \mapsto\sum\limits_{g \in G}\lambda_g gN =\sum\limits_{i=1}^s (\sum\limits_{h \in g_i N}\lambda_h) g_i N$\\
Leichte Übung: $\hat{\eta}$ ist multiplikativ, d.h. ein $K$-Algebraepimorphismus ($\ker\hat{\eta}= < h -1\mid h \in N>_{\text{Ideal}}$) \\
Damit kann jeder $K G/N$-Modul zu einem $KG$-Modul gemacht werden.
Fast allgemein: Sei $A$ eine Algebra, $I \trianglelefteq A$ Ideal, $B = A/I$, $M \in\lsub{B}{\Mod}$. \\
Dann wird $M$ zum $A$-Modul durch $a \cdot m :=(a + I)m \forall a \in A, m \in M$.
Dann wird $M$ zum $A$-Modul durch $a \cdot m := f(a) m \forall a \in A, m \in M$. \\
Sind $M, N \lsub{B}{\Mod}, \beta: M \to N$ it $B$-linear, so ist $\beta$ auch $A$-linear. \\
Also ist die Abbildung, die jedem $B$-Modul dem entsprechenden $A$-Modul zuordnet, ein Funktor, genannt "`Inflation"' entlang $f$. \\
$\Inf_{B, f}^A, A \to B \to\End_\Lambda(M)$
Sei $\chi$ Charakter von $G$, $K_\chi=\set{ x \in G \mid\chi(x)=\chi(1)}$ der Kern von $\chi$. (6.1.4) \\
Dann ist $K_\chi\trianglelefteq G$. Für $\chi=\chi_i$ schreiben wir jetzt $K_i$ anstatt $K_{\chi_i}$.
6.2.6 Satz: Sei $N \trianglelefteq G$, dann gibt es eine Teilmenge $I \subseteq\set{1, \ldots, r}$ so, dass $N =\bigcap\limits_{i \in I} K_i$ ist. \\
Also: Die Normalteiler von $G$ sind extakt alle möglichen Schnitte der Kerne der irreduziblen Charakteren! \\
Beweis: $U =\C(G/N), \psi=$ Charakter $\lsub{\C U}{U}$ und $\chi$ sei der entsprechende Charakter von $G$. ($g (h N)=(gh) N$) \\
Sei $g \in G$: Dann ist $\chi(g)=\psi(gN)=\left\{\matr{\psi(1)=\abs{G/N}=\dim_\C U =\chi(1)&\text{für } g \in N \\0&\text{sonst}}\right.$, d.h. $N = K_\chi$. \\
Sei $\chi=\sum\limits_{i=1}^r \alpha_i \chi_i$, 6.1.4 $\Rightarrow\abs{\chi(g)}\leq\sum a_i \abs{\chi_i(g)}\leq\sum\alpha_i \abs{\chi_i(1)}=\chi(1)\forall g \in G$. \\
$\sum\alpha_i \chi_i(g)=\chi(g)=\chi(1)=\sum\alpha_i \chi_i(1)$, also $\chi(g)=\chi(1)\Leftrightarrow(\chi_i(g)=\chi_i(1)$ oder $\alpha_i =0)\forall i$
Sei $I =\set{1\leq i \leq r \mid\alpha_i \neq0}$\\
Also ist $N =\bigcap\limits_{i \in I} K_i$
6.2.7 Korrolar: $G$ einfach $\Leftrightarrow\forall1\neq g \in G \forall2\leq i \leq r: \chi_i(g)\neq\chi_i(1)$
6.2.8 Korrolar: Charaktertafel löst die Frage, ob $G$ auflösbar oder nicht auflösbar ist.
6.2.12 Satz: Sei $N \trianglelefteq G$. Dann können die irreduziblen Charaktere von $G/N$ aus denen von $G$ ausgerechnet werden. \\
Beweis: Jeder irreduzible $G/N$-Modul ist durch Inflation irreduzibler $G$-Modul. \\
($M \in\lsub{K (G/N)}{\Mod}$ irreduzibel $\Leftrightarrow\forall0\neq m \in M: K(G/N) m = M \Leftrightarrow M \in\lsub{KG}{\Mod}$ irreduzibel) \\
So ist $\Irr_K(G/N)=\set{\chi_i \mid\chi_i(n)=\chi_i(1)\forall n \in N}$
Vorsicht: Man kann aus Charaktertafel von $G$ nicht die Größe der Konjugationsklassen von $G/N$ ablesen.
Klar: Sei $g \in N, C = g^G \Rightarrow\set{ hN \mid h \in C }$ ist Konjugationsklasse von $G/N$.
6.2.13 Korrolar: Man kann aus der Charaktertafel von $G$ direkt ablesen, ob $G$ nilpotent ist oder nicht.
% Kapitel 7
\chapter{Exkurs in die Kategorientheorie}
\section{Kategorien}
1.1.1 Definition: Eine Kategorie $\cC$ besteht aus
\begin{enumerate}[(1)]
\item Einer Klasse $\Obj(\cC)$ von Objekten von $\cC$$(A, B, C, \ldots)$
\item Für $A, B \in\Obj(\cC)$ eine Menge $\cC(A,B)$ von Morphismen von $A$ nach $B$.
\item Für $A, B, C \in\Obj(\cC)$ eine Kompositionsregel $\cC(A,B)\times\cC(B, C)\to\cC(A, C): (f,g)\mapsto f \circ g = fg$,
so dass gilt:
\begin{enumerate}[K1:]
\item$\cC(A_1, B_1)\cap\cC(A_2, B_2)\neq0\Rightarrow A_1= A_2$ und $B_1= B_2$
\item$A, B, C, D \in\Obj(\cC), f \in\cC(A, B), g \in\cC(B, C), h \in\cC(C, D): f(gh)=(fg)h$
\item$\forall A \in\Obj(\cC)$ gibt es ein $1_A \in\cC(A, A)$ mit $1_A f = f, g 1_A = g \forall B, C \in\Obj(\cC)$ und $f \in\cC(A, B), g \in\cC(C, A)$\\
(Automität: $1_A$ ist eindeutig)
\end{enumerate}
\end{enumerate}
1.1.2 Beispiele:
\begin{enumerate}[1.)]
\item$\cS=$ Kategorie der Mengen
\item$\cT=$ Kategorie der topologischen Räume, Morphismen = stetige Abbildungen ($\cT_1$ = Kategorie der punktierten topologischen Räume)
\item$G =$ Kategorie der Gruppen, Morphismen = Gruppenhomomorphismen
\item$Ab$ = Kategorie der abgelschen Gruppen
\item$K =$ Körper, $V_K$ = Kategorie der $K$-Vektorräume, Morphismen = $K$-lineare Abbildungen
\item$\cR=$ Kategorie der Ringe
\item$\cR_1=$ Kategorie der Ringe mit Einselement.
\item$\Lambda=$ Ring $\ni1$ (oder Algebra), $\lsub{A}{\Mod}$ und $\Mod_A$ sind Kategorien
\item$(M, \leq)$ geordnete Menge: Bilde Kategorie $\cM$ mit \begin{enumerate}[a)]
\item$\Obj(cM)= M$ (also ist $cM$ "`klein"', d.h. $\Obj(cM)$ ist eine Menge)
\item$m, n \in M$ bestehe aus $cM(m, n)$ aus genau einem Element wenn $m \leq n$, sonst sei $\cM(m, n)=\emptyset$
\end{enumerate}
\item$L =$ Ring $\ni1$, $\cL=$ Kategorie mit $\Obj(\cL)=\set{L}, \cL(L, L)= L, (a,b)\mapsto ab \in L$
\item Sei $A =$ Algebra $\ni1$, bilde Kategorie der Kettenkomplexe $\cK(A), \Obj(\cK(A))$ bstehen aus Komplexen
aus $A$-Moduln $M_i \in\lsub{A}{\Mod}(i \in\N)$ und $A$-Modulhomomorphismen $f_i : M_i \to M_{i+1}$ so, dass $f_{i+1} f_i =0$ ist, d.h. $\im f_i \subseteq\ker f_{i+1}$\\
sind Folgen von $A$-Modulhomomorphismen $(\alpha_1, \alpha_2, \ldots)$ so, dass alle Diagramme kommutieren, i.e. $\alpha_{i+1} f_i = g_i \alpha_i$
\item$\cT_h =$ Kategorie der topologischen Räume, mit Morphishmen = Homotopieklassen stetiger Abbildungen
\end{enumerate}
Definition: $\cC=$ Kategorie, $A, B \in\Obj(\cC)$, $f: A \to B$ Morphismus. $f$ heißt invertierbar (Isomorphismus), falls es ein $g : B \to A$ gibt mit $gf =1_B$ und $fg =1_A$. \\
Notation: $g = f^{-1}$\\
Klar: $f^{-1}$ ist eindeutig bestimmt, $f, g$ invertierbar $\Rightarrow(f \circ g)$ invertierbar und $(f \circ g)^{-1}= f^{-1}\circ g^{-1}$\\
$A \cong B$ falls ein Isomorphismus $f : A \to B$ existiert.
Definition: $\cC$ Kategorie. Eine Teilklasse $\Obj(\cU)$ von $\Obj(\cC)$ mit Morphishmenmengen $\cU(A, B)\subseteq\cC(A, B)$ für $A, B \in\Obj(\cU)\subseteq\Obj(\cC)$ heißt
Unterkategorie, falls $1_a \in\cU(A, A)\forall A \in\Obj(\cU)$, und $fg \in\cU(A, C)\forall f \in\cU(A, B), g \in\cU(B, C)$. \\
$\cU$ heißte volle Unterkategorie falls $\cU(A, B)=\cC(A, B)\forall A, B \in\Obj(\cU)$
Beispiel:
\begin{enumerate}[i)]
\item Die Kategorie der $\lsub{A}{\underline{\Mod}}$ ist volle Unterkategorie von $\lsub{A}{\Mod}$.
\item Sei $\cC$ Kategorie. Isomorph zu sein ist Äquivalenzrelation auf $\Obj(\cC)$. \\
Wähle aus jeder Äquivalenzklasse genau ein Objekt aus. \\
$\cS(\cC)=$ volle Unterkategorie von $\cC$ mit $\Obj(\cS)$ = Vertreter von Isomorphieklassen von $\Obj(\cC)$
("`Skelett von $\cC$"') \\
Oft $\cS(\cC)$ ist kleine Kategorie, etwa für $\cC=\lsub{A}{\Mod}$
\item$\cR_1$ ist keine volle Unterkategorie von $\cR$.
Definition: Seien $\cC, \cD$ Kategorien. Ein kovarianter Funktor $F: \cC\to\cD$ besteht aus einer Abbildung $F: \Obj(\cC)\to\Obj(\cD)$ zusammen mit Abbildungen
$F_{x,y} : \cC(X, Y)\to\cD(F(X), F(Y))$ für alle $X, Y \in\Obj(\cC)$ so dass gilt:
\begin{enumerate}[F1:]
\item$\forall X \in\Obj(\cC): F_{X,X}(1_X)=1_{F(X)}$
\item für $f \in\cC(A, B), g \in\cC(B, C)$ ist $F_{A,C}(fg)= F_{A,B}(f) F_{B,C}(g)$.
\end{enumerate}
Beispiele:
\begin{enumerate}
\item Vergissfunktoren: \\
$V: Ab \to\cS: $ abelsche Gruppe $\mapsto$ Menge, Homomorphismus $\mapsto$ Abbildung. \\
$V: V_K \to Ab:$
$K$-Algebra $A, V: \lsub{A}{\Mod}\to V_K$
\item Die Einbettung einer Unterkategorie $U$ von $\cC$ in $\cC$ ist Funktor.
\item Die Identität $1: \cC\to\cC$ ist Funktor.
\item$A: G \to Ab: G \mapsto G/G', G' =[G, G]$ ($f: G \to H$ Gruppenhomomorphismus $\Rightarrow f(G')\subseteq H' \Rightarrow\exists A(f)=\hat{f}: G/G' \to H/H': gG' \mapsto f(g)H'$). $A$ = Abelisierungsfunktor.
Dann ist $\Hom_A(M, X)$ abelsche Gruppe ($K$-Vektorraum, $\Lambda$-Modul) und $\Hom_A(M, -): \lsub{A}{\Mod}\to Ab(V_K, \lsub{\Lambda}{\Mod}): X \mapsto\Hom_A(M, X)$ ist Abbildung. \\
Seien $X, Y \in\lsub{A}{\Mod}, f: X \to Y$ sei $A$-linear. Dann wird durch $\Hom_A(M, f): \Hom_A(M, X)\to\Hom_A(M, Y): h \mapsto f \circ h$ (Homomorphismus von abelschen Gruppen ($K$-VR, $\Lambda$-Moduln)) \\
\item Seien $f: X \to Y, g: Y \to Z$$A$-linear. Zu zeigen: $G(g \circ f)= G(g)\circ G(f)$. \\
Also $\forall h \in G(X): G(g \circ f)(h)=(g \circ f)\circ h = g \circ(f \circ h)= g \circ(G(f)(h))= G(g)(G(f)(h))=(G(g)\circ G(f))(h)$
\end{enumerate}
Also ist $\Hom_A(M, -)$ Funktor von $\lsub{A}{\Mod}$ nach $Ab (V_K, \lsub{\Lambda}{\Mod})$
\end{enumerate}
Lemma: Seien $\cC_1, \cC_2, \cC_3$ Kategorien. $F: \cC_1\to\cC_2, G: \cC_2\to\cC_3$ Funktoren. Dann wird durch
$$G \circ F: \cC_1\to\cC_3: X \mapsto G(F(X)), f \mapsto G(F(f)) ~~~ \forall X, Y \in\Obj(\cC_1), f \in\cC_1(X, Y)$$
ein Funktor von $\cC_1$ nach $\cC_3$ definiert. \\
Beweis: einfach
Definition: $\cC, \cD$ Kategorien. Ein Funktor $F: \cC\to\cD$ heißt \underline{Isomorphismus}, falls es einen Funktor $G$ von $\cD\to\cC$ gibt mit $G \circ F =\id_{\cC}$ und $F \circ G =\id_{\cD}$. \\
Also: $X \in\cC$, so ist $G(F(X))= X$ usw.
Allgemeine $\Hom$-Funktion: \\
$\cC:$ Kategorie, $M \in\Obj(C)$\\
$\cC(M, -): \cC\to\cS: X \mapsto\cC(M, X), f \mapsto f \circ ? ~~ (f: X \to Y)$ ist (w.o.) Funktor \\
$\cC(-, M): \cC\to\cS: X \mapsto\cC(X, M), f \mapsto ? \circ f ~~ (f: X \to Y)$\\
Es gilt $\cC(f \circ g, M)=\cC(g, M)\circ\cC(f, M)$.
Ein kontravarianter Funktor von $\cC\to\cD$ ist eine Abbildung $F: \Obj(\cC)\to\Obj(\cD)$ und $F_{X,Y}: \cC(X, Y)\to\cD(F(Y), F(X))$ mit
\begin{enumerate}
\item$F(\id_X)=\id_{F(X)}, X \in\Obj(\cC)$
\item$F(f \circ g)= F(g)\circ F(f), f, g$ Morphismen von $\cC$.
\item Sei $\mu: B \to C$ ein Morphismus in der Kategorie $\cC$. Dann heißt $\mu$\underline{Monomorphismus}$\Leftrightarrow\forall\alpha, \beta: A \to C$ Morphismen in $\cC: (\mu\alpha=\mu\beta\Rightarrow\alpha=\beta)$\\
$\mu: C \to B, \alpha, \beta: B \to A: \alpha\mu=\beta\mu\Rightarrow\alpha=\beta$ heißt analog Epimorphismus.
Vorsicht: In $\cR_1$ ist $\Z\rInto\Q$ ein Epimorphismus.
In $\lsub{A}{\Mod}$ gilt: $\alpha$ ist Epimorphismus $\Leftrightarrow\alpha$ surjektiv, Monomorphismus $\Leftrightarrow\alpha$ injektiv. \\
Klar: Ein Isomorphismus ist auch Epimorphismus und Monomorphismus.
\item Ein $0$-Objekt einer Kategorie $\cC$ ist ein Object $O \in\Obj(\cC)$ so dass gilt:
\begin{enumerate}
\item$\abs{\cC(O, X)}=1\forall X \in\Obj(\cC)$ ($\cC(O, O)=\set{\id_O}$, initiales Objekt)
\item$\abs{cC(X, O)}=1\forall X \in\Obj(\cC)$ (finales Objekt)
Dualisieren ergibt Kokern $\chi=\coker\varphi$ ($\varphi: A \to B$), $\chi: B \to C, \chi\varphi=0$ ($\cC\lsub{R}{\Mod}, \coker\varphi= B /\im\varphi)$\\
$\forall\rho: B \to C, \rho\varphi=0: \exists\rho': \rho' \chi=\rho$.
\end{enumerate}
\section{Natürliche Transformationen}
Definition: Seien $\cC, \cD$ Kategorien und $F, G$ Funktoren von $\cC$ nach $\cD$. Eine natürliche Transformation von $F$ nach $G$ ist eine Familie $(t_X)_{X \in\Obj(\cC)}$
von Morphismen $t_X: F(X)\to G(X)$, so dass das folgende Diagramm für jeden Morphismus $f: X \to Y$ in $\cC$ kommutiert ($G(f)t_X = t_YF(f)$):
\begin{diagram}
F(X) &\rTo^{t_X}& G(X)\\
\dTo^{F(f)}& ~~~~~~~~~ &\dTo_{G(f)}\\
F(Y) &\rTo^{t_Y}& G(Y)
\end{diagram}
Wir schreiben kurz: $t: F \to G$ und nennen $t$ auch "`Morphismus vn $F$ nach $G$"'.
$F, G, H$ Funktoren von $\cC\to\cD, t: F \to G, u: G \to$ natürliche Transformationen, so wird durch $(u \circ t)_X = u_X \circ t_X$ eine natürliche Transformation $u \circ t: F \to H$ definiert.
Definition: Seien $\cC, \cD$ Kategorien. Dann heißen $\cC$ und $\cD$\underline{äquivalent}, falls es Funktoren $F: \cC\to\cD, G: \cD\to\cC$ gibt mit:
$G \circ F \cong\id_{\cC}, F \circ G \cong\id_{\cD}$\\
Das heißt: Für $X, Y \in\cC, f : X \to Y$ gilt:
\begin{diagram}
GF(X) &\rTo^{t_X}_{\tilde{}}& X \\
\dTo^{GF(f)}&&\dTo_{f}\\
GF(Y) &\rTo^{t_Y}_{\tilde{}}& Y
\end{diagram}
$\forall X \in\Obj(\cC)\exists$ Isomorphismus $t_X: GF(X)\to X$ so dass $\forall f: X \to Y$ Morphismus in $\cC$ gilt: $f t_X = t_Y GF(f)$ (analog für $FG$) \\
Wir schreiben $\cC\cong\cD$
Beispiele:
\begin{enumerate}
\item Sei $\cC_0$ Skelett von $\cC, F: \cC_0\rInto\cC$ natürliche Einbettung, $G: \cC\to\cC_0: X \rTo^{\varphi_X}_{\tilde{}} Y \in\cC_0$, wobei $Y$ das eindeutig bestimmte Objekt von $\cC_0$ isomorph zu $X$ ist,
und für $f: X_1\to X_2$ sei $Gf =\varphi_{X_1} f \varphi^{-1}_{X_2}(\varphi_{X_1}(X_1)= Y_1, \varphi_{X_2}(X_2)= Y_2$\\
$\cC\cong\cC_0$
\item$K$ Körper, $\cV_K$ Kategorie der endlich dimensionalen Vektorräume über $K =\lsub{K}{\underline{\Mod}}$.
Für $V \in\lsub{K}{\underline{\Mod}}$ sei: \\
$\iota_V: V \to V^{\ast\ast}: v \mapsto\lambda\alpha . \alpha(v)$
\begin{diagram}
V &\rTo^{\iota_V}& V^{\ast\ast}\\
\dTo^{f}&&\dTo_{f^{\ast\ast}}\\
W &\rTo^{\iota_W}& W^{\ast\ast}
\end{diagram}
${}^{\ast\ast}$ ist Funktor von $\lsub{K}{\underline{\Mod}}$ nach $\lsub{K}{\underline{\Mod}}$. \\
$(\iota_V)_{V \in\lsub{K}{\underline{\Mod}}}$ ist natürliche Transformation von $\id_V$ nach ${}^{\ast\ast}$\\
Satz: (Yoneda Lemma) Sei $F: \cC\to\cS$ Funktor, $A \in\Obj(\cC)$ und $\tau: \cC(A, -)\to F$ natürliche Transformation. \\
Dann wird durch $\tau\mapsto\tau_A(1_A)$ eine Bijektion zwischen der Klasse $[\C(A, -), F]$ der natürlichen Transformationen von $\cC(A, -)$ nach $F$ und der Menge $F(A)$ definiert.
Insbesondere ist $[\cC(A, -), F]$ Menge. \\
Beweis: Sei $\varphi: A \to B$ Morphismus in $\cC$: ($\varphi_{\ast} :=\cC(A, \varphi)=\lambda\alpha . \varphi\circ\alpha$)
ist kommutativ, da $\tau$ natürliche Transformation ist. Also ist $\tau_B(\varphi_{\ast}(1_A))=\tau_B(\varphi\circ1_A)=\tau_B(\varphi)=(F(\varphi))(\tau_A(1_A))$. Also ist
$\theta: B_1\to B_2$ in $\cC, \theta_{\ast}(\mu)=\theta\circ\mu : A \to B_2$\\
Sei $\varphi: A \to B_1$ in $\cC$. Dann gilt: $\tau_{B_2}\theta_{\ast}(\varphi)=\tau_{B_2}(\theta\circ\varphi)= F(\theta\varphi)(\kappa)= F(\theta)F(\varphi)(\kappa)= F(\theta)(\tau_{B_1}(\varphi))$. \\
Also ist $\tau_{\kappa} :=\tau$ natürliche Transformation. \\
Ist $\tau\mapsto\psi\in\cC(A', A)$ und $\tau' \mapsto\psi' \in\cC(A'', A')$ unter der Yoneda Abbildung, so ist $\tau' \tau\mapsto\psi\psi' \in\cC(A'', A)$ unter der Yoneda Abbilddung.
Insbesondere ist $\tau$ natürliche Äquivalenz $\Leftrightarrow\psi\in\cC(A', A)$ Isomorphismus ist.
$\cF=\cD(-, -)\circ(F \times\id_{\cD}): \cC^{\opp}\times D \to\cS: (X, Y)\mapsto\cD(F(X), Y)$\\
$\cG=\cC(-, -)\circ(\id_{\cC}\times G): \cC^{\opp}\times D \to\cS: (X, Y)\mapsto\cC(X, G(Y))$ sind Bifunktoren.
Auf Abbildungen $f: X_1\to X_2$ in $\cC, g: Y_1\to Y_2$ in $\cD$: $\cF(f, g)=\cD(Ff, g) : \cD(F X_2, Y_1)\to\cD(F X_1, Y_2), \cD(Ff, g)(h)= g h F(f)$
Definition: $F$ heißt linksadjungiert zu $G$ und $G$ rechtsadjungiert zu $F$, falls es eine natürliche Äquivalenz $\eta=(\eta_{X, Y})_{X \in\cC, Y \in\cD}$ von $\cF$ nach $\cG$ gibt.
\underline{Klartext}\\
$X \in\Obj(\cC), Y \in\Obj(\cD)$. Dann ist $\eta_{X,y}$ eine Bijektion zwischen $\cD(FX, Y)$ und $\cC(X, GY)$\\
"`Natürlichkeit"' von $\eta=(\eta_{X,Y})_{X,Y}$: Sind $X_1, X_2\in\Obj(\cC), Y_1, Y_2\in\Obj(\cD), f: X_1\to X_2$ in $\cC, g: Y_1\to Y_2$ in $\cD$, so ist die folgenden Diagramme kommutativ:
$\Hom_B(\lsub{B}{B}_A, -)$ ist der Restriktionsfunktor $\Res_A^B$, denn für $N \in\lsub{B}{\Mod}$ ist $\Hom_B(\lsub{B}{B}_A, N)\cong N$ als $A$-Modul (natürliche Transformation $\Hom_B(B, -)\to\Res_A^B$
durch $\Hom_B(\lsub{B}{B}_A, N)\ni f \mapsto f(1)\in N$$(f+g)(1)= f(1)+ g(1), (af)(1)= f(a)= a \cdot f(1)$\\
$N \ni n \mapsto h_n, h_n(b)= b \cdot n$\\
$h_{f(1)}(b)= b \cdot f(1)= f(b)\Rightarrow h_{f(1)}= f$ und $h_n(1)=1\cdot n = n$, damit sind diese Abbildungen invers zueinander und damit bijektiv. \\
kommutiert, da $\epsilon_2\alpha_{\ast}(f)=\epsilon_2(\alpha\circ f)=\alpha\circ f(1)=\alpha(f(1))=(\alpha\circ\epsilon_1)(f)$
Satz: Seien $A \subseteq B$ Ringe (mit derselben $1$). Dann ist $\Ind_A^B$ linksadjungiert zur $\Res_A^B$, d.h. für $L \in\lsub{A}{\Mod}, B \in\lsub{B}{\Mod}$ gibt es einen natürlichen Isomorphismus (von abelschen Gruppen, $A$-Moduln, ...)